Phương pháp tọa độ hình không gian

 Bước 2. Xác định tọa độ các điểm liên trên hình liên quan tới bài toán. Với những bạn chưa quen thì chúng ta xác định tọa độ hình chiếu của điểm cần tìm lên các trục, từ đó sẽ suy ra [r]

Phương Pháp TỌA ĐỘ HÓA HÌNH KHƠNG GIAN

TẠP

CHÍ

VÀ

TƯ

LIỆ

U TO

ÁN HỌC

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA HÌNH CỔ ĐIỂN

Tạp chí tư liệu tốn học

Đơi giải tốn hình học khơng gian cổ điển ta gặp nhiều tốn tính tốn phức tạp, nhiên phịng thi ta lại khơng có nhiều thời gian, chương tìm hiểu phương pháp giải nhanh toán tính tốn phức tạp khó hình khơng gian cổ điển, liên quan tới cực trị, góc, khoảng cách

I Ý TƯỞNG PHƯƠNG PHÁP

Trên mạng có vài tài liệu nói phương pháp chia thành nhiều dạng, điều làm áp dụng có phần khó nhớ máy móc, nhiên cần nắm dấu hiệu phương pháp sau

 Bước Chọn hệ trục tọa độ Trong bước ta xác định đường vng góc có tốn gọi đường sở Thơng thường ta quy ước trục Ox hướng vào mình, trục Oz nằm ngang, lại trục Oy

 Bước Xác định tọa độ điểm liên hình liên quan tới tốn Với bạn chưa quen xác định tọa độ hình chiếu điểm cần tìm lên trục, từ suy tọa độ điểm cần tính

 Bước 3. Áp dụng công thức

Sau nhắc lại số công thức cần nhớ phần này. Diện tích thể tích

Diện tích tam giác ABC: ,

2

S  AB AC

Thể tích tứ diện ABCD: ,

6

V  AB AC AD

Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: V  AB AD AA,  '

Thể tích hình lăng trụ ABC,A’B’C’: , '

2

V  AB AD AA

Góc mặt phẳng: Mặt phẳng  P có vecto pháp tuyến n mặt phẳng  Q có vecto pháp tuyến n' cos   P , Q  = cos n n, '

Góc đường thẳng: Đường thẳng d có VTCP u d’ có VTCP v thìcosd d, ' cos u v,

Góc đường thẳng mặt phẳng: Đường thẳng d có VTCP u (P) có VTPT n

 

   

sin d P,  cos u n,

Khoảng cách từ M0x y z0, 0, 0 đến mặt phẳng:  Oxy z0 ; Oyz x0 ; Ozx y0

  P :AxByCz D 0là  0  0

2 2

, Ax By Cz D

d M P

A B C

  



CH

INH

P

HỤC OLYMPI

C TOÁN

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

Cho M0x y z0, 0, 0 đường thẳng d qua A có VTCP u AB  0 

, ,

AM u d M d

u

 

 



Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Đường thẳng d1 qua M1 có VTCP u d1; 2 qua

2

M có VTCP  

1 2

1

, ,

,

u u M M d d d

u u

 

 



 

 

Chú ý Thông thường mà khơng có đường vng góc ta phải tự dựng thêm để gắn

tọa độ liên quan tới hình lập phương, hình hộp chữ nhật, chối chóp có đường vng góc, lăng trụ đứng áp dụng phương pháp giải nhanh !

II CÁC BÀI TOÁN Câu

Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm BCvà CD Tính bán kính R khối cầu ngoại tiếp khối chóp S CMN

Lời giải

Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ xét a1 Khi H O, M0;1; 0, 1;1;

2

C 

 ,

1 ; ; 2

N 

 ,

3 0; 0;

2

S 

 

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp chóp S CMN có dạng

  2

: 2

S x y z  ax by cz d , a2b2c2 d 0

H O D

N

C

M

B A

S

x

y

TẠP

CHÍ

VÀ

TƯ

LIỆ

U TO

ÁN HỌC

, ,

S C M ,N  S nên ta có hệ phương trình:

2

5

4 3

4

b d

a b d

a b d

c d

    



     

    

 

   



1 4

12

a

b

c

d

         

      

Ta có 2 31

48

a b   c d hay 2 93

12

a b   c d

Vậy 93

12

a R

Câu

Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B, thỏa mãn điều kiện

AB BC a,AD2 ,a SAvng góc với mặt đáy ABCD, SAa Gọi M N, trung

điểm SB CD, Tính cosin góc MN (SAC)

Lời giải

Chọn hệ trục hình vẽ, chọn đơn vị a

Có A0; 0; 0, B1; 0; 0, C1;1; 0, D0; 2; 0, S0; 0;1 ; 1; 0;1

2

M 

 ;

1 ; ; 2

N 

 

Vec tơ phương MN 2MN  0; ;3

2

  

 

  0;3; 1 

Véc tơ pháp tuyến SAC n AC AS;  1; 1; 0  Vậy sinMN SAC; 

9 2 

3 10

D

N

C B

A S

x

y

z

CH

INH

P

HỤC OLYMPI

C TOÁN

Suy cosMN SAC; 

2 10        55 10 Câu

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD2AB2BC 2CD2a Hai mặt

phẳng SAB SAD vng góc với mặt phẳng ABCD Gọi M N, trung

điểm SB CD Tính cosin góc MN SAC, biết thể tích khối chóp S ABCD

Lời giải

Vì ABCD hình thang cân cóAD2AB2BC 2CD2a

2 ;

AD a AB BC CD a

     

2

a

CH  ;

2

ABCD

a a a

S  

2 3 a  Nên

1 3

.SA ABCD a V  3 a

 SAa

Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ hình vẽ

Ta cóK0; 0; , ; 0; ,

a B 

 

3

0; ; ,

2

a

C 

 

3

0; ;0 ,

2

a

A  

 

3 ; ; ,

2

a a N 

 

3

0; ; ,

2

a S  a

 

3

; ;

4

a a a

M  

 

 ;3 3;

4

a a a

MN    

  Chọn u1  3;3 3; 2  phương với MN

Nhận xét BK SA

BK AC

 

 

 BK SAC

 ; 0;

2

a

BK   

  vtpt SAC.Chọn n11; 0; 0 phương với BK

TẠP

CHÍ

VÀ

TƯ

LIỆ

U TO

ÁN HỌC

Gọi  góc góc MN SAC Ta có 1

1

sin

u n

u u

  10

20

 cos 310

20

  

Câu

Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có ABACa BAC, 1200, AA a Gọi M N, trung điểm B C  CC Số đo góc mặt phẳng AMN mặt phẳng ABC

Lời giải

Thiết lập hệ toạ độ Oxyz khơng gian hình vẽ, gốc toạ độ O trùng M

Dễ dàng tính 3;

2

a a

MBMC MA

+ 0;0;0 ,   0; 3;

2

a a

M N Oyz N  

 

+ Ox  ;0;

2

a A z  A a

  MpABC / / A B C   ; A B C    Oxy

ABC

 có vecto pháp tuyến k 0; 0;1

Ta có ; 0;

2

a MA 

  phương u11; 0; 2

3

0; ;

2

a a

MN  

  phương u20; 3;1

AMN

 có vecto pháp tuyến nu u1, 22 3; 1;  3

A

B

C

'

A

'

B

'

C

M N

x

y

CH

INH

P

HỤC OLYMPI

C TOÁN

   

   

cos , cos ,

4

AMN ABC k n

  

Câu

Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác vng cân B, BCa, cạnh bên SAvng góc với

đáy, SAa 3,Mlà trung điểm AC, tính góc cotang SBMvà SAB

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có 0; 0; ;  ; 0; ; 0; ; ;  ; 0, ; ; ; 2

a a B A a C a S a a M 

 

SAB 0;1; 0

n  ;         

2

, 1; 0, 1;1; 3; 3;1

2

SBM

a a

n SB MB a   

 

Đặt góc SBMvà SAB , ta có

       

2

21

cos

7

cos

cot

sin

21

sin

7

SAB SMB SAB SMB

n n

n n

 

  

 

    

 



 

     



  

Câu

Cho hình tứ diện EFGH có EF vng góc với EG, EGvng góc với EH , EH vng góc với

EF;biết EF 6a, EG 8a, EH 12a, với a0,a Gọi I , J tương ứng trung điểm hai cạnh FG, FH Tính khoảng cách d từ điểm F đến mặt phẳng EIJ theo a

Lời giải

Vì EF vng góc với EG, EGvng góc với EH nên EG(EFH) Gọi K trung điểm củaEF suy IK (EFH) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ ta có:

0; 0; , 0; 0;  , ; 0; , 0; ; 0

K I a E a J a

S

A

B

C

x

y

TẠP

CHÍ

VÀ

TƯ

LIỆ

U TO

ÁN HỌC

Phương trình mặt phẳng  : 12

3

x y z

EIJ x y z a

a a a      

 

     12 24 24 29

, ,

29

4 16 29

a a a

d  F EIJ  d K EIJ   

 

Câu

Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy tam giác ABC vng cân A, cạnh BCa Góc mặt phẳng AB C'  mặt phẳng BCC B  bằng600 Tính thể tích V khối lăng trụ

ABC A B C  ?

Lời giải

Gọi chiều cao hình lăng trụ h

Đặt hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ Khi A0; 0; 0, B a 3; 0; 0, C0;a 3; 0, B a 3; 0;h

 3; 3;

2

a a

M 

  trung điểm BC

Vì AM BCC B  3; 3;

2

a a

AM   

  nên n1;1; 0 VTPT BCC B' '

A

B

C

'

A

'

B

'

C

M

x

y

z

G

8a

E

H

F I

K N

M J

6a

12a

x

y

CH

INH

P

HỤC OLYMPI

C TOÁN

Ta có AC AB,   ah 3; 0; 3 a2n1h; 0; 3a VTPT AB C'  Theo giả thiết góc AB C  mặt phẳng BCC B  60

 1 2 2

1

cos 60 cos ,

2 2. 3

h

n n h a

h a

      



Vậy thể tích khối lăng trụ ABC A B C   

3

3

a V 

Câu

Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Gọi E, M trung điểm cạnh BC, SA,  góc tạo đường thẳng EM mặt phẳng SBD Tính tan

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho OxOC, OyOB, OzOS Chọn OA1

Ta có C1; 0; 0, A1; 0; 0SBD nhận AC2; 0; 0 vectơ pháp tuyến

Từ SAABOA 2 SO SA2OA2 1

   

0; 0;1 1 1

; 0;

2

1; 0;

S

M A

  

   

  



Ta có  

  1; 0; 0;1;

C B

  

1 ; ; 2

E 

  EM nhận 1; ;1

2

ME  

  vecto phương

 

 

sin EM; SBD sin

  

ME AC ME AC 

2

2

2

1

1

2



   

    

   

6



1

cos tan

3

     

A

B E C

D

O M

S

x

y

TẠP

CHÍ

VÀ

TƯ

LIỆ

U TO

ÁN HỌC

Câu

Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh a Gọi Klà trung điểm DD' Khoảng cách hai đường thẳng CK A D'

Lời giải

Chọn a1 ta có hệ trục tọa độ Oxyz cho 0; 0; , ' 1; 0;1 , 0; 0;1

D A K 

  C0;1; 0

Ta có DA'1; 0;1; 0; 1;1

CK  

 

1 0; 0;

2

DK 

 

Ta có '; CK 1; 1;

2

DA  

     

   , DA'; CK  DK  12

Do  

 

' ; 2

2

1

1

2 A D CK

d

 

 

    

 

1

1

3

1

4



 

 

Vậy  ' ; 

3 A D CK

a d 

Câu 10

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, ABa, BCa 3, SAa SA

vng góc với đáy ABCD Tính sin, với  góc tạo đường thẳng BD mặt phẳng

SBC

Lời giải

A B

C D

'

D

'

A B'

'

C

z

x

CH

INH

P

HỤC OLYMPI

C TOÁN

Đặt hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi đó, ta có A0; 0; 0, B a ; 0; 0, D0;a 3; 0, S0; 0;a Ta có BD  a a; 3; 0 a 1; 3; 0, nên đường thẳng BD có véc-tơ phương

 1; 3; 0

u 

Ta có SBa; 0;a, BC0;a 3; 0SB BC, a2 3; 0;a2 3 a2 1; 0;1  Như vậy, mặt phẳng SBCcó véc-tơ pháp tuyến n1; 0;1

Do đó,  góc tạo đường thẳng BD mặt phẳng SBC

 

 2 2 2 2 2

1 3.0 0.1

2

sin

4

1 3 0 1 0 1

u n u n

  

   

    

Câu 11

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy Góc SC mặt đáy 45 Gọi E trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường

thẳng DE SC

Lời giải

Ta đưa cách giải sau:

Do SAC tam giác vuông có góc SCA45 nên SAACa 2, SC2a, SBSDa

A

B C

D y

x

z

TẠP

CHÍ

VÀ

TƯ

LIỆ

U TO

ÁN HỌC

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho tia Ox, Oy, Oz trùng với tia AB, AD, AS Khi toạ độ điểm điểm D0; ; 0a , ; ;

2

a E a 

 , C a a ; ; 0, S0; 0;a 2

; ;

2

a

DEa  

 , SC   a; a a; 2, DCa; 0; 0

Suy

2

2

2

; ; 2;

2

a a

DE SC  a 

      

     

; 38

;

19 ;

DE SC DC a d DE SC

DE SC

 

 

  

 

 

Câu 12

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 10 Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng ABCD SC10 Gọi M, N trung điểm SA CD Tính khoảng cách d BD MN

Lời giải

A

B C

D y

x

z

S

M

N

A B

C D

E M

S

y

z

CH

INH

P

HỤC OLYMPI

C TOÁN

Xét tam giác vng SAC có : SA SC2AC2  500 200 10 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ

Ta cóA0; 0; 0, M0; 0;5 3, B10; 0; 0, D0;10; 0, C10; 0; 0, N5;10; 0

   

   

   

 

1

1 2

1 2

5;10; 1; 2;

,

10;10; 1;1; ,

,

; 3; 3;3 , 5; 0;

MN u

u u ND

BD u d MN BD

u u

u u ND

    

 

 

       

 

 

    

    

 

Câu 13

Cho lăng trụ tứ giác ABCD A B C D 1 1 1 1 cạnh đáy chiều cao x Tìm x để góc tạo đường thẳng B D1 B D C1  đạt giá trị lớn

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho OD1, C1 thuộc tia Ox, A1 thuộc tia Oy, D thuộc tia Oz

(như hình vẽ)

Khi D10; 0; , B11; 1; , D0; 0;x,C1; 0;x

Mặt phẳng B D C1  nhận véctơ nD B D C1 1, x; x; 1 véctơ pháp tuyến

Đường thẳng B D1 nhận véctơ u1; 1;x véctơ phương Gọi  góc B D1 B D C1 1 , suy ra:

 2

2 2

sin

1 1

x x x

x x x

   

       

2

x x x



  (Do x0)

1

1

2x x

x x



    

  

  

2

1

2 x

x



  

 

 

2

1

2.2 x

x

 



Dấu đẳng thức xảy x1

Góc  lớn sin lớn nhất x

A

B C

D

1

A

1

B C1

1

D y

TẠP

CHÍ

VÀ

TƯ

LIỆ

U TO

ÁN HỌC

Vậy góc tạo đường thẳng B D1 B D C1  đạt giá trị lớn x1 Câu 14

Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Gọi K trung điểm DD ' Tính khoảng cách hai đường thẳng CK A D'

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyzsao cho A' 0; 0; 0; ; D a' ; 0; 0; A0; 0;a C a a a ; ; ; ; 0;

a K a 

 

Khi đó: A D a'  ; 0;a 0; ;

a

CK  a 

 , A C a a a'  ; ; 

Ta có:  

' , ' , '

3 ' ,

A D CK A C a d CK A D

A D CK

 

 

 

 

 

Câu 15

Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành, AB3 ,a AD4 ,a BAD120 Đường thẳng

SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA2a Tính góc hai mặt phẳng SBC SCD

Lời giải

Chọn hệ toạ độ Oxyz sau: OzAS Oy;  AD Ox; AE (E hình chiếu A lên cạnh

BC)

Khi đó: 0;0;0 ; 3 ; ;0 ; 3 ;5 ;0 ; 0; ;0 ; 0;0; 

2 2

a a a a

A B   C  D a S a

   

Do đó: 3 ; ; ; 3 ;5 ; ; 0; ;  ; 0;0; 

2 2

a a a a

SB   a SC  a SD a  a S a

   

Ta tính vectơ pháp tuyến (SBC)là n4; 0;3 SCDlà n'1; 3; 2

A D

C B

y

x

S

z

CH

INH

P

HỤC OLYMPI

C TOÁN

Vậy cos ; '

2

n n  Vậy góc SBCvà SCDlà 450

Câu 16

Trong khơng gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D có A trùng với gốc O,

 ; 0; , 0; ; , ' 0; 0;  , 0, 0

B a D a A b a b Gọi M trung điểm cạnh CC’

a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M

b) Xác định tỷ số a

b để mặt phẳng A BD'   MBD

Lời giải

Từ giả thiết ta có:  ; ; , ' ; ;  ; ;

2

b C a a C a a b M a a 

 

Nên  ; ; , 0; ; , '  ; 0; 

b

BD a a BM  a  BA  a b

 

2

, ; ;

2

ab ab BD BM  a 

         Do ' , ' BDA M a b

V  BD BM BA 

Mặt phẳng (BDM) có vecto pháp tuyến

1 , ; ;

2

ab ab

n BD BM a 

  

Mặt phẳng (A’BD) có vecto pháp tuyến  2

2 , ; ;

n BD BM ab ab a

Do    

2 2

' 0

2

a b a b

BDM  A BD n n    a  a b a

b

   

Câu 17

Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD Chứng minh đường thẳng qua G đỉnh tứ diện qua trọng tâm mặt đối diện với đỉnh Gọi A’ trọng tâm tam giác BCD Chứng

minh

'

GA GA 

Lời giải

Ta giải phương pháp tọa độ Trong không gian tọa độ Oxyz

Giả sử A x y z 1; 1; 1 ,B x y z2; 2; 2 ,C x y z3; 3; 3 ,D x y z4; 4; 4 trọng tâm A’ tam giác BCD,

trọng tâm tứ diện G có tọa độ

2 4

1 4

' ; ;

3 3

; ;

4 4

x x x y y y z z z A

x x x x y y y y z z z z G                                  Do

1 4

1 4

3 3

; ;

4 4

3 3

; ;

12 12 12

x x x x y y y y z z z z GA

x x x x y y y y z z z z GA                                       

Suy ra: GA 3GA'G A A, , ' thẳng hàng '

GA GA 

TẠP

CHÍ

VÀ

TƯ

LIỆ

U TO

ÁN HỌC

Câu 18

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Gọi I, J trung điểm A’D’ B’B

a) Chứng minh IJAC' Tính độ dài đoạn IJ

b) Chứng minh D B' mp A C D mp ACB ' ' ,  ' Tính góc hai đường thẳng IJ A D, '

Lời giải

a) Chọn hệ tọa độ Oxyz choA0; 0; , D a; 0; , B 0; ; ,a  A' 0; 0;a

Ta có C a a a' ; ;  ,B' 0; ; ,a  D a' ; 0;a nên ; 0; ; 0; ;

2

a a

I a  J a 

   

Ta có ; 0; ; ;

2 2

a a a a

IJ   a a    a  

    , AC'a0;a0;a0  a a a; ; 

Nên 2

IJ '

2

a a

AC   aa a a  a a 

Vậy IJ AC' Đoạn

2

2

2 2

a a a

IJ    a    

   

b) Để chứng minh D B' mp A C D ' ' , ta chứng minh

' ' ', ' ' ' ' ' 0, ' '

D BA C D BA DD B A C  D B A D

Ta có D B'   a a; ;a,A C' 'a a; ; , A D' a; 0;a

Do D B A C' ' '0,D B A D' ' 0 Tương tự D B' mp ACB '

  ' ; 0;

A D a a Gọi  góc hai đường thẳng IJ A’D thì:

  '  

2

cos cos , '

'

2

a a

a a a

IJ A D IJ A D

IJ A D a

a

   

    

Vậy  90o

A B

C D

'

A B'

'

C

'

D I

J

y

x

CH

INH

P

HỤC OLYMPI

C TỐN

Câu 19

Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1 cạnh a, BC1 lấy điểm M cho D M DA AB1 , 1, đồng

phẳng Tính diện tích S MAB1

Lời giải

Chọn hệ Oxyz sao cho

             

1 1

0, ; 0; , ; ; , 0; ; , 0; 0; , ; 0; , ; ; , 0; ;

B B a C a a C a A a A a a D a a a D a a

Vì MBC1 nên gọi M x x ; ; 0

Ta có D M1 x a x a ;  ; a,DA1  a a; ; , AB1a; 0;a

Vì D M DA AB1 , 1, 1đồng phẳng nên 1 , 1 1 3 ;3 ;

2 2

a a a

D M DA AB x M 

       

   

Nên ; ; ; 1 ; ;

2 2

a a a a

MA   a MB    

   

Vậy

2

1 19

,

2

a

S MA MB 

Câu 20

Lăng trụ tứ giác ABCD A B C D 1 1có chiều cao nửa cạnh đáy Điểm M thay đổi cạnh

AB Tìm giá trị lớn góc A MC1

Lời giải

A

B

C D

1

B

1

C

1

A

1

D

x

y

TẠP

CHÍ

VÀ

TƯ

LIỆ

U TO

ÁN HỌC

Chọn hệ trục hình vẽ A xyz1  Đặt AM x, 0 x

Ta có: M x ; 0;a ,A1 0; 0; , C1 2; 2; 2

Nên MA'  x; 0; ,  MC1'2x; 2; 1  Đặt  A MC1 1 cos cosMA MC1, 1

 

   

2

2

2

1

2

0

1 5

x x x

x x x x



 

  

     

Do  90 o Vậy góc   A MC1 1 lớn x1 tức M trung điểm AB

Câu 20

Cho hình chóp S.ABC có đường cao SAh, đáy tam giác ABC vuông C ACb BC, a

Gọi M trung điểm AC N điểm cho

3

SN  SB a) Tính độ dài đoạn thẳng MN

b) Tìm liên hệ a, b, h để MN vng góc với SB

Lời giải

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với A, tia Ox trùng với tia AC, tia Oz trùng với tia AS cho điểm B nằm góc xOy.

A M C

x

S

z

N

y

B A

B C

D

1

B

1

C

1

A D1

x

z

CH

INH

P

HỤC OLYMPI

C TỐN

Khi 0; 0; ,  ; 0; ,  ; ; , 0; 0; , ; 0;

b A C b B b a S h M 

 , SBb a; ;h

Gọi N x y z ; ; thì SN x y z; ; h

Từ điều kiện

3

SN  SB nên ; , ; ;2

3 3 3 3

b a h h b a h

x y z h   z  N 

 

a) Ta có ; ;2 ; ;2

3 3 3

b b a h b a h MN      

   

Nên

2 2

2 2

4

4 16

36 9

b a h

MN    b  a  h

b) MN vng góc với SB MN SB 0

2 2

2 2

2

0

6 3

b a h

h a b

 

      

Câu 22

Cho tứ diện S.ABC có SCCAABa 2,SCABC , tam giác ABC vuông A Các điểm

,

MSA NBC cho AM CN t0 t 2a a) Tính độ dài đoạn MN Tìm giá trị t để MN ngắn

b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vng góc chung BC SA

Lời giải

a) Ta chọn trục Oxyz cho gốc tọa độ OA Trục Ox chứa AC, trục Oy chứa AB trục

 

Oz ABC Khi cạnh SC song song với rục Oz ta có:

0; 0; , 0; 2; ,  2; 0; ,  2; 0; 2

A B a C a S a a

Ta có 2; 0; ; 2; 2;

2 2

t t t t

M  N a  

   

  2 2

2 2 2

2

2 3

t t a a a

MN a at t t at a t 

              

 

S

A B y

C

x

z

M

TẠP

CHÍ

VÀ

TƯ

LIỆ

U TO

ÁN HỌC

Vậy MN ngắn

3

a

khi

3

a t

b) Khi MN ngắn thì: 2;0; , 2; 2;0

3 3

a a a a

M  N 

   

2 2

; ;

3 3

a a a

MN  

   

 

Ta có

MN SA MN BC

 

 



 - điều phải chứng minh!

Câu 22

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc  Tìm tan để SA vng góc SC

Lời giải

Chọn hệ trục Oxyz có O tâm đáy ABCD, tia Ox chứa A, tia Oy chứa B, tia Oz chứa S Ta có:

2 2

;0;0 , 0; ;0 , ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; tan

2 2 2

a a a a a

A  B  C  D    S 

  

       

Nên 2;0; tan , 0; 2; tan

2 2

a a a a

SA   SB  

   

2

; 0; tan , 0; ; tan

2 2

a a a a

SC    SD   

   

Ta có SASC

2 2

2

tan tan

2 2

a a a

SA SC  

           

 

2

tan tan

     

S

C

D A

B

x

y

z

CH

INH

P

HỤC OLYMPI

C TOÁN

Câu 23

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N,P điểm chia đoạn thẳng AB, D’D B’C’ theo tỉ số k 0,1 Chứng minh mp MNP  luôn song song với

 ' '

mp AB D

Lời giải

Đặt A B' 'a A D, ' 'b, AA 'c Ta dùng phương pháp tọa độbằng cách chọn hệ trục tọa độ với gốc là: A'(0; 0; 0) cho B a' ; 0; , D' 0; ; , b  A 0; 0;c

Ta có C a b' ; ; , B a; 0;c ,D 0; ;b c C a b c , ; ;  Các điểm M,N,P chia đoạn thẳng AB, D’D,

B’C’ theo tỉ số k nên ; 0; , 0; ; , ; ;

1 1

ka kc kb

M c N b P a

k k k

 

     

        

     

Do ; ; , ; ;

1

ka kc

MN b c NP a b

k c k a k k



   

    

   

   

Ta có

     

2 2

2 2

1 1

, ; ;

1 1

k k k k k k

MN NP bc ca ab

k k k

        

    

      

 

Nên mp MNP  có vecto pháp tuyến nbc ca ab; ;  Mặt phẳng AB D' ' có phương trình x y z

a  b c có vecto pháp tuyến

1 1 ; ;

n

a b c

 

  

Vì

1 1

bc ca ab abc

a b c

   M N P, , AB D' ' k  nên: mp MNP  mp AB D ' '

Câu 24

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a chiều cao h Gọi I trung điểm cạnh bên SC Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng AIB

Lời giải

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ tâm O đáy, trục Ox chứa OA, trục Oy chứa

OB, trục Oz chứa SO Khi 2;0;0 , 0; 2;0 , 2;0;0 , 0;0; 

2 2

a a a

A  B  C  S h

     

x A B

y C D M

S

I

z

TẠP

CHÍ

VÀ

TƯ

LIỆ

U TO

ÁN HỌC

Ta có giao điểm M SO AI trọng tâm tam giác SAC nên 0; 0;

3

h

M 

  Mặt phẳng qua A,

B, MI mặt phẳng ABM nên có phương trình là:

2

2

2

x y z h a  a  

Do khoảng cách từ S tới mặt phẳng ABM là:

2

2 2

2

2 9

ah d

h a a a h

 



 

Câu 25

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABa AD, a 2,SAa, SA vng góc

ABCD Gọi M, N trung điểm AD, SC, gọi I giao điểm BM AC Chứng minh

SAC  SBM tính thể tích khối ANIB

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ S0; 0;a ,A 0; 0; , B a; 0; , C a a ; 2; 0

Thì 0; 2;0 , 0; 2;0 , ; 2;

2 2

a a a a

D a M  N 

   

Vì

2

IA IM AM IC  IB  BC 

1

IA AC

  ; 2;0 , ; 2;0 ,  ;0; 

3

a a a

I  BM a  BS a a

     

   

Mặt phẳng SMB có vecto pháp tuyến

2

2

2

, ; ;

2

a a

n BM BA   a 

 

Mặt phẳng SCA có vecto pháp tuyến n2 AS,AC  a2 2;a2; 0

Vì n n1 2 0 nên mặt phẳng SAC , SMB vng góc

S

A

B C

D y

x

I

CH

INH

P

HỤC OLYMPI

C TỐN

Ta có  

2

, ; ; , ; 0;

6

a a

AI AN   AB a

     

    ,  

3

1

,

6 36

ANIB

a

V  AI AN AB  dvtt

Câu 25

Cho tứ diện  T có đỉnh có tọa độ x y zi; i; i với 1 i , nội tiếp mặt cầu đơn

vị Chứng minh: 4

1 1

4

i i i

i i i

x y z

  

  

  

4 4

1 1

0

i i i i i i

i i i

x y y z z x

  

  

  

Lời giải

Ta kiểm tra kết luận cho trường hợp tứ diện A B C Do o o o có đỉnh

 

0 0

2 2 6

0;0;1 , ;0; , ; ; , ; ;

3 3 3 3

A B    C    D    

     

Bây ta chứng minh khẳng định cho tứ diện ABCD có đỉnh x y zi; ;i i Đầu

tiên, ta quay  T quanh trục z đỉnh nằm mặt phẳng Oyz Tiếp theo,

ta quay quanh trục Ox đỉnh trùng với điểm A00; 0;1 Sau đó, lại quanh quanh

trục Oz  T trùng với tứ diện A B C D0 0 0 0đã nói có điều phải chứng minh!

Câu 26

Cho hình chóp S ABC có đáyABClà tam giác vng B,ABa BC; 2a SA vng góc với

AB, SC vng góc với BC góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 600 Tính thể

tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

Lời giải

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi

0; 0; 0

B , A a ; 0; 0, C0; ; 0a , S x y z ; ; , với x y z, , 0.ABC  Oxy:z0

Ta có SAa  x; y; z,AB  a; 0; 0

 

0

SA ABSA AB  a ax   x a A

B C

S

I

z

x

TẠP

CHÍ

VÀ

TƯ

LIỆ

U TO

ÁN HỌC

Ta có SC  x; 2a y; z, BC0; ; 0a 

 

2

SCBCSC BC  a ay   y a

Suy S a ; ;a z

Đường thẳng SCcó véc-tơ phương CS a; 0;z Mặt phẳng (ABC) có véc-tơ pháp tuyến k 0; 0;1 Theo đề bài, góc SCvà mpABC 600 nên

 

2

2

3

sin 60 3 ; ;

2

SC k z

z a z a S a a a SC k a z

       



Gọi I trung điểm SB Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

Ta có 1 2

4

2

R SB a  a  a  a Vậy thể tích khối cầu

3

4

3

a

V  R  

Câu 27

Cho hình lăng trụ ABC A B C    có A ABC tứ diện cạnh a Gọi M , N trung điểm AA BB Tính tan góc hai mặt phẳng ABC CMN

Lời giải

Gọi O trung điểm AB Chuẩn hóa chọn hệ trục tọa độ cho O0; 0; 0,

; 0;

A 

 ,

1 ; 0;

B 

 ,

3

0; ;

2

C 

 ,

3

0; ;

6

H 

 ,

6

a

A H  0; 3;

6

A 

  

 

O B

A

C M

H

'

A

'

B C'

N

z

x

CH

INH

P

HỤC OLYMPI

C TỐN

Ta có ABA B  1; 3;

6

B 

  

  Dễ thấy ABC có vtpt n10; 0;1

Ta có M trung điểm AA 1; 3;

4 12

M 

  

 , N trung điểm BB

 3; 3;

4 12

N 

  

 

 1; 0; 0

MN   , 1; 3;

4 12

CM    

 CMN có vtpt

6

0; ;

6 12

n   

   

3

0; 2;5 12



cos 

33

1

tan

cos

   



2



Câu 28

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I , cạnh a, góc BAD600,

3

a

SASBSD Gọi góc đường thẳng SD mặt phẳng (SBC) Tính sin

Lời giải

Tam giác ABD ABADvà BAD600 Do SASBSD nên S nằm trục ABD

Gọi O tâm tam giác ABD, SO(ABD)

Ta có 2 15

a SO SA AO 

Gắn hệ tọa độ cho 0;0;0 , 0; 3;0 , 0;0; 15

3

O B    S 

   

Suy 1; 3; , 1; 3;

2

D   C 

   

Vậy 1;0;0 , 0; 3; 15

3

BC BS  

 

A

B C

D

x z

TẠP

CHÍ

VÀ

TƯ

LIỆ

U TO

ÁN HỌC

Vectơ pháp tuyến (SBC): , 0; 15;

6

nBC BS   

 

Chọn vectơ pháp tuyến n2 0; 15; 3, 1; 3; 15 13; 3; 15 

2 6

SD     

 

 

  5

sin ,

3 27 27

SD SBC  

  

Câu 29

Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Gọi M N, trung điểm AC B C 

Khoảng cách hai đường thẳng MN B D  ?

Lời giải

Đưa hình lập phương vào hệ trục tọa độ Oxyz cho

              ' 0; 0; , ' ; 0; , ' 0; ; , ' ; ; , 0; 0; , 0; ; , ; 0;

B C a A a D a a B a A a a C a a Ta có

 ; ; , ; 0; 0; ; 0;1; 2 10;1; 2

2 2 2

a a a a a

M a N MN  a  u

      VTCP MN

 B D a a' ' ; ; 0a1;1; 0u2là VTCP B D 

  2

; '

; ' '

3 ;

u u B N a d MN B D

u u

 

 

  

 

 

Câu 30

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ABCD Gọi G trọng tâm tam giác SAB

và M , N trung điểm SC, SD Tính cơsin góc hai mặt phẳng GMN

ABCD

Lời giải

A

B C

D

'

A

'

B C'

'

CH

INH

P

HỤC OLYMPI

C TOÁN

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, xem a đơn vị

Ta có: 0; 0;

2

S 

 ;

3 0; 0;

6

G 

 ;

1 ;1;

C 

 ;

1 ;1;

D 

 

1

; ;

4

M 

 ;

1

; ;

4

N 

 

Và 1; ;

4 12

GM   

 ;

1 ; 0;

NM   

  

3

, 0; ;

24

GM NM  

    

   

Khi đó: nGMN (0; 3; 6) nABCD  k (0; 0;1)

Ta có:        

   

6 2 39

cos ,

13 39.1

GMN ABCD

GMN ABCD

n n GMN ABCD

n n



  

Câu 31

Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có cạnh đáy a M N, hai điểm thỏa mãn

2 '

MB MB  ; NB'3NC' Biết hai mặt phẳng MCA NAB vng góc với Tính thể tích hình lăng trụ

Lời giải

z

A

B C

O

x

y M

'

B C' N

'

A A

H

B C

D N

M G

S

z

x

TẠP

CHÍ

VÀ

TƯ

LIỆ

U TO

ÁN HỌC

Gọ O trung điểm BC BB'm Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ đơn vị a

Ta có: 3;0;0 ; 0; 1;0 ; 0; ;0 ;1 0; 2; ; 0;1; 

2 2

m

A  B   C  M   N m

     

 

Vậy 3; 1; ; 1; ;

3 2

m

CA   MA  

   

3

; ;

3

m m

CA MA  

    

  VTPT MCA

Và 1; ;0 ; 3; 1;

2 2

BA  NA  m

   

3 3

; ;

2

m m

BA NA  

    

  VTPT NAB

Theo ra: MCA  NAB    

2

9

0

6

MCA MAB

m m

n n m

        

Vậy '

4

BB  a ' ' ' 2.3

4 16

ABC A B C

V a a

  

Câu 32

Cho hình chóp S ABC có SASBSC3, tam giác ABC vuông cân B AC2 Gọi

,

M N trung điểm AC BC Trên hai cạnh SA, SB lấy điểm P, Q tương ứng cho SP1, SQ2 Tính thể tích V tứ diện MNPQ

Lời giải

Ta có ABBC2; SM 

Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ

Ta có B0; 0; , A 2; 0; , C 0; 2; , N 0;1; , M 1;1; , S1;1; 7

1 2

; ;

3 3

SP SA P 

 ;

1 1

; ;

3 3

BQ BS Q 

 

Ta có 1; 0; , 1; 2; , 4; 7;

3 3 3

NM  NQ   NP  

   

7

; 0; ;

3

NM NQ  

 

     

 

A

M

C N

B Q S

P

x

y

CH

INH

P

HỤC OLYMPI

C TOÁN

Suy ; 7

6 9 18

MNPQ

V  NM NQ NP   

Câu 33

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với đáy Tính độ dài cạnh SA để góc tạo SBC SCD 600

Lời giải

Chọn hệ tọa độ hình vẽ, M trung điểm SC, đặt SA2m m 0

Khi ; 0; , ; 0; , 0; ; , 0; 0; 

2 2

a a a

B  D  C  M m

     

Ta có  :

2

x y z SBC

a  a m  SBC 1;1; 2

a n

m

 

   

 

Phương trình mặt phẳng  :

2

x y z SDC

a  a m



1;1;

SDC

a n

m

 

   

 

Yêu cầu toán tương đương với      

, 60 cos ,

2

SBC SDC SBC SDC   n n 

2

2

2

2 1

2

2

1

2

a

m a

m a m

a m

 

 

   

      

 

 

   

Câu 34

Cho hình chóp SABC có đáy tam giác vuông A, AB2 ,a AC 2a Tam giác SABđều

nằm mặt phẳng vuông với đáy Gọi M điểm đoạn :

4

BC BM  BC Cosin góc tạo

SAC & SAM ?

Lời giải

Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ; khơng tính tổng qt, giả sử a1

O

A B

C D

S

M

x

y

TẠP

CHÍ

VÀ

TƯ

LIỆ

U TO

ÁN HỌC

Khi 0; 0; ,  1; 0; , 1; 0; ,  1; 3; , 1; 3;

2

S A  B C  M 

 

  3 3 3

1;0; ; ; ; , ; ;

2 2 2

SA SM  SA SM  

         

   

Chọn VTPT SAM n1 3; 3; 1  

Ta có SC1; 3; 3SA SC, 6; 0; 3 , chọn VTPT SAC n2 3; 0; 1 

Vậy cơsin góc  hai mp cos

2 13 13

 

  

Câu 35

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh SA vng góc với mặt đáy

2

SA a Gọi M trung điểm SC Tính cơsin góc  đường thẳng BM mặt phẳng

ABC.

Lời giải

A

B

C S

M

H

x

y

z

S

O

A

C

B M

x y

CH

INH

P

HỤC OLYMPI

C TOÁN

Gọi H trung điểm AC MH SA// MH ABC

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ.Khi 0;0;0 , 0;0; , 3;0;0

2

a

H M a B 

 

 

3

;0; , 0;0;

2

a

BM  a HM a

   

 

Giả sử góc BM mặt phẳng (ABC)  ta có :

2 7 21

sin cos

7

BM HM BM HM

     

Câu 36

Cho hình vng ABCD cạnh a Trên hai tia Bx Dy, vng góc với mặt phẳng ABCD

chiều lấy hai điểm M, N cho ;

4

a

BM  DN 2a Tính góc  hai mặt phẳng

AMN CMN

Lời giải

Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ:

Ta có: B0; 0; 0, A0; ; 0a , C a ; 0; 0, 0; 0;

a M 

 , N a a ; ; 2a

Ta có 0; ;

4

a AM  a 

 , AN 0; 0; 2a

2

2

, ; ;

4

a

AM AN  a a 

 

   

   vectơ pháp tuyến mpAMN

; 0;

a CM   a 

 , CN 0; ; 2a a

2

2

, ; ;

4

a

CM CN  a a 

 

   

   vectơ pháp tuyến mpCMN

A

B C

D

x

y M

N

TẠP

CHÍ

VÀ

TƯ

LIỆ

U TO

ÁN HỌC

Do

4 4

4

4 4

2

cos

4

16 16

a a a

a a

a a a a



 

 

   

90



  

Câu 37

Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AC2a, tam giác SAB tam giác SCB vuông A, C Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC 2a Cơsin

góc hai mặt phẳng SAB SCB ?

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ cho B0; 0; 0, A a 2; 0; 0, C0;a 2; 0, S x y z ; ;  Ta có ABC:z0, ASx a 2; ;y z, CS x y; a 2;z

Do AS AB 0 x a 2a 20 x a 2, d S ,ABC2a z 2a z0

CS CB ya 2a 0 y a S a 2;a 2; 2a

Ta có AS 0;a 2; 2a, CS a 2; 0; 2a, BS a 2;a 2; 2a

SBC có vtpt n  2; 0;1, SAB có vtpt m0; 2; 1 cos

3



3



Câu 38

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng có độ dài đường chéo a SA

vng góc với mặt phẳng ABCD Gọi  góc hai mặt phẳng SBD ABCD Nếu

tan  góc hai mặt phẳng SAC SBC ?

Lời giải

A

B

CH

INH

P

HỤC OLYMPI

C TỐN

Gọi I  ACBD

Hình vng ABCD có độ dài đường chéo a suy hình vng có cạnh a

Ta có

SBD ABCD BD SI BD

AI BD

 



 



 



   

 SBD ; ABCD  SI AI;  SIA

  

Ta có tan tanSIA SA SA a

AI

    

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Ta có A0;0;0, B a ;0;0, C a a ; ;0, S0;0;a Khi SA0;0;a; SCa a; ;a; SBa;0;a

Mặt phẳng SAC có vectơ pháp tuyến n1   1;1;0

Mặt phẳng SBC có vectơ pháp tuyến n2 1;0;1

Suy    

1

cos ;

n n

SAC SBC

n n

 1

2 2

  SAC ; SBC60

Câu 39

Cho hình lập phương ABCD A B C D     có tâm O Gọi I tâm hình vng A B C D    M điểm thuộc đường thẳng OI cho MO2MI(tham khảo hình vẽ) Khi sin góc tạo hai mặt phẳng MC D  MAB ?

Lời giải

Không giảm tính tổng qt, ta giả sử cạnh hình lập phương Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ, cho gốc tọa độ trùng với điểm B Khi đó, C6; 0; 0, D6; 6; 0, M3;3;1, A0; 6; 6, B0; 0; 6

3; 3; 1

MC   , MD 3;3; 1 

A

I

B C

D y

x

S

TẠP

CHÍ

VÀ

TƯ

LIỆ

U TO

ÁN HỌC

Suy vectơ pháp tuyến MC D  n1 MC MD, 6; 0;186 1; 0;3 

 3;3;5

MA  , MB   3; 3;5

Suy vectơ pháp tuyến MAB n1 MA MB, 30; 0;186 5; 0;3  Gọi  góc hai mặt phẳng MC D  MAB, ta có

1

1

14

cos

340

n n

n n

 

 85

sin cos

85

     

Câu 40

Cho hình lập phương ABCD A B C D     có độ dài cạnh Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AB, BC, C D  DD Tính thể tích khối tứ diện MNPQ

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho:

D O Ox D A Oy D C Oz D D

  

   



   



  



Khi A1; 0;1, B1;1;1, C0;1;1, D0; 0;1, A1; 0; 0, B 1;1; 0 , C0;1; 0

1; ;1

M 

 ,

1 ;1;1

N 

 ,

1 0; ;

2

P 

 ,

1 Q 0; 0;

2

 

 

 

Ta có: MN1 1; ; 0

 ,

1

1; ;

MP  

 ,

1

1; ;

MQ   

 

A

B

C D

'

A

'

B C'

'

D

z

M N

P Q

x

y A

B C

D

'

A

'

B C'

'

D

x

y

z

O

M

CH

INH

P

HỤC OLYMPI

C TOÁN

1 1

,

4 8

MN MP MQ

     

  ,

6 24

MNPQ

V MN MP MQ

    

Câu 41

Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Gọi K trung điểm DD Tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng CK A D

Lời giải

Gọi M trung điểm BB Ta có: CK // A M CK //A MD  Khi d CK A D ,  d CK ,A MD d C A MD ,  

Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ:

Ta có: A0; 0; 0,B a ; 0; 0,D0; ; 0a ,A0; 0;a,B a ; 0;a,C a a ; ; 0, ; 0;

a M a 

 

; 0;

a A M a  

 , A D 0; ;a a,

2

2

, ; ;

2

a

A M A D  a a 

     

   

Vậy mặt phẳng A MD  nhận n1; 2; 2 làm vectơ pháp tuyến Phương trình A MD  x2y2z2a0

Do đó:  ,  2

3

a a a a

d C A DM    

Câu 42

Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Lấy điểm M thuộc đoạn AD, điểm N

thuộc đoạn BD cho AM DN x,

2

a x

 

 

 

 

  Tìm x theo a để đoạn MN ngắn

Lời giải

A

B C

D

'

A

'

B C'

'

D

x

y

z

M

TẠP

CHÍ

VÀ

TƯ

LIỆ

U TO

ÁN HỌC

Chọn hệ trục tọa độ Oxyzsao cho OA, A D  Ox, A B  Oy, A A Oz

0; 0; 0

A , D a ; 0; 0, B0; ; 0a , A0; 0;a, D a ; 0;a, B0; ;a a, C a a ; ; 0, C a a a ; ; 

; 0;

2

x a x

M  

  ,

2

; ;

2

a x x

N  a

 

 2 2 2

2 2 2

2 2

2

x x a a

MN x a x ax a x ax 

            

 

2

2

3

3

a a MN x 

     

  Vậy MN ngắn

2

a x

 

Câu 43

Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có ABACa, góc BAC120, AA a Gọi M , N trung điểm B C  CC Số đo góc mặt phẳngAMN mặt phẳng ABC

bằng ?

Lời giải

A

B

C N

'

C

M

'

B

'

A

y

x

z

H

A B

C D

'

A B'

'

C

'

D

x

y

z

M

CH

INH

P

HỤC OLYMPI

C TOÁN

Gọi H trung điểm BC, BCa 3,

2

a AH  Chọn hệ trục tọa độ H0; 0; 0, ; 0;

2

a A 

 ,

3 0; ;

2

a B 

 ,

3

0; ;

2

a C  

 ,

0; 0; 

M a , 0; 3;

2

a a N  

  Gọi  góc mặt phẳngAMN mặt phẳng ABC

AMN có vtpt n AM AN,  3; 1;

2 4

  

  

 

ABC có vtpt HM 0; 0;1, từ

cos

n HM n HM



3 1.1



4



Câu 44

Trong không gian Oxyz, cho điểm A, B, C (không trùng O) thay đổi trục Ox, Oy, Oz thỏa mãn điều kiện: tỉ số diện tích tam giác ABC thể tích khối tứ

diện OABC

2 Biết mặt phẳng ABC tiếp xúc với mặt cầu cố định, bán kính

của mặt cầu ?

Lời giải

Ta có

 

 

1

,

3

ABC ABC

OABC

ABC

S S

V  S d O ABC   

3 ,

d O ABC 

Mà

2 ABC OABC

S

V  nên d O ABC , 2

Vậy mặt phẳng ABC tiếp xúc mặt cầu tâm O, bán kính R2

O

A

B C

z

x

TẠP

CHÍ

VÀ

TƯ

LIỆ

U TO

ÁN HỌC

Câu 45

Cho hình lập phương a1 có cạnh a1 Một đường thẳng d qua đỉnh D tâm I mặt bên BCC B  Hai điểm M , N thay đổi thuộc mặt phẳng BCC B  ABCD

sao cho trung điểm K MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ) Giá trị bé độ dài đoạn thẳng MN ?

Lời giải

Cho a1

Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ

0; 0; 0

A , D1; 0;1, B0;1; 0, C1;1;1

I trung điểm BC  1;1;1

2

I 

   

1 1

;1; 1; 2;1

2 2

D I      

 

Đường thẳng D I qua D1; 0;1, có VTCP u1; 2;1 là :  

1

x t y t t z t

  

   

    

Mặt phẳng ABCD: z0 Mặt phẳng BCC B :y1

Ta có MBCC B M m ;1;n, KD I K1 t; ;1t t K trung điểm MN N2t   m 2; 4t 1; 2t n 2

A B

C D

'

A B'

'

C

'

D

N

K

M

d

A B

C D

'

A B'

'

C

'

D

N

K

M

d

x

y

CH

INH

P

HỤC OLYMPI

C TOÁN

 

N ABCD 2 2 N

n

z t n t 

        N n m  ;3 ; 0 n 

 ; 2 ; 

MN  n m  n n MN2 n2m 2 2 n2n2 n2m25n28n4  2 4

2

5 5

n m n 

       

 

2 5

MN

 

Dấu xảy

5

b

5

a

Câu 46

Hai bóng hình cầu có kích thước khác đặt hai góc nhà hình hộp chữ nhật cho bóng tiếp xúc với hai tường nhà Biết bề mặt bóng tồn điểm có khoảng cách đến hai tường nhà mà tiếp xúc 1; 2; Tổng độ dài đường kính hai bóng bao nhiêu?

Lời giải

Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ Mỗi bóng xem mặt cầu tâm I a b c ; ; 

Vì bóng tiếp xúc với hai tường nhà nên chúng tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ d I ,xOyd I ,yOzd I ,zOxR    a b c I a a a ; ;  Gọi M x y z ; ;  điểm nằm bóng có khoảng cách đến hai tường nhà mà tiếp xúc 1; 2; M1; 2; 4

M nằm bóng IM d I ,xOya

  2  2 2 2

1

a a a a

        

2a 14a 21 *

   

Vì  * có biệt thức    nên có hai nghiệm phân biệt a1, a2 a1a2 7 Khi tổng đường kính hai bóng 2a1a214

Câu 47

Hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SAa Gọi M , N hình chiếu vng góc điểm A cạnh SB, SD Góc mặt phẳng AMN đường thẳng SB ?

Lời giải

O I

x

y

TẠP

CHÍ

VÀ

TƯ

LIỆ

U TO

ÁN HỌC

Ta có BCSABBC AM AM SBC AM SC Tương tự ta có

AN SC AMNSC Gọi  góc đường thẳng SB AMN

Chuẩn hóa chọn hệ trục tọa độ cho A0; 0; 0, B0;1; 0, D1; 0; 0, S0; 0; 2,

1;1; 0

C , SC1;1; 2, SB0;1; 2 Do AMNSC nên AMN có vtpt SC

sin

2

3

 o

60



 

Câu 48

Cho lăng trụ tam giác ABC A B C    có tất cạnh a.M điển thỏa mãn

1

CM   AA Cơ sin góc hai mặt phẳng A MB  ABC bao nhiêu?

Lời giải

Xét hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có tất cạnh a Gắn hệ trục hình vẽ quy

ước a1 ( đơn vị ) Gọi D giao điểm A M AC

Vì tam giác A B C   tam giác cân cạnh a nên ta suy độ dài đường trung tuyến

3

a

Suy tọa độ điểm hình vẽ

Theo giả thiết ta có

2

CM   AA  ADA CDM AD DA 2DC

CD

    

S

M

N

D A

B C

a

2

a

y

x

CH

INH

P

HỤC OLYMPI

C TOÁN

Vậy tọa độ điểm D là: 0; ;12

D 

 

Ta có mặt phẳng ABC có phương trình z 1 nABC 0; 0;1

Mặt khác mặt phẳng A MB  mặt phẳng qua ba điểm A,D B

Ta có: 0; ;12

3

A D   

 

3 ; ;1

2

A B   

   

1 3

n , ; ;

6

A BM A D A B

  

   

     

 

Vậy cơsin góc tạo hai mặt phẳng A MB  ABC là:

   

      

cos A BM' , ABC  cos nA BM ,nABC

3

3 30

10

1 10

36



  

 

x

3 , ,

2

'

B  

 

 

' 0;1;

C y

  ' 0; 0;

A

3 ; ,1 2

B 

 

0;1;1

C

0; 0;1

A

TẠ

P CHÍ VÀ TƯ

LI

ỆU TO

ÁN H

ỌC

Câu 49

Cho lăng trụ tam giác ABC A B C    có cạnh bên cạnh đáy Đường thẳng MN

MA C N ; BC đường vng góc chung A C BC Tỷ số NB

NC

Lời giải

Kết tốn khơng thay đổi ta xét lăng trụ ABC A B C    có cạnh bên cạnh đáy

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ (O trung điểm BC) Ta có: A0; 3; , 1; 0; ,

B C1; 0; , C  1; 0; , CA 1; 3; 2, BC   2; 0; 2

Do CM mCA

BN nBC

  

 

 

 nên ta có M 1 m; ; 2m m, N1 ; 0; 2 n n

 2; ; 2 

MN m n m n m

     

Đường thẳng MN đường vng góc chung A C BCnên:

.BC

MN CA MN

  

 

  

4

4

m n

m n

   



    

2 5

m n     

  

3

BN n BC

  



3

NB NC

 



Câu 50

Cho tứ diện ABCDcó AD vng góc với mặt phẳng ABC,AD3 ,a AB2a,

,AC 4 ,a BAC60 Gọi H, K hình chiếu vng góc B AC CD Đường

thẳng HK cắt đường thẳng AD E Chứng minh BE vng góc với CD tính thể tích khối tứ diện BCDE theo a

Lời giải

A

B

C

O

'

A

'

B

'

C M

N

x

y

CH

INH

P

HỤ

C OLYMPI

C TOÁN

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với Atrùng gốc tọa độ O

0; 0; , 2 ; 0; , 2 ; 3; , 0; 0;3a

A B a C a a D ,AH  AB.cos 60 a

Suy tọa độ ; 3;0

2

a a

H 

 

2 ; 3; 

DC a a  a suy u2; 3; 3 là vecto phương DC nên phương trình đường thằng DC

2

:

3

x t y t z a t

  

 

   

Vì K thuộc DC nên K2 ; ;3t t a3t

Ta có 2 ; ;3 , 13

25

a

BK t a t a t BK DC  t Vậy 26 ;26 36;

25 25 25

a a a

K 

 

Vì Ethuộc trục Aznên 0; 0;  ; 3; ; 27 ;27 36;

2 50 50 25

a a a a a

E z EH z HK 

   

Vì E H K, , thằng hàng nên EH HK, phương, suy

a

z  Vậy 0;0;

3

a

E  

 

Ta có ;0;4

3

a

EB  a 

  DC2 ; 2a a 3; 3 a nên  

4

2 0.2 3

3

a

EB DC a a a   a 

Vậy BE vng góc với CD

Câu 51

Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, BCavàABC30 Hai mặt phẳng

SAB SACcùng tạo với đáy góc 60 Biết hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABCthuộc cạnh BC Tính thể tích khối chóp S ABC theo a

Lời giải

A E

B

C K

H

2a

4a

3a D

z

y

TẠ

P CHÍ VÀ TƯ

LI

ỆU TO

ÁN H

ỌC

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với Atrùng gốc tọa độ O

   

0; 0; , ; 0; , 0; ; , ; ;

2

a a

A B  C  S x y z

 

  với x0;y0;z0,H x y ; ; 0với H hình chiếu

vng góc S lên ABC

 

1 0; 0;1

n  vecto pháp tuyến ABCvà 2 0; 3z;

2

a a

n AB AS   y

  vecto pháp

tuyến   3 ;0;

2

a a

SAB n AC AS x  z

  là vecto pháp tuyến SAC

   

  2 2 

2 2

1

cos ,

2

n n y

SAB ABC z y

n n z y

    



   

  2 2 

2

1

cos ,

2

n n x

SAC ABC z x

n n z x

    



Từ    1 , ta có x y Nên H x x ; ; 0, H thuộc BC nên 3; ; , ; ;

2 2

a a a

BC  CH x x  

 

 

cùng phương, suy

 

2

3

2

a x

x a

x a

a



  

 

thay vào  1 , ta

 

2

a

z



   

3

3

1 3

3 32 1 3 32

S ABC ABC

a a a

V  SH S   



Câu 52

Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh ABa.Gọi M, N trung điểm cạnh SB SC, Tính theo a diện tích tam giácAMN, biết mặt phẳng AMNvng góc với mặt phẳng SBC

Lời giải

Gọi O trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABC, ta có

A

B C

y

x H

CH

INH

P

HỤ

C OLYMPI

C TOÁN

3

, OB ,

2

a a a

OA OC OG

Đặt SG z Chọn hệ trục tọa độ Oxyzsao cho tia Oxchứa A, tia Oy chứa Bvà tia Oznằm đường thẳng qua Ovà song song với SG(xem hình vẽ), đó:

3 3

;0;0 , B 0; ;0 , C 0; ;0 ,S ;0; z , M ; ; z , N ; ; z

2 2 12 12

a a a a a a a a

A              

   

       

Tính 15

6

a

z Suy

2

10 16

AMN

a

S 

Câu 53

Cho hình chópS ABCD có đáy ABCDlà hình chữ nhật với ABa AD, a 2,SAavàSA vng góc với mặt phẳngABCD Gọi M, Nlần lượt trung điểm củaAD vàSC,I giao điểm

BM vàAC Chứng minh mặt phẳng SACvng góc với mặt phẳngSMB Tính thể tích khối tứ diệnANIB

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho OA, Oxchứa B, tia Oy chứa Dvà tia Ozchứa S Khi đó:

          2

0;0;0 , ;0;0 , ; 2;0 , 0; 2;0 , 0;0; , 0; ;0 , ; ;

2 2

a a a a

A B a C a a D a S a M  N 

   

     

0;0; , ;a 2;0 , 0; ; a , ;0;

2

a

AS a AC a SM   SB a a

 

Vecto pháp tuyến SAClà AS AC;     a2 2;a2; 0

Vecto pháp tuyến SMBlà

2

2

2

; ; ;0

2

a

SM SB  a 

     

   

 

Vì AS AC;   SM SB;  a4a4 0 nên SAC  SMB

Ta có IC BC IC 2IA

IA  AM     Từ tìm

2

; ;0

3

a a

I 

 

thể tích khối tứ diệnANIBlà

3

1 2

6 6 36

ANIB

a a

V  AN AI AB  

B C

D A N M

I S

z

x

TẠ

P CHÍ VÀ TƯ

LI

ỆU TO

ÁN H

ỌC

Câu 54

Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCDlà hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA M, trung điểm AE, N trung điểm củaBC Chứng minh

MN vng góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC

Lời giải

Gọi O giao điểm AC BD, Chọn hệ trục tọa độ Oxyzsao cho tia Oxchứa A, tia Oy

chứa Bvà tia Ozchứa S(xem hình vẽ) Đặt SOz,

 

2 2

; 0; , 0; ; , ; 0; , 0; ; , 0; 0; ,

2 2

2 2 2 2

; ; , ; ; , ; 0; ; ; z

4 4 2

a a a a

A B C D S z

a a a a z a z a a

N M I E

       

 

       

       

       

       



       

       

       

Có 2; 0; , 0; 2;

4 4

a z a

MN   BD  

   

Ta thấy MN BD  0 MN BD

Góc hai đường thẳng MN AC  , 

4

a

d MN AC 

Câu 55

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD bình hành, AD4a, cạnh bên hình chóp 6a Tìm cơsin góc hai mặt phẳng SBCvà SCDkhi thể tích khối chóp S ABCD lớn

Lời giải

B A

D C

N

y

x

M E

I S

z

O

CH

INH

P

HỤ

C OLYMPI

C TOÁN

Gọi O giao điểm AC BD,M, N trung điểm AB AD, từ giả thiết suy

ra SO AC SO ABCD

SO BD

 

 



 

2

6

OAOBOCOD a SO nên ABCDlà hình chữ nhật

Đặt ON x Khi

2

2 2

4

2

OA x a

SO SA OA a x

  

 

   



Thể tích khối chóp S ABCD . 2

3

S ABCD

V  AB AD SO ax a x với x0;a 2hoặc áp

dụng bất đẳng thức Caushy ta suy VS ABCD lớn xa Suy SOa

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi

 

2 ; ; , ; ; , ; ; , 0; 0;

2 2

a a a

B a   C a   D a  S a

     

Gọi  góc hai mặt phẳng SBCvà SCDthì cos

 

Câu 56

Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C 1 1 1có ABa AC, 2 ,a AA12a 5và BAC120 Gọi M trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MBMA1và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

A BM1 

Lời giải

B C

D A

M O

N y

x

z

TẠ

P CHÍ VÀ TƯ

LI

ỆU TO

ÁN H

ỌC

Kẻ AOBC Ta có

2

2

2 2

4 2 120

.sin120 21

.sin120

7

21

49

5 7

BC a a a a cos a

AB AC a AO BC AB AC AO

BC

a a

OB AB AO a

a OC BC OB

   

   

    

  

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi đó:

1

21 7 21

;0;0 , 0; ;0 , M 0; ; , ;0;

7 7

a a

A  B    a  A  a 

       

Ta có 1 21 5; 7; , 0; 7; 5

7

a a

MA  a  MB a a

 

2

1 5 1

MA MB a  a  MA MBMA MB

Phương trình mặt phẳng A BM1  là: 12 15 21

7

a

x y  z

 

Khoảng cách từ A đến A BM1 là:  ; 1 

3

a

d A A MB 

Câu 57

Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' có độ dài cạnh bên 2a đáy ABC là tam giác vuông

, ,

A ABa AC a hình chiếu vng góc đỉnh A mặt phẳng ABC trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A ABC' .và cosin góc hai đường thẳng AA'

và B C' '

Lời giải

B

A

C

2a

a

y

y

x

A

1

C

1

B

CH

INH

P

HỤ

C OLYMPI

C TOÁN

Gọi O trung điểm BC, Hlà trung điểm AB, Klà trung điểm AC OHAKlà hình chữ nhật Ta có

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2 , ,

2

' '

3

4

3

4

BC BC AB AC a OA a

OA AA OA a a a a a OH OA AH a

a a OK OA AK a

    

    

    

    

Chọn hệ trục tọa độ Oxyzsao cho tia Oxchứa H, tia Oy chứa Kvà tia Ozchứa A'(xem hình vẽ)

Khi ' 0;0; , 3; ;0 , 3; ;0 , 3; ;0

2 2 2

a a a a a a

A a A  B   C 

     

Thể tích khối chóp A ABC'

3 3

'

1 3

' ; ' '

6 2

A ABC

a a a V  A A A B A C    

 3; ; 0

BC a a Gọi là góc AA' B C' ' Khi đó:

  ' 1

',

4 '

AA BC cos AA BC

AA BC

cos   

Câu 58

Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B'C'có BC2AB AB, BC Gọi M N, trung điểm

' '

A B vàBC Khoảng cách hai đường thẳng AM B C'

a

Góc hai mặt phẳng

AB C'  BCC B' 'bằng60 Tính thể tích khối chóp MABCvà bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B ANC' theo a

Lời giải

B

A

C O

K

y

x

H

'

A

'

B C'

TẠ

P CHÍ VÀ TƯ

LI

ỆU TO

ÁN H

ỌC

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với gốc tọa độ O trùng điểm B

Đặt ABx x 0 BC2x

Ta có B0; 0; , C ; 0; ,x  A 0; ; 0x  N x; 0; 0

      

 

' 0; ; , ' 0; 0; , ' ; 0; , 0; ;

0; ; , ' ; 0; ; ' ; ;

2

x A x y y B y C x y M y

x xy

AM y B C x y AM B C xy x

 

  

 

     

       

   

Ta có AC2 ;x x; 0

  2 2 2 2  

2

; ' 2

, '

7 17

; '

4

AM B C AC x y a xy a

d AM B C

x y x y

AM B C

x y x

  

 

    

  

   

  ' 0; ;

AB  x y AC2 ;x x; 0 nên AC AB 'xy; 2xy; 2x2nên AB C' có vecto pháp tuyến ny; ; 2y x(vì ncùng phương với AC AB ') BCC B' ' có vecto pháp tuyến

0;1; 

j

   

  2  

2

1 2 11

' , ' ' 16

2

n j y

cos AB C BCC A y x y x y

n j y x

       



Thế  2 vào  1 , giải phương trình ta kết 11

a

y x2a

Vậy

3

1 16 11

'

3 11 33

MABC ABC

a a

V S AA   a a 

 

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B ANC' theo a

Phương trình mặt cầu  S ngoại tiếp khối chóp B ANC' có dạng:

  2

: 2

S x y z  a x by cz d với tâm T  a1; b; c,R a12b2c2d

Vì B A N C', , , thuộc mặt cầu  S nên tọa độ chúng thỏa mãn phương trình mặt cầu, ta có hệ:

B A

N

C

x

y

'

A C'

M

'

B

CH

INH

P

HỤ

C OLYMPI

C TOÁN

2

2

2

2

1

3

16 11

0

11 11

31

4 13

11

4 11

8

16

a a

a ac d

b a

a ab d a R a

c

a a a d

d a

a a a d

      

   

 

      

   

    

 



    

 Câu 59

Cho hình hộp đứng ABCD A B C D ' ' ' 'có đáy hình vng, tam giác A AC' vng cân, A C' a Tính thể tích khối tứ diện ABB C' ' khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BCD'theo a

Lời giải

Từ giả thiết ta tính '

2

a

AC AA 

2

a

AB

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với gốc tọa độ O trùng điểm A

Ta có: 0;0;0 , 0; ;0 , ; ;0 , ;0;0

2 2

a a a a

A B  C  D 

     

 ' 0; 0; , ' 0; ; , ' ; ; , ' ; 0;

2 2

2 2

a a a a a a a a

A   B   C   D  

       

 0; ; , ' 0; ; , ' ; ;

2 2 2

a a a a a a

AB  AB   AC  

     

 ' ; 0; ' '

2

a a

AB AB   AB AB AC

    

     

3 ' '

1

' '

6 48

ABB C

a

V AB AB  AC

    

 ;0;0 , ' 0; ; ' 0; ;

2 2 2

a a a a a

CB   CD   CB CD   

     

0; 2;1

n

  VTPT mặt phẳng BCD'nên

A B

C D

'

A B'

'

C

'

D

x

y

TẠ

P CHÍ VÀ TƯ

LI

ỆU TO

ÁN H

ỌC

    

 2

2 2.0

2

2

' : , '

2

2

a

a a

BCD y z d A BCD

 

     