Chuyên đề giải toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình ôn thi vào 10

Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736 GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN I LÝ THUYẾT Các bước giải tốn cách lập phương trình (hệ phương trình) Bước : Lập phương trình (hệ phương trình) 1) Chọn ẩn tìm điều kiện ẩn (thơng thường ẩn đại lượng mà toán yêu cầu tìm) 2) Biểu thị đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết 3) Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ lượng Bước : Giải phương trình (hệ phương trình) Bước : Kết luận tốn Các dạng toán Các giải toán cách lập phương trình ( hệ phương trình) có nội dung đa dạng phong phú Dưới thống kê thường gặp theo dạng, dạng có ví dụ minh họa có lời giải chi tiết số tập tự luyện có tính chất tham khảo Dạng 1: Tốn chuyển động * Phương pháp : Tốn chuyển động có ba đại lượng:  Quãng đường  Vận tốc  Thời gian  Vận tốc  Quãng đường : Thời gian  Thời gian  Quãng đường : Vận tốc  Các đơn vị ba đại lượng phải phù hợp với Nếu qng đường tính ki- lơ-mét, vận tốc tính ki-lơ-mét/giờ thời gian phải tính * Chú ý:  Nếu hai xe ngược chiều gặp lần đầu: Thời gian hai xe nhau; tổng quãng đường xe quãng đường cần xe  Nếu hai phương tiện chuyển động chiều từ hai địa điểm khác A B, xe từ A chuyển động nhanh xe từ B xe từ A đuổi kịp xe từ B ta ln có hiệu qng đường xe từ A với quãng đường xe từ B quãng đường AB  Đối với (Ca nô, tàu xuồng) chuyển động dòng nước: Ta cần ý: - Khi xi dịng: Vận tốc ca nơ= Vận tốc riêng + Vận tốc dòng nước - Khi ngược dịng: Vận tốc ca nơ= Vận tốc riêng - Vận tốc dòng nước - Vận tốc dòng nước vận tốc vật trôi tự nhiên theo dịng nước (Vận tốc riêng vật 0) TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736 Ví dụ 1: Hai ôtô khởi hành lúc từ hai tỉnh A B cách 400 km ngược chiều gặp sau 5h Nếu vận tốc xe không thay đổi xe chậm xuất phát trước xe 40 phút xe gặp sau 5h 22phút kể từ lúc xe chậm khởi hành Tính vận tốc xe Hướng dẫn giải Gọi vận tốc xe nhanh x ( km / h ) (Điều kiện : x > 0) Gọi vận tốc xe chậm y ( km / h ) (Điều kiện : y > 0) Hai xe khởi hành lúc ngược chiều sau 5h gặp nên ta có phương trình :  x  y   400 (1) Thời gian xe chậm là: 5h22 phút Vì xe chậm xuất phát trước 40’  Thời gian xe nhanh : = 161 30 40  h 60 161 141   30 3 Quãng đường xe chậm Quãng đường xe nhanh 161 y (km) 30 141 x (km) 30 141 161 x y  400 (2) 30 30  5( x  y )  400  Từ (1) và(2) ta có hệ phương trình : 141x 161y  30  30  400 Cả xe 400 km nên ta có phương trình : 141x  161y  1200  x  44    x  y  80  y  36  x  44 Kết hợp điều kiên   ( thỏa mãn điều kiện)  y  36 Vậy vận tốc xe nhanh 44km/h ; vận tốc chậm 36km/h Ví dụ 2: Một ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu ô tơ chạy nhanh 10km đến sớm dự định giờ, ô tô chạy chậm lại 10km đến nơi chậm Tính vận tốc xe lúc đầu, thời gian dự định chiều dài quãng đường AB Hướng dẫn giải Gọi thời gian dự định x (giờ), vận tốc xe lúc đầu y (km/h) ( x  3, y  10 ) Chiều dài quãng đường AB xy (km) Khi xe chạy nhanh 10km thì: +) Vận tốc xe lúc là: y + 10 (km/h) +) Thời gian xe hết Quãng đường AB là: x – (giờ) Ta có phương trình: (x – 3)(y + 10) = xy (1) Khi xe chạy chậm 10km thì: TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736 +) Vận tốc xe lúc là: y – 10 (km/h) +) Thời gian xe hết quãng đường AB là: x + (giờ) Ta có phương trình: (x + 5)(y – 10) = xy (2)  x  3 y  10   xy  x   y  10   xy Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:   xy  10 x  y  30  xy 10 x  y  30    xy  10 x  y  50  xy 10 x  y  50 10 x  y  30  x  15    y  20 2 y  80  x  15 ( thỏa mãn điều kiện)  y  20 Kết hợp điều kiện   Vậy thời gian xe dự định hết quãng đường AB 15 Vận tốc xe lúc đầu 40km/h Quãng đường AB có độ dài là: 15 40 = 600 (km) Ví dụ : Một thuyền xi dịng khúc sơng dài 40km ngược dòng vị trị ban đầu hết 4giờ 30 phút Biết thời gian thuyền xi dịng 5km thời gian thuyền ngược dịng km Tính vận tốc dịng nước ? Hướng dẫn giải Gọi vận thuyền nước yên lặng x (km/h) (điều kiện: x  ) Gọi vận tốc dòng nước y (km/h) (điều kiện:  y  x ) Thời gian thuyền xi dịng km : (giờ) x y (giờ) x y Thời gian thuyền ngược dịng km là: Vì thời gian thuyền xi dịng 5km thời gian thuyền ngược dòng km nên ta có phương trình :  x y x y (1) Thời gian thuyền xi dịng 40 km là: 40 (giờ) x y Thời gian thuyền ngược dòng 40 km là: 40 (giờ) x y Thời gian xi ngược dịng khúc sơng hết h 30 phút  trình: 40 40   x y x y nên ta có phương (2)  x y  x y  Từ (1) (2) a có hệ phương trình :   40  40   x  y x  y TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN I  Page Phiếu tập chuyên đề Đặt a  Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736 1 , b ( điều kiện: a, b  ) x y x y 5a  4b  50a  40b    Hệ phương trình (I) trở thành:  9 40a  4b0  40a  40b   50a  40b  a  50a  40b     20    90a  a  20 b   16  x  y  20  x  18     x  y  16 y   x  18 Kết hợp điều kiện:   (thỏa mãn điều kiện) y  Vậy vận tốc dịng nước 2km/h Ví dụ 4: Một xe tải xe khởi hành từ A đến B xe tải với vận tốc 40km/h xe với vận tốc 60km/h Sau xe nửa quãng đường xe nghỉ 40 phút chạy tiếp đển B Xe tải quãng đường lại tăng vận tốc thêm 10km/h đến B chậm chậm xe nửa Tính quãng đường AB Hướng dẫn giải Gọi nửa quãng đường AB x (km) (điều kiên: x  ) Thời gian xe nửa quãng đường đầu với vận tốc 60km/h là: Xe nghỉ 40 phút = x (giờ) 60 Thời gian xe tiếp nửa quãng đường lại với vận tố 60km/h là: xe từ A đến B là: x (giờ) Vậy thời gian 60 x x x     (giờ) 60 60 30 Thời gian xe tải nửa quãng đường đầu với vận tốc 40 km/h x (giờ) 40 Thời gian nửa quãng đường lại sau tăng thêm 10km/h x (giờ) 50 Vi xe tải đến chậm xe nửa Vậy ta có phương trình: x x x     30 40 50 20 x 400 15 x 12 x 300       20 x  400  15 x  12 x  300 600 600 600 600 600  x  700  x  100 Kết hợp điều kiện  x  100 (thỏa mãn) Vậy chiều dài quãng đường AB : 2.100  200 (km) TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736 Ví dụ 5: Một tơ từ A đến B với vận tốc xác định thời gian định Nếu vận tốc ô tơ giảm 10 km/h thời gian tăng 45 phút Nếu vận tốc tơ tăng 10 km/h thời gian giảm 30 phút Tính vận tốc thời gian dự định ôtô? Hướng dẫn giải Gọi vận tốc dự định ô tô x (km/h) Gọi thời gian dự định ô tô y (km/h) Điều kiện : x > 10; y > Độ dài quãng đường AB x.y (km) Nếu ô tô giảm vận tốc 10 km/h thời gian tăng 45 phút = Do ta có phương trình: (x + 10)(y - ) = xy  3x – 40y = 30 (1) Nếu ô tô tăng vận tốc 10 km/h thời gian giảm 30 phút (= Do ta có phương trình (x + 10)(y - giờ) ) = xy  -x + 20 y = 10 (2) 3 x  40 y  30  x  20 y  10 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:  3 x  40 y  30 3 x  40 y  30  x  50    2 x  40 y  20  x  50 y   x  50 (thỏa mãn) y  Kết hợp điều kiện   Vậy: Vận tốc dự định ô tô 50 km/h Thời gian dự định ôtô Ví dụ : Một ô tô xe đạp chuyển động từ hai đầu quãng đường, sau hai xe gặp Nếu chiều xuất phát địa điểm, sau hai xe cách 28 km Tính vận tốc xe đạp tơ Biết quãng đường dài 156 km Hướng dẫn giải Gọi vận tốc xe đạp x (km/h), vận tốc ô tô y (km/h) Điều kiên: x  0; y  Sau xe đạp quãng đường 3x (km) Sau xe ô tô quãng đường 3y (km) Hai xe gặp tổng quãng đường xe 156 km Vậy ta có phương trình: x  y  156 x  y  52 (1) Sau xe đạp x (km) Sau ô tô y (km) Do hai xe chiều xuất phát địa điểm sau cách 28 km Ta có phương trình: y  x  28 (2) TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736  x  y  52  y  x  28 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:   x  y  52  x  y  52  x  12     y  x  28 2 y  80  y  40  x  12 (thỏa mãn điều kiện)  y  40 Kết hợp điều kiện:  Vậy vận tốc xe đạp 12 (km/h), vận tốc tơ 40 (km/h) Ví dụ : Hai ca nô khởi hành từ A B cách 85 km ngược chiều Sau 40 phút gặp Tính vận tốc ca nô nước yên lặng, biết vận tốc ca nơ xi dịng lớn vận tốc ca nơ ngược dịng km/h vận tốc dòng nước 3km/h Hướng dẫn giải Gọi vận tốc thực ca nơ xi dịng x (km/h) (điều kiện : x > 0) Vận tốc thực ca nơ ngược dịng y (km/h) (điều kiện: y > 3) Vận tốc ca nơ xi dịng x+3 (km/h) Vận tốc ca nơ ngược dịng y-3 (km/h) Đổi:1 40 phút = 5  x  3 km 3 5 Qng đường ca nơ ngược dịng  y  3 km 3 Quãng đường ca nô xi dịng Hai ca nơ gặp tổng quãng đường ca nô tổng quãng đường AB Vây a có phương trình: 5  x  3   y  3  85 (1) 3 Có vận tốc ca nơ xi dịng lớn vận tốc ca nơ ngược dịng km/h Ta có phương trình: x    y  3  (2)  x    y  3   Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:  5   x  3   y  3  85 3 x  y   x  27    x  y  51  y  24  x  12 (thỏa mãn)  y  40 Kết hợp điều kiện   Vậy vận tốc thật ca nô xuôi dòng nước yên lặng 27(km/h) vận tốc ca nơ ngược dịng nước n lặng 24(km/h) TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736 Ví dụ : Hai tơ khởi hành lúc từ A B ngược chiều Tính quãng đường AB vận tốc xe biết sau hai xe gặp điểm cách quãng đường AB 10km Nếu xe chậm tăng gấp đôi vận tốc sau 24 phút hai xe gặp ? Hướng dẫn giải Gọi vận tốc xe nhanh x (km/h) (điều kiện x > 0) Gọi vận tốc xe chậm y (km/h) (điều kiện y > 0) Quãng đường sau xe nhanh 2x (km) Quãng đường sau xe chậm 2y (km) Sau hai xe hết quãng đường AB = 2x + 2y (km) Nửa quãng đường AB x  y 2( x  y )   x  y (km) 2 Vi hai xe gặp điểm cách quãng đường AB 10km Vậy ta có phương trình: x  y  y  10  x  y  10 (1) Sau xe chậm tăng vận tốc lên gấp lần 2y (km/h) sau 1h24 phút = quãng đường Sau xe chậm x (km) 7 xe nhanh quãng đường y (km) 5 Hai xe gặp tổng quãng đường hai xe quãng đường AB Vậy ta có phương  x  y    x  y   3x  y  (2)  x  y  10  x  40 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình :    3 x  y   y  30  x  40 Kết hợp điều kiện   (thỏa mãn)  y  30 trinh : Vậy vận tốc xe nhanh 40(km/h) vận tốc xe chậm (30km/h) Dạng 2: Bài tốn suất Phương pháp: Loại tốn có ba đại lượng: Khối lượng công việc = Năng suất  Thời gian Năng suất = Khối lượng công việc : Thời gian Thời gian = Khối lượng cơng việc : Năng suất Ví dụ : Hai tổ sản xuất may loại áo Nếu tổ thứ may ngày, tổ thứ may ngày tổ may 1310 áo Biết ngày tổ thứ may nhiều tổ thứ 10 áo Hỏi tổ ngày may áo ? Hướng dẫn giải Gọi số áo tổ may ngày x (chiếc áo) (điều kiện : x  N * , x > 10 ) Số áo tổ may ngày y (chiếc áo) (điều kiện : y  N * ) Số áo tổ may ngày : 3x (chiếc áo) Số áo tổ may ngày : 5y (chiếc áo) Vì hai tổ may 1310 áo nên ta có phương trình : x  y  1310 (1) TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736 Trong ngày tổ thứ may nhiều tổ thứ 10 áo Vậy ta có phương trình : x  y  10 (2) 3 x  y  1310  x  y  10 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình :  3 x  y  1310 8 y  1280  y  160  x  170     3 x  y  30  x  y  10  x  y  10  y  160  x  170 Kết hợp điều kiên   (thỏa mãn)  y  160 Vậy : Số áo tổ may ngày 170 (chiếc áo) Số áo tổ may ngày 160 (chiếc áo) Ví dụ : Theo kế hoạch, xưởng may phải may xong 280 quần áo thời gian quy định Đến thực hiện, ngày xưởng may nhiều quần áo so với số quần áo phải may ngày theo kế hoạch Vì thế, xưởng hồn thành kế hoạch trước ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày xưởng phải may xong quần áo? Hướng dẫn giải Gọi số quần áo xưởng may ngày theo kế hoạch x (bộ) (Điều kiên: x  N * ) Số ngày hồn thành cơng việc theo kế hoạch 280 x Số quần áo may ngày thực Số ngày hồn thành cơng việc thực (ngày) x5 280 x5 (bộ) (ngày) Vì xưởng hồn thành kế hoạch trước ngày nên ta có phương trình: 280 280  1 x x5  280  x    280 x  x  x    x  x  1400    x  35 x  40    x  35   x  40 Kết hợp điều kiện  x  35 (thỏa mãn) ; x  40 (loại) Vậy : Số quần áo may ngày theo kế hoạch 35 Ví dụ : Một máy bơm theo kế hoạch bơm đầy nước vào bể chứa 50 m thời gian định Do người công nhân cho máy bơm hoạt động với công suất tăng thêm 5m /h Nên bơm đầy bể sớm dự định 1h 40 phút Tính cơng suất máy bơm theo kế hoạch ? Hướng dẫn giải Gọi suất máy bơm theo kế hoạch x (m /h) (điều kiện x > 0) TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736 Thời gian hoàn thành theo kế hoạch 50 (giờ) x 50 (giờ) x5 Vì máy bơm bơm đầy bể sớm dự định 1h 40 phút= nên ta có phương trình: 50 50   x x5 150  x   5x  x  5 150 x     150 x  750  150  x  25 x 3x  x   3x  x  5 3x  x  5 Thời gian sau hoạt động công suất tăng thêm 5m /h  x  25 x  750   x  x  150    x  10  x  15   x  10   x  15 Kết hợp điều kiện  x  10 (điều kiện) ; x  15 (loại) Vậy công suất máy bơm theo kế hoạch 10m Ví dụ : Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm Trong 12 ngày đầu họ làm theo kế hoạch đề ngày lại họ làm vượt mức 20 sản phẩm, nên hoàn thành kế hoạch sớm ngày Hỏi theo kế hoạch nhóm thợ ngày cần sản xuất sản phẩm ? Hướng dẫn giải Gọi số sản phẩm làm theo kế hoạch ngày x (sản phầm) (điều kiện: x  * ) Số ngày hoàn thành theo kế hoạch 120 (ngày) x Số ngày để hồn thành cơng việc sau làm 12 ngày 1200  12 x (ngày) x  20 Nhóm thợ hồn thành kế hoạch sớm ngày Vậy ta có phương trình : 1200 1200  12 x  12  2 x x  20  1200  x  20  1200  12 x  x 14 x  x  20  1200 1200  12 x   14    x x  20 x  x  20  x  x  20  x  x  20   1200 x  24000  1200 x  12 x  14 x  280 x  x  280 x  24000    x  60  x  200    x  60   x  200 Kết hợp điều kiện  x  60 (thỏa mãn); x  200 (loại) Vậy theo kế hoạch nhóm thợ ngày cần sản xuất 60 ngày TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736 Ví dụ : Một tổ có kế hoạch sản suất 350 sản phẩm theo suất dự kiến Nếu tăng suất 10 sản phẩm ngày tổ hồn thành sớm ngày so với giảm suất 10 sản phẩm ngày Tính suất dự kiến Hướng dẫn giải Gọi suất dự kiến tổ làm ngày x (sản phẩm / ngày) (điều kiện: x  * ; x > 10) 350 (ngày) x  10 350 Nếu giảm suất 10 sản phẩm ngày thì thời gian hồn thành là: (ngày) x  10 Nếu tăng suất 10 sản phẩm ngày thì thời gian hồn thành là: Thời gian làm tăng suất hoàn thành sớm ngày so với thời gian làm giảm 350 350  2 x  10 x  10  350  x  10   350  x  10    x  10  x  10  suất Vậy ta có phương trình:  350 x  3500  350 x  3500  x  200  x  7200  x  3600  x  60 Kết hợp điều kiện: x  60 (thỏa mãn); x  60 (loại) Vậy suất dự kiến 60 (sản phẩm / ngày) Dạng 3: Bài toán công việc đồng thời ( bể nước- làm chung làm riêng) Phương pháp: Để giải loại toán này, ta thường coi tồn cơng việc đơn vị Suy suất nghịch đảo thời gian Lập phương trình theo mẫu : Tổng suất riêng = Năng suất chung Ví dụ 1: Hai người làm cơng việc 7h 12 phút xong công việc người thứ làm 4h ngừơì thứ hai làm 3h đựơc 50% cơng việc Hỏi ngừơi làm xong cơng việc Hướng dẫn giải Đổi 7h 12 phút = 36 (h) Gọi thời gian người thứ làm xong cơng việc x (giờ) goị thời gian người thứ hai làm xong công việc y (giờ) (điều kiện : x, y  Trong người thứ làm Trong người thứ hai làm (công việc) x (công việc) y Hai người làm công việc Trong người làm đựơc 36 ) 36 (h) xong cơng việc 5 1 (công việc) Vậy ta có phương trình :   36 x y 36 TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN (1) Page 10 Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736 Kết hợp điều kiện  x  (thỏa mãn); x  4 (loại) Vậy đội xe chở theo kế hoạch hết ngày Dạng 8: Các dạng khác Ví dụ 1: Một dung dịch chứa 30% a xít nitơ ríc ( tính theo thể tích ) vào dung dịch khác chứa 55% a xít ni tơ ríc Cần phải trộn thêm lít dung dịch loại I vào loại II để 100 lít dung dịch 50% a xít nitơ ríc Hướng dẫn giải Gọi số lít dung dịch loại I x (lít) Gọi số lít dung dịch loại II y(lít) Điều kiện : x, y  Trộng dung dịch loại I II ta : x  y (lít) Trộn hai dung dịch 100 lít Ta có phương trình : x  y  100 (1) 30 55 x (lít) loại II y (lít) 100 100 30 55 x y  50 Dung dịch tạo thành có 50% a xít nitơ ríc Vậy ta có phương trình : 100 100 Lượng a xit chứa dung dịc loại I (2)  x  y  100  x  20  Từ (1) (2) ta có hệ phương trình :  30  55  y  80 100 x  100 y  50  x  20 Kết hợp điều kiện   (thỏa mãn)  y  80 Vậy cần : 20 lít dung dịch loại I 80 lít dung dịch loạn II Ví dụ : Có 45 người gồm bác sĩ luật sư tuổi trung bình họ 40 Tính số bác sĩ luật sư biết tuổi trung bình bác sĩ 35 tuổi trung bình luật sư 50 Hướng dẫn giải Gọi số bác sĩ x ( người ) (điều kiên : x  N * ) Gọi số luật sư y ( người ) (điều kiện: y  N * ) Có 45 người gồm bác sĩ luật sư Vậy ta có phương trình : x  y  45 (1) Tuổi trung bình bác sĩ 35 Vậy tổng số tuổi bác sĩ 35.x (tuổi) Tuổi tuổi trung bình luật sư 50 Vậy tổng số tuổi luật sư 50.y(tuổi) Tổng số tuổi 45 người 40.45=1800(người) Vậy ta có phương trình: 35 x  50 y  1800 (2)  x  y  45 35 x  50 y  1800 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình :   y  45  x  y  45  x  y  45  x  x  30     7 x  10 y  360 7 x  450  10 x  360  x  30  y  15  x  30 Kết hợp điều kiện   (thỏa mãn)  y  15 Vậy số bác sĩ 30 người ; số luật sư 15 người TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page 21 Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736 Ví dụ : Hai trường A B thị trấn có 210 học sinh thi đỗ hết lớp 9, đạt tỷ lệ trúng tuyển 84% Tính riêng trường A đỗ 80%, trường B đỗ 90% Tính xem trường có học sinh lớp dự thi? Hướng dẫn giải Gọi số học sinh trường A x (học sinh) (đk: x  N * ; x < 210) Gọi số học sinh trường B y (học sinh) (đk: y  N * ; x < 210) Tổng số học sinh hai trường : 210 84   TSHS  210.100 : 84  250 Tshs 100 Do ta có phương trình : x + y = 250 (1) Trường A đỗ 80% trường B đỗ 90% , ta có PT 80%.x +90%.y = 210 (2)  x  y  250 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình :  0,8 x  0, y  210 0,8 x  0,8 y  200  x  y  250  x  y  250  x  150     0,8 x  0,9 y  210 0,1 y  10  y  100  y  100  x  150 (thỏa mãn)  y  100 Kết hợp điều kiện   Vậy: Số học sinh trường A 150 học sinh Số học sinh trường B 100 học sinh Ví dụ : Tuổi ông An An 56 tuổi , cách năm tuổi ông An gấp lần tuổi An Hỏi tuổi An tuổi ? Hướng dẫn giải Gọi tuổi An x (tuổi) (đ/k x  N * ) Tuổi cua ông An 56 + x (tuổi) Cách năm tuổi An x- (tuổi) Cách năm tuổi ông An 56+ x -5 = 51 + x (tuổi) Cách năm tuổi ông An gấp lần tuổi An Vậy ta có phương trình : 51  x   x    x  13 (thỏa mãn) Vậy tuổi An 13 tuổi TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page 22 Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736 PHẦN II BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Một ô tô tải từ A đến B với vận tốc 45km/h sau 30 phút xe xuất phát từ A đến B với vận tốc 60km/h đến B lúc với xe tải Tính quãng đường AB Bài Hai người xe đạp xuất phát lúc từ A đến B vận tốc họ 3km/h nên đến B sớm muộn 30 phút Tính vận tốc người, biết quãng đường AB dài 30km/h Bài Hai tỉnh A,B cách 180km/h Cùng lúc, ô tô từ A đến B xe máy từ B A Hai xe gặp thị trấn C Từ C đến B ô tô hết giờ, từ C A xe máy hết 30 phút Tính vận tốc tơ xe máy biết đường AB hai xe chạy với vận tốc không đổi Bài Trong đua, ba tay đua mô tô khởi hành lúc Mỗi người thứ hai chạy chậm người thứ 15km nhanh người thứ ba km người thứ ba đến đích chậm người thứ 12 phút sớm người thứ ba phút Tính thời gian chạy hết quãng đường đua tay đua Bài Một xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu vận tốc tằng 20km/h đến sớm giờ, vận tốc giảm 10km/h đến muộn Tính qng đường AB Bài Một tơ từ A đến B Cùng lúc, ô tô khác từ B đến A với vận tốc vận tốc ô tô thứ Sau chúng gặp Hỏi ô tô quãng đường AB bao lâu? Bài Hai bến sông A B cách 40km lúc với ca nơ xi từ bến A có bè trôi từ bến A với vận tốc 3km/h Sauk hi đến bến B, ca nô quay trở bến A gặp bè, bè trơi 8km tính vận tốc riêng ca nơ Bài Hai bạn A B làm chung cơng việc hồn thành sau ngày Hỏi A làm ngày nghỉ B hồn thành nốt cơng việc thời gian bao lâu? Biết làm xong cơng việc B làm lâu A ngày Bài Trong kỳ thi, hai trường A,B có tổng cộng 350 học sinh dự thi Kết hai trường có tổng cộng 338 học sinh trúng tuyển Tính trường A có 97% trường B có 96% học sinh dự thi trúng tuyển Hỏi trường có thí sinh dự thi? Bài 10 Có hai loại quặng sắt quặng loại A chứa 60% sắt, quặng loại B chứa 50% sắt người ta trộn lượng quặng loại A với lượng quặng loại B hỗn hợp chứa sắt Nếu lấy tăng 15 lúc đầu 10 quặng loại A lấy giảm lúc đầu 10 quặng loại B hỗn hợp quặng chứa 17 sắt Tính khối lượng quặng loại đem trộn lúc đầu 30 Bài 11 Hai người quãng đường AB dài 450 km khởi hành lúc Vận tốc người thứ vận tốc người thứ hai 30 km/h nên người thứ đến B sau người thứ hai Tính vận tốc thời gian quãng đường AB người Bài 12 Tìm hai số biết hiệu chúng tổng bình phương chúng 289 Bi 13 Tìm số biết số nhỏ số nghịch đảo 2,1 Bài 14 Tìm hai số lẻ liên tiếp, biết tổng bình phương chúng 202 TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page 23 Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736 Bài 15 Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng chữ số 13 cộng 34 vào tích hai chữ số ta số Bài 16 Một ca nơ xi khúc sông dài 40 km ngược khúc sông ấy, thời gian lẫn tổng cộng hết 30 phút Biết vận tốc thực ca nô 18 km/h Tính vận tốc dịng nước Bài 17 Quãng sông từ A đến B dài 36 km Một ca nơ xi dịng từ A đến B ngược dòng từ B A hết tổng cộng Tính vận tốc thực ca nơ, biết vận tốc dòng nước km/h Bài 18 Một ô tô quãng đường AB dài 150 km với thời gian định Sau xe qng đường tơ dừng lại 10 phút Do đó, để đến B hẹn, xe phải tăng tốc thêm 5km/h qng đường cịn lại Tính vận tốc dự định ô tô Bài 19 Hai vịi nước chảy vào hai bể có dung tích 2400 lít Mỗi phút vịi thứ hai chảy nhiều vịi thứ lít nên thời gian để vịi thứ hai chảy đầy bể vịi thứ 10 phút Tính xem phút vịi chảy lít? Bài 20 Một tổ công nhân phải làm 144 dụng cụ Do ba công nhân chuyển làm việc khác nên người cịn lại phải làm thêm dụng cụ Tính số công nhân tổ Bài 21 Một công nhân phải làm 420 dụng cụ Do ngày người tăng suất dụng cụ nên hoàn thành cơng việc sớm ngày Tính số ngày người làm Bài 22 Hai đội thủy lợi gồm tổng cộng 25 người đào đắp mương Đội I đào 45 m3 đất, đội II đào 40 m3 đất Biết công nhân đội II đào nhiều công nhân đội I m3 Tính số đất cơng nhân đội I đào Bài 23 Một tổ sản xuất phải làm 300 dụng cụ Nếu số công nhân giảm nguời người phải làm thêm dụng cụ Tính số công nhân tổ Bài 24 Hai người công nhân giao làm người 60 dụng cụ Mỗi ngày, người thứ làm nhiều người thứ hai dụng cụ nên người thứ hoàn thành cơng việc với thời gian người thứ hai ngày Tính thời gian người làm Bài 25 Tính kích thước hình chữ nhật biết có chu vi 120m, diện tích 875 m2 Bài 26 Một hình chữ nhật có chu vi 100m Nếu tăng chiều rộng gấp đơi giảm chiều dài 10 m diện tích hình chữ nhật tăng thêm 200 m2 Tính chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu Bài 27 Một sân hình tam giác có diện tích 180m2 Tính cạnh đáy hình tam giác, biết tăng cạnh đáy thêm m giảm chiều cao tương ứng m diện tích hình tam giác khơng đổi Bài 28 Tính độ dài cạnh tam giác vuông, biết chúng ba số tự nhiên liên tiếp Bài 29 Một tam giác có chu vi 30m, cạnh huyền 13 m Tính cạnh góc vuông TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page 24 Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736 Bài 30 Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị số lớn tổng bình phương chữ số Bài 31 Một phịng họp có 500 chỗ ngồi Do phải xếp 616 chỗ ngồi, người ta kê thêm dãy ghế dãy xếp thêm chỗ Tính số dãy ghế lúc đầu phịng họp Bài 32 Tính số cạnh đa giác biết số đường chéo đa giác 35 Bài 33 Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m, chiều rộng 20m Ở chung quanh phía mảnh dất, người ta để lối có chiều rộng khơng đổi, phần cịn lại hình chữ nhật trồng hoa Biết diện tích vườn hoa 84 % diện tích mảnh đất, tính chiều rộng lối Bài 34 Người ta hòa lẫn kg chất lỏng I với kg chất lỏng II hỗn hợp có khối lượng riêng 600 kg/m3 Biết khổi lượng riêng chất lỏng I lớn khổi lượng riêng chất lỏng II 200 kg/ m3 Tính khổi lượng riêng chất lỏng Bài 35 Hai dung dịch muối có khối lượng tổng cộng 220 kg Lượng muối dung dịch I kg, lượng muối dung dịch II 4,8 kg Biết nồng độ muối dung dịch I nhiều nồng độ muối dung dịch II 1% Tính khối lượng dung dịch Bài 36 Hai đội công nhân làm cơng việc làm xong sau Biết thời gian để đội thứ làm xong cơng việc thời gian để đội thứ hai làm xong cơng việc Tính thời gian để đội làm xong công việc HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Gọi độ dài quãng đường AB x (km, x  ) x (giờ) 45 x Thời gian xe từ A đến B (giờ) 60 Thời gian ô tơ tải từ A đến B Vì xe xuất phát sau xe tải 30 phút  nên ta có phương trình: x x    x  270 (thỏa mãn điều kiện) 45 60 Vậy độ dài quãng đường AB 270km Bài Gọi vận tốc người chậm x  km / h  ( x  0) Vận tốc người nhanh x  (giờ) 30 30 nên ta có phương trình:   x x3 2  60  x    60 x  x  x  x  3x  180  Vì người chậm đến muộn 30 phút =   32   180   729  27    27 TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page 25 Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736 3  27   15 x    x  3  27  12  So sánh với điều kiện suy có nghiệm x  12 thỏa mãn Vậy vận tốc người chậm 12km/h, vận tốc người nhanh 15km/h Bài Đổi 30 phút = 4,5 Gọi vận tốc ô tô x (km/h), xe máy y (km/h) với x, y  Sau thời gian, hai xe gặp C thì: Ơ tơ phải chạy tiếp hai tới B nên quãng đường CB dài 2x (km) Xe máy phải tiếp 4,5 tới A nên quãng đường CA dài 4,5y km Do ta có phương trình: x  4,5 y  180 4,5y x 2x Xe máy với vận tốc y km/h thời gian qng đường CB y Ơ tơ chạy với vận tốc x km/h nên thời gian quãng đường AC Vì hai xe khởi hành lúc gặp C nên lúc gặp hai xe khoảng thời gian ta có phương trình: 4,5 y x  x y Vậy ta có hệ phương trình: 2 x  4,5 y  180 2 x  4,5 y  180 2 x  4,5  180     4,5 y x 3 y  x 9 y  x  x  y  15 y  180  3 y  4,5 y  180  y  24    3 y  x  x  36 x  3y  So sánh với điều kiện ta thấy giá trị x  36, y  24 thỏa mãn Vậy vận tốc ô tô 36km/h, vận tốc xe máy 24km/h Bài Gọi vận tốc người thứ hai x (km/h), (đk: x  ) Vận tốc người thứ x  15 (km/h) Vận tốc người thứ ba x  (km/h) Gọi chiều dài quãng đường y (km, y  ) y (giờ) x y Thời gian người thứ hết đường đua (giờ) x  15 y Thời gian người thứ ba hết đường đua (giờ) x 3 Thời gian người thứ hai hết đường đua Người thứ hai đến đích chậm người thứ 12 phút = TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN nên ta có Page 26 Phiếu tập chuyên đề phương trình: Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736 y y   x x  15 Vì y  nên phương trình tương đương với 1 (1)   x x  15 y Người thứ hai đến đích sớm người thứ ba phút = nên ta có phương trình: 20 y y   x  x 20 Vì y  nên phương trình tương đương với (2) ta có:  1 (2)   x  x 20 y Từ (1) 1 1    4   x x  15  x 3 x  15 12   15  x  3  12  x  15   x  3   x  15   x  75 x  x  15 x  x  3 Nghiệm x  75 thỏa mãn điều kiện, từ (1) ta có y  90 Vậy vận tốc người thứ hai 75km/h Vận tốc người thứ 90km/h Vận tốc người thứ ba 72km/h Bài Gọi vận tốc dự định x (giờ), thời gian dự định y (km/h) ( x  10, y  ) Quãng đường AB dài x y (km) Nếu vận tốc tăng thêm 20km/h đến sớm nênquãng đường  x  20   y  1 (km) Nếu giảm vận tốc 10km/h đến muộn nên quãng đường  x  10   y  1 (km)  x  20  y  1  xy  xy  x  20 y  20  xy Ta có hệ:    xy  x  10 y  10  xy  x  10  y  1  xy  x  20 y  20 10 y  30 y      x  10 y  10  x  10 y  10  x  40 So sánh với điều kiện ta thấy giá trị x  40, y  thỏa mãn Vậy vận tốc dự định 40km/h, thời gian dự định Quãng đường AB dài là: 40.3  120 km Bài Gọi thời gian ô tô thứ hết quãng đường AB x  x   AB (km/h)\ x AB Vận tốc xe ô tô thứ hai (km/h) x Vận tốc xe ô tô thứ Sau hai xe gặp nhau, nghĩa tổng quãng đường hai xe quãng đường AB, ta có phương trình: AB AB   AB x x TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page 27 Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736 10 25 25       x   (thỏa mãn điều kiện x  ) x x x 3 25 AB x Thời gian ô tô thứ hai hết quãng đường AB là:    12 3x 2 Vậy thời gian ô tô thứ hết quãng đường AB giờ, thời gian xe thứ hai hết quãng đường AB 12 30 phút Bài Gọi vận tốc riêng ca nô x (km/h), ( x  ) Vận tốc ca nơ xi dịng x  (km/h) Thời gian ca nơ xi dịng từ A đến B 40 (giờ) x3 Vận tốc ca nô ngược dịng x  (km/h) Qng đường ca nơ ngược dòng từ B đến địa điểm gặp bè : 40   32 (km) Thời gian ca nơ ngược dịng từ B đến địa điểm gặp bè là: 32 (giờ) x 3 Ta có 40 32       15  x  3  12  x  3  x  x 3 x 3 x 3 x 3  x  27  x  27 x   x  phương trình: So sánh với điều kiện có nghiệm x  27 (thỏa mãn) Vậy vận tốc riêng ca nô 27km/h Bài Gọi thời gian bạn A, bạn B làm riêng xong công việc x, y (ngày), (đk: x, y  ) (công việc) x Mỗi ngày bạn B làm riêng (công việc) y Mỗi ngày bạn A làm riêng y  x  x   Ta có hệ phương trình:  1    y  18 x  y   cơng việc Vì bạn B làm 18 ngày xong nên ngày B làm công việc, 18 2  12 ngày Số ngày làm xong cơng việc cịn lại : 3 18 Bài Gọi số thí sinh tham dự trường A trường B x, y (học sinh) Vì bạn A làm ngày xong nên ngày làm  x, y  *; x, y  350  TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page 28 Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736  x  y  350  x  200   96 100 x  100 y  338  y  150 Ta có hệ phương trình  97 Vậy số thí sinh tham dự trường A trường B 200, 150 học sinh Bài 10 Gọi khối lượng quặng đem trộn lúc đầu quặng loại A x (tấn), Gọi khối lượng quặng loại B y (tấn), (đk: x  0, y  10 ) Ta có hệ phương trình: 50  60 100 x  100 y  15  x  y    60  x  10   50  y  10   17  x  10  y  10  100 100 30  x  10 (tm)   y  20 (tm) Vậy khối lượng quặng đem trộn lúc đầu quặng loại A 10 Gọi khối lượng quặng loại B 20 Bài 11 Gọi vận tốc người I x, đơn vị km/h , điều kiện x > Vận tốc người II x + 30 (km/h) Để quãng đường AB dài 450 km, người I cần 450 450 giờ, người II cần x x  30 Thời gian người I hết quãng đường AB nhiều thời gian người I hết quãng đường AB Ta có phương trình: 450 450  4 x x  30 450  x  30   450 x  x(x  30)  450 x  13500  450 x  x  120  x  120 x  13500   x  30 x  3375   '  152  3375  3600 Hai nghiệm: x1  15  60  45; x2  15  60  75 x1  45 thỏa mãn điều kiện x > x2  75 không thỏa mãn điều kiện, loại Kết luận: TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page 29 Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736 Vận tốc người I 45 km/h Vận tốc người II 45+30=75 km/h Thời gian người I AB 450  10 45 Thời gian người II AB 450  75 Bài 12 Gọi số nhỏ x số lớn x+7 Phương trình :  x  7  x  289 x1  15, x2  Hai số phải tìm -15 -8 ; 15 Bài 13 Gọi số phải tìm x nghịch đảo Phương trình : x  x  2,1 x Rút gọn 10 x  21x  10  x1  5 ; x2  Số phải tìm 5 Bài 14 Gọi hai số lẻ liên tiếp x x+2 Phương trình : x   x    202  x  x  99  x1  9, x2  11 Đáp số : 11 ; -11 -9 Bài 15 Gọi chữ số hàng chục x chữ số hàng đơn vị 13-x Phương trình : x 13  x   34  10 x  13  x  Rút gọn TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page 30 Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736 x  x  21  x1  7; x2  3(loai) Số phải tìm 76 Bài 16 Gọi vận tốc dịng nước x (km/h) Phương trình : 40 40   18  x 18  x Rút gọn x  36 Vận tốc dòng nước km/h Bài 17 Gọi vận tốc thực ca nơ x(km/h) Phương trình : 36 36  5 x 3 x 3 Rút gọn x  72 x  45  0;  x1  15 ; x2   (loại) Vận tốc thực ca nô 15 km/h Bài 18 Gọi vận tốc dự định ô tô x(km/h) Phương trình : 75 75   x x5 Rút gọn x  x  2250  0; Nghiệm dương phương trình : x= 45 Vận tốc dự định ô tô 45 km/h Bài 19 Gọi số nước vịi I chảy phút x( lít) Phương trình : 2400 2400   10 x x8 Rút gọn x  x  1920  0;  x1  40 ; x2  48 (loại) Trong phút, vịi I chảy 40 lít, vịi II chảy 48 lít Bài 20 Gọi số cơng nhân lúc đầu x Phương trình : 144 144  4 x 3 x Rút gọn x  x  108  0; TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page 31 Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736  x1  12 ; x2  9 (loại) Số công nhân tổ 12 người Bài 21 Gọi số ngày người làm x Phương trình : 420 420  5 x x7 Rút gọn x  x  588  0;  x1  21 ; x2  28 (loại) Người làm 21 ngày Bài 22 Gọi số đất công nhân đội I đào x(m3) Phương trình : 45 40   25 x x 1 Rút gọn x  12 x   0; x1  x2   (loại) Số đất công nhân đội I đào m3 Bài 23 Gọi số công nhân tổ x ( người) Phương trình : 300 300  2 x 5 x Rút gọn x  x  750  0; x1  30 x2  25 (loại) Số công nhân tổ 30 người Bài 24 Người thứ đào ngày, người thứ hai đào ngày Bài 25 Gọi chiều dài hình chữ nhật x (m), điều kiện x  30 Phương trình : TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page 32 Phiếu tập chuyên đề x  60  x   875 Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736  x  35   x  25(loai) Chiều dài 35 m, chiều rộng 25 m Bài 25 Gọi chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu x (m), điều kiện x  25 Phương trình : x  40  x   x  50  x   200 Rút gọn x  30 x  200  0; x1  20; x2  10 Chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu 20 (m) ( chiều dài 30 m) Hoặc 10m ( chiều dài 40 m) Bài 27 Gọi cạnh đáy hình tam giác x(m) Phương trình : 360 360   x x4 Rút gọn x  x  1440  0; x1  36 x2  40 (loại) Cạnh đáy 36 m Bài 28 Gọi độ dài cạnh góc vng lớn x Phương trình :  x  1  x   x  1 Rút gọn x  x  0; x1  x2  (loại) Đáp số : ;4 ; Bài 29 Gọi độ dài cạnh góc vng nhỏ x(m), điều kiện x  8,5 TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page 33 Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736 Phương trình : x  17  x   169 Rút gọn x  17 x  60  Hai cạnh góc vng 5m 12m Bài 30 Gọi chữ số hàng đơn vị x chữ số hàng chục x+2 Phương trình : 10  x    x  x   x    Rút gọn x  x  15  x1  ( loại), x2  Số phải tìm 75 Bài 31 Gọi số dãy ghế lúc đầu x Phương trình : 616 500  2 x3 x Rút gọn x  55 x  750  0; x1  25; x2  30 Loại giá trị x= 30 làm cho số người dãy ghế lúc đầu 500 N 30 Số dãy ghế lúc đầu 25 dãy Bài 32 Gọi số cạnh đa giác x Phương trình : x  x  3  35 Rút gọn x  x  70  0; x1  10; x2  7 Đa giác có 10 cạnh Bài 33 Gọi chiều rộng lối x(m) TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page 34 Phiếu tập chuyên đề Ths.Lê Hải Trung- 0984 735 736 Chiều dài vườn hoa 30-2x (m) Phương trình :  30  x  20  x   30.20.0,84 Rút gọn x  25 x  24  0; x1  1; x2  24 Chiều rộng lối (m) Bài 34 Gọi khối lượng riêng chất lỏng II x (kg/m3) Phương trình : 12   x  200 x 600 Rút gọn x  400 x  50000  x1  500 , x2  100 ( loại) Khối lượng riêng chất lỏng I 700 (kg/m3) Khối lượng riêng chất lỏng II 500 (kg/m3) Bài 35 Gọi khối lượng dung dịch I x (kg) khối lượng dung dịch II 220 – x (kg) Phương trình : 4,8   x 220  x 100 Rút gọn x  1200 x  110000  x1  1100 ( loại), x2  100 Khối lượng dung dịch I 100 kg, khối lượng dung dịch II 120 kg Bài 36 Gọi thời gian để đội I làm xong cơng việc x ( giờ) Phương trình : 1   x x3 Rút gọn x  x   x1  , x2  2 ( loại) Đội I làm xong cơng việc Đội II làm xong cơng việc TOLIHA.VN TRANG HỌC TRỰC TUYẾN Page 35 ... có phương trình: (x + 5)(y – 10) = xy (2)  x  3 y  10   xy  x   y  10   xy Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:   xy  10 x  y  30  xy ? ?10 x  y  30    xy  10 x  y... phương trình : x  y  10 (2) 3 x  y  1 310  x  y  10 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình :  3 x  y  1 310 8 y  1280  y  160  x  170     3 x  y  30  x  y  10  x  y  10. .. dung dịch 100 lít Ta có phương trình : x  y  100 (1) 30 55 x (lít) loại II y (lít) 100 100 30 55 x y  50 Dung dịch tạo thành có 50% a xít nitơ ríc Vậy ta có phương trình : 100 100 Lượng a