Tuyển tập các bài hình học đề thi vào 10 môn TOÁN TP Hà Nội

Đề thi môn Toán tuyển sinh vào lớp 10 của Hà Nội những năm gần đây (và cả năm nay) được giữ nguyên cấu trúc. Đây là điểm thuận lợi rất lớn cho thầy cô và học sinh lớp 9 trong việc dạy học và ôn thi. Nội dung đề thi chủ yếu nằm trong chương trình Toán lớp 9, nhưng cũng yêu cầu học sinh vẫn phải nắm được các kiến thức Toán học ở các lớp dưới của cấp THCS. Cấu trúc đề thi môn Toán vào lớp 10 Hà Nội thường có 5 bài: Bài 4 (khoảng 3.5 điểm): Bài hình về đường tròn. Các câu hay gặp: Chứng minh tứ giác nội tiếp, biểu thức liên quan, độ dài đoạn thẳng, tính góc, khoảng cách, tìm quỹ tích. Bài này thường có 4 ý: 3 ý đầu nâng dần độ khó, tuy chưa phân hóa mạnh (mỗi ý 1 điểm). Câu hỏi phân hóa nằm ở ý thứ 4 (0.5 điểm).

1 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội TUYỂN TẬP CÁC BÀI HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TP.HÀ NỘI Bài 1: ( Hà Nội 2006 – 2007) Cho  O  đường kính AB  R , C trung điểm OA , dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM , H giao điểm AK MN a) Chứng minh tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp b) Tính AH AK theo R c) Xác định vị trí điểm K để tổng KM  KN  KB đạt giá trị lớn tìm giá trị lớn Hướng dẫn giải: M K H O A B C N a) Vì K   O  đường kính AB  AK  KB Suy ra: AKB  90 Xét tứ giác BCHK : HCK  HKB  90  90  180 Suy BHCK nội tiếp b) Theo phương tích ta có: AH AK  AB AC  R R  R2 Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội N I M B K c) Ta chứng minh tam giác BMN thật vậy: Ta có: BM  BN  BC.BA  R.2 R  3R 2  BM  BN  3R Lại có: MC  OM  OC  R  R2  R  MN  2MC  3R Suy BMN Khi ta ln có: KM  KB  KN ( Chứng minh cách dựng hình phụ hình vẽ ) Suy ra: KM  KB  KN  KN  R  KN  2R    KM  KB  KN max  4R Dấu “=” xảy K , O, N thẳng hàng Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Bài 2: ( Hà Nội 2007 – 2008 ) Cho  O; R  tiếp xúc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H không trùng với A cho AH  R Qua H kẻ đường thẳng vng góc với d , đường thẳng cắt đường tròn hai điểm E B ( E nằm B H ) a) Chứng ABE  EAH ABH ~ EAH b) Lấy điểm C d cho H trung điểm đoạn thẳng AC , đường thẳng CE cắt AB K Chứng minh tứ giác AHEK tứ giác nội tiếp c) Xác định vị trí điểm H để AB  R Hướng dẫn giải: A H K E C I O B a) Ta có ABE  EAH  sđ AE Khi dễ dàng chứng minh: ABH ~ EAH ( g.g ) b) Xét ACE có đường cao EH đồng thời đường trung tuyến nên ACE cân E Khi ACE  CAE  ABE  ACK ~ ABH (g.g) AKC  90 Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Xét tứ giác AHEK có: AHE  AKE  90  90  180 Suy AHEK nội tiếp c) Từ C hạ CI  AB  I  AB  Khi IA  IB  AIO : cos OAI  R AI  OA  OAI  30 Mà OAI  ABH ( góc so le )  ABH  30  AH  AB R  2  R 3 Khi H giao điểm d  A;     Bài 3: ( Hà Nội 2008 – 2009 ) Cho  O  có đường kính AB  R điểm E đường tròn ( E khác A, B ) Đường phần giác AEB cắt cạnh AB F cắt đường tròn  O  điểm thứ hai K a) Chứng minh rằng: KAF ~ KEA b) Gọi I giao điểm đường trung trực đoạn thẳng EF với OE , chứng minh đường tròn tâm I bán kính IE tiếp xúc với  O  E tiếp xúc với đường thẳng AB F c) Chứng minh MN / / AB , M , N lần lươt giao điểm thứ hai AE , BE với đường tròn  I  d) Tìm giá trị nhỏ chu vi tam giác KPQ theo R E chuyển động đường tròn  O  , với P giao điểm NF AK ; Q giao điểm MF BK Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội E M A N I F B O P Q K  AK  KB a) Do EK phân giác AEB    AEK  BEK  KAB  45 Khi dễ dàng chứng minh KAF ~ KAE ( g.g ) b) Ta có điểm E , I , O thẳng hàng mà OI  OE  IE suy  I  tiếp xúc với  O  E Ta có: IE  IF  IEF  IFE EFA  FEB  FBE ( Tính chất góc ngồi ) EFA  FEB  FBE  FEI  IEB  FBE  FEI  2.IEB    EFA  IFE  IFA  FEI  2.IEB  IFE  FEI  IEB  2.FEB  2.45  90 Hay IF  AB Suy  I  tiếp xúc với AB F Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội c) Ta có: IM  IF  IME cân I  IEM  IME Lại OE  OA  OAE cân O  OAE  OEA  EMI  EAO mà chúng vị trí đồng vị  MN / / AB d) Ta chứng minh tứ giác: KPFQ hình chữ nhật  KQ  FP Mặt khác APF vuông cân P  FP  PA  KQ  PA  KQ  PK  PA  PK  AK  AB  2R Lại có: PQ  KF  OK  R   Suy ra: CVKPQ   R   CVKPQ   R Dấu “=” xảy E điểm cung AB Bài 4: ( Hà Nội 2009 – 2010 ) Cho  O; R  điểm A nằm bên ngồi đường trịn, kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm ) a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp b) Gọi E  BC  OA Chứng minh BE  OA OE.OA  R c) Trên cung nhỏ BC đường tròn  O; R  lấy điểm K ( K khác B, C ) Tiếp tuyến K đường tròn  O; R  cắt AB, AC theo thứ tự P, Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng đổi điểm K chuyển động cung nhỏ BC d) Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự M , N Chứng minh rằng: PM  QN  MN Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội M B P K O E A Q C N a) Do AB, AC tiếp tuyến  ABO  ACO  90  ABO  ACO  180 Tứ giác ABOC nội tiếp b) Theo tính chất tiếp tuyến cắt ta có: AB  AC Lại có OA  OB Suy OA đường trung trực đoạn thẳng BC  OB  AC Áp dụng hệ thức lượng tam giác ABO ta có: OE.OA  OB  R c) Theo tính chất tiếp tuyến cắt ta có: PK  PB; QK  QC  CVAPQ  AP  AQ  PQ   AP  PB    AQ  QC   AB  AC ( không đổi ) d) Ta có AMN cân A  AMN  ANM (1) Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Ta có: POQ  BOC 180  BAC BAC   90  2 Lại có: AOB  90  BAO  90  BAC  POQ  AOB  AOQ  POB  AOQ  BAC BAC  POB  2  OQN  POM (2) Từ (1), (2) ta chứng minh được: POM ~ OQN (g.g) PM OM MN 2    PM QN  OM ON  OM  ON QN Ta có: PM  QN  PM QN  MN  MN ( đccm ) Bài 5: ( Hà Nội 2010 – 2011 ) Cho đường trịn  O  đường kính AB  R điểm C thuộc đường tròn ( C khác A, B ) Lấy điểm D thuộc dây BC ( D khác B, C ) Tia AC cắt cung nhỏ BC điểm E , tia AC cắt BE F a) Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: DA.DE  DB.DC c) Chứng minh CFD  OCB Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE , chứng minh IC tiếp tuyến  O  d) Biết DF  R Chứng minh tg AFB  Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội F I E C D A O B a) Vì C   O  đường kính AB  ACB  90  FCD  90 Tương tự:  FED  90 Xét tứ giác FCDE có: FCD  FED  180  tứ giác FCDE nội tiếp b) Dễ dàng chứng minh: ADC ~ BDE ( g.g )  DA DC   DA.DE  DB.DC ( đccm ) DB DE c) Theo câu a) tứ giác FCDE nội tiếp nên: CFD  CED mà OBC  CED ( Tứ giác ACEB nội tiếp  O  Lại OCB cân O  OCB  OBC Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Suy ra:  CFD  OCB Xét tứ giác FCDE nội tiếp có: FCD  FED  90  tâm I trung điểm FD Khi đó: IC  ID  IF  ICF cân I  CFI  ICF  OCB  OCI  OCB  ICD  ICF  ICD  FCD  90 Suy ra: IC  OC mà C   O   IC tiếp tuyến  O  d) Chứng minh tương tự câu c) ta có: IE tiếp tuyến  O  Suy ra: ID  IE  ED R  2 Mặt khác theo tính chất tiếp tuyến cắt ta có IO tia phân giác CIE CIO  OIE  tan AFB  CIE  AFB CI R  OC Bài 6: ( Hà Nội 2011 – 2012 ) Cho đường trịn  O  đường kính AB  R Gọi d1 , d hai tiếp tuyến đường tròn A, B Gọi I trung điểm OA E điểm thuộc đường trịn ( E khơng trùng A, B ) Đường thẳng d qua E vng góc với EI cắt hai đường thẳng d1 , d M , N a) Chứng minh tứ giác AMEI tứ giác nội tiếp b) Chứng minh ENI  EBI MIN  90 c) Chứng minh: AM BN  AI BI d) Gọi F điểm cung AB khơng chứa điểm E  O  Hãy tính diện tích tam giác MIN theo R điểm E , I , F thẳng hàng Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 10 12 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội EMI  EAI  EMI  ENI  EAI  EBI  90 Suy ra: MIN  90  c) Ta có: AIM  BNI  90  BIN  Suy ra: AMI ~ BIN ( g.g )  AM AI   AM BN  AI BI BI BN d) Khi  E , I , F thẳng hàng Vì F điểm cung AB  EF phân giác AEB  AEI  BEI  45 Ta có:  AEI  AMI  45  AMI vng cân A  MI  AI  Tương tự: NI  IB  Suy ra: SMIN  R R 2 2 3R R  2 1 R 3R 3R MI NI   2 2 Bài 7: ( Hà Nội 2012 – 2013 ) Cho đường trịn  O; R  đường kính AB Bán kính OC vng góc với AB , M điểm cung nhỏ AC , ( M khác A, C ) BM  AC  H  K hình chiếu H AB a) Chứng minh tứ giác CBKH nội tiếp b) Chứng minh ACM  ACK c) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho AM  BE Chứng minh tam giác ECM vuông cân C d) Gọi d tiếp tuyến  O  A Gọi A điểm nằm d cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB AP.MB  R Chứng minh MA PB qua trung điểm HK Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 13 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội d C I M H P E N A K O B a) Vì C   O  đường kính AB  ACB  90 Lại có: HK  AB  HKB  90 Xét tứ giác BCHK : HKB  HCB  180 Suy tứ giác BCHK nội tiếp b) Theo câu a) BCHK nội tiếp  ACK  ABM mà ABCM nội tiếp  O   ABM  ACM Suy ra: ACM  ACK c) Vì C điểm cung AB nên AC  AB Lại có: MAC  EBC; MA  EB Khi ta có: MAC  EBC  c.g.c  Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 14 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Suy ra: CM  CE (1) Mặt khác: MCE  ECB mà HCE  ECB  90  HCE  MCA  MCE  90 (2) Từ (1),(2) ta có MCE vng cân C d) Theo giả thiết: AP.MB AP R OB R   MA MA MB MB Mặt khác: PMA  MBO ( góc tạo tia tiếp tuyến dây cung )  APM ~ BOM  c.g.c   APM cân P  PA  PM Gọi I   MB  d ta có: APM vng M , P  AI mà PM  PA Suy P trung điểm AI Lại do: AI / / HK   AB  Suy BP qua trung điểm HK ( Hệ đinh lí Ta – lét ) Bài 8: ( Hà Nội 2013 – 2014 ) Cho đường tròn  O  điểm A nằm bên ngồi đường trịn Kẻ hai tiếp tuyến AM , AN với đường tròn ( M , N tiếp điểm ) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn hai điểm B, C ( AB  AC , d không qua O ) a) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp b) Chứng minh rẳng: AN  AB AC Tính độ dài đoạn BC AB  4; AN  c) Gọi I trung điểm BC Đường thẳng NI cắt đường tròn  O  điểm thứ hai T Chứng minh MT / / AC d) Hai tiếp tuyến  O  B, C cắt K Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định đường thẳng d thay đổi thỏa mãn đề Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 15 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội K T M C I B O A N a) Do AM , AN tiếp tuyến  O   AMO  ANO  90 Xét tứ giác AMON : AMO  ANO  180  AMON nội tiếp b) Dễ dàng chứng minh: ABN ~ ANC ( g.g )  AB AN   AB AC  AN AN AC c) Vì I trung điểm BC  OI  BC  AIO  90 Khi tứ giác AION nội tiếp  AIN  AON  Mặt khác: MTN  MON MON Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 16 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Suy ra: MTN  AIN ( mà chúng vị trí đồng vị )  MT / / AC d) Dễ dàng chứng minh K , I , O thẳng hàng ( nằm đường trung trực BC ) Vì KB tiếp tuyến  O   KBO  90 Xét KBO vuông B, áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: OB  OI OK  OM Khi đó: MIO ~ KMO ( c.g.c )  KMO  MIO (1) Mặt khác ta chứng minh điểm A, M , I , O, N nằm đường tròn Suy ra: MNO  NMO  180  MIO (2) Từ (1),(2) ta có: NMO  180  KMO  NMO  KMO  180 Suy điểm K , M , N thẳng hàng Do M , N cố định nên K chuyển động đường thẳng cố định Bài 9: ( Hà Nội 2014 – 2015 ) Cho  O; R  đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường  O; R  ( M khác A, B ) Tiếp tuyến  O; R  B cắt đường thẳng AM , AN Q, P a) Chứng minh AMBN hình chữ nhật b) Chứng minh điểm M , N , P, Q nằm đường tròn c) Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vng góc với OE O cắt PQ F Chứng minh F trung điểm BP ME / / NF d) Khi đường kính MN quay quanh O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành cơng theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Q E M A B O F N P a) Do M   O  đường kính AB nên: AMB  90 Tương tự: ANB  MAN  90 Suy ra: AMBN hình chữ nhật b) Do QB tiếp tuyến  O   QB  AB  Khi đó: ABM  AQB  90  MBQ  Mặt khác AMBN hình chữ nhật  ABM  ANM Suy ra: ANM  MQB  tứ giác MNPQ nội tiếp, hay điểm M , N , P, Q thuộc đường tròn Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 17 18 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội c) Xét ABQ có OE đường trung bình  OE / / AQ OF  OE  OF / / AP mà   AP  AQ Xét APB có O trung điểm AB , OF / / AP nên F trung điểm BP Ta có E trung điểm BQ  ME  EQ  EB ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ) MEB cân E  MEB  180  EBM Tương tự: NFB  180  NBF Suy ra:   NFB  MEB  180  NBF  180  2MBE  360  NBF  MBE  360  2.90  180 Mà góc vị trí phía nên: ME / / NF d) Áp dụng hệ thức lượng tam giác APQ ta có: 1    2 AP AQ AB AP AQ    AP AQ  8R  2S APQ  8R  S APQ  R 2 4R AP AQ Lại có: AM  AN R AM AN    2R2 2  2S AMN  R  S AMN  R Ta có:  S APQ  R  S MNPQ  S APQ  S AMN  R  R  3R   S AMN  R   S MNPQ   3R Dấu “=” xảy khi:  AP  AQ   AM  AN  MN  AB Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 19 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Bài 10: ( Hà Nội 2015 – 2016 ) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm C đoạn thẳng AO ( C khác A, O ) Đường thẳng qua C vng góc với AB cắt nửa đường trịn K Gọi M điểm cung KB ( M khác K , B ) Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM , BM H , D Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn điểm thứ hai N a) Chứng minh tứ giác ACMD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CACB  CH.CD c) Chứng minh điểm A, D, N thẳng hàng tiếp tuyến N đường tròn qua trung điểm đoạn thẳng DH d) Khi M di động cung KB Chứng minh MN qua điểm cố định Hướng dẫn giải: D E K≡I M N F A C O Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! B 20 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội a) Vì M   O  đường kính AB  AM  MB  AMB  90 Xét tứ giác ACMD : ACD  AMB  90 Suy tứ giác ACMD nội tiếp b) Tương tự ta có: BCHM tứ giá nội tiếp  ADC  AMC  CBH  ACD ~ HCB ( g.g ) CA CD   CA.CB  CD.CH ( đccm ) CH CB c) Vì N   O  đường kính AB  AN  HB (1) Mặt khác xét: ABD có AH  DB; DH  AB  H trực tâm ABD  BH  AD (2) Từ (1),(2) suy ra: A, N , D thẳng hàng Giả sử NE tiếp tuyến N  O   E  DH   ENO  90 mà ANB  90  ENH  ANO Do: ANO  NAO  CHB  NHE Suy ra: ENH  EHN  ENH cân E  EN  EH Khi dễ dàng chứng minh: EN  ED Suy ra: E trung điểm ND d) Gọi F   MN  AB Từ F dựng tiếp tuyến FI với  O  Ta có: MCN  MCH  NCH  NAH  MBH  180  ADB (3) Lại có: MON  180  NOA  MOB Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 21 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội  NOA  180  DAB  NOA  MOB  360  180  ADB  ADB   MOB  180  DBA   Suy ra: MON  180  ADB (4) Từ (3),(4) ta có: MON  MCN Suy ra: MOCN nội tiếp  FN.FM  FC.FO Lại có: FM FN  FI  FI  FC.FO  FIC ~ FOI ( c.g.c )  FCI  FIO  90  IC  AB Suy ra: I  K Suy F giao điểm đường thẳng AB tiếp tuyến  O  K Bài 11: ( Hà Nội 2016 – 2017 ) Cho đường tròn  O  điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn O  ( B tiếp điểm ) đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I ( I khác C , O ) Đường thẳng AI cắt đường tròn hai điểm D, E ( D nằm A, E ) Gọi H trung điểm đoạn thẳng DE a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, H nằm đường tròn b) Chứng minh AB BD  AE BE c) Đường thẳng d qua E song song với AO , d cắt BC K Chứng minh HK / / DC d) Tia CD cắt AO P , tia EO cắt BP F Chứng minh tứ giác BECF hình chữ nhật Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 22 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội B F P M O A I D H E K C a) Vì H trung điểm DB  OH  DB hay  OH  DB Lại có AB tiêó tuyến  O   ABO  90 Xét tứ giác ABOH : ABO  AHO  180 Suy tứ giác ABHO nội tiếp b) Ta có: ABD  AED ( góc tạo tia tiếp tuyến dây cung ) Khi dễ dàng chứng minh: ABD ~ AEB ( g.g )  AB BD  AE BE c) Ta có: HK / / AO  OAH  HEK ( góc so le ) mà OAH  HBO  HEK  HBO  BHCE nội tiếp  IHK  IBE  IDC  HK / / DC ( góc vị trí đồng vị ) d) Gọi M   HK  AO Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 23 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Theo định lí Ta – lét ta có: Lại có: OC R OP   KC KC PM (1) AP AD AD   PM DH HE Dễ dàng chứng minh: APD ~ EKH ( g.g )  (2) AP AD  EK HE (3) Từ (2), (3) ta có: PM  EK Suy ra: R OP OB   KC EK KC Lại có: BOP  AHB  180  AHE  180  BKE  EKC Suy ra: PBO ~ ECK PBO ~ ECK  PBO  KCE  OEC Suy tứ giác BECF nội tiếp mà B, E, C   O   F   O  Lại do: BC , EF đường kính nên BECF hình chữ nhật Bài 12: ( Hà Nội 2017 – 2018 ) Cho đường tròn  O  ngoại tiếp tam giác ABC Gọi M , N điểm cung nhỏ AB cung nhỏ BC Hai dây AN , CM cắt điểm I Dây MN cắt cạnh AB, BC H , K a) Chứng minh bốn điểm C , N , K , I đường tròn b) Chứng minh: NB  NK NM c) Chứng minh BHIK hình thoi d) Gọi P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK E trung điểm đoạn thẳng PQ Vẽ đường kính ND đường tròn  O  Chứng minh điểm D, E , K thẳng hàng Hướng dẫn giải: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 24 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội D A Q E M F H I O P J K B C N a) Do M , N điểm cung nhỏ AB, BC nên ta có: sđ MA = sđ MB ; sđ NB = sđ NC ta có: NIC     1 sđ MA  sđ NC ; NKC  sđ MB  sđ NA 2  Suy ra: NKC  NIC  CNKI tứ giác nội tiếp hay C , N , K , I thuộc đường tròn b) Do sđ NB = sđ NC  BMN  KBN Dễ dàng chứng minh: BMN ~ KBN ( g.g )  BN NK   NB  NK NM NM NB c) Chứng minh tương tự câu a) ta có: AMHI tứ giác nội tiếp Khi ta có: AHI  AMI mà AMI  ABI Suy ra: AHI  ABI mà chúng vị trí đồng vị  HI / / BK Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 25 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Tương tự ta có: IK / / HB Suy ra: BHIK hình bình hành (1) Nhận thấy I giao điểm đường phân giác ABC  BI phân giác ABC  IBK  ABC Gọi  J   BI  HK Lại có: BKJ  1 ACB ABC sđ BM  sđ CN   2 2 Xét BJK có: IBK  BKP  ABC  ACB  BAC 180   90 2 Suy ra: BJK vuông J hay HK  BI Từ (1), (2) suy tứ giác BHIK hình thoi d) Ta có N điểm BC  BMN  NBC Khi xét  P  ta có PB tiếp tuyến  P   PB  BN Mặt khác xét  O  có ND đường kính nên BD  BN Ta có:  BD  BN   BP  BN  B, P, D thẳng hàng Chứng minh tương tự ta có: C , Q, D thẳng hàng Ta có: BHK ;CKQ tam giác cân P, Q Mặt khác: HBK  QCK BDC cân C Suy ra: HKB  QCK ( mà góc vị trí so le )  HK / / DQ Tương tự: QK / / HD Suy ra: DHKQ hình bình hành Do E trung điểm HQ nên D, E , K thẳng hàng Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! (2) Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 26 ... Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! 19 Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp. Hà Nội Bài 10: ( Hà Nội 2015 – 2016 ) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính... 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp. Hà Nội Bài 2: ( Hà Nội 2007 – 2008 ) Cho  O; R  tiếp xúc với đường thẳng d A Trên... đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn! Tuyển tập tốn Hình học đề thi vào lớp 10 Tp. Hà Nội M B P K O E A Q C N a) Do AB, AC tiếp tuyến  ABO  ACO  90  ABO  ACO  180 Tứ giác ABOC nội tiếp b)