Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 19 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
19
Dung lượng
309,32 KB
Nội dung
-99- Chơng 8 ChuyểnđộngsongphẳngCủavậtrắn 8.1. Phơng trình chuyển động, vận tốc và gia tốc của cả vật. 8.1.8.Định nghĩa và phân tích chuyểnđộngsong phẳng. Chuyểnđộngsongphẳngcủavậtrắn là chuyểnđộng khi mỗi điểm thuộc vật luôn luôn chuyểnđộng trong một mặt phẳng cố định songsong với mặt phẳng quy chiếu đã chọn trớc ( mặt phẳng cơ sở ). Nói cách khác chuyểnđộngsongphẳng là chuyểnđộngcủavật khi mỗi điểm của nó trong quá trình chuyểnđộng có khoảng cách đến mặt phẳng cơ sở là không đổi . Trong kỹ thuật có nhiều chi tiết máy chuyểnđộngsongphẳng nh bánh xe lăn trên một đờng thẳng, thanh biên trong cơ cấu biên tay quay, ròng rọc động v v . a x y O (s) Hình 8.1 x B (S) A x A y 1 y O b M' x 1 .Xét vậtrắn A chuyểnđộngsongphẳng có mặt phẳng cơ sở (hình 8.1 ) Đờng thẳng ab thuộc vật vuông góc với mặt phẳng cơ sở, sẽ thực hiện chuyểnđộng tịnh tiến. Mọi điểm nằm trên đờng thẳng này có chuyểnđộng nh nhau và đợc đặc trng bởi chuyểnđộngcủa điểm M năm trên ab. Nếu xem vật là tập hợp vô số các đờng ab nh vậy suy ra chuyểnđộngcủavật đợc đặc trng bởi tiết diện S trên mặt phẳng oxy. Mô hình bài toán chuyểnđộngsongphẳngcủavậtrắn đợc đa về nghiên cứu chuyểnđộngcủa một tiết diện (S) trong mặt phẳng oxy của nó (hình 8.2) gọi tắt là Hình 8-2 -100- chuyểnđộngphẳngcủa tiết diện S. Vị trí của tiết diện (S) trong mặt phẳng oxy đợc xác định khi ta biết đợc vị trí của một đoạn thẳng AB thuộc tiết diện (S). Xét chuyểnđộngcủa tiết diện (S) từ vị trí (1) xác định bởi vị trí đoạn thẳng A 1 B 1 đến vị trí (2) xác định bởi vị trí của đoạn thẳng A 2 B 2 ( hình 8.3). Dễ dàng thấy rằng ta có thể thay thế chuyểnđộngcủa tiết diện (S) bằng hai chuyểnđộng cơ bản sau : Cho tiết diện (S) chuyểnđộng tịnh tiến theo cực A hay cực B từ vị trí A 1 B 1 đến vị trí A ' 1 B 2 hay A 2 B ' 1 . Tiếp theo ta quay tiết diện S quanh A 2 hay B 2 một góc 1 hay 2 . Vì A 2 B' 1 //A' 1 B 2 nên ở đây 1 = 2 = . Có thể đi đến kết luận ; chuyểnđộngcủa tiết diện (S) trong mặt phẳngcủa nó (chuyển độngsongphẳng ) luôn luôn có thể phân tích thành hai chuyển động: tịnh tiến theo một tâm cực và chuyểnđộng quay quanh tâm cực đó. Chuyểnđộng tịnh tiến phụ thuộc vào tâm cực nhng chuyểnđộng quay không phụ thuộc vào tâm cực. Nh vậy chuyểnđộngsongphẳng chính là chuyểnđộng tổng hợp củavậtrắn khi nó đồng thời tham gia hai chuyểnđộng quay quanh một trục có phơng không đổi và tịnh tiến theo phơng vuông góc với trục quay. 8.1.2. Phơng trình chuyển động, vận tốc và gia tốc củavật . Xét tiết diện (S) chuyểnđộng trong mặt phẳng oxy chứa nó. Nếu chọn A là tâm cực và dựng đoạn thẳng AB trên tiết diện ta sẽ thấy vị trí của tiết diện (S) trong mặt phẳng oxy sẽ đợc xác định nếu ta biết vị trí của cực A và phơng của AB so với trục ox. Nói khác đi, thông số định vị của tiết diện (S) trong mặt phẳng oxy là x A , y A , và (hình 8.4). A 1 B 1 (S) A 2 B 2 B' 1 A' 1 2 1 Hình 8-3 x B (S) A x A y O y A Hình 8-4 -101- Trong thời gian chuyểnđộng các thông số này biến đổi theo thời gian ta có : x A = x A (t) y A = y A (t) (8.1) = (t) Biết quy luật biến đổi (8.1) ta có thể xác định vị trí của tiết diện (S) ở bất kỹ thời điểm nào. Các phơng trình (8.1) là phơng trình chuyểnđộngcủa tiết diện phẳng (S) trong mặt phẳngcủa nó (phơng trình chuyểnđộngsongphẳng ). Từ phơng trình chuyểnđộng (8.1) ta thấy vận tốc và gia tốc củavật đợc biểu diễn bởi hai thành phần : vận tốc và gia tốc trong chuyểnđộng tịnh tiến theo tâm cực A là : AA w,v rr . Vận tốc góc và gia tốc góc của tiết diện trong chuyểnđộng quay quanh tâm cực A là , . Vì chuyểnđộng tịnh tiến phu thuộc tâm cực A nên vận tốc và gia tốc trong chuyểnđộng tịnh tiến phụ thuộc vào tâm cực A. Ta có : Ai2A1A vvv rrr Ai2A1A www rrr S A O Chuyểnđộng quay không phụ thuộc vào tâm A nên có : A1 = A2 = Ai = Hình 8.5 A1 = A2 = Ai = Vận tốc góc và gia tốc góc có thể biển diễn bằng véc tơ vuông góc với tiết diện (S) nh hình( 8.5) . Khi hai véc tơ này cùng chiều ta có chuyểnđộng quay nhanh dần và nếu chúng ngợc chiều có chuyểnđộng quay chậm dần. -102- 8.2. Phơng trình chuyển động, vận tốc và gia tốc của điểm Trên vậtchuyểnđộngsongphẳng 8.2.1. Phơng trình chuyểnđộng Xét điểm M bất kỳ trên tiết diện. Giả thiết chọn tâm cực A có toạ độ x A y A (hình 8-6). M r' r A r A O x y Ký hiệu góc hợp giữa AM với phơng ox là và khoảng cách AM = b.Toạ độ của điểm M trong chuyểnđộng tuyệt đối so với hệ quy chiếu oxy có thể xác định : x M = x A +b.cos ; Hình 8.6 y M =y A + b.sin ; Các thông số x A , y A và là các hàm của tthời gian, nghĩa là : x A = x A (t) y A = y A (t) = (t) Do đó x M , y M cũng là hàm của thời gian . Ta có : x M =x M (t) = x A (t)+b.cos(t) ; y M =y M (t)=y A (t)+ b.sin (t); (8.2) (8.2) là phơng trình chuyểnđộngcủa điểm M. Cũng có thể thiết lập phơng trình chuyểnđộngcủa điểm M dới dạng véc tơ. Trên hình 8-6 có : r =r(t)=r A + r' (8.2a) ở đây r' =AM có độ lớn không đổi bằng b, và quay quanh trục A với vận tốc góc là . 8.2.2. Các định lý vận tốc của điểm 8.2.2.1. Các định lý vận tốc của điểm trên vậtchuyểnđộngsongphẳng Định lý 8-1: Vận tốc của một điểm bất kỳ trên tiết diện chuyểnđộngsongphẳng bằng tổng hình học của vận tốc tâm cực A và vận tốc góc của điểm đó trong chuyểnđộngcủa tiết diện quay quanh trục A với vận tốc góc . Ta có : -103- MAAM vvv rrr += . Chứng minh định lý : Từ phơng trình chuyểnđộng (8-2a) ta có : dt 'rd d t rd d t rd v A M r r r r +== . Thay AMv d t 'rd ;v d t rd MAA A ì=== r r r r r Ta sẽ có MAAM vvv rrr += , định lý đợc chứng minh. Cần chú ý véc tơ vận tốc của điểm M quay quanh A ký hiệu là AM v r có phơng vuông góc với AM, có chiều hớng theo chiều quay của vận tốc (hình 8-6). Định lý 8-2 : Định lý về hình chiếu vận tốc hai điểm Trong chuyểnđộngsongphẳngcủa tiết diện S (chuyển độngsong phẳng) hình chiếu vận tốc của hai điểm bất kỳ trên tiết diện lên phơng nối hai điểm đó luôn luôn bằng nhau. ( ) ( ) AB B AB A vv rr = Chứng minh định lý : Theo định lý 8-1, nếu chọn A làm tâm cực thì vận tốc điểm B xác định theo biểu thức : BAAB vvv rrr += với vuông góc AB. Chiếu biểu thức trên lên phơng AB ta có : () BA v r () ( ) AB BA AB A AB B vvv rrr += . Trong đó : () 0v AB BA = r vì ABv BA r . A v B v BA v A v A 90 B b a Định lý đã đợc chứng minh. Hình 8.7 Ta có thể minh họa định lý trên bằng hình vẽ( 8-7). Trên hình vẽ ta có : Aa = Bb hay v A cos = v B cos . 8.2.2.2. Tâm vận tốc tức thời - Xác định vận tốc của điểm trên tiết diện chuyểnđộngphẳng theo tâm vận tốc tức thời - Tâm vận tốc tức thời là điểm thuộc tiết diện có vận tốc tức thời -104- bằng không. Nếu gọi P là tâm vận tốc tức thời thì : v P = 0. Định lý 8-3 : Trong chuyểnđộngsongphẳngcủavậtrắn tại mỗi thời điểm luôn luôn tồn tại một và chỉ một tâm vận tốc tức thời. Chứng minh định lý : Xét tiết diện (S) chuyểnđộngphẳng với vận tốc của tâm cực A là A v r và vận tốc góc trong chuyểnđộng quay là . Quay véc tơ V đi một góc bằng 90 theo chiều quay của ta sẽ dựng đợc tia . Trên tia lấy một điểm P cách A một đoạn = A v AP (hình 8.8) Theo biểu thức (8-2) ta có : . ở đây PAAP vvv rrr += == A PA v PA.v = v A . v A A d (S) A v A P v PA Phơng của PA v r vuông góc với AP hớng theo chiều quay vòng của nghĩa là PA v r có độ lớn bằng với độ lớn của v A , cùng phơng nhng ngợc chiều với A v r . Hình 8.8 Thay vào biểu thức tính P v r ta đợc v P = v A - v A = 0 chính là tâm vận tốc tức thời. Chứng minh tính duy nhất của tâm vận tốc tức thời : Giả thiết tại thời điểm trên vật có hai tâm vận tốc tức thời P 1 và P 2 với v P1 = 0 và v P2 = 0. Theo định lý 8-1 ta có : 1P2P1P2P vvv rrr += hay 1P2P v00 r += . Thay v P2P1 = . P 2 P 1 ta thấy v P2P1 = 0 khi = 0 hoặc P 2 P 1 = 0. Vì vậtchuyểnđộngsongphẳng nên 0 vậy chỉ có thể P 2 P 1 = 0. Điều này có nghĩa P 1 trùng với P 2 . Không thể có hai tâm vận tốc tức thời khác nhau cùng tồn tại ở một thời điểm. -105- - Xác định vận tốc trên vậtchuyểnđộngsongphẳng theo tâm vận tốc tức thời P. Xét vậtchuyểnđộngsongphẳng có vận tốc góc và tâm vận tốc tức thời P. Theo biểu thức (8-2) nếu lấy P làm tâm cực ta viết biểu thức vận tốc của điểm M nh sau : 90 0 90 0 (S) v B B v A A a b P MPPM vvv rrr += Thay v P = 0 ta có : MPM vv rr = Nh vậy vận tốc tức thời của điểm M đợc tính nh vận tốc của điểm M trong chuyểnđộngcủavật quay tức thời quanh tâm vận tốc tức thời P. Hình 8.9 M v r có phơng vuông góc với PM, hớng theo chiều quay vòng của quanh P, có độ lớn v M =PM . Ta có kết luận : vận tốc của điểm bất kỳ trên vậtchuyểnđộngsongphẳng luôn luôn hớng vuông góc và tỷ lệ thuận với khoảng cách từ tâm vận tốc tức thời đến điểm. Quy luật phân bố vận tốc các điểm biểu diễn trên hình ( 8-9.). Trong thực hành có thể xác định tâm vận tốc tức thời P theo một số trờng hợp sau : Trờng hợp 1 : Vậtchuyểnđộng lăn không trợt trên một đờng thẳng hay đờng cong phẳng cố đ ịnh (hình 8-10a) có thể xác định ngay điểm tiếp xúc chính là tâm vận tốc tức thời vì rằng điểm đó có vận tốc bằng không. Trờng hợp 2: Khi biết phơng vận tốc hai điểm hay quỹ đạo chuyểnđộngcủa hai điểm trên vậtchuyểnđộngsongphẳng thì tâm vận tốc tức thời là giao điểm của hai đờng thẳng kẻ vuông góc với hai phơng vận tốc hay hai phơng tiếp tuyến của quỹ đạo tại hai điểm đó (hình 8-10b). Trong trờng hợp này nếu hai đờng đó songsong với nhau có nghĩa tâm P ở xa vô cùng, ta nói vật tức thời chuyểnđộng tịnh tiến (hình 8-10b). Trờng hợp 3: Khi biết độ lớn và phơng chiều vận tốc hai điểm nằm trên cùng một đờng thẳng vuông góc với vận tốc hai điểm đó (hình 8-10c), tâm P là -106- giao điểm củađờng thẳng đi qua hai mút véc tơ vận tốc và đờng thẳng đi qua hai điểm đó. c) v A P B A v B b) v B P v A Pặ v A v B P S v A P A B v B a) Hình 8.10 Thí dụ 8.1: Cơ cấu phẳng biểu diễn trên hình (8-11) có vận tốc BA v,v rr của hai con trợt A và B đã biết. Xác định vận tốc của khớp C. Bài giải: Khi cơ cấu hoạt động thì các thanh biên AC và BC chuyểnđộngsong phẳng. Để xác định vận tốc của điểm C ta áp dụng định lý hình chiếu vận tốc cho thanh AC và BC. Vì v A và v B đã biết nên dễ dàng xác định đợc hình chiếu của chúng lên phơng AC và BC là Aa và Bb . Tại C kéo dài các đoạn thẳng AC và BC, Trên đó lấy các điểm C 1 , C 2 với CC 1 = Aa, CC 2 = Bb. Các đoạn này là hình chiêú của V C lên hai phơng AC và BC. Ta vẽ tứ giác vuông góc tại C 1 và C 2 (hình 8-11) đờng chéo CC' của tứ giác đó chính là vận tốc V C . A K C C 1 C 2 b a v A v B B Hình 8.11 B A O 2 Hình 8.12 v c Thí dụ 8-2 : Tay quay OA quay quanh trục O với vận tốc góc không đổi n =60 vòng / phút và dẫn động cho thanh biên AB gắn với bánh xe 2 (hình 8-12). Bánh xe 2 truyền chuyểnđộng cho bánh xe 1 -107- 1 không gắn với tay quay OA nhng quay quanh trục O. Xác định vận tốc con trợt B; Vận tốc góc của bánh xe 1 tại thời điểm khi tay quay OA songsong và vuông góc với phơng ngang. Cho biết cơ cấu cùng nằm trong một mặt phẳng và r 1 = 50 cm ; r 2 = 20 cm; AB = 130 cm. Bài giải : Cơ cấu có 5 khâu : bánh xe 1 chuyểnđộng quay quanh trục O; con trợt B chuyểnđộng tịnh tiến theo phơng ngang; Thanh AB chuyểnđộngsongsong phẳng; Bánh xe 2 chuyểnđộngsong phẳng; tay quay OA chuyểnđộng quay quanh O. 1) Xét trờng hợp tay quay OA ở vị trí songsong với phơng ngang (hình 8-12a). Vận tốc góc thanh OA là : s/12 30 60 30 n = = = . Vận tốc điểm A : v A =OA . = 2 . (r 1 - r 2 ) = 60 = 188,5 cm / s. Trên thanh AB có phơng vận tốc hai điểm A và B đã biết nên xác định đợc tâm vận tốc tức thời P 1 (hình 8-12a). B b) A O I v B P AB Cv C v A II B a) v A I II I O A 2 v C P 2 C Hình 8.12 -108- Từ hình vẽ xác định đợc : P 2 B = r 1 = 50cm cm12050130BPABAP 222 AB 2 2 =+== P 2 C = P AB - r 2 = 120 - 20 = 100cm Xác định vận tốc của các điểm A, B, C theo tâm vận tốc tức thời P 2 và vận tốc 1 của thanh AB ta có ; V A = 2 . P 2 A; V B = 2 . P 2 B; V c = 2 . P 2 C; Trong đó : )s/1( 2120 60 AP V 2 A 2 = == Thay vào các biểu thức của V B và V C ta có : )s/cm(2550. 2 V B = = )s/cm(50100. 2 V C = = Vì bánh xe 2 ăn khớp với bánh xe 1 nên vận tốc điểm C còn có thể xác định theo công thức : V C = 1 . r 1 suy ra : == 1 C 1 r V (1/s) 2) Tay quay OA ở vị trí thẳng đứng (hình 8-12b). Tại vị trí này vận tốc hai điểm A và B songsong với nhau vì thế theo định lý hình chiếu ta có : V A cos = V B cos suy ra BA VV rr = . Thanh AB tức thời chuyểnđộng tịnh tiến. Mọi điểm trên nó và bánh xe 2 gắn với nó có chuyểnđộng nh nhau. Ta có : [...]... Gia tốc của điểm M bất kỳ thuộc tiết diện (S) chuyển độngsong phẳng, bằng tổng hình học gia tốc của tâm cực A và gia tốc của điểm M trong chuyểnđộngcủa tiết diện quay quanh A (hình 8-14) r r r w M = w A + w MA (8-4) r r r Trong đó : w MA = w + w n MA MA Với : WMA = .AM và WnMA = 2.AM Chứng minh định lý : Đạo hàm bậc hai theo thời gian phơng trình chuyểnđộng (8-2) ta có : r r r d 2 r d 2 rA d 2 r... AM = VMA dt r r r r r Ta có : w M = w A + ì AM + ì VMA r ì AM là gia tốc pháp tuyến của M trong chuyểnđộngcủa (S) quay quanh A r r ì VMA là gia tốc pháp tuyến của M trong chuyểnđộngcủa (S) quay quanh A Ta đã chứng minh đợc : r r r r w M = w A + w MA + w n MA Vì các véc tơ có phơng vuông góc với mặt phẳngcủa tiết diện nghĩa là r vuông góc với AM và VMA nên dễ dàng tìm đợc : WMA = AM còn WMAn... có : Wj = 0 Định lý 8-4 : Tại mỗi thời điểm trên tiết diện chuyển độngsongphẳng luôn tồn tại một và chỉ một tâm gia tốc tức thời J Chứng minh tính tồn tại của tâm gia tốc tức thời : giả thiết tiết diện chuyển độngsongphẳng với vận tốc góc và gia tốc góc là và Trên tiết diện có điểm A biết gia tốc WA (hình 8-15) Xoay WA theo chiều quay của quanh A đi một góc à với tgà = Dựng nửa đờng thẳng Ax... quay của bánh răng 1 quanh P (hình vẽ 8-13) Thanh BD chuyển độngsong phẳng, Đầu B có vận tốc đã xác định, đầu D có phơng vận tốc vuông góc với CD do đó nhận đợc tâm vận tốc thức thời P1 nh trên hình vẽ Trên hình ta có P1B = 1 2 Vận tốc điểm B đợc xác định theo P1: 2 VB = P1.B.BD suy ra : BD = VB R = 4 OA P1B 1 Chiều quay của BD nh hình vẽ 8.2.3 Gia tốc của điểm 8.2.3.1 Định lý 8-3 : Gia tốc của điểm... và gia tốc của tầu là Vc = 0,4 m/s và WC = 0,2 m/s2 Xác định gia tốc của các điểm M1, M2, M3, M4 trên vành ngoài của bánh xe tại thời điểm đang wnMC xét nh hình (8-23) Biết r = 40cm, R = wMC 50cm Bài giải : Bánh xe chuyểnđộngsong M2 wC wMC M1 wC w n MC w4 phẳng đã biết vận tốc và gia tốc tâm C Trớc hết xác định vận tốc góc w2 w1 wMC wC wnMC C w w3 n wC M3 wMC MC M4 wC và gia tốc góc của bánh xe... A O Xác định vận tốc góc của vA P thanh truyền BD tại thời điểm có B 450 0 góc BDC = 45 Cho BD = 1 (cm) 450 vB C 900 Bài giải : P1 0 45 Trong cơ cấu bánh răng I và thanh truyền BD chuyểnđộngsong D 900 phẳng Bánh răng 1 có tâm vận tốc tức thời P Vận tốc điểm A đợc Hình 8.13 tính nh sau : VA=OA 2R r VA hớng vuông góc với OA theo chiều quay vòng của OA Suy ra vận tốc góc của bánh răng 1 : 1 = VA 2R.OA... lăn trên vành 2 2 wA D vA wAn P bánh răng 1 và nhận chuyểnđộng từ tay quay OA quay với vận tốc góc là OA và gia tốc góc OA (hình 8-25a) Xác định gia tốc điểm D trên vành bánh răng 2 tại thời điểm có ; OA =1 rad/s 2 và OA = =4 rad/s2 a) O y w D 2 w nD A D x wA 2 wAn b) 1 Hình 8.25 -117Bài giải : Bánh răng 2 chuyển độngsongphẳng Vận tốc và gia tốc của tâm A đợc xác định : vA = OA.OA = 0,5 m/s ; WA... tiết diện chuyểnđộngphẳng Nếu trên tiết diện có một tâm gia tốc tức thời J và chọn J là tâm cực thì gia tốc của điểm M trên tiết diện có thể xác định theo biểu thức : r r r w M = w J + w MJ Vì wJ = 0 nên có thể viết : r r r r w M = w MJ = w + w n MJ MJ Về trị số w M = MJ 2 + 4 có phơng hợp với MJ một góc à với tgà = theo chiều quay của quanh J (hình 8-16) Nh vậy ta nhận thấy gia 2 tốc của các... -2 m/s2; WAn = OA.2 = 0,5 m/s2 Ta có thể xác định đợc vận tốc góc 2 của bánh răng 2 : 2 = v A 0,5 = = 2,5rad / s r2 0,2 Chiều quay của 2 nh hình vẽ (8-25) Gia tốc góc 2 của bánh răng 2 đợc xác định theo biểu thức : d2 l dv A w a 2 2 = = 2 = = = 10rad / s 2 dt r dt r2 0,2 Điều này chứng tỏ bánh răng 2 chuyểnđộng chậm dần, chiều của 2 ngợc chiều với 2 Gia tốc điểm D có thể viết : r r r r r wD = w... tgà = 2 hớng theo chiều quay của r r quanh A Nh trên hình vẽ (8-15) ta thấy hai véc tơ gia tốc w A và w JA có độ lớn bằng nhau songsong và ngợc chiều do đó : r r r w J = w A + w JA = 0 x wM A wA wM wA wM à M Hình 8.14 wA J wB à A wC B à C wA à A wA Hình 8.15 x J Hình 8.16 Điểm J chính là tâm gia tốc tức thời của tiết diện Tiếp theo ta chứng minh tính duy nhất của tâm gia tốc tức thời J : . Chơng 8 Chuyển động song phẳng Của vật rắn 8. 1. Phơng trình chuyển động, vận tốc và gia tốc của cả vật. 8. 1 .8. Định nghĩa và phân tích chuyển động song phẳng. . phẳng. Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động khi mỗi điểm thuộc vật luôn luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định song song với mặt phẳng