Tài liệu Cơ sở lý thuyết về phân tích động học vật rắn không gian ppt

Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian - 1 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT CHUNG VỀ PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC VẬT RẮN KHÔNG GIAN 2.1 Ma trận cosin chỉ hướng 2.1.1 Định nghĩa ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn. Cho vật rắn B và hệ qui chiếu R 0 = { } (0) (0) (0) 123 ,,eee r rr . Trong đó (0) 1 e r , (0) 2 e r , (0) 3 e r là ba vector đơn vị trên các trục Ox 0 ,Oy 0 ,Oz 0 . Ta gắn chặt vào vật rắn một hệ qui chiếu R= { } 123 ,,eee rr r với 1 e r , 2 e r , 3 e r là ba vector đơn vị trên các trục Ax,Ay,Az (Hình 2.1). Hình 2.1 Định nghĩa : Ma trận vuông cấp ba =A (0) (0) (0) 11 12 13 (0) (0) (0) 21 22 23 (0) (0) (0) 31 32 33 eeee ee eeee ee eeee ee ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ rrrr rr rrrr rr rrrr rr (2.1) được gọi là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B đối với hệ qui chiếu R 0 . Nếu ta đưa vào ký hiệu : (0) (0) .cos(,) ij i i i i aee ee== rr r r , (i,j = 1,2 3) (2.2) Thì ma trận cosin chỉ hướng (2.1) có dạng: =A 11 12 13 21 22 23 31 32 33 aaa aaa aaa ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ (2.3) O e 3 (0) (0) e 1 e (0) 2 e 3 e 1 e 2 X Z Y X B A 0 0 Y Z 0 Z 1 Y 1 X 1 Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian - 2 - Từ định nghĩa trên, trong hệ qui chiếu R 0 ta có các hệ thức liên hệ: (0) (0) (0) 1111 122 133 (0) (0) (0) 2211 222 233 (0) (0) (0) 3311 322 333 eaeaeae eae ae ae eae ae ae =++ =++ =++ r rrr r rrr r rrr (2.4) Nếu ta ký hiệu e i là ma trận cột gồm các phần tử của vector i e r trong hệ qui chiếu R 0 1 =e 11 21 31 a a a ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ , 2 = e 12 22 32 a a a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , 3 = e 13 23 33 a a a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (2.5) Thì ma trận cosin chỉ hướng (2.3) có dạng: A=[e 1 ,e 2 ,e 3 ] (2.6) Ma trận cosin chỉ hướng A còn được gọi là ma trận quay của vật rắn. 2.1.2 Một vài tính chất cơ bản của ma trận cosin chỉ hướng a) Tính chất 1: Ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao. Theo công thức (2.6) : A=[e 1 ,e 2 ,e 3 ] Vậy ma trận cosin chỉ hướng A là ma trận cột có ba cột là ba vector trực chuẩn. Do đó A là ma trận trực giao. Hệ quả: Trong 9 thành phần của ma trận cosin chỉ hướng có 3 thành phần độc lập. Do tính chất của ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao nên A.A T =E. Từ đó nhận được 6 phương trình liên hệ giữa các thành phần của ma trận cosin chỉ phương như sau: 222 11 21 31 222 12 22 32 222 13 23 33 1 1 1 aaa aaa aaa ++= ++= ++= , 11 12 21 22 31 32 11 13 21 23 31 33 12 13 22 23 32 33 0 0 0 aa aa aa aa aa aa aa aa aa + += + += + += Do vậy chỉ có ba thành phần của ma trận cosin chỉ hướng là độc lập. b) Tính chất 2: Định thức của ma trận cosin chỉ hướng det(A)=1. Từ hệ thức A.A T = E ta suy ra: det( A.A T ) = det(A).det(A T ) = det(E) = 1 Do : det( A) = det(A T ) nên to có det(A) = 1 ± . Ta có thể chứng minh det( A) = 1. Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian - 3 - c) Tính chất 3 : Ma trận cosin chỉ hướng có ít nhất một trị riêng 1 1 λ = . 2.1.3 Ý nghĩa của ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn Xét hai hệ qui chiếu R 0 và R có cùng gốc O. Trong đó hệ qui chiếu R 0 ≡ Ox 0 y 0 x 0 là hệ qui chiếu cố định, hệ qui chiếu R ≡ Oxyz gắn liền với vật rắn B. Lấy một điểm P bất kỳ thuộc vật rắn B. Vị trí của điểm P được xác định bởi vector định vị P OP r= uuur r . (Hình vẽ 2.2) Hình 2.2 Ký hiệu các tọa độ của điểm P trong hệ qui chiếu động Oxyz là x P , y P , z P , các tọa độ của điểm P trong hệ qui chiếu cố định Ox 0 y 0 z 0 là (0) P x , (0) P y , (0) P z . Ta có các hệ thức sau : (0) (0) (0) (0) (0) (0) 123 PP P P rxe ye ze=++ rr r r (2.7) 123 PP P P rxeyeze=++ rr rr (2.8) Thế các biểu thức (2.4) vào hệ thức (2.8) ta được : (0) (0) (0) 11 1 21 2 31 3 (. . . ) PP rxae ae ae=+++ rrrr (0) (0) (0) 12 1 22 2 32 3 (. . . ) P yaeaeae + ++ rrr (2.10) (0) (0) (0) 13 1 23 2 33 3 (. . . ) P zaeaeae++ rrr Hay : (0) 11 12 33 1 (. . .) PPPP raxayaze=++ + rr (0) 31 32 33 2 (. . .) PPP ax ay aze++ + r (2.11) (0) 31 32 33 3 (. . .) PPP ax ay aze++ r e 3 (0) e 2 (0) e 1 (0) e 3 e 1 e 2 Z Y Y X 0 Z 0 X 0 P B Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian - 4 - Z Y X O θ Ψ ϕ So sánh các biểu thức (2.7) và (2.11) ta suy ra hệ phương trình : (0) 11 12 33 P PPP x ax ay az=++ (0) 31 32 33 P PPP yaxayaz=++ (2.12) (0) 31 32 33 P PPP zaxayaz=++ Hệ phương trình (2.12) có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau : (0) 11 12 13 (0) 21 22 23 (0) 31 32 33 . P P P P P P x x aaa yaaay aaa z z ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎦ (2.13) Từ hệ phương trình (2.13) ta rút ra kết luận sau : Ma trận cosin chỉ hướng A biến đổi các tọa độ của điểm P bất kỳ thuộc vật rắn trong hệ qui chiếu động Oxyz sang các tọa độ của điểm P đó trong hệ qui chiếu cố định Ox 0 - y 0 z 0 . 2.2 Các ma trận quay cơ bản Ta qui ước hướng quay dương là hướng quay ngược chiều kim đồng hồ như hình vẽ (Hình 2.3). Hình 2.3 Các phép quay quanh trục x, y, z của hệ tọa độ vuông góc Oxyz được gọi là phép quay cơ bản. Ta tìm ma trận quay của phép quay quanh trục x 0 một góc ϕ (Hình 2.4). Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian - 5 - Hình 2.4 Theo công thức định nghĩa (2.1) ta có: 0x A (0) (0) (0) 11 1 2 13 (0) (0) (0) 21 22 23 (0) (0) (0) 31 32 33 () . . . eeee ee eeee ee eeee ee ϕ ⎡⎤ ⎢⎥ = ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ rrrr rr rrrr rr rrrr rr (2.14) 0 () ϕ x A = 10 0 0cos sin 0sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ ⎡⎤ ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ (2.15) Ma trận (2.15) được gọi là ma trận quay của phép quay cơ bản quanh trục x 0 . Bằng cách tương tự, ta xác định được các ma trận quay cơ bản quanh các trục y 0 và z 0 (Hình 2.5) 0 () ψ = y A cos 0 sin 010 sin 0 cos ψ ψ ψ ψ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ − ⎣⎦ , 0 () θ = z A cos sin 0 sin cos 0 001 θ θ θθ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (2.16) Từ các công thức (2.15) và (2.16) ta dễ dàng tính được: 000 det ( ) det ( ) det ( ) ϕ ψθ == xyz AAA (2.17) e 2 Z Z Y O 0 0 Z e 2 (0) e 3 (0) 3 e ϕ Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian - 6 - Hình 2.5 2.3 Các tọa độ thuần nhất và ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất Khái niệm toạ độ thuần nhất được Denavit Hartenberg đưa ra năm 1955,và hiện nay đang được dùng rất rộng rãi trong tính toán động học robot. 2.3.1 Các toạ độ thuần nhất Định nghĩa: Cho X={x 1 ,x 2 , x n } là một điểm trong không gian n chiều R n .Tập hợp (n+1) phần tử (y 1 ,y 2 , y n ,y n+1 ) với (y n+1 ≠0) và: 12 12 11 1 ; ; ; n n nn n y yy xx x yy y ++ + == = (2.18) Gọi là toạ độ thuần nhất của X. Trong kỹ thuật,người ta thường chọn (y n+1 =1). Vậy điểm P(x,y,z) trong toạ độ vật lý R 3 được biểu diễn trong toạ độ thuần nhất R 4 như sau: P=[x,y,z] T ⇔ P=[x,y,z,1] T Trong R 3 Trong toạ độ thuần nhất R 4 Nhờ khái niệm toạ độ thuần nhất trong không gian 4 chiều ta có thể chuyển bài toán cộng ma trận cột trong không gian ba chiều sang bài toán nhân ma trận trong không gian bốn chiều. Cho a r và b r là hai vector trong không gian ba chiều, ta có: e e O 2 θ 1 (0) 1 e X 0 0 Y Y 2 (0) e X O 1 (0) e X 0 3 (0) 0 Z e Z X Ψ 3 e 1 e Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian - 7 - a+b= 11 11 22 22 33 33 abab abab abab + ⎡⎤⎡⎤⎡ ⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥ +=+ ⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥ + ⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦ (2.19) Ta chuyển phép tính cộng (2.19) bằng phép tính nhân hai ma trận như sau: 11 1 1 22 2 2 3 33 3 100 010 001 000 1 11 ab b a ab b a a ab b + ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ (2.20) 2.3.2 Ma trận biến đổi toạ độ thuần nhất Xét vật rắn B chuyển động trong hệ qui chiếu cố định OX 0 Y 0 Z 0 . Lấy một điểm A nào đó của vật rắn B và gắn chặt vào vật rắn hệ qui chiếu AXYZ (Hình 2.6). Lấy P là một điểm bất kỳ thuộc vật rắn B. Trong hệ toạ độ vật lý OX 0 Y 0 Z 0 ta có: Hình 2.6 P AAP rrs=+ rrr (2.21) Phương trình (2.21) có thể viết dưới dạng ma trận như sau: (0) (0) 11 12 13 (0) (0) 21 22 23 (0) (0) 31 32 33 PA x P Ay P Az xx s rrr yyrrrs rrr zz s ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ =+ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ (2.22) O X0 Z0 Y0 Y X Z P e A (0) 3 (0) e 1 e 3 (0) e 2 e 1 r A e 2 r P S AP Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian - 8 - Trong đó R là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B, ,, x yz s ss là toạ độ của vectơ A P s r trong hệ qui chiếu x yz A .Nếu sử dụng hệ các toạ độ thuần nhất phương trình (2.22) có thể được viết lại dưới dạng: (0) (0) 11 12 13 (0) (0) 21 22 23 (0) (0) 31 32 3 000 1 1 1 x P A y P A A z P s x rrrx s y rrr y rr rz s z ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ (2.23) Định nghĩa : Ma trận H = (0) 11 12 13 (0) 21 22 23 (0) 31 32 33 000 1 A A A rrrx rrr y rrr z ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ (2.24) được gọi là ma trận chuyển toạ độ thuần nhất của điểm P từ hệ Axyz sang hệ Ox 0 y 0 z 0 . Các ma trận quay cơ bản thuần nhất và ma trận tịnh tiến thuần nhất: Các ma trận quay cơ bản (2.15), (2.16) mở rộng ra trong hệ toạ độ thuần nhất bốn chiều có dạng như sau: A x0 (ϕ)= 10 0 0 0cos sin 0 0sin cos 0 00 0 1 ϕϕ ϕϕ ⎛⎞ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ (2.25) A y0 (ψ)= cos 0 sin 0 0100 sin 0 cos 0 0001 ψψ ψψ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎝⎠ (2.26) A z0 (θ)= cos sin 0 0 sin cos 0 0 0010 0001 θθ θθ − ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ (2.27) Ngoài ra ta đưa vào khai niệm ma trận tịnh tiến thuần nhất có dạng: Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian - 9 - T(a,b,c)= 100 010 001 0001 a b c ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ (2.28) Trong đó ta thực hiện chuyển động tịnh tiến theo trục toạ độ x một doạn là a, theo trục toạ độ y một đoạn b, theo trục toạ độ z một đoạn c. 2.4 Các góc quay Euler và ma trận quay Euler 2.4.1 Xác định ma trận cosin chỉ hướng từ các góc Euler Vị trí của vật rắn B quay quanh điểm O cố định được xác định bởi hệ qui chiếu động Oxyz (gắn chặt vào vật rắn B) đối với hệ qui chiếu cố định Ox 0 y 0 z 0 (Hình 2.7). Giả sử giao của mặt phẳng Ox 0 y 0 và mặt phẳng Oxy là trục OK. Trục OK này được gọi là đường nút. Hình 2.7 Ta đưa vào các ký hiệu sau : - Góc giữa trục Ox 0 và OK là ψ - Góc giữa trục Oz 0 và Oz là θ - Góc giữa trục OK và Ox là ϕ Ba góc ,, ψ θϕ được gọi là góc Euler. Như thế, vị trí của vật rắn B đối với hệ qui chiếu cố định được xác định bởi ba tọa độ suy rộng ,, ψ θϕ . Phương trình chuyển động của vật rắn quay quanh một điểm cố định có dạng: (t) ψ ψ = ; (t) θ θ = ; (t) ϕ ϕ = (2.29) Từ đó suy ra, vật rắn quay quanh một điểm cố định có ba bậc tự do. K 0 X X O Z Z 0 0 Y Y θ Ψ ϕ Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian - 10 - Khi xác định vị trí của vật rắn bằng các góc Euler, ta có thể quay hệ qui chiếu cố định Ox 0 y 0 z 0 sang hệ qui chiếu động Oxyz bằng ba phép quay Euler như sau (Hình 2.8): Hình 2.8 - Quay hệ qui chiếu R 0 ≡ Ox 0 y 0 z 0 quanh trục Oz 0 một góc ψ để trục Ox 0 chuyển tới đường nút OK. Với phép quay này, hệ Ox 0 y 0 z 0 chuyển sang hệ Ox 1 y 1 z 1 với Oz 0 ≡ Oz 1 . - Quay hệ qui chiếu R 1 ≡ Ox 1 y 1 z 1 quanh trục Ox 1 ≡ OK một góc θ để trục Oz 0 ≡ Oz 1 chuyển tới trục Oz 2 ≡ Oz. Như thế hệ qui chiếu Ox 1 y 1 z 1 chuyển sang hệ qui chiếu Ox 2 y 2 z 2 với Ox 1 ≡ Ox 2 ≡ OK. - Quay hệ qui chiếu R 2 ≡ Ox 2 y 2 z 2 quanh trục Oz 2 ≡ Oz một góc ϕ để trục Ox 2 ≡ OK chuyển tới trục Ox. Với phép quay này hệ qui chiếu Ox 2 y 2 z 2 chuyển sang hệ qui chiếu Oxyz với Oz 2 ≡ Oz. Như thế, bằng phép quay Euler quanh trục Oz 0 một góc ψ , quanh trục OK một góc θ , quanh trục Oz một góc ϕ , hệ qui chiếu Ox 0 y 0 z 0 chuyển sang hệ qui chiếu Oxyz. Các ma trận quay ứng với các phép quay Euler có dạng: 0 () ψ = z A cos sin 0 sin cos 0 001 ψ ψ ψψ − ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ (2.30) () θ = K A 10 0 0cos sin 0sin cos θ θ θ θ ⎡⎤ ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ (2.31) X O Ψ Z ω 0 X 1 0 Y Y 1 ≡ Κ Ψ ≡ Ζ 1 ≡ X X 1 ω θ O 1 Y Y 0 Z 1 Z 2 θ Z ≡ Z 2 ω ϕ Y 2 Y X X 2 ϕ 0 [...]... Mặt khác tích có hướng của hai vector có dạng a × c = b Trong đó vector r r r b vuông góc với mặt phẳng chứa hai vector a và c Những nhận xét đó gợi ý cho chúng ta xây dựng khái niệm vector vận tốc góc của vật rắn như sau Định nghĩa: Vận tốc góc của vật rắn B đối với hệ qui chiếu R0 là một vector, ký hiệu là r ω sao cho : - 14 - Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian r dc... của vật rắn B (2.43) ta có: R0 r dsP r r = ω × sP dt Thay vào công thức (2.49) : - 16 - Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian r r r r vP = v D + ω × s P (2.50) Biểu diễn (2.50) dưới dạng ngôn ngữ đại số : R0 % v P = R 0 v D + ω.R 0 s P (2.51) Mặt khác ta biểu diễn phương trình (2.48) dưới dạng đại số: R0 rP = R 0 rD + R 0 sP (2.52) Do A là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn. .. xác định vật rắn bởi nhiều loại tham số khác nhau 2.5 Phép quay Roll - Pitch - Yaw Một phép quay khác cũng thường được dùng là phép quay Roll, Pitch và Yaw, gọi tắt là phép quay RPY Hãy tưởng tượng, gắn hệ tọa độ xyz lên thân một con tàu Dọc theo thân tàu là trục z (Hình 2.9) - 12 - Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian X Z Yaw Ψ Roll ϕ Y Pitch θ Hình 2.9 Roll là chuyển động lắc... R X Y0 X0 Hình 2.11 Ta gắn chặt vào vật rắn một hệ qui chiếu { x, y, z} với các vector đơn vị r r r r T e = [ e1 , e2 , e3 ] trên các trục x,y,z tương ứng (Hình 2.11) Sử dụng ký hiệu : r T ω = [ω1 , ω2 , ω3 ] , trong đó ω1 , ω2 , ω3 là hình chiếu của vector ω trên 3 trục x,y,z : r r (2.46) ω = ωT e - 15 - Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian r Ma trận đối xứng lệch của vector.. .Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian ⎡ cos ϕ A z (ϕ ) = ⎢ sin ϕ ⎢ ⎢ 0 ⎣ − sin ϕ cos ϕ 0 0⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎦ (2.32) Bây giờ ta xác định ma trận quay hệ qui chiếu Ox0y0z0 sang hệ qui chiếu Oxyz (cũng là ma trận cosin chỉ hướng của hệ qui chiếu Oxyz đối với hệ qui chiếu Ox0y0z0) Ta lấy P là một điểm bất kỳ của vật rắn B và ký hiệu AE là ma trận quay... và vận tốc góc của vật rắn Vật rắn B chuyển động trong hệ qui chiếu cố định OX0Y0Z0 Lấy D là một điểm nào đó thuộc vật rắn B Gắn chặt vào vật rắn B hệ qui chiếu động DXYZ Lấy P là một điểm bất kỳ thuộc vật rắn B như hình vẽ (Hình 2.12) Z Z0 P SP D rP Y B O rD X Y0 X0 Hình 2.11 r r Gọi vP và vD là vận tốc của điểm P và điểm D trên hệ cố định R0 A là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B đối với hệ R0... θ ⎣ ⎡ cos ϕ A Z (ϕ ) = ⎢ sin ϕ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0 ⎤ − sinψ ⎥ ⎥ cosψ ⎥ ⎦ 0 sin θ ⎤ 1 0 ⎥ ⎥ 0 cosθ ⎥ ⎦ − sin ϕ 0⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎦ cos ϕ 0 Thay vào công thức (2.41) ta được : - 13 - (2.41) Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian A RPY 0 ⎡1 ⎢ 0 cosψ = ⎢ ⎢ 0 sinψ ⎣ ⎤ ⎡ cosθ − sinψ ⎥ ⎢ 0 ⎥⎢ cosψ ⎥ ⎢ − sin θ ⎦⎣ 0 0 sin θ ⎤ ⎡ cos ϕ 1 0 ⎥ ⎢ sin ϕ ⎥⎢ 0 cosθ ⎥ ⎢ 0 ⎦⎣ − sin ϕ cos ϕ 0 0⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎦ Hay :... sin ϕ sinψ ⎤ sin ϕ sin θ cosψ − cos ϕ sinψ ⎥ ⎥ ⎥ cosθ cosψ ⎦ (2.42) 2.6 Vận tốc góc của vật rắn 2.6.1 Định nghĩa Vận tốc góc của vật rắn là một trong những khái niệm cơ bản nhất trong động học Xét vật rắn B chuyển động đối với hệ qui chiếu R0 như hình vẽ (Hình r 2.10) Lấy c là một vector tùy ý khác không thuộc vật rắn B Do r r 2 r dc (c ) = const nên đạo hàm theo t biểu thức này ta được c = 0 Như thế... ⎡ cosψ AE= ⎢ sinψ ⎢ ⎢ 0 ⎣ − sinψ cosψ 0 0 ⎤ ⎡1 0 ⎥ ⎢0 cosθ 0 ⎥⎢ 1 ⎥ ⎢0 sin θ ⎦⎣ 0 ⎤ ⎡ cos ϕ − sin θ ⎥ ⎢ sin ϕ ⎥⎢ cosθ ⎥ ⎢ 0 ⎦⎣ - 11 - − sin ϕ cos ϕ 0 0⎤ 0 ⎥ (2.37) ⎥ 1⎥ ⎦ Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian AE = ⎡ cosψ cos ϕ − sinψ cosθ sin ϕ ⎢sinψ cos ϕ + cosψ cosθ sin ϕ ⎢ ⎢ sin θ sin ϕ ⎣ − cosψ sin ϕ − sinψ cosθ cos ϕ − sinψ sin ϕ + cosψ cosθ cos ϕ sin θ cos ϕ sinψ sin... r =ω×c dt R0 (2.43) Chú ý : Vận tốc góc của vật rắn B được định nghĩa bởi biểu thức (2.43) là r r duy nhất Thật vậy, giả sử ω không duy nhất, sẽ tồn tại vector ω ' mà: R0 r dc r r = ω '× c (2.44) dt Lấy biểu thức (2.43) trừ đi biểu thức (2.44) ta được r r r r r r r (2.45) ω × c − ω '× c = (ω − ω ') × c = 0 r Do c là một vector tuỳ ý khác không thuộc vật rắn B và do phương trình r (2.45) luôn thoả mãn . Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian - 1 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT CHUNG VỀ PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC VẬT RẮN KHÔNG GIAN 2.1. O X0 Z0 Y0 Y X Z P e A (0) 3 (0) e 1 e 3 (0) e 2 e 1 r A e 2 r P S AP Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học vật rắn không gian - 8 - Trong đó R là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B, ,, x yz s ss