Đề thi năng khiếu môn Toán 10 năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi (Lần 5)

Đề thi năng khiếu môn Toán 10 năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi (Lần 5) được chia sẻ nhằm giúp các bạn học sinh ôn tập, làm quen với cấu trúc đề thi và các dạng bài tập có khả năng ra trong bài thi sắp tới. Cùng tham khảo và tải về đề thi này để ôn tập chuẩn bị cho kì thi sắp diễn ra nhé! Chúc các bạn thi tốt!

SỞ GD-ĐT HẢI DƯƠNG Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi ĐỀ THI NĂNG KHIẾU LẦN THỨ NĂM NĂM HỌC 2020-2021 Môn: Toán 10 Thời gian làm bài: 180 phút 2( x  x  y  1)  x ( y  1) Câu (2 điểm) Giải hệ phương trình   x   y   Câu (1,5 điểm) Tìm số nguyên dương n cho tồn hai số nguyên tố p; r thỏa mãn n  p( p  p  1)  r (2r  1) Câu (1,5 điểm) Tìm đa thức P( x) hệ số thực thỏa mãn P(0)  P(1)  P(2) P( P( x))  [P( x)]2 Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC cân A có H ; M trung điểm BC; AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM cắt đoạn AH D đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt đoạn BM K Gọi I giao điểm AK với BD E giao điểm CI với BM Chứng minh rằng: a) Tam giác AKC vuông b) I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABE Câu (2 điểm) Cho bảng có 2012  2012 ô Mỗi ô điền dấu + Thực phép biến đổi : lần đổi dấu toàn hàng cột bảng (+ thành – – thành +) a) Hỏi sau số phép biến đổi thu dấu – hay không ? b) Hỏi sau số phép biến đổi thu 18 dấu – hay khơng ? HƯỚNG DẪN CHẤM 10 TỐN Câu 1:   2  2 x  x  y   x ( y  1) (1) ( x, y  R )  (2)   x   y 1  Điều kiện: x  2, y  1 Biến đổi phương trình (1) ta ( x  2)(2 x  y  1)   y  x  Thế vào phương trình (2) ta được: x   x  (3) Bình phương (3) ta có: 2x( x  2)  14  3x (4) Bình phương (4) giải ta x  2; y  Câu 2: Xét trường hợp p  Khi (3; p)  p( p  p  1)  p( p  1)  p  p( p  1)( p  1)  p  2(mod 3) Lại có r  0;1(mod3) r (2r  1)  0(mod3) ; cịn r  2(mod3) r (2r  1)  1(mod3) Như khơng có trường hợp mà r (2r  1)  2(mod3) ; hay nói cách khác p  Thay vào ta có 15  r (2r  1) Phương trình khơng có nghiệm nguyên (loại) Vậy không tồn số tự nhiên n thỏa mãn Câu 3: Xét đa thức P( x)  c ta có c  c  c  0;1 Xét deg P( x)  n  Khi xét bậc P( P( x))  [P( x)]2 ta n2  2n  n  Suy P( x)  ax  bx  c Giả sử P(0)  P(1)  P(2)  m Khi ax  bx  (c  m)  có ba nghiệm x  0;1;2 phân biệt (mâu thuẫn) Như P( x)  0; P( x)  Câu 4: (Tự vẽ hình) a) AKM  180  · AKB Ta có: · 1· · ·  180  ADB  BDH  BDC  1· · · BMC  (AKM  KAM) 2 · ·  AKM  KAM hay AMK cân M  MA  MK  MC Vậy VAKC vuông tai K (ĐPCM) b) Gọi N trung điểm AB Do VABC cân A nên N nằm đường tròn ngoại tiếp BCM cung ·  MD ·  NBD · · ND  MBD · (1) Vậy BD phân giác góc ABE Theo chứng minh M tâm đường tròn ngoại tiếp AKC Gọi O1 , O tâm đường tròn ngoại tiếp BMC ABD Ta có: I / O2   IB  ID  IA  IK (2) I / O1   IB  ID;I /  M   IA  IK (3) Từ (2) (3) suy I thuộc trục đằng phương đường tròn  O1 ) (M) Từ CI qua giao điểm thứ hai F hai đường tròn Ta có: · · · MCF  MFC  MBC  MCE ~ MBC(g  g)  MA2  MC2  ME.MB · ·  MAE  MBA · · · · nên AK phân giác BAE · (4)  KAM  KAB Mà theo chứng minh AKM nên KAE Từ (1) (4) suy đpcm Câu 5: a) Coi số bảng mang dấu + 1; dấu – -1 Như ta thấy sau phép biến đổi tích số bảng không đổi; (do ta đổi dấu 2012 số) Như xuất trạng thái có dấu “-“ b) Giả sử sau số lần biến đổi; bảng có 18 dấu “-“ Gọi xi số lần đổi dấu hàng thứ i ; y j số lần đổi dấu cột thứ j Gọi p số số lẻ số x1; x2 ; ; x2012 ; q số lẻ số y1 ; y2 ; ; y2012 Ta thấy ô tọa độ (m; n) muốn mang dấu “-“ xm lẻ; yn chẵn xm chẵn; yn lẻ Như số dấu trừ bảng p(2012  q)  q(2012  p)  2012 p  2012q  pq Bảng có 18 dấu "  "  2012 p  2012q  pq  18  1006 p  1006q  pq   ( p  1006)(q  1006)  10062  32  1003.1009  ( p 1006)(q 1006) :1003.1009 Mà 1009 số nguyên tố nên hai số p  1006; q 1006 phải chia hết cho 1009 Lại có: p  1006, q 1006 thuộc {1006 1005;;1005;1006}  p 1006  q 1006  0, mẫu thuẫn với p; q lẻ  ...  100 6)  100 62  32  100 3 .100 9  ( p ? ?100 6)(q ? ?100 6) :100 3 .100 9 Mà 100 9 số nguyên tố nên hai số p  100 6; q ? ?100 6 phải chia hết cho 100 9 Lại có: p  100 6, q ? ?100 6 thuộc {? ?100 6 ? ?100 5; ;100 5 ;100 6}... dấu ? ?-? ?? xm lẻ; yn chẵn xm chẵn; yn lẻ Như số dấu trừ bảng p(2012  q)  q(2012  p)  2012 p  2012q  pq Bảng có 18 dấu "  "  2012 p  2012q  pq  18  100 6 p  100 6q  pq   ( p  100 6)(q... + 1; dấu – -1 Như ta thấy sau phép biến đổi tích số bảng khơng đổi; (do ta đổi dấu 2012 số) Như khơng thể xuất trạng thái có dấu ? ?-? ?? b) Giả sử sau số lần biến đổi; bảng có 18 dấu ? ?-? ?? Gọi xi số