Để kì thi sắp tới đạt kết quả cao, mời các bạn học sinh cùng tham khảo Đề thi năng khiếu môn Toán 11 năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi (Lần 2) để ôn tập các kiến thức cơ bản, làm quen với cấu trúc đề thi và rèn luyện kỹ năng giải đề nhanh và chính xác. Chúc các bạn thi tốt!
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG ĐỀ THI NĂNG KHIẾU LẦN II- KHỐI 11 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2020 - 2021 NGUYỄN TRÃI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 09/11/2020 Câu 1: (3,0 điểm) a) Tìm tất giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y x3 (m 2) x (m2 m 3) x m2 cắt trục hoành ba điểm phân biệt b) Tìm x, y biết x y log4 x log9 y log6 c) Dùng chữ số từ tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} để lập thành số có chữ số (các chữ số dùng nhiều lần khơng dùng lần nào) Tính xác suất để số lập có chữ số chữ số lại khác 2x y 2 Câu 2: (1,0 điểm) Tìm tất đa thức P(x) Q(x) số cho P(Q( x)2 ) P( x).Q( x)2 với số thực x Câu 3: (1,0 điểm) Tìm cặp số tự nhiên (m, n) thỏa mãn: 20m 10m2 19n Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có đường cao BD, CE cắt H M trung điểm BC, I trung điểm AH, N trung điểm DE a) CMR: M, I, N thẳng hàng b) Gọi P, Q trung điểm ME, MD Đường thẳng qua A song song BC cắt đường trung trực AM J CMR: P, Q, J thẳng hàng Câu 5: (2,0 điểm) Cho bảng vng m n Kí hiệu miếng ghép loại A miếng ô vuông , miếng ghép loại B miếng 1 a) Tìm m n cho bảng vng m n lấp kín cách ghép miếng loại A B khơng chồng lên (Có thể cần dùng loại) b) Với cách ghép kín bảng m n , chứng minh ta thay miếng loại A thành miếng loại B ngược lại, ta khơng thể ghép kín bảng m n Hướng dẫn chấm Câu 1: a) Xét phương trình: x3 (m 2) x (m2 m 3) x m2 (1) Hay: ( x 1)( x (m 3) x m2 ) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt pt: x (m 3) x m2 (2) có nghiệm phân biệt khác 1, tức là: 1) (m 3)2 4m2 2) (m 3).1 m2 Giải ta được: 1 m Vậy m {0;1;2} b) Điều kiện: x, y > Có: log x log9 y t x 4t , y 9t , nên xy 36t Do đó: t log36 xy log6 2x y => (2 x y )2 xy => y = 2x 2 Thay vào pt x y ta x = 1, y = c) - Không gian mẫu: Số số có chữ số lập từ chữ số A Gọi số có chữ số abcd a có cách chọn, b có 6, c có d có Số phần từ không gian mẫu là: 5.6.6.6 = 1080 - Gọi số có chữ số mà có chữ số chữ số lại khác abcd TH1: a = Chọn vị trí chữ số lại: cách Chọn chữ số từ chữ số lại xếp vào vị trí cịn lại: A52 TH2: a Chọn a có cách Chọn vị trí cho chữ số 1: C32 Chọn chữ số lại: cách Số số có chữ số mà có chữ số mà chữ số lại khác là: A52 4.C32 108 Vậy xác suất là: 10 Câu 2: Gọi bậc P m, bậc Q n, ta có: 2mn = m + 2n Do đó: (m-1)(2n-1)=1, suy m = 2, n = P(x) bậc nên P( x) ax bx c Thay vào ta được: aQ4 ( x) bQ ( x) c P( x)Q ( x) Do degQ = nên tồn Q( x0 ) Thay vào ta có c = P( x) aQ ( x) b Q(x) bậc nên Q( x) px q Thay vào ta được: P( x) a( px q)2 b Đồng hệ sô với P(x), ta p = ±1 => P(x) = a𝑥 ±2axq + a𝑞 +b => 2aq = ±b aq b Giải ta được: 𝑄(𝑥) = ±𝑥 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑄(𝑥) = ±(𝑥 − 2), 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥 − 4𝑎𝑥 Thử lại thấy thỏa mãn Câu 3: Nếu m = 0, thay vào vơ lí Do m > Lấy mod 10 suy 19n 10 nên n chẵn Lấy mod 20 ta 10m2 20 nên m chẵn Đặt m = 2k, n = 2l, thay vào ta được: 40k (20k 19l )(20k 19l ) Do 20k 19l => 20k 19l => 40k 1 20k Điều k = Thay vào ta m = n = Câu 4: a) Dễ chứng minh ME = MD, IE = ID Do IM đường trung trực DE Vậy M, I, N thẳng hàng b) Xét đường trịn tâm P đường kính ME, tâm Q đường kính MD, tâm J bán kính JA = JM Ta CM đường trịn có trục đẳng phương Có IEM IDM IAJ 900 Do IE tiếp xúc (P), ID tiếp xúc (Q) IA tiếp xúc (J) Lại có IA = ID = IE nên I thuộc trục đẳng phương đường tròn Và đường tròn qua M Nên đường trịn có trục đẳng phương IM Vậy tâm P, Q, J thẳng hàng Câu 5: a) Mỗi miếng ghép ô, nên để ghép kín bảng m.n Thử lại: Khi m n chia hết cho 4, ta ghép miếng loại B Khi m n chẵn, ta ghép miếng loại A b) Để lấp kín bảng m n phải số chẵn, vai trò nhau, giả sử m chẵn Ta tô màu bảng vuông màu 4 3 4 3 4 3 Khi đó, vng loại A có đủ hết màu 1, 2, 3, 4, miếng loại B có màu có màu Nếu ta đổi miếng loại A thành B hoăc ngược lại, số màu 1, 2, 3, ghép miếng loại B tăng lên giảm Mà ghép miêng loại B, số ô màu số chẵn Ban đầu ghép được, số miếng lại B thỏa mãn điều này, thay, số ô màu tăng giảm 1, số lẻ, điều xảy Vậy ghép kín ... 1, y = c) - Không gian mẫu: Số số có chữ số lập từ chữ số A Gọi số có chữ số abcd a có cách chọn, b có 6, c có d có Số phần từ không gian mẫu là: 5.6.6.6 = 1080 - Gọi số có chữ số mà có chữ số... Xét phương trình: x3 (m 2) x (m2 m 3) x m2 (1) Hay: ( x 1)( x (m 3) x m2 ) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt pt: x (m 3) x m2 (2) có nghiệm phân biệt khác 1,... Chọn a có cách Chọn vị trí cho chữ số 1: C32 Chọn chữ số lại: cách Số số có chữ số mà có chữ số mà chữ số lại khác là: A52 4.C32 108 Vậy xác suất là: 10 Câu 2: Gọi bậc P m, bậc Q n, ta có: