(Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) , có đường tròn A-mixtillinear tâm J tiếp xúc trong với ( O ) tại D. Gọi J 1 là điểm liên hợp đẳng giác với J trong tam giác[r]
(1)BỔ ĐỀ VỀ HAI ĐIỂM LIÊN HỢP ĐẲNG GIÁC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1 Giới thiệu
Bài viết lấy cảm hứng từ toán thầy Nguyễn Văn Linh đưa lên group "Hình học phẳng" liên quan đến hai điểm đẳng giác Đã có vài lời giải đăng lên nặng phần tính tốn, nhiên tác giả nhận thấy hồn tồn giải dựa theo bổ đề từ tốn liên quan hay mở rộng giải cách triệt để Vậy trước hết ta phát biểu chứng minh hai bổ đề quan trọng sau
2 Bổ đề hai điểm liên hợp đẳng giác
Bổ đề Trong tam giác ABC lấy hai điểm P Q liên hợp đẳng giác với nhau.AP cắt lại đường tròn (ABC) R QR cắt BC S Khi ta có P SkAQ
M
N P
S
R
C Q
A
B
Chứng minh Ta lấy M, N giao điểm tia AQ với BC (ABC) Do AP, AQ đẳng giác gócBAC nên ta dễ cóRN kBC
Từ ta có 4QN C ∼ 4CRP 4CM N ∼ACR (góc - góc) nên suy AR·M N =CN ·CR=QN ·P R hay AR
P R = QN M N =
QR
(2)Bổ đề (Phan Anh Quân) Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn(O) Lấy hai điểm liên hợp đẳng giác P, Q.AP cắt lại(O) R, lấy S BC, RS cắt lại (O) M (M với B nằm khác phía so với AC) Khi ta có ∠P SB =∠QM A
L
M
P
K
R
C Q
A
B S
Chứng minh Lấy K giao điểm QR BC Kẻ đường thẳng qua P song song với AM cắt RM L
Theo Bổ đề ta có P K kAQ nên suy RL LM =
RP P A =
RK
KQ nên KLkQM Vậy hai tam giác P KL AQM có cặp cạnh tương ứng song song
Để ý ∠LSC =∠BM S+∠M BS =∠BAR+∠CAM =∠QAC+∠M AC =∠QAM =
∠KP L nên tứ giácP KSL tứ giác nội tiếp, suy ∠P SB=∠P LK =∠AM Q
Nhận xét Từ bổ đề ta rút kết hai toán quen thuộc sau
Bài 1.(Nga 2005) Cho tam giácABC có tâm đường trịn nội tiếp I LấyM,N trung điểm BC cung BAC đường tròn (ABC) Chứng minh ∠AN I =∠BM I
Bài Cho tam giác ABC, lấy P, Q hai điểm liên hợp đẳng giác nằm phân giác gócBAC LấyM,N trung điểm BC cungBAC đường tròn (ABC) Chứng minh P,Q, M, N đồng viên
Bây đến với tốn viết
3 Các toán
Bài (Nguyễn Văn Linh) Cho tam giácABC nội tiếp(O), đường caoAD,BE,CF đồng quy H EF cắt (O) hai điểm K L P điểm liên hợp đẳng giác H tam giác DKL Chứng minh P H chia đôi EF
Bài toán mở rộng Trần Qn nên ta chứng minh ln tốn mở rộng sau
(3)P Y Z
T
N X
M
L
D K
H
E O
C A
B F
Chứng minh Lấy T giao điểm EF với BC M, N trung điểm BC EF AD giao với EF (DKL) X Y
Ta thấy (T D, BC) = (T X, F E) =−1màM,N trung điểmBC EF nên theo hệ thức Maclaurin ta có T X ·T N =T F ·T E =T B·T C =T D·T M =T K·T L
Từ suy tứ giác XN M D vàKDM L tứ giác nội tiếp Lấy Z giao điểm tia M N với (DKL)
Khi ta có ∠ZN X =∠XDM =∠Y ZN nên Y Z kKL hay D, P, Z thẳng hàng Từ áp dụng bổ đề 2thì ta có ∠P N F =∠HM D
Mặt khác ta có 4HF E ∼ 4HBC, kết hợp M, N trung điểm BC, EF nên ∠HM D =∠HN F
Vậy suy ∠P N F =∠HN F nên ta có P H qua trung điểm N EF
Nhận xét Từ lời giải ta thấy hai điểm K, L giao EF với (O) để suy hai tứ giác nội tiếp nên ta mở rộng tốn sau
Mở rộng (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC vẽ hai đường tròn ω1, ω2 qua B, C Đường tròn ω1 cắt lại AC, AB E F BE cắt CF H AH cắt BC D Giả sửEF cắt ω2 hai điểmK L.P điểm liên hợp đẳng giác H tam giác DKL Chứng minh P H chia đôi EF
Từ toán ta rút toán đẹp sau cho đường tròn ω1 trùng ω2
Bài Cho tam giácABC nội tiếp (O), đường trịn qua B C cắt lại AC,AB tạiE vàF BE cắt CF H AH cắt BC D GọiP điểm liên hợp đẳng giác H tam giác DEF Chứng minh P H chia đơiEF
Chúng ta tiếp tục với tốn khác có cấu hình giống
Bài (Trần Quân) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) ngoại tiếp đường tròn
(4)J Q
P Z Y
X N
M
L
K F
E
D
I O
C A
B
Chứng minh Ta gọi N, J trung điểm cung BC chứa A không chứa A (O) LấyM, Q trung điểmBC,EF X giao IN EF
Ta dễ chứng minh KLM D nội tiếp nên ta gọi Y, Z giao điểm thứ hai M X DI với (DKL)
Ta có 4J CN ∼ 4IEA mà M, Qlà chân hai đường cao hai đỉnh tương ứng nên ta có tỉ số J M
M N = IQ QA
Mặt khác QX kAN nên IQ QA =
IX
XN, từ suy XM kIJ hay M X ⊥EF Ta có ∠M Y Z =∠M DZ = 90◦ nên Y Z kKL hay ta thu D, P, Y thẳng hàng Để ý J I2 =J M ·J N nên ∠J IN =∠J M I hay ∠AIN =∠IM N =∠M ID Suy ∠IXQ=∠IN A=∠IM D
Mặt khác theo bổ đề ta có ∠P XQ=∠IM D=∠IXQ nên suy P, I, X thẳng hàng hay ta có đpcm
Bài tốn mở rộng sau (bạn đọc tự chứng minh)
Mở rộng (Nguyễn Đăng Khoa)Cho tam giácABC nội tiếp(O)và hai điểmP,Qliên hợp đẳng giác nằm phân giác góc BAC E, F hình chiếu P lên AC AB D hình chiếu Q BC.EF cắt (O) hai điểm K, L Gọi P0 điểm liên hợp đẳng giác vớiP Q0 điểm liên hợp đẳng giác vớiQtrong tam giác DKL Chứng minh rằngP Q0 P0Q qua trung điểm cung BC chứaA (O)
(5)N M
P Q
O
K
L
F
D
J
E I
C A
B
Chứng minh Gọi P,Q trung điểm cung nhỏ cung lớn BC (O) LấyE, F điểm tiếp xúc (J) với AC AB Gọi N điểm liên hợp đẳng giác với I tam giác DKL
Ta biết kết quen thuộc làD, I, Qthẳng hàng; D, F, LvàD, E, K hai ba điểm thẳng hàng
Mặt khác dễ thấy LK trung trực AI nên điểm M trung điểm AI thuộc LK từ ta có AQkKL nên N nằm DA
Áp dụng bổ đề ta có ∠N M L=∠DP I
Suy ∠AM N = 90◦ +∠N M L = 90◦ +∠DP I = ∠QIP = ∠AID nên ta có M N k DI hay N trung điểm AD (đpcm)
Bài (Trần Quân) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có tâm đường nội tiếp I Đường trònA-mixtillinear tâmJ tiếp xúc với (O)tại D Lấy E,F điểm tiếp xúc của(J)vớiAC vàAB.EF cắt (O) hai điểmK vàL GọiP điểm liên hợp đẳng giác J tam giác DKL Chứng minh DP ⊥EF DJ cắt P I (O)
F
M P
N
K
L
D J
E
I O
C A
(6)Chứng minh Do (J) tiếp xúc với (O)tại D nên dễ có D,J,O thẳng hàng Ta kẻ đường kính DN (O), N I cắt lại (O) điểm M
Theo bổ đề ta có ∠P M D =∠IJ E = 90◦
Mà dễ thấy DN đường kính nên ∠DM N = 90◦, suy M, P, N thẳng hàng Tiếp tục sử dụng bổ đề ta có IJ kP D hay P D ⊥EF
Hoặc ta nhận tính chất quen thuộc O tâm (DKL) DP, DO hai đường đẳng giác góc KDL nên DP ⊥KL
Nhận xét Từ lời giải ta hồn tồn mở rộng toán sau (bạn đọc tự chứng minh)
Mở rộng Cho tam giác ABC, hai cạnh AC, AB lấy hai điểm F E cho
AE =AF Một đường tròn (J)đi qua E,F tiếp với(O) điểm D Gọi M trung điểm EF,EF cắt (O) K, L GọiP điểm liên hợp đẳng giác J tam giácDKL Chứng minh rằngP M DJ cắt (O)
Lời kết Qua viết tác giả muốn trình bày tới bạn đọc ứng dụng hữu ích hai bổ đề trên, cho có nhìn tổng qt lời giải đẹp, khơng cần tính toán Sau vài tập dành cho bạn đọc
4 Bài tập
Bài (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có đường phân giác BAC cắt lại (O) D Lấy điểm I đoạn AD, hình chiếu I AC, AB làE, F.EF cắt (O) K, L Chứng minh điểm liên hợp đẳng giác I tam giác DKL trung điểm BC
Bài (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC có đường cao AD cắt lại (O) điểm D0 H điểm đoạn AD, E, F hình chiếu củaH lên AC, AB EF cắt (O) K, L Chứng minh điểm D liên hợp đẳng giác H tam giác D0KL
Tác giả phát hai toán sau thành viên Trần Quân group đưa lên toán tổng quát cho hai
Bài (Trần Quân) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O), P điểm (O) LấyJ đoạn AP E, F hình chiếu J AC, AB EF cắt (O) K, L LấyD hình chiếu củaP BC Chứng minh D điểm liên hợp đẳng giác với J tam giác P KL
Bài (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có đường phân giác BAC cắt lại(O)tại D Lấy điểmI đoạnAD, dựng hình bình hànhAEIF (E thuộc AC, F thuộc AB) EF cắt đường tròn (O) K L Chứng minh O điểm liên hợp đẳng giác vớiI tam giác DKL
Bài (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O), có đường tròn A-mixtillinear tâm J tiếp xúc với (O) D Lấy điểm P khác D
(J) Tiếp tuyến (J) P cắt đường tròn (O) E, F Gọi J1 điểm liên hợp đẳng giác với J tam giác DEF Chứng minh
a) Hai đường thẳng J1P DJ cắt (O)