[r]
(1)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN
ĐỀ THI MƠN: TỐN - KHỐI D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I ( 2,0 điểm) Cho hàm số y= − +x4 2mx2−4 có đồ thị ( )Cm (mlà tham số thực) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =2
2 Tìm tất giá trị của m để điểm cực trị đồ thị ( )Cm nằm trục tọa độ
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: sin tan 2x x+ sin( x− tan 2x)=3 Giải bất phương trình: 1
3 3 <
− + +
x x
x
Câu III (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
( ) ( )
2
2
8 13
x y y x
x x y y
+ − + − =
+ + + − =
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có đoạn thẳng nối hai tâm hai mặt bên kề có độ dài bằng a Tính theo a thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' khoảng cách hai đường thẳng AC' B'D'
Câu V (1,0 điểm) Cho ba số thực dương , ,x y z thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2 2
2 2
3 3
x y z
P x y z
yz zx xy
= + + + + +
II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉđược làm hai phần (phần A B) A.Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình
0
x− =y điểm M(2;1) Lập phương trình đường thẳng ( )∆ cắt trục hồnh tại A, cắt đường thẳng
(d) B cho tam giác AMB vuông cân tại M
Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường trịn (C1) có phương trình 2
25
x +y = , điểm M(1; -2) Đường trịn (C2) có bán kính bằng 10 Tìm tọa độ tâm của (C2)
cho (C2) cắt (C1) theo dây cung qua M có độ dài nhỏ
Câu VIII.a (1,0 điểm) Giải bất phương trình: 12 3 22 81
x x x
C A A
x − ≥ − (
* x∈N )
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm P(-7;8) hai đường thẳng( )d1 : 2x+5y+ =3 0, ( )d2 : 5x−2y− =7 cắt tại A Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua P tạo với ( ), (d1 d2) tam giác cân tại A có diện tích 29
2
Câu VII.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạđộOxy, cho đường thẳng (d) có phương trình
2
x+ + =y đường trịn (C1) có phương trình: x2+ y2−4x+2y+ =4 Đường trịn (C2) có tâm thuộc (d), (C2) tiếp xúc ngồi với (C1) và có bán kính gấp đơi bán kính của (C1). Viết phương trình
đường tròn (C2)
Câu VIII.b (1,0 điểm) Cho hàm số
2
3
x mx y
x
+ +
=
+ Tìm tất giá trị của m để hàm số có cực đại,
cực tiểu đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị nằm hai phía đường thẳng (d):
2x+y-1=0
- Hết -
Chú ý: Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi khơng giải thích thêm
(2)HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2012-2013 LẦN MƠN TỐN -KHỐI D
( Đáp án có 06 trang: từ trang đến trang )
Câu Đáp án Điểm
1 Khảo sát hàm số với m = 1,00
Với m = 2, hàm số trở thành: y= − +x4 4x2−4
* TXĐ: R 0,25
* Sự biến thiên của hàm số:
Giới hạn vô cực đường tiệm cận: lim ; lim
x→+∞y= −∞ x→−∞y= −∞
0,25
- Bảng biến thiên:
+ Ta có: = − + = ⇔ =
= ±
3
' ; '
2
x y x x y
x + Bảng biến thiên:
x - ∞ − + ∞ y’ + - + -
y
-∞
-4 -∞ - Hàm sốđồng biến khoảng (−∞; - 2) ( )0;
- Hàm số nghịch biến khoảng (− 2; 0) ( 2;+∞)
- Điểm cực đại đồ thị (− 2; 0),( )2; điểm cực tiểu đồ thị B(0;-4) * Đồ thị:
+ Đồ thị cắt trục tung (0; 4− ) cắt trục hoành điểm (− 2; 0) ( )2;
+ Nhận xét: Đồ thị (C) nhận trục tung làm trục đối xứng
2
-2
-4
-6
-8
-5 10
f x( ) = -x(4+4⋅x2)-4
0,25
0,25
2 Tìm m để tất cực trị hàm số ( )Cm nằm trục tọa độ 1,00 I
Ta có: ( )
2
0
' 4 ; ' x
y x mx x x m y
x m
=
= − + = − + = ⇔
=
Nếu m≤0thì ( )Cm chỉ có điểm cực trị điểm cực đại nằm trục tung
Nếu m>0 ( )Cm có điểm cực trị Một cực tiểu nằm trục tung hai điểm cực đại có tọa độ
(− m m; −4),
( m m; −4) Để hai điểm nằm trục hồnh
2
4
m − = ⇔ = ±m Vì m>0 nên chọn m =
Vậy ∈ −∞ ∪{ } những giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu toán
0,25
0,25
0,25
(3)1 Giải phương trình lượng giác 1,00
- Đk cos 2x x m , m Z
4
π π
≠ ⇔ ≠ + ∈
Ta có: sin tan 2x x+ 3(sinx− tan )x =3 ⇔(sin tan 2x x+ sin ) (3 tan 2x − x+3 3)=0
sin (tan 2x x 3) 3(tan 2x 3) (tan 2x 3)(sinx 3)
⇔ + − + = ⇔ + − =
tan ( )
3
k
x x −π kπ x −π π k Z
⇔ = − ⇔ = + ⇔ = + ∈ (thỏa mãn)
Vậy pt có họ nghiệm : ,
6
= − +π π ∈
x k k Z
0,25
0,25
0,25
0,25
2 Giải bất phương trình 1,00
II
+ Đk: x≥0; x≠3
Bất phương trình x x x
+
⇔ < −
−
2 2x
0 x
2x 4x
x x
3 x (3 x)
x
−
>
−
−
⇔ < ⇔ <
− −
≥
2
x (3; ) x 10x
∈ +∞
⇔
− + <
x (3; ) x (3;9) x (1;9)
∈ +∞
⇔ ⇔ ∈
∈
(Thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm bpt : (3;9)
0,25
0,25
0,25
0,25
Giải hệ phương trình 1,00
III
+ Điều kiện: 2
3 0,
x + y≥ y + x≥
Đặt 2 ( )
3 , ,
u= x + y v= y + x u v≥
+ Ta được: 22 2 2 2 2 2
13 13 (2 1) 13
− = = − = −
⇔ ⇔
+ = + = + − =
u v v u v u
u v u v u u
2
2
2 2
3
5 12
( )
5
= −
= − =
=
⇔ ⇔ ⇔
=
− − = −
=
v u
v u u u
v
u u
u loai
+ Khi
2
2
2 2
2
4
3
4
8
8 8 9
3
−
=
+ = + =
⇔ ⇔
−
+ =
+ =
+ =
x y
x y x y
x
y x
y x x
0,25
0,25
(4)
2
4
3
8 72 65
−
=
⇔
− + − =
x y
x x x
2
2
1
4
1
3
1 5
( 1)( 5)( 13)
5 7
x x
y x
y y
x x
x x x x
x y
=
−
=
−
= =
⇔ ⇔ = ⇔
= −
− + − + =
= −
= −
Kết hợp với điều kiện ban đầu ta thu tập hợp nghiệm hệ phương trình là: S ={(1;1), ( 5; 7)− − }
0,25
Tính thể tích … 1,00
IV B C
A D M K N
B' C'
I
A' D'
+ Gọi M,N lần lượt tâm của hình vng ABB'A'; ADD'A' MN 1B 'D ' B'D ' 2a A 'B ' a
2
⇒ = ⇒ = ⇒ =
VABCDA'B'C'D' = AA'.SA'B'C'D' =a 2( )a 2 =2 2a3 (đvtt)
+ Gọi I giao của B'D' A'C'
Trong (AA'C') kẻ IK ⊥ AC';K∈AC'
Vì ( ' ) ' ' ' '
' ' ' '
' ' '
D B IK D
B C AA D
B C A
D B AA
⊥
⇒
⊥
⇒
⊥ ⊥
Vậy: d(AC',B'D')=IK IK
C'
∆ đồng dạng với∆C 'AA '
IK C 'I IK AA '.C 'I a 2.a a
AA ' C 'A C 'A a 3
⇒ = ⇒ = = =
Kết luận: Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ B’D’ bằng
3
a
0,25
0,25
0,25
0,25
Tìm GTNN biểu thức… 1,00
V
Ta có:
xyz z y x z
y x P
2 2
3
2
+ + +
+ +
=
Áp dụng bđt: a2 +b2 ≥2ab,∀a,b⇒ x2 + y2 +z2 ≥ xy+ yz +zx
Đẳng thức xảy x = y = z.
(5) + + + + + ≥ ⇒ + + + + + ≥ ⇒ z z y y x x P xyz zx yz xy z y x P 3 3 3 3 3
+ Xét hàm số
t t t f ) ( +
= với t >0;
2
4
2
2 2 2
) ( ' t t t t t
f = − = − ; f'(t)=0⇔t =4 + BBT
t 0 42 +∞
( )
/
f t − +
( ) f t +∞ +∞
Vậy P≥44 8Đẳng thức xảy x= y = z=4 2 Hay Pmin =44 8
0,25
0,25
0,25 Chương trình chuẩn
a Viết phương trình đường thẳng… 1,00
VI
A∈Ox⇒ A a( ; 0),B∈d⇒B b b( ; ), M(2;1)⇒MA= − −(a 2; 1),MB= −(b 2;b−1)
Tam giác ABM vuông cân M nên:
2 2
( 2)( 2) ( 1)
( 2) ( 2) ( 1)
a b b
MA MB
MA MB a b b
− − − − = = ⇔ = − + = − + −
Nhận xét b=2 không thỏa mãn hệ phương trình
Ta có :
2 2 2
1 2 2
( 2) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1)
2 − − = − − = − ⇔ − − − + = − + − + = − + − − b a b a b b b
a b b b b
b 2 2 2
( 2) ( 1)
( 2) 3
= − − = − = ⇔ ⇔ = − + − − = − = a b a b b a b b b b
Với
1 a b = =
đường thẳng ∆qua A,B có phương trình x+ − =y
Với
3 a b = =
đường thẳng ∆qua A,B có phương trình 3x+ − =y 12
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: x+ − =y 3x+ − =y 12
0,25
0,25
0,25
0,25
a Tìm tọa độ tâm đường trịn… 1,00
VII
(C1) A (C2)
(6)+(C1) có tâm O(0;0), bán kính R=5
( )− ⇒OM = ⇒OM <R⇒
OM 1; M nằm đường tròn (C1)
+ Giả sử (C2) cắt (C1) tại A B Gọi H trung điểm đoạn AB
2
2
25 2
2AH OA OH OH
AB= = − = − Mà OH lớn nhất H trùng
với M
Vậy AB nhỏ nhất M trung điểm của AB AB qua M vng góc
với OM
+ Phương trình của AB: x – 2y – = Tọa độ của A,B nghiệm hệ:
= +
= − −
25
2
y x
y x
Giải hệ được hai nghiệm(5;0);(-3;-4)
+ Giả sử A(5;0); B(-3;-4) Phương trình của OM: 2x + y =
Gọi I tâm của (C2); Do I∈OM ⇒I(t;−2t)
Mà IA = 2 10=> (5−t)2 +4t2 =40.Giải ra: t = -1 hoặc t =
t = −1⇒I( 1, 2)− ; t=3⇒I(3,−6)
Vậy tâm của (C2) có tọa độ (-1 ; 2) hoặc (3, -6).
0,25
0,25
0,25
0,25
a Tìm nghiệm BPT… 1,00
VIII + Đk : x∈N;x≥3
81
)! 2 2 (
)! 2 ( . 2 1 )! 2 (
! . 3 )! 3 ( ! 3
! .
12 −
− ≥
− − − ⇔
x x x
x x
x x
bpt
5
17
85
3
81 ) ( ) ( ) )( (
2 + − ≤ ⇔ − ≤ ≤
⇔
− − ≥
− − − −
⇔
x x
x
x x x x x
x
+ Kết hợp điều kiện ta được x∈{3;4;5}
Vậy tập nghiệm của pt {3;4;5}
0,25
0,25
0,25
0,25
Chương trình nâng cao
b Viết phương trình… 1,00
VI
d1
d d2
H C B
A
P
Ta có A= ∩d1 d2⇒tọa độ A nghiệm hệ (1; 1)
5
x y x
A
x y y
+ + = =
⇔ ⇒ −
− − = = −
Phương trình đường phân giác góc tạo d d1, 2là ( )∆1 : 7x+3y− =4 0,( )∆2 : 3x−7y− =10 0
Vì d tạo với d d1, 2 tam giác cân A nên
1
2
3
7
⊥ ∆ − + =
⇒
⊥ ∆ + + =
d x y C
d x y C Mặt khác P( 7;8) ( )− ∈ d nên C1=77,C2=25
0,25
(7)Suy ra: :3 77
:7 25
d x y
d x y
− + =
+ + =
Gọi B= ∩d1 d C, =d2∩d Thấy (d )1 ⊥(d )2 ⇒ tam giác ABC vuông cân A
nên: 1 29
29
2 2
ABC
S∆ = AB AC = AB = ⇒ AB= BC=AB 2= 58
Suy ra:
29
2 2 58
2 58
ABC
S AH
BC ∆
= = =
Với d: 3x−7y+77=0, ta có
2
3.1 7( 1) 77 87 58
( ; )
2 58
3 ( 7)
d A d = − − + = ≠ AH =
+ − (loại)
Với d: 7x+3y+25=0ta có
2
7.1 3( 1) 25 29 58
( ; )
2 58
7
d A d = + − + = = =AH
+ (t/mãn)
Vậy d: 7x+3y+25=0
0,25
0,25
b Viết phương trình … 1,00
VII
(C1) có tâm I(2 ;-1); bán kính R1 = 1.Vậy (C2) có bán kính R2 = Gọi J tâm của (C2) Do J∈d ⇒J(t;−t −2)
(C1) tiếp xúc với (C2) nên IJ = R1 + R2 = hay IJ
2
=
( )
− = = ⇔ = − − ⇔ = − − + − ⇔
1 2 0
2 9
1 )
2
( 2
t t t
t t
t
+t =−1⇒J(−1;−1)⇒(C2):(x+1)2 +(y +1)2 =4
+t =2⇒J(2;−4)⇒(C2):(x−2)2 +(y+4)2 =4
Vậy có đường trịn (C2) thỏa mãn là: ( 1) ( 1)
2
2 + + =
+ y
x
(x−2)2 +(y+4)2 =4
0,25
0,25
0,25
0,25
b Tìm m để… 1,00
VIII
Ta có
( )
2
2
2
'
1
x x m
y
x
+ + −
=
+
Hàm số có CĐ, CT pt y'=0 có nghiệm phân biệt khác -1
2
x x m
⇔ + + − = có hai nghiệm phân biệt khác –
'
4
4
m
m m
∆ = − >
⇔ ⇔ <
− ≠
Giả sửđồ thị có điểm CĐ,CT A x y( 1; 1) (,B x y2; 2) Khi pt đường thẳng qua điểm CĐ,CT y = 2x+m Suy y1=2x1+m y; 2 =2x2 +m
Hai điểm A, B nằm hai phía đường thẳng (d)
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
1 2
2
1 2
2 4
16 1
x y x y x m x m
x x m x x m
+ − + − < ⇔ + − + − <
⇔ + − + + − <
Theo định lý Vi-et 2
2
x x x x m
+ = −
= −
Thay vào bpt trên, ta được:
2
6 39 3
+ − < ⇔ − − < < − +
m m m
Vậy − −3 3< < − +m
0,25
0,25
0,25
(8)