Bài 7 : Một nông trường ,có 2 máy cày cùng cày chung 1 thửa ruộng sau 2h thì xong .Nếu mỗi máy cày riêng thửa ruộng đó thì máy thứ 1 cày xong trước máy 2 là 3h Tính thời gian mỗi máy cà[r]
(1)TRƯỜNG THCS BÌNH TÂY TỒ TỐN
CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH A - Lý thuyết: Các phương pháp giải
1 Phương pháp thế
- B1: Từ pt ta rút ẩn biểu diễn theo ẩn lại ( thường rút ẩn có hệ số nhỏ nhất) - B2: Thế biều thức vào pt cịn lại để pt ẩn
- B3: Giải Pt thu
- B4: Thay ẩn vừa tìm vào pt để tìm ẩn cịn lại kết luận Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
3
2
x y x y
2
x y
x y
(Ta biểu diễn biến x theo biến y)
2(2 )
x y y y
4
x y y y x y y x y y
2 3.( 5) x y 13 x y Vậy (-13;-5) nghiệm hệ phương trình
Bài tập: Giải hệ phương trình sau phương pháp thế:
5 )
3
x y a x y
7
) x y b x y
2
)
5
x y c x y )
4
x y d x y )
2 x y e x y 10 )
10 10 x y f x y
2 2 2
)
2 2 x y g
x y
2 Phương pháp cộng đại số
- B1: Nhân vế pt với số thích hợp ( cần) để hệ số ẩn pt đối
- B2: Cộng (nếu hệ số đối nhau) trừ (nếu hệ số nhau) vế pt để pt ẩn
(2)- B4: Thay ẩn vừa tìm vào pt để tìm ẩn cịn lại kết luận Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
3 ( 2) 3 ( 3)
x y nhaân
x y nhaân
6 14
6 9
x y x y
6 14
5 x y y
6 14 x y y
6 4.( 1) 14 x y 18 x y x y Vậy nghiệm hệ (3 ; -1)
Bài tập: Giải hệ phương trình sau
4
) x y a x y
2
)
3
x y b x y
7
)
6
x y c
x y
2 11 )
4
x y d x y 11 )
3
x y e x y ) 10 x y f x y
3 18
) x y g x y
4
)
2 16 x y h x y
2
) x y i x y 10 ) x y j x y
2
)
3
x y k x y ) x y l x y
4 – 1
2 –4 )
–1
x y x y
x y
m
2 –3
)
3
x y
x y
n
8 15 )
1 1 12 x y o x y
1 1- 1 )
3 x y p x y
B - Lý thuyết: Giải toán cách lập hệ phương trình
Để giải tốn cách lập hệ hai phương trình bậc hai ẩn ta làm theo ba bước sau:
Bước 1: Lập hệ phương trình
- Chọn hai ẩn đặt điều kiện thích hợp cho chúng
- Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết - Lập hai phương trình biểu thị quan hệ đại lượng
Bước 2: Giải hệ phương trình nói
Bước 3: Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thích hợp với tốn kết luận
Các dạng toán 1 Dạng toán chuyển động
(3)Nếu gọi quảng đường S; Vận tốc v; thời gian t thì: S = v.t;
s s
v ; t
t v
Gọi vận tốc thực ca nô v1 vận tốc dịng nước v2 tì vận tốc ca nơ xi dịng
nước
v = v1 + v2 Vân tốc ca nơ ngược dịng v = v1 - v2
Ví dụ 1: Một xe tải từ TP.HCM đến TP.Cần Thơ, quãng đường dài 180km
Sau xe tải xuất phát giờ, xe khách bắt đầu từ TP.Cần Thơ TP.HCM gặp xe tải sau giờ.Tính vận tốc xe, biết xe khách nhanh xe tải 15km
Cách giải
Vận tốc Thời gian Quãng đường
Xe tải x 3x
Xe khách y 2y
Gọi vận tốc xe tải x (km/h)
vận tốc xe khách y (km/h) (x , y > 0) Quãng đường xe tải : 3x
Quãng đường xe khách : 2y Theo đề ta có hệ phương trình sau
3 180 15 x y
y x
30 45 x y
Vậy vận tốc xe tải 30 km/h
vận tốc xe khách 45 km/h
Ví dụ 2: Đoạn đường AB dài 180 km Cùng lúc xe máy từ A ô tô từ B xe máy gặp ô tô C cách A 80 km Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút chúng gặp D cách A 60 km Tính vận tốc tơ xe máy ?
Giải
Gọi vận tốc ô tô x (km/h), đk: x > Gọi vận tốc xe máylà y(km/h), đk: y > Thời gian xe máy để gặp ô tô
(4)Quảng đường ô tô 100 km nên thời gian ô tô
100 y (giờ)
ta có phương trình
100 80 x y (1)
Quảng đường xe máy 60 km nên thời gian xe máy
60 y (giờ)
Quảng đường ô tô lag 120 km nên thời gian ô tô
120 y (giờ)
Vì tơ trước xe máy 54 phút =
10 nên ta có phương trình
120 60 (2) x y 10 .
Từ (1) (2) ta có hệ phương trình
100 80 100 80
0
x y x y
120 60 40 20
x y 10 x y 10
Vậy vận tốc ô tô 50 km/h Vận tốc xe máy 40 km/h
Ví dụ 3: Tìm vận tốc chiều dài đoàn tàu hoả biết đoàn tàu chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối giây Cho biết sân ga dài 378m thời gian kể từ đầu máy bắt đầu vào sân ga toa cuối rời khỏi sân ga 25 giây
Giải
+/ Gọi x (m/s)là vận tốc đoàn tàu vào sân ga (x>0) Gọi y (m) chiều dài đoàn tàu (y>0)
+/ Tàu chạy ngang ga giây nghĩa với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y(m) giây
Ta có phương trình : y=7x (1)
100 80 60 12
0
x y x 10 x 50
(thoả mÃn điều kiện) 100 80
160 80 12 y 40
0
x y
x y 10
(5)+/ Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378m toa cuối rời khỏi sân ga 25 giây nghĩa với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y+378(m) 25giây
Ta có phương trình : y+378=25x (2)
+/ Kết hợp (1) với (2) ta hệ phương trình :
y+378=25x y x +/ Giải ta có : x=21 ; y= 147 (thoả ĐKBT) Vậy vận tốc đoàn tàu 21m/s
Chiều dài đoàn tàu : 147m
Ví dụ 4: Một thuyền xi, ngược dịng khúc sơng dài 40km hết 4h30 phút Biết thời gian thuyền xi dịng 5km thời gian thuyền ngược dịng 4km Tính vận tốc dịng nước ?
Giải
+/ Gọi x (km/h)là vận tốc thuyền nước yên lặng Gọi y(km/h) vật tốc dịng nước (x,y>0)
+/ Vì thời gian thuyền xi dịng 5km thời gian thuyền ngược dịng 4km nên ta có phương
trình :
5
x y x y
+/ Vì thuyền xi, ngược dịng khúc sơng dài 40km hết 4h30 phút (=
2h) nên ta có
phương trình :
40 40
2 x y x y
Ta có hệ phương trình :
5
40 40 x y x y x y x y
+/ Giải ta có : x=18 ; y= Vậy vận tốc dòng nước km/h
Bài tập:
(6)Bài : Một ô tô từ A vào tới bên B lúc 12 trưa , xe chạy với vân tốc 35km/h đếnB chậm so với dự định xe chạy với vận tốc 50km/h đến B sớm so với dự định Tính độ dài quãng đường AB thời điểm xuất phát ô tô A ?
Bài : Môt ô tô quãng đường AB với vận tốc 50km/h , tiếp BC với vận tốc 45km/h biết tổng chiều dài quãng đường AB BC 165 km thời gain ô tô quãng đường AB thời gian quãng đường BC 30 phút Tính thời gian tơ quãng đường AB BC
Bài : Một ô tô dự địnhđi từA đến B thời gian nhấtđịnh Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B
sớm so với dự định Tính quãng đường AB thời gian dự định từ A đến B
Bài Hai ôtô khởi hành lúc từ tỉnh A B cách 400 km ngược chiều gặp sau 5h vận tốc xe không thay đổi xe chậm xuất phát trước xe 40 phút 2xe gặp sau 5h 22phút kể từ lúc xe chậm khởi hành Tính vận tốc xe
Bài Một ô tô từ A đến B với vận tốc xác định thời gian định Nếu vận tốc của ơtơ giảm 10 km/h thời gian tăng 45 phút Nếu vận tốc ô tô tăng 10 km/h thời gian giảm 30 phút Tính vận tốc thời gian dự định ôtô?
Bài 7: Quãngđường AB gồm đoạn lên dốc dài 4km đoạn xuống dốc dài km Một người xe đạp từ A đến B 40 phút từ B vềA 41 phút ( vận tốc lên dốc lúc lúc ) Tính vận tốc lúc lên dốc vận tốc lúc xuống dốc
Bài 8: Một ô tô xe đạp chuyển động từ hai đầu quãng đường, sau hai xe gặp Nếu chiều xuất phát địa điểm, sau hai xe cách 28 km Tính vận tốc xe đạp ơtơ biết quãng đường dài 156 km
Bài : Hai ca nô khởi hành từ A đến B cách 85 km ngược chiều Sau 40 phút gặp Tính vận tốc thật ca nô, biết vận tốc ca nô xi dịng lớn vận tốc ca nơ ngược dòng km/h vận tốc dòng nước 3km/h
2 Dạng toán liên quan tới kiến thức hình học
Kiến thức cần nhớ:
- Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( xlà chiều rộng; y chiều dài) - Diện tích tam giác
1 S x.y
2
(7)- Độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c cạnh huyền; a,b cạnh góc vng)
Ví dụ 1: Cho tam giác vng Nếu tăng cạnh góc vng lên 4cm 5cm diện tích tam giác tăng thêm 110cm2 Nếu giảm hai cạnh 5cm diện tích giảm đi
100cm2 Tình hai cạnh góc vng tam giác.
HD GIẢI:
Gọi x (cm), y (cm) độ dài hai cạnh góc vuông (x > 5, y > 5)
Theo đề ta có hệ pt:
5 200 45
x y
x y
Giải hệ pt ta
20 25 x y
(thỏa ĐK).
Vậy độ dài hai cạnh góc vng 20cm 25cm
Ví dụ 2: Cho tam giác vng có cạnh huyền 5cm, diện tích 6cm2 Tìm độ dài các
cạnh góc vng
HD GIẢI:
Gọi x (cm), y (cm) độ dài hai cạnh góc vng (0 < x, y < 5) Vì tam giác có cạnh huyền 5cm nên ta có pt: x2 + y2 = 25 (1).
Vì tam giác có diện tích 6cm2 nên ta có pt:
1
2xy = xy = 12 (2).
Từ (1) (2) ta có hệ pt:
2 25 12 x y
x y
2
( ) 25 12 x y xy
x y
2 ( ) 49
12 x y
x y
7 12 x y
x y
( x, y > 0)
Giải hệ pt ta
3 x y
4 x y
(thỏa ĐK).
Vậy độ dài hai cạnh góc vng 3cm 4cm
Bài tâp :
Bài 1: Một hình chữ nhật có đường chéo 13 m, chiều dài chiều rộng m Tính diện tích hình chữ nhật đó?
(8)Bài 3: Một ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn chiều dài 45m Tính diện tích ruộng.biết giảm chiều dài 2lần chiều rộng tăng lên 3lần chu vi ruộng không thay đổi
Bài 4: Vườn trường hình chữ nhật có diện tích 600m 2 , tính kích thước hình chữ nhật Biết
rằng giảm bớt cạnh 4m diện tích cịn 416m
Bài 5: Một hình chữ nhật có chu vi 70 m ,nếu giảm chiều rộng 3m tăng chiều dài 5m diện tích cũ Hãy tìm chiều rộng chiều dài ?
Bài 6: Một đất hình chữ nhật có chu vi 198 m, diện tớch 2430 m2 Tính chiều
dài chiều rộng đất hình chữ nhật cho
Bài : Tính chu vi hình chữnhật , biết tăng cạnh hình chữ nhật lên 5m diện tích hình chữ nhật tăng thêm 225 m2 Nếu tăng chiều chiều rộng thêm m giảm
chiều dài m diện tích hình chữ nhật diện tích ban đầu
Bài : Một ruộng hình chữ nhật , tăng chiều dài thêm 2m tăng chiều rộng thêm 3m diện tích tăng thêm 100m Nếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện tích giảm 68 m2 Tính diện tích ruộng
Bài : Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 80m tăng chiều dài thêm 3m tăng chiều rộng thêm 5m diện tích mảnh đất hình chữ nhật tăng thêm 195m2 Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất
Bài 10 : Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340m lần chiều dài lần chiều rộng 20m Tính chiều dài chiều rộng sân trường
3.Dạng tốn cơng việc làm chung, làm riêng.
Những kiến thức cần nhớ:
- Nếu đội làm xong cơng việc x ngày đội làm
x cơng việc. - Xem tồn cơng việc
Ví dụ 1:
Hai người thợ làm cơng việc 16 xong Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm hồn thành 25% cơng việc Hỏi làm riêng người hồn thành cơng việc bao lâu?
(9)Ta có 25%= 4.
Gọi thời gian người thứ hồn thành cơng việc x(x > 0; giờ) Gọi thời gian người thứ hai hồn thành cơng việc y(y > 0; giờ) Trong người thứ làm
1
x công việc
Trong người thứ hai làm
1
y công việc.
Hai người làm xong 16 Vậy hai người làm
16công việc.
Ta có phương trình:
1 1 (1) xy 16
Người thứ làm giờ, người thứ hai làm 25%=
4 cơng việc Ta
có phương trình
3 xy 4(2)
Từ (1) (2) ta có hệ phương trình
1 1 3 1
x y 16 x y 16 x y 16
3 6
x y x y y 16
x 24
(thoả mÃn điều kiện) y 48
.
Vậy làm riêng người thứ hồn thành cơng việc 24 Người thứ hai hồn thành cơng việc 48
Ví dụ 2:
Hai người thợ sơn cửa cho ngơi nhà ngày xong việc Nếu người thứ làm ngày nghỉ người thứ hai làm tiếp ngày xong việc Hỏi người làm xong cơng việc?
Giải:
Gọi thời gian để người thứ hồn thành cơng việc x (x>2; ngày) Gọi thời gian để người thứ hai hồn thành cơng việc y (x>2; ngày) Trong ngày người thứ làm
1
(10)Trong ngày người thứ hai làm
1
y công việc
Cả hai người làm xong ngày nên ngày hai người làm
2 cơng
việc Từ ta có pt x +
1 y =
1 2 (1)
Người thứ làm ngày người thứ hai làm ngày xong cơng việc ta có pt:
4 1 xy (2)
Từ (1) (2) ta có hệ pt
1 1 1
x y x y x
(thoả mÃn đk)
4 y
1
x y x
Vậy người thứ làm xong cơng việc ngày Người thứ hai làm xong cơng việc ngày
Ví dụ 3:
Hai vòi nước chảy vào bể cạn (khơng có nước) sau
4
5 đầy bể Nếu lúc
đầu mở vòi thứ sau mở thêm vịi thứ hai sau
6
5 bể nước.
Hỏi từ đầu mở vịi thứ hai sau đầy bể? GIẢI:
Gọi x (h), y (h) thời gian vòi 1, vòi chảy riêng đầy bể ( x > 9, y >
6 5).
Trong 1h, vòi chảy được:
1
x (bể).
Trong 1h, vòi chảy được:
1
y (bể).
Vì hai vịi nước chảy
4
5 = 24
5 h đầy bể nên 1h hai vòi chảy
được
(11)do ta có pt:
1
x +
1
y =
5 24 (1).
Vì lúc đầu mở vịi thứ sau mở thêm vịi thứ hai sau
6
5 nữa
mới bể nước nên ta có pt:
9
x +
6 1
5 x y
= (2).
Từ (1) (2) ta có hệ pt:
1
24 1
1
x y
x x y
(I)
Đặt u =
1
x , v =
1
y , hệ (I) trở thành:
5 24 u v
u u v
24 51 5 u v u v
(II).
Giải hệ (II), ta được:
1 12 u v 1 12 1 x y 12 x y
(thỏa ĐK).
Vậy: Vòi chảy riêng đầy bể 8h
Bài tập
Bài 1 Hai người thợ làm cơng việc xong 18 Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm 1/3 cơng việc Hỏi người làm xong cơng việc?
Bài 2. Để hồn thành cơng việc hai tổ phải làm Sau làm chung tổ hai điều làm việc khác Tổ hồn thành cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ làm riêng thhì xong cơng việc đó?
Bài 3 Hai đội công nhân đào mương Nếu họ làm ngày xong cơng việc Nếu làm riêng đội haihồn thành cơng việc nhanh đội ngày Hỏi làm riêng đội phải làm ngày để xong công việc?
(12)Bài 5: Hai máy ủi 12h xan lấp 1/10 khu đất ,Nếu máy ủi thứ 1làm 42h nghỉ sau đoa máy ủi thứ làm 22h máy ủi xan lấp 25%khu đất Hỏi làm máy ủi xan lấp xong khu đất lâu?
Bài 6: Hai người làm chung công việc hết 6h Nếu riêng người làm nửa cơng việc tổng số làm 12 h 30 phút Hỏi người làm xong cơng việc giờ?
Bài 7 : Một nơng trường ,có máy cày cày chung ruộng sau 2h xong Nếu máy cày riêng ruộng máy thứ cày xong trước máy 3h Tính thời gian máy cày riêng để xong ruộng ?
Bài 8:Hai đội cơng nhân làm cơng việc 3h 36 phút xong Hỏi đội làm phải làm lâu xong công việc Biết thời gian đội làm thời gian đội 3h ?
4 Dạng toán sử dụng kiến thức vế %, sử dụng kiến thức vật lý, hóa học.
Bài 1: Trong buổi lao động trồng ,một tổ học sinh trao nhiệm vụ trồng 56 Vì có bạn tổ phân công làm việc khác nên để trồng đủ số giao ,mỗi bạn lại tổ trồng tăng thêm với dự định lúc đầu Hỏi tổ học có bạn biết số phân cho bạn
Bài : Một người mua hai loại mặt hàng A B Nếu tăng giá mặt hàng Athêm 10% mặt hàng B thêm 20% người phải trả 232 nghìn đồng Nhưng giảm giá hai mặt hàng 10% người phải trả tất 180 nghìn đồng Tính giá tiền loại lúc đầu ?
Bài : Một rạp hát có 300 chỗ ngồi Nếu dãy ghế thêm chỗ ngồi bớt dãy ghế rạp hát giảm 11 chỗ ngồi Hãy tính xem trước có dự kiến sắo xếp rạp hát có dẫy ghế ?
Bài : Một đội xe cần chở 480 hàng khởi hành đội điều thêm 3xe nên xe chở dự định Hỏi lúc đầu đọi có xe ?biết xe chỏ
Bài : Có 45 người gồm bác sĩ luật sưtuổi trung bình họ 40 Tính sốbác sĩ luật sư biết tuổi trung bình bác sĩ 35 tuổi trưng bình luật sư 50
(13)Bài 7: Bảy năm trước tuổi mẹ lần tuổi cộng thêm Đến tuổi mẹ vừađúng gấp lần tuổi Hỏi năm người tuổi
Bài 8: Hai trường A B thị trấn có 210 học sinh thi đỗ hết lớp 9, đạt tỷ lệ trúng tuyển 84% Tính riêng trường A đỗ 80%, trường B đỗ 90% Tính xem trường có học sinh lớp dự thi?
Bài : Hai trường THCS A B có tất 250 học sinh dự thi vào trường trung học phổ thơng Hồng Mai Biết có
3 số học sinh dự thi trường THCS A 53 số học sinh dự thi