Download Bài tập ứng dụng lượng giác

Ưng dụng của lượng giác.. Dạng 1:Bài toán tam giác.[r]

Ưng dụng lượng giác.

Dạng 1:Bài toán tam giác

VD1:cmr:mọi tam giác ta lncó: 1/SinA+sinB+sinC=4cos 2.cos 2.cos

C B A

Giai:

2sin cos 2sin cos 2sin (cos cos B A B

A B A B

A B A B

A B

A 

  

  

  

=4sin .cos 2 cos 2 4sin 2.sin 2.sin C B A B

A A B A B A B A B

       

2/cosA²+cosB²+cosC²=1-2cosA.cosB.cosC Giai:

VT: cos( )

2 cos

2 cos

B A B

A

 

  

²=1+ cos( )

2 cos

cos

B A B

A

 



=1+cos(A+B)(cos(A B)cos(AB) =1-2.cosA.cosB.cosC=vp

3/ sin2A+sin2B+sin2C=4sinA.sinB.sinC

Vi:sin2C=sin2(ð-(A+B))=sin(2ð-2(A+B))=-sin2(A+B)



VT:2sin(A+B)(cos(A-B)-cos(A+B))=2sinC.(-2)sinA.sin(-B)=4sinAsinBsinC.=vp

3/(truong hop tam giac khong vuong) tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC

Ta co:tan(A+B)=tan(ð-C)=-tanC=  



B A

B A

tan tan

tan tan

dpcm 4/tan 2tan tan tan tan 2tan 1

C A C

B B

A

Giai:

taco:tan(  2)tan( B

A

ð/2- 

 



B A

B A

C C

tan tan

2 tan tan

2 tan

1 )

5/

) cot cot cot tan tan (tan sin

1 sin

1 sin

1 A B C A B C

C B

A     

ta di CM:cot cot cot cot 2.cot 2.cot C B A C

B A

 



Bang cach tuong tu nhu tren )

2 cot cot cot tan tan (tan

: A B C A B C

VP     



= 2(tan cot 2)

1 ) cot (tan ) cot (tan

1 A A B B C C

 

 



=

vp C B

A C

C B

B A

A     sin 

1 sin

1 sin

1 cos sin

2

2 cos sin

2 cos sin

2

2 cos cos

2 sin

2 cos cos

2 sin

2 cos cos

2 sin

 



B A

C

C A

B

C B

A

6/

ta co: cos2.cos2.cos2

2 cos sin ) cos cos cos

sin sin

( 2 cos cos

2 sin

2 cos cos

2 sin

C B A

B A B A

C B A

B A

C A

B

C B

A  

 

 

=

2 tan tan

cos cos

2 sin sin cos

cos A B

B A

B A B

A

  

De dang cm duoc

 



2 tan tan cos cos

2

sin A B

B A

C

dpcm

BAI TAP VAN DUNG:

sin

2 tan tan tan tan tan tan sin sin sin cos cos sin cos cos sin cos cos

C A C

B B

A C

B A B

A C C

A B C

B A

 

 

 

2/ cho tam giac ABC cm:

2 ^

2 ^ ^ sin

) sin(

c b a C

B

A 

 

3/ Trong tam giac ABC biet tan tan B A

= 2( )

1 :

b a c

CM  

4/ CM moi tam giac ta co:

.cotA +cotB+cotC= S

c b a

4

2 ^ ^

^  

5/ cm rang moi tam giac bat ki ta co :

tan a a

a

a a

h r

h h

r h C B

   

2 2

tan

6/ cho tam giac ABC cm:

bc.cot )

3 1 ( ^ cot cot

2 Rp a b c p

C ab B ac A

   

 

7/ cmr:voi moi tam giac ABC ta luon co:

1+R A B C

r

cos cos

cos   

8/ CMR voi moi tam giac ta luon co: a.cotA+b.cotB+c.cotC=2(r+R)

9/ cmr voi moi tam giac ABC ta luon co:

cosAcosBcosC≤8

10/ cmr voi tam giac ABC bat ki:1<cosA+cosB+cosC≤3/2

Dạng 1:Bài toán tam giác

VD1:cmr:mọi tam giác ta lncó: 1/SinA+sinB+sinC=4cos 2.cos 2.cos

C B A

Giai:

2sin cos 2sin cos 2sin (cos cos B A B

A B A B

A B A B

A B

A 

  

  

  

=4sin .cos 2 cos 2 4sin 2.sin 2.sin C B A B

A A B A B A B A B

       

2/cosA²+cosB²+cosC²=1-2cosA.cosB.cosC Giai:

VT: cos( )

2 cos

2 cos

B A B

A

 

  

²=1+ cos( )

2 cos

cos

B A B

A

 



=1+cos(A+B)(cos(A B)cos(AB) =1-2.cosA.cosB.cosC=vp

3/ sin2A+sin2B+sin2C=4sinA.sinB.sinC

Vi:sin2C=sin2(ð-(A+B))=sin(2ð-2(A+B))=-sin2(A+B)



VT:2sin(A+B)(cos(A-B)-cos(A+B))=2sinC.(-2)sinA.sin(-B)=4sinAsinBsinC.=vp

3/(truong hop tam giac khong vuong) tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC

Ta co:tan(A+B)=tan(ð-C)=-tanC=  



B A

B A

tan tan

tan tan

dpcm 4/tan 2tan tan tan tan 2tan 1

C A C

B B

A

Giai:

taco:tan(  2)tan( B

A

ð/2- 

 



B A

B A

C C

tan tan

2 tan tan

2 tan

1 )

) cot cot cot tan tan (tan sin

1 sin

1 sin

1 A B C A B C

C B

A     

ta di CM:cot cot cot cot 2.cot 2.cot C B A C

B A

 



Bang cach tuong tu nhu tren )

2 cot cot cot tan tan (tan

: A B C A B C

VP     



= 2(tan cot 2)

1 ) cot (tan ) cot (tan

1 A A B B C C

 

 



=

vp C B

A C

C B

B A

A     sin 

1 sin

1 sin

1 cos sin

2

2 cos sin

2 cos sin

2

2 cos cos

2 sin

2 cos cos

2 sin

2 cos cos

2 sin

 



B A

C

C A

B

C B

A

6/

ta co: cos2.cos2.cos2

2 cos sin ) cos cos cos

sin sin

( 2 cos cos

2 sin

2 cos cos

2 sin

C B A

B A B A

C B A

B A

C A

B

C B

A  

 

 

=

2 tan tan

cos cos

2 sin sin cos

cos A B

B A

B A B

A

  

De dang cm duoc

 



2 tan tan cos cos

2

sin A B

B A

C

dpcm

BAI TAP VAN DUNG:

sin

2 tan tan tan tan tan tan sin sin sin cos cos sin cos cos sin cos cos

C A C

B B

A C

B A B

A C C

A B C

B A

 

 

 

2/ cho tam giac ABC cm:

2 ^

2 ^ ^ sin

) sin(

c b a C

B

A 

 

3/ Trong tam giac ABC biet tan tan B A

= 2( )

1 :

b a c

CM  

4/ CM moi tam giac ta co:

.cotA +cotB+cotC= S

c b a

4

2 ^ ^

^  

5/ cm rang moi tam giac bat ki ta co :

tan a a

a

a a

h r

h h

r h C B

   

2 2

tan

6/ cho tam giac ABC cm:

bc.cot )

3 1 ( ^ cot cot

2 Rp a b c p

C ab B ac A

   

 

7/ cmr:voi moi tam giac ABC ta luon co:

1+R A B C

r

cos cos

cos   

8/ CMR voi moi tam giac ta luon co: a.cotA+b.cotB+c.cotC=2(r+R)

9/ cmr voi moi tam giac ABC ta luon co:

cosAcosBcosC≤8

10/ cmr voi tam giac ABC bat ki:1<cosA+cosB+cosC≤3/2