Đề thi HSG môn Toán 10 năm học 2019-2020

Hỏi chủ hộ kinh doanh sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao nhất.. Câu 5 ( 2 điểm ).?[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNGNĂM HỌC 2019 – 2020 Môn thi: Toán - Lớp: 10

(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số y = -x2 + 2(m + 1)x + – m2 (m tham số).

a) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B cho tam giác KAB vuông K, K(2; -2).

b) Tìm giá trị m để hàm số (1) có giá trị lớn 6. Câu 2 (6 điểm).

a) Giải phương trình:

2

3(4 9)

2

3

x

x x



  

b) Tìm m để phương trình: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = m có nghiệm.

c) Giải hệ phương trình:

 

2 2

9 3

( )( 3) 3( )

x y x y y

x y x xy y x y

       



      

  Câu 3 (6 điểm)

a) Cho ABC hai điểm M, N thay đổi cho: ⃗MN=4⃗MA+⃗MB−2⃗MC . Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định.

b) Cho tam giác ABC có diện tích

1

4 Đặt a = BC, b = AC, c = AB Chứng

minh rằng: cotA + cotB + cotC = a2 + b2 + c2.

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) B(4; 3) Tìm tọa độ điểm M nằm trục hồnh cho góc AMBˆ 450.

Câu 4 (2 điểm) Một chủ hộ kinh doanh có 32 phịng trọ cho th Biết giá cho thuê mỗi tháng 2.000.000đ/1 phòng trọ, khơng có phịng trống Nếu tăng giá mỗi phịng trọ lên 200.000đ/1 tháng, có phịng bị bỏ trống Hỏi chủ hộ kinh doanh sẽ cho thuê với giá để có thu nhập tháng cao nhất?

Câu 5 (2 điểm) Cho số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2

1 2020

A

x y z xy yz zx

 

    .

-HẾT -Cán coi thi không giải thích thêm!

Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị coi thi số 1: Chữ ký giám thị coi thi số 2:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2019 – 2020

Mơn thi: Tốn - Lớp: 10 I Hướng dẫn chung

II Đáp án thang điểm

Câu Đáp án Điểm

Câu 1 (4 điểm)

a) Phương trình hồnh độ giao điểm:

2 2( 1) 1 0 2( 1) 1 0

x m x m x m x m

            (2) 0.5

Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

2

' (m 1) m 2m m

              .

0.5 Gọi nghiệm phương trình (2) x x1,

Tọa độ giao điểm A B, A x( ;0), ( ;0)1 B x2 ; KA (x1 2;2),KB (x2 2;2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.5

1 2

( 2)( 2) 2( )

KAKB              KA KB    x  x     x x  x x  

2 1 2.2( 1) 0 4 3 0

3 m

m m m m

m  

           



 .

Kết hợp điều kiện m 1, ta m1, m3.

0.5

b) yx22(m1)x 1 m2  yx22(m1)x (m1)2(m1)2 1 m2

( 1) 2

y x m m

      . 0.5

2

y m

   , với x  R. 0.5

Dấu " " xảy x m 1 Giá trị lớn hàm số 2m2. 0.5

Giá trị lớn hàm số 2m  2 m2. 0.5 Câu 2

(6 điểm)

a) Điều kiện: x < -1 x > 0.5

Phương trình

2

3(4 9)

2 3(2 3)(2 3) (2 3) 3

3

x

x x x x x

x 

       

 0.5

2

2

3

2

2

3 3(2 3)

3 9(2 3)

x x

x

x x

x x

    





  

  



  

 

   

 

0.5

2

3

2

3 2

2

33 108 84

x

x x

x

x x

  



  

  

 



  

    



 Vậy phương trình có hai nghiệm x =

-3/2, x =

0.5

b) Điều kiện: x  R Phương trình  (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) = m (1) 0.5

Đặt t = x2 + 8x + 16 = (x + 4)2, điều kiện t  (1)  (t – 9) (t – 1) = m

 t2 – 10t + = m (2), t 

0.5

Xét hàm số f(t) = t2 – 10t + 9, t  0.

0.5

Phương trình (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t   Đường thẳng y = m có điểm

chung với đồ thị hàm số f(t) = t2 – 10t + 9, t   m  -16. 0.5

c) Điều kiện:

3

2

x y x y

   



 

 Từ phương trình (1)  (x – 1)3 = (y + 1)3 y = x – 2. 0.5

Với y = x – thay vào (2), ta được: 9 4x 1 3x 2  x

     

9 4x 3x 4x 3x (x 3) 4x 3x

           

4x 3x

    

0.5

4x 3x ( 4x 5) ( 3x 4)

           

4 24 3 18 4 3

0 ( 6) 0

4 1 5 3 2 4 4 1 5 3 2 4

x x

x

x x x x

   

       

         

0.5

 x = 6,

4 3

0

4x 1 5 3x 2 4  Vậy hệ có nghiệm (6; 4) 0.5

Câu 3 (6 điểm)

a) Gọi I điểm thỏa mãn 4IA IB  2IC 0                                                        

3IA AB 2AC 0

     

0.5

3IA 2AC AB AD AB BD

     

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1

3

IA BD

   0.5 Với D điểm thỏa mãn C trung điểm đoạn AD Vì A, B, C cố định nên D cố

định, suy I cố định 0.5

Suy M, N, I thẳng hàng hay MN qua điểm I cố định 0.5 b) Áp dụng các: sin

a A

R 

;

2 2

cos

2

b c a

A

bc   

; abc S

R

 0.5

Suy ra:

2 2 2

cos cot

sin

A b c a b c a A

abc

A S

R

   

  

0.5

Tương tự:

2 2

cot

4 a c b B

S   

;

2 2

cot

4 a b c C

S  

 0.5

Suy ra: cotA + cotB + cotC = a2 + b2 + c2. 0.5

c) Điểm M mằm trục hoành nên gọi M(m;0) ,  (1 ;2)



MA m , MB(4 m;3) 0.5

2 2

(1 )(4 ) 2.3 cos45

(1 ) (4 )

m m

m m

   

    0.5

4 10 44 110 75 0 ( 6 5)( 4 15) 0

m m m m m m m m

            0.5

 m =1 m = Kết luận: M(1;0) M(5;0) 0.5

(2 điểm)

1 phòng là: (2000 + 200x) ngàn

Số tiền thu tháng là: T = (32 – 2x)(2000 + 200x) ngàn 0.5 Áp dụng BĐT cosi, ta được: T = 400(16 – x)(10 + x)

2

16 10

400 67600

2 x x   

 

   

  0.5

Dấu xảy x = 3, để có thu nhập tháng cao giá

2.600.000đ/1 phịng 0.5

Câu 5 (2 điểm)

Chứng minh BĐT:

1 1

x yz x y z  (*) với x, y, z > Đẳng thức xảy khi x = y = z

0.5

Chứng minh BĐT:

2

( )

3

x y z xy yz zx     

, đẳng thức xảy x = y = z = 0.5

Khi đó: 2

1 1 2018

A

x y z xy yz zx xy yz zx xy yz zx

   

       

2 2

9 2018

x y z xy yz zx xy yz zx xy yz zx

 

         

2

9 2018 2021

(x y z) xy yz zx

  

   

0.5

Đẳng thức xảy x = y = z = Vậy giá trị nhỏ A 2021