Tổng hợp đề thi học sinh giỏi tập 3

Tổng hợp đề thi học sinh giỏi tập 3

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG 2 TỔ TOÁN -----  ----- NGUYỄN VĂN XÁ   TÀI LIỆU THAM KHẢO MÔN TOÁN  TẬP BA MỘT SỐ ðỀ THI HỌC SINH GIỎI    2009200920092009  Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG mơn Tốn Trang 1 MỘT SỐ ðỀ TỐN THI HỌC SINH GIỎI  1. ðỀ THI CHỌN HSG 12 TỈNH BẮC NINH 2009 Bài 1 (6 điểm) 1/ So sánh hai số 20092010 và 20102009. 2/ Tìm giới hạn 20 331 1lim3 ( 1 4 1)2 ( (1 6 ) 1 6 1)xx xx x x→ − + + + + + + . Bài 2 (4 điểm) 1/ Cho ba số thực khơng âm x, y, z thoả mãn x2009 + y2009 + z2009 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của F = x2 + y2 + z2. 2/ Cho số ngun dương n. Chứng minh rằng 1 2 12009 2010 2009+n1 1 1 1 .C C C 2007n++ + + <. Bài 3 (4 điểm) Hình chóp S.ABC có tổng các mặt (góc ở đỉnh) của tam diện đỉnh S bằng 180o và các cạnh bên SA = SB = SC = 1. Chứng minh rằng diện tích tồn phần của hình chóp này khơng lớn hơn 3 . Bài 4 (4 điểm) 1/ Gọi m, n, p là 3 nghiệm thực của phương trình ax3 + bx2 + cx – a = 0 (a≠0). Chứng minh rừng 2 2 21 2 2+ 3+ - m + n + pm n p≤. 2/ Giải hệ phương trình 3 3 23 3 23 3 2( ) 14( ) 21( ) 7x y x y z xyzy z y z x xyzz x z x y xyz+ + + = ++ + + = −+ + + = +. Bài 5 (2 điểm) 1/ Chứng minh rằng bốn đường tròn có các đường kính là bốn cạnh của một tứ giác lồi thì phủ kín miền tứ giác đó. 2/ Cho y = a0x + a1x3 + a2x5 + … + anx2n+1 + … thoả mãn (1 – x2)y’ – xy = 1, ∀x ∈(-1;1). Tìm các hệ số a0, a1, a2, …, an.  2. KÌ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TỐN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2007 Câu 1: (4 điểm) Giải hệ phương trình:3 2 cos cos3 2 cos cos3 2 cos cosx y zy z xz x y+ = ++ = ++ = +. Trang 1 Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG mơn Tốn Trang 2 Câu 2: (4 điểm) Cho dãy số { }nxthoả mãn: 031 133 2n n nxx x x+ +=− = +. Tìm limnnx→+∞. Câu 3: (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số f(x) liên tục trên *+R và thoả mãn: 2 22(1) 54( ) ( ) 4 , 0 .ff x x f x x xx=− = − ∀ > Câu 4: (4 điểm) Trên mặt phẳng cho hình vng ABCD cạnh a và điểm M thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi tổng sau: 1) T2 = 2.MA2 + MB2 + MC2 + MD2. 2) T1 = 2.MA + MB + MC + MD. Câu 5: (4 điểm) Cho tập hợp A = {0,1,2,…,2006}. Một tập con T của A được gọi là tập con “ngoan ngỗn” nếu với bất kì x, y ∈ T (có thể x = y) thì | x – y | ∈ T. 1) Tìm tập con “ngoan ngỗn” lớn nhất của A và khác A. 2) Tìm tập con “ngoan ngỗn” bé nhất của A chứa 2002 và 2005.  3. THI HSG BẮC NINH LỚP 12 NĂM HỌC 2007 – 2008 Câu 1: Tìm a để tập xác định của hàm số 2( )2a xf xa x+=− chứa tập giá trị của hàm số 21( )2 4 2g xx x a=+ + −. Câu 2: Giải hệ PT 4 2 2 32 211x x y x yx y x xy+ − =− + = −. Câu 3: Cho x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 3( , , ) .yz x zx y xy zf x y zxyz− + − + −= Câu 4: Gọi V, S lần lượt là thể tích và diện tích tồn phần của khối tứ diện ABCD. Chứng minh 32288.SV> Câu 5: Giải PT nghiệm ngun 2 2 2 28 2 .x y x y xy− − = Câu 6: Tìm hàm số khả vi f : (-1 ; 1) → ℝ thỏa mãn ( ) ( ) ( ), , ( 1; 1).1x yf x f y f x yxy++ = ∀ ∈ −+ Trang 2 Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 3  4. THI HSG LỚP 12 THPT YÊN PHONG 2 NĂM HỌC 2001 – 2002 Câu 1 Cho hàm số f(x) có ñạo hàm trên R và thỏa mãn f(2x) = 4cosx.f(x) – 2x, ∀x∈R. Tính f ’(0) bằng ñịnh nghĩa. Câu 2 1. Cho △ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức cot cot cot tan tan tan .2 2 2A B CP A B C= + + + + + 2. Giải hệ phương trình 3 23 22000 0500 0x xy yy x y x− + =− − =. Câu 3 1. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình 2 1 2(1 )ln 1 0.2 2 1k kxxkx k+ −− − =− + 2. Tìm nghiệm dương của phương trình 32111121 1ln(1 ) ln(1 ) 1 .x xx x xx x+++ − + = − Câu 4 Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c. Gọi G là trọng tâm tứ diện và x, y, z, t lần lượt là khoảng cách từ G ñến các mặt phẳng (DBC), (DCA), (DAB), (ABC). a. Tìm mối liên hệ giữa a, b, c ñể GA + GB + GC + GD = 3(x + y + z + t). b. Gọi , ,α β γ là góc giữa các cặp ñường thẳng tương ứng BC và DA, CA và DB, AB và DC. Giả sử c < b < a . Hỏi ba ñoạn thẳng os , os , osa c b c c cα β γ có thể dựng ñược một tam giác hay không ?  5. THI HSG GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY LỚP 12 BẮC NINH 2008 Bài 1 Tính gần ñúng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x) = 5x – 3 + 210 8x x− −. Bài 2 Tính gần ñúng (ñến ñộ, phút, giây) nghiệm của phương trình 3cos2x + 4cos3x = 1. Bài 3 Với mỗi n∈N* ñặt f(n) = (n2 + n + 1)2 + 1 và an = (1). (3) .(2 1)(2). (4) . (2 )f f nf f f n−. Tính gần ñúng 2009a2008. Bài 4 Dự ñoán lim(sin1)nnn+ . Bài 5 Giải gần ñúng phương trình 23 02xxe sinx− + − = . Trang 3 Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG mơn Tốn Trang 4 Bài 6 Một đất nước có 80 sân bay mà khoảng cách giữa các cặp sân bay bất kì đều khác nhau và khơng có ba sân bay nào thẳng hàng. Cùng một thời điểm từ mỗi sân bay có một chiếc máy bay cất cánh và bay đến sân bay nào gần nhất. Trên bất kì sân bay nào cũng khơng thể có q n máy bay bay đến. Tìm n. Bài 7 Hình chóp tứ giác đều có tâm mặt cầu ngoại tiếp trùng với tâm mặt cầu nội tiếp. Tính gần đúng góc giữa mặt bên và mặt đáy. Bài 8 Giải gần đúng hệ phương trình ( ) 6( ) 30( ) 12xy x yyz y zzx z x+ =+ =+ =. Bài 9 Trên bảng có 2008 số 1 2 2008, , .,2008 2008 2008. Mỗi lần xóa đi hai số a và b ở bảng đó người ta viết vào bảng số (a + b – 2ab). Hỏi sau 2007 lần xóa như vậy số còn lại trên bảng là số nào ? Bài 10 Cho hai đường tròn (O1 ; R1), (O2 ; R2) cắt nhau. Biết rằng O2 nằm trên (O1 ; R1) và diện tích phần chung của hai hình tròn này bằng nửa diện tích của hình tròn (O1 ; R1). Tính gần đúng tỉ số 12RR.  6. CHỌN ðỘI TUYỂN TỐN BẮC NINH DỰ THI HSG 12 TỒN QUỐC (2007 – 2008) Bài 1 Tìm m để 2 3 4 3 , x x xmx x+ + ≥ + ∀ ∈R. Bài 2 Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) x2 + y2 -2x – 4y – 20 = 0 và hai điểm A(294 ;2), B(- 9 ; - 6). Tìm điểm M∈(C) sao cho 4MA + 5MB đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3 Giải phương trình nghiệm ngun 2 224( ) 10( ) 5 2 1040 2 3 2x y x y y x+ + + + + = + +. Bài 4 Cho △ABC có góc ˆA tù. Dựng △ABD vng cân tại D và △ACE vng cân tại E sao cho C, D khác phía so với AB còn B, E cùng phía so với AC. Gọi I, K lần lượt là các tâm đường tròn nội tiếp △ABD và △ACE. Tính tỉ số IKBC và góc giữa hai đường IK, BC. Bài 5 Tìm giới hạn của dãy ( )nx cho bởi 12112, *.2 1nnnxxx n Nx+≠= ∀ ∈− Trang 4 Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 5 Bài 6 Xác ñịnh hàm số f(x) liên tục trên R + và thỏa mãn f(x24) + f(x10) = 2007(x24 + x10), ∀x∈R. Bài 7 Trên bàn có 2007 viên bi gồm 667 bi xanh, 669 bi ñỏ, 671 bi vàng. Cứ mỗi lần lấy ñi 2 viên bi khác màu, người ta lại thêm vào 2 viên bi có màu còn lại. Hỏi có thể ñến một lúc nào ñó trên bàn chỉ còn các bi cùng màu hay không ?  7. THI HSG TOÁN 10 THPT YÊN PHONG 2 NĂM HỌC 1999 – 2000 Bài 1 Cho parabol (P) y = x2 – 3x + 3. a – Viết phương trình ñường thẳng ñi qua A(1 ; 12) và tiếp xúc với (P). b – M là ñiểm bất kì thuộc ñường thẳng y = 12. Chứng minh qua M luôn vẽ ñược hai tiếp tuyến với (P) và hai tiếp tuyến ấy vuông góc với nhau. Bài 2 Cho ba số a, b, c thỏa mãn 2 2 221a b cab bc ca+ + =+ + =. Áp dụng hệ thức VIET chứng minh a, b, c ∈ [-43 ; 43]. Bài 3 a) Giải hệ phương trình 2 24128x y x yx y+ + − =+ =. b) Tìm m ñể phương trình 5 4x x m+ + − = có nghiệm duy nhất. Bài 4 Cho hình chữ nhật ABCD, ñiểm M bất kì. Chứng minh rằng: a. . .MA AD MB BC= . b. . .MA MC MB MD= . Bài 5 Cho △ABC cân (AB = AC) với ˆA = 2α, các ñường cao AH, BI. Chứng minh rằng: a> sin2α = 2sinα.cosα. b> 1 – cos2α = 2sin2α. Suy ra 1 + cos2α = 2cos2α. Bài 1 (1 ñiểm) Tìm tập xác ñịnh của hàm số a. 22 42 3x xyx− −=+. b. ( )( )( )x a x b x cya b c+ + +=+ − (a, b, c là ñộ dài 3 cạnh 1 tam giác thường). Bài 2 (3 ñiểm) a – Vẽ ñồ thị hàm số 22 3 1y x x= − +. b – Dùng ñồ thị trên biện luận theo m số nghiệm của phương trình 22 3 0x x m− + =. Bài 3 (2 ñiểm) Tìm k ñể phương trình 2 2( 5 3) (3 1) 2 0k k x k x− + + − + = có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2 = 2x1.  8. THI ðỊNH KÌ LỚP CHỌN 10A LẦN I TRƯỜNG THPT YÊN PHONG 2 (1999 – 2000) Trang 5 Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 6 Bài 4 (2 ñiểm) Các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD kéo dài thì vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích của tứ giác này nếu AB = 12cm, BC = 17cm, CD = 4cm, DA = 5cm. Bài 5 (2 ñiểm) Cho △ABC có góc ˆA nhọn. Vẽ ra bên ngoài △ABC các tam giác vuông cân ñỉnh A là △ABD, △ACE. Gọi M là trung ñiểm của BC. Chứng minh rằng AM ⊥DE.  9. THI HSG LỚP 10 THPT YÊN PHONG 2 (ñợt 1) Câu 1 Giải phương trình a. 331 2 2 1x x+ = − . b. 221 13x x x x+ − = + − . Câu 2 Giải hệ phương trình 1. 2 24 4317x xy yx y+ + =+ =. 2. 122015xyyzzx===. 3.2 2 22 32 02 3 4 0x y x yx y x− + =+ + − =. Câu 3 Tìm m ñể bất phương trình x2 + mx + m2 + 6m < 0 có ít nhất một nghiệm x thỏa mãn 1 < x < 2. Câu 4 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, hai ñiểm M, N di chuyển trên AD và CD nhưng luôn có ∠MBN = 450. Xác ñịnh vị trí của M, N ñể diện tích △MBN ñạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Câu 5 Cho hai ñường tròn (O) và (O’), ñiểm M nằm ngoài cả hai ñường tròn này. Dựng ñường thẳng d ñi qua M và cắt cả hai ñường tròn (O), (O’) tạo ra hai dây cung bằng nhau.  10. ðỀ THI HSG LỚP 11 THPT YÊN PHONG 2 (2000 – 2001) Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sin 2cos 1sin cos 2x xyx x+ +=+ +. Bài 2 Chứng minh 0 04cos36 cot7 30' 1 2 3 4 5 6+ = + + + + + . Bài 3 Tính giới hạn 3201 2 1 3limxx xx→+ − +. Bài 4 Chứng minh với mọi △ABC ta có 2 2 21 1 112sin sin sin2 2 2A B C+ + ≥ . Bài 5 Cho tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các ñiểm A, B, C. Gọi H là hình chiếu của O trên (ABC). Gọi , ,α β γ lần lượt là góc gữa OH với Ox, Oy, Oz. Chứng minh rằng 2 2 2os os osc c cα β γ+ + = 1. Trang 6 Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 7  11. THI HSG LỚP 12 THPT YÊN PHONG 2 (2000 – 2001) Bài 1 Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 3(m + 2)x – m – 6. a/ Xác ñịnh m sao cho hàm số có cực trị. b/ Xác ñịnh m ñể hàm số có hai cực trị và các giá trị cực trị cùng dấu. Bài 2 Cho m > 1 và ba số a, b, c thỏa mãn 02 1a b cm m m+ + =+ +. Chứng minh phương trình 20ax bx c+ + = có nghiệm (0;1).x∈ Bài 3 Chứng minh phương trình 52 0x x− − = có nghiệm duy nhất 0x trên ñoạn [1 ;2] và 098x>. Bài 4 a/ Cho F(-3 ;0) và (△) 3x + 25 = 0. Tìm quỹ tích ñiểm M trong mặt phẳng sao cho 5FM = 3MK với K là hình chiếu của M trên (△). b/ Tìm quỹ tích tâm của ñường tròn (Cα) x2 + y2 – 2xcosα + 4ysinα + 3sin2α - sinα + 1 = 0 (α∈R).  12. THI HSG LỚP 11 TỈNH BẮC NINH (10 – 4 – 2001) Bài 1 (4 ñiểm) Giải phương trình 1. (2 ñiểm) sinx(cos2x + cos6x) + cos2x = 2. 2. (2 ñiểm) 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 20 4 5 15 3 4 12 3x x x x x x x x x− + + − + = + +. Bài 2 (4 ñiểm) Cho dãy (un) thỏa mãn u1 = - 2, 1, 1nnnuu nu+= ∈−N*. 1. Chứng minh un < 0, ∀n∈N*. 2. Với mỗi n∈N* ñặt vn =1nnuu+. Chứng minh (vn) là một cấp số cộng và suy ra biểu thức của vn và un. Bài 3 (4 ñiểm) Giải hệ 27 41 1 54 27 61log log627 4 1x xyxy x+ =− ≥− ≤. Bài 4 (4 ñiểm) Chứng minh rằng nếu ba số nguyên tố tạo thành một cấp số cộng có công sai không chia hết cho 6 thì số bé nhất trong chúng là 3. Bài 5 (4 ñiểm) Cho hình chóp S.ABC có SA = 1cm, SB = 2cm, Sc = 3cm, thể tích bằng 1cm3. Chứng minh rằng SA, SB, SC ñôi một vuông góc. Trang 7 Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 8  13. THI CHỌN LỚP 12A THPT YÊN PHONG 2 NĂM HỌC 2001 – 2002 Câu 1 Giải phương trình a/. 1 sinx 1 sinx 2cos x− + + = . b/. 32log (1 ) logx x+ =. Câu 2 Cho hàm số 4( )2 4xxf x =+. Tính 20001( )2001iiA f==∑. Câu 3 Giải biện luận phương trình sinx 1 sinx4 2 m++ = (m là tham số). Câu 4 Cho hình chóp ñều S.ABC có trung ñoạn bằng a và lập với ñáy một góc một góc α. a – Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. b – Tìm khoảng cách từ A tới (SBC).  14. THI HSG 11 BC NINH (2004 – 2005) Bài 1 (2,5 đim) Tính giá tr ca: cos50 - cos310 - cos410 + cos670 + cos770. Bài 2 (2,0 đim) Cho dãy s {an} tha a1 = 1, an+1 = nnaa12 vi n =1, 2, 3, … Chng minh biu thc 222na là s nguyên, vi mi giá tr nguyên n > 1. Bài 3 (2,5 đim) Cho t din ABCD, đng vuông góc chung ca AC và BD đi qua trung đim BD và S ABD = S BCD = 21S ABC. Gi s tn ti đim O trong t din sao cho tng khong cách t O đn B và D bng tng khong cách t O đn bn mt t din. Chng minh: 1) ng vuông góc chung ca AC và BD đi qua trung đim AC. 2) AC  BD. Bài 4 (2,0 đim) Gi r, R là bán kính đng tròn ni tip, ngoi tip tam giác ABC, và r1 là bán kính đng tròn ni tip tam giác có các đnh là tip đim ca đng tròn ni tip tam giác ABC. Chng minh rng r  1Rr . Bài 5 (1, 0 đim) Gii phng trình x3 - 3x = 2x .  15. THI HSG 11 THPT YÊN PHONG 2 - BC NINH (2008 – 2009) Bài 1: Tìm giá tr nh nht ca biu thc A = 2 11 2 4 5y x y    , vi x, y là các s thc tho mãn x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0. Trang 8 Nguyn Vn Xá thi HSG môn Toán Trang 9Bài 2: Cho các s thc a, b, c ≥ 1, a2 + b2 + c2 = 4. Tìm phn nguyên ca B = 1 1 12   a b ca b c. Bài 3: Tính giá tr ca biu thc C = 2006 1 2004 3 2 2005 20072008 2008 2008 20082009 . 2009 . . 2009 .C C C C   . Bài 4: Gii phng trình lng giác vi x(0, 2): 3 sin 35( ) 3 21 2sin 2cos x xsinx cos xx  . Bài 5: Gii phng trình nghim nguyên: x2 – 4y2 = 17. Bài 6: Gii h phng trình 2 3 22 3 22 3 2101010x y y yy z z zz x x x         . Bài 7: Gi s ba đim G, H, O ln lt là trng tâm, trc tâm, tâm đng tròn ngoi tip ca mt tam giác nào đó. Chng minh rng: 2.GO = HG. Bài 8: Chng minh rng vi mi ABC nhn ta luôn có tanA.tanB.tanC > 1. Bài 9: Tìm tt c các hàm s f:    tho mãn f(x3 – y) + 2y.(3f2(x) + y2) = f(y + f(x)), x, y. Bài 10: Cho các hng s thc a, b, c vi a ≠ 0. Chng minh rng đng thng (d) x = 2 ba là trc đi xng ca parabol (P) y = ax2 + bx + c.  16. THI HSG 10 THPT YÊN PHONG 2 - BC NINH (2008 – 2009) Câu 1 (3 đim) Cho hàm s y = - x2 -2x + 3. a, V đ th hàm s. b, Bin lun theo m s nghim ca phng trình - x2 -2|x| + m = 0. c, Tìm a đ phng trình - x2 -2|x| + 3 – a = 0 có nghim thuc đon [-1; 1]. Câu 2 (3 đim) a. Chng minh rng 2 21 1 2,1 1 1a b ab    vi ab > 1. b. Cho a, b, c, d > 0 và a b c dSd a b a b c b c d c d a          . Chng minh 1 < S < 2. c. Chng minh 300 200200 300 . Câu 3 (3 đim) Cho ABC cân đnh A. Gi M là trung đim ca AB, G là trng tâm ACM, I là tâm đng tròn ngoi tip ABC. Chng minh GI  CM. Câu 4 (1 đim) Chng minh 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )a b a b a a b b       .  17. THI HSG LỚP 12 THPT YÊN PHONG 2 – BẮC NINH – NĂM HỌC 2008 – 2009 Câu 1 Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; +∞) thỏa mãn 1f(x) = f( ),x∀ x > 0. Chứng minh rằng hàm số Trang 9 [...]... (2005 + 5 dng thi HSG mụn Toỏn n ) cú s ch s b ng nhau v i m i n nguyờn Trang 17 Nguy n Vn Xỏ Trang 18 34 UBND TỉNH BắC NINH đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Sở giáo dục Và Đào tạo Năm học: 2009-2010 môn thi: toán lớp 12 thpt Đề chính thức Câu 1 (3, 0 điểm) 1/ Giải phơng trình: Thời gian l m b i: 180 phút ( không kể thời gian giao đề) Ng y thi 14 tháng 4 năm 2010 sin x sin 2x + sin 3x = 3 cos x cos... 28 THI HSG B C NINH (10 04 2002) Bi 1 (2 ủi m) sin 3 x ln(cosx) b lim 1/ Tỡm gi i h n a lim x 0 x2 x 1 2 cos x 3 2/ Cho an = cos( n n + 3n 2 + n + 1) , n N* Tỡm lim an n Bi 2 (1.5 ủi m) Tớnh cỏc t ng sau: a) Sn = sinx + sin2x + + sinnx b) Cn = cosx + 2cos2x + + ncosnx Bi 3 (2 ủi m) 3 3 1) Gi i phng trỡnh x 3 + (1 x 2 ) 3 = x 2(1 x 2 ) x3 9 z 2 + 27 z = 27 2) Gi i h phng trỡnh y 3 ... + cos ) x x x 2 Bi 2 (2.5 ủi m) Cho hm s f(x) = x3 3x 1 1 G i x1 , x2 , x3 l honh ủ giao ủi m c a ủ th hm s v i tr c honh Tớnh giỏ tr c a bi u th c 3 3 3 3 2 2 A = x 13 x2 + x2 x3 + x3 x 13 + 4 x12 x2 x3 2 Xột s nghi m c a phng trỡnh f(f(x)) = 0 Bi 3 (1.5 ủi m) 2 x 2 y = ( y x)( xy + 2) 1 Gi i h phng trỡnh x2 + y2 = 2 2 Tỡm s k l n nh t ủ v i m i ABC ta luụn cú sin2A + sin2B > ksin2C Bi 4 (2.75... = f(x).g(x) = x|x| cú liờn t c t i x = 0 hay khụng, cú ủ o hm t i x = 0 hay khụng? Trang 10 Nguy n Vn Xỏ Trang 11 Bi 2 1 Gi i phng trỡnh log 7 x = log3 (2 + x ) 3 3.x1 = cos( x 2 ) 2 Gi i h phng trỡnh 3 3.x2 = cos( x 3 ) 3 3.x3 = cos( x1 ) Bi 3 Cho hm s liờn t c f : [0; 1] [0; 1], cú ủ o hm trờn kho ng (0; 1) v f(0) = 0, f(1) = 1 a Ch ng minh r ng phng trỡnh f(x) = 1 x cú nghi m trờn kho... Câu 5 (3, 5 điểm) 1/ Chứng minh rằng với mọi x R ta đều có: 3 2 2/ Tìm ( lim cos 2 x + n cos + sin 2 n sin ) n sin x + 2 cos x 2 2+ 2 2 với (0; ) 2 -Hết - (Đề thi gồm 01 trang) Họ v tên thí sinh: Chữ ký của giám thị 1: Số báo danh : Chữ ký của giám thị 2: thi HSG mụn Toỏn Trang 18 Nguy n Vn Xỏ Trang 19 35 thi HSG mụn Toỏn Trang 19 Nguy n Vn Xỏ Trang 20 36 UBND... cosin của góc tạo bởi các tiếp tuyến tại A v tại B của đồ thị h m số đ cho (với kết quả đợc rút gọn) Câu 3 (3, 0 điểm) 1/ Tìm tất cả các số nguyên dơng n thoả m n: 6 6 2/ Giải hệ phơng trình: 6 6 1 0 1 1 (1) n n 1 Cn Cn + + Cn = 2 3 n+2 42 3 x1 = cos(2 x2 ) 3 x2 = cos(2 x3 ) 3 x3 = cos(2 x4 ) 3 x4 = cos(2 x1 ) Câu 4 (6,5 điểm) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có đáy ABCD l hình vuông, với AB = 1... no? Bi 5 Cho hm s f xỏc ủ nh b i f(x) = f(x + 3) .f(x 3) , x R Ch ng minh f l hm tu n hon 33 THI CH N I TUY N TON B C NINH D THI HSG QU C GIA ( 2005 2006) Ngy thi 20 -10 -2005 4 x y 2 + 2 xy + 2 y = 0 Cõu 1 (4 ủi m) Gi i h phng trỡnh 2 x + y x 1 = 0 A B C Cõu 2 (4 ủi m) Cho ABC, tỡm giỏ tr nh nh t c a T = tan 2 + 3( tan 2 + tan 2 ) 2 2 2 Cõu 3 (4 ủi m) Tỡm t t c cỏc hm s f(x) xỏc ủ nh v... t 1 quỏ Hóy ch ra m t t di n nh th 8 29 THI CH N I TUY N TON B C NINH D THI HSG QU C GIA ( 2002 20 03) Ngy thi 16 -10 -2002 (bu i 1) Bi 1 (2 ủi m) Ch ng minh r ng 3 5 2 +7 3 5 2 7 = 2 Bi 2 (2 ủi m) Cho dóy {an} g m vụ h n s t nhiờn th a món an = 2an 1an +1 , n N*, n > 1 Ch ng minh an 1 + an +1 r ng a1 = a2 = = an 1 Bi 3 (2 ủi m) Cho ABC CMR 2 sin thi HSG mụn Toỏn A B C sin sin 2 2 2 1 1 1... ; 1) Hóy tỡm giỏ tr c nh trong ủ nh lớ trờn núi t i 2 a b a a b < ln < b) Cho a > b > 0 V n d ng ủ nh lớ trờn ch ng minh a b b Bi 2 Kh o sỏt v v ủ th hm s y = x3 3x T ủú dựng ủ th bi n lu n theo m s nghi m c a phng trỡnh x3 3x = m3 3m Bi 3 a Trong m t ph ng Oxy cho ủ ng trũn (C) (x 1)2+ (y + 2)2 = 4 Tỡm qu tớch cỏc ủi m M trong m t ph ng sao cho t M k ủ c 2 ti p tuy n t i (C) v 2 ti p tuy n ủú... f : RR th a món (f(x) f(y))2 |x y |3, x, y R , v f khụng ph i l h ng s ? Bi 5 (2 ủi m) Cho hỡnh chúp c t ABC.ABC Ch ng minh r ng cỏc m t (ABC), (BCA), (CAB) c t nhau t i m t ủi m 30 THI HSG B C NINH (20 03) Bi 1 (2 ủi m) Tỡm cỏc gi i h n sau: 1) lim (s inx) tanx ; x 2) lim (sin x 1 1 + cos ) x x x 2 Bi 2 (2.5 ủi m) Cho hm s f(x) = x3 3x 1 1 G i x1 , x2 , x3 l honh ủ giao ủi m c a ủ th hm s v . trình 7 3log log (2 )x x= +. 2. Giải hệ phương trình 1 22 33 13 3. os( x )3 3. os( x )3 3. os( x )x cx cx cπππ===.  21. THI HỌC SINH GIỎI TOÁN. f(x) = x3 – 3x – 1. 1. Gọi 1 2 3, ,x x x là hoành ñộ giao ñiểm của ñồ thị hàm số với trục hoành. Tính giá trị của biểu thức 3 3 3 3 3 3 2 2 21 2 2 3 3 1