Ứng dụng hàm đa điều hòa dưới xét tính lồi của tập trong cn

CÔNG TRÌNH ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán hướng dẫn: PGS.TS Đậu Thế Cấp Cán chấm nhận xét 1: Cán chấm nhận xét 2: Luận văn bảo vệ HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ngày tháng năm 2007 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨAVIỆT NAM PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH Độc lập – Tự – Hạnh phúc Tp.HCM, ngày 30 tháng 07 năm 2007 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên Lưu Gia Thoại phái Ngày, tháng, năm sinh : 21- 10 -1979 nơi sinh: Quảng Nam Chun ngành Tốn Giải Tích Ứng Dụng MSSV :02405542 I : : : Nam TÊN ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG HÀM ĐA ĐIỀU HỊA DƯỚI XÉT TÍNH LỒI CỦA TẬP TRONG Cn II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: − Tìm hiểu tóm tắt tính chất hàm điều hòa, điều hòa − Định nghĩa tính chất hàm đa điều hịa − Nghiên cứu miền chỉnh hình miền tồn hàm chỉnh hình − Miền giả lồi tính chất miền giả lồi − Dựa tính chất hàm đa điều hịa chứng minh tính chất miền giả lồi − Nhận xét, đánh giá khả áp dụng hướng phát triển đề tài III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: : 07 – 03 - 2007 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 30 – 07 – 2007 V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CN BỘ MÔN QL CHUYÊN NGÀNH PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY Nội dung đề cương Luận văn Hội đồng chuyên ngành thông qua ngày 20 tháng năm 2007 TRƯỞNG PHÒNG ĐT-SĐH TRƯỞNG KHOA QL NGÀNH LỜI CẢM ƠN Với lòng biết ơn sâu sắc em xin gửi đến PGS TS Đậu Thế Cấp tận tình bảo, giúp đỡ em nhiều để em hoàn thành Luận văn Em xin cảm ơn chân thành đến Thầy, Cô môn Toán Ứng Dụng giảng dạy truyền đạt kiến thức cho chúng em hai năm học vừa qua Gửi lời cảm ơn đến Phòng Đào Tạo Sau Đại Học môn Toán ng Dụng tổ chức lớp cao học Toán Giải Tích ng Dụng để chúng em có điều kiện học tập, tạo điều kiện tốt để em hoàn thành Luận văn Xin chân thành cảm ơn đến gia đình, bạn học cùng, bạn bè đồng nghiệp quan nơi công tác có giúp đỡ q báu học tập thời gian thực Luận văn TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Tính lồi miền hàm từ lâu chủ đề quan tâm toán học Có nhiều ứng dụng tập lồi nhiều lónh vực khác Trong toán học có nhiều khái niệm lồi có nhiều phương pháp công cụ khác để xét tính lồi tập Luận văn đề cập đến hướng phát triển độc đáo tính lồi hàm tương ứng xác định giải tích phức nhiều biến Các kết công cụ để xét tính lồi tập không gian Cn Trong mặt phẳng, từ trực quan lồi miền, ta đưa đặc trưng hàm lồi sau: Cho I ⊂ R khoảng mở, hàm v: I→ R gọi lồi tập B={(x,t) ∈ I×R : v(x) ≤ t } ⊂ R2 tập lồi Một đoạn thẳng B hàm affine u Do hàm v: I→ R lồi v hàm affine, theo nghóa: với khoảng compact tương đối K I với hàm affine u(x) = ax + b xác định K, ta có: v ≤ u ∂ K ⇒ v ≤ u K Vậy đặc trưng hàm affine hàm lồi tối đại, theo nghóa hàm lồi u: R→ R affine với khoảng mở K bị chặn với hàm lồi v: R→ R mệnh đề thỏa Trong lónh vực hàm phức nhiều biến, dù không hoàn toàn giống mối quan hệ tập lồi hàm affine mà mối quan hệ tập giả lồi hàm đa điều hòa Người ta muốn khẳng định tính lồi đa điều hòa tương tự tính lồi Đặc trưng mối quan hệ là: Tập thật Ω , mở Cn giả lồi tồn hàm đa điều hòa v : Ω → R liên tục cho ∀c ∈ R tập {z ∈ Ω : v(z) < c} tập compact tương đối Ω Luận văn làm sáng tỏ điều khẳng định nói cách giới thiệu hàm điều hòa dưới, đa điều hòa tính chất kết nghiên cứu Luận văn chia làm ba chương Trong chương giới thiệu số kiến thức chuẩn bị hàm chỉnh hình nhiều biến phức, trung bình tích phân, hàm điều hòa tính chất liên quan đến chúng Trong chương đề cập đến hàm đa điều hòa, điều hòa tính chất hàm này, phần có chứng minh nhiều định lý quan trọng hệ có liên quan trực tiếp đến phần sau Trong chương trình bày khái niệm hàm đa điều hòa tính chất định lý hệ liên quan đến hàm Phần kế giới thiệu miền chỉnh hình Cn Cuối giới thiệu tập lồi, bao lồi đặc biệt khái niệm tính giả lồi tập MỤC LỤC Trang Chương Kiến Thức Chuẩn Bị 1.1 Không Gian Phức Cn - 1.2 Hàm Chỉnh Hình Nhiều Biến Phức - 1.3 Trung Bình Tích Phân 1.4 Hàm Điều Hòa - Chương Hàm Đa Điều Hịa Điều Hòa Dưới 17 2.1 Hàm Đa Điều Hòa - 17 2.2 Hàm Nửa Liên Tục Trên 19 2.3 Hàm Điều Hòa Dưới - 21 2.4 Họ Hàm Điều Hòa Dưới 28 Chương Hàm Đa Điều Hịa Dưới Tính Lồi Của Tập 33 3.1 Hàm Đa Điều Hòa Dưới 33 3.2 Miền Chỉnh Hình - 41 3.3 Tính Giả Lồi 45 Kết luận, nhận xét, hướng phát triển đề tài Tài liệu tham khảo 52 Chương 1.1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ KHÔNG GIAN PHỨC Cn Trước hết ta ký hiệu N, R tập hợp số tự nhiên, số thực ta ký hiệu C trường số phức C không gian vector trường C với phép toán thông thường C không gian định chuẩn, với chuẩn modul số phức Ta gọi không gian phức Cn tích Descartes n không gian vector C Vậy Cn không gian vector C Trên Cn ta sử dụng hai chuẩn sau: ( z = z1 z1 + + z n zn ) n   =  ∑ z i zi  (chuaån Euclid)  i =1  z = max { z1 , , zn } (chuẩn Max) Với moïi z = ( z1, , zn ) ∈ Cn , ta có z ≤ z ≤ n z nên hai chuẩn tương đương Cho a ∈ Cn r > Ta gọi: B(a,r)= {z ∈ C n : z − a < r} cầu mở tâm a bán kính r B (a,r)= {z ∈ C n : z − a ≤ r} cầu đóng tâm a bán kính r { P(a, r) = {z ∈ C } : z − a ≤ r} đa tròn đóng tâm a bán kính r P(a, r) = z ∈ Cn : z − a < r đa tròn mở tâm a bán kính r { n } ∂ o P(a, r) = z ∈ Cn : z j − a j = r, j = 1, , n Định nghóa biên đa tròn Một ánh xạ cộng tính L : Cn →Cm gọi R-tuyến tính (tương ứng C-tuyến tính) L(λz) = λL(z) , ∀z∈ Cn λ∈R (tương ứng λ∈C) 1.2 HÀM CHỈNH HÌNH NHIỀU BIẾN PHỨC Hàm Chỉnh Hình Cho Ω ⊂ Cn hàm f: Ω → C Với moãi z = ( z1, , zn ) ∈ Ω , ta viết zj=xj + ixn+j với ≤ j ≤ n vaø xj, xn+j ∈ R Khi coi hàm f hàm 2n biến thực x1,….,x2n Nếu f khả vi theo nghóa giải tích thực (R2n-khả vi), vi phân hàm f là: df = Bởi ∂f ∂f dx + + dx n = ∂x ∂x n xj = ( z j + z j )   ∂f ∂f   dx dx + ∑ j n+ j   ∂x x ∂ j=1 + j n j   n vaø xn+j = (z j − z j ) neân 2i 1 dx j = (dz j + dz j ) vaø dx n + j = (dz j − dz j ) 2i Theo đạo hàm hàm hợp ta có: ∂f ∂f ∂z j ∂f ∂z j ∂f ∂f = + = + ∂x j ∂z j ∂x j ∂z j ∂x j ∂z j ∂z j ∂f ∂f ∂z j ∂f ∂z j ∂f ∂f = + =i −i ∂x n + j ∂z j ∂x n + j ∂z j ∂x n + j ∂z j ∂z j Thay hai vào df ta được: n   ∂f ∂f ∂f ∂f + −i df = ∑  ( )[ (dz j + dz j )] + (i )[ (dz j − dz j )]   ∂z ∂z ∂z j ∂z j i j=1 j j   Khai triển rút gọn ta được: n ∂f ∂f dz j + ∑ dz j j=1 ∂z j j=1 ∂z j n df = ∑ Định nghóa Hàm f gọi khả vi phức (gọi tắt Cn- khả vi) hàm R2n- khả vi, ∂f =0 ∂z j ∀j = 1, ,n Như f khả vi phức ∂f dz j j=1 ∂z j n df = ∑ Nhận xét: Ta có: ∂f  ∂f ∂f  = −i ∂z j  ∂x j ∂x n + j  ⇔ ∂f ∂f +i =0 ∂x j ∂x n+ j vaø ∂f  ∂f ∂f  nên f khả vi = +i ∂z j  ∂x j ∂x n+ j  với moïi j = 1, , n Xem f = u + iv, ta coù ∂f ∂u ∂v = +i ∂x j ∂x j ∂x j vaø ∂f ∂u ∂v = +i ∂x n+ j ∂x n + j ∂x n+ j đó:  ∂u ∂f ∂f ∂u ∂v   ∂v + i +i + = − ∂x j ∂x n+ j  ∂x j ∂x n + j   ∂x j ∂x n + j     Vậy f khảvi R2n – khả vi thỏa mãn điều kiện CauchyRiemann: ∂v  ∂u  ∂x = ∂x n+ j  j   ∂v = − ∂u  ∂x j ∂x n + j Định nghóa Cho z0 ∈ Ω , với Ω miền mở Cn Hàm f: Ω → C gọi chỉnh hình z0 f Cn – khả vi điểm thuộc lân cận z0 Hàm f: Ω → C gọi chỉnh hình Ω f chỉnh hình z∈ Ω Tập hợp tất hàm chỉnh hình miền Ω , ký hiệu O( Ω ) Tính Chất Của Hàm Chỉnh Hình Cho Ω ⊂ Cn hàm f : Ω → C Ta ký hiệu (*) mệnh đề: f liên tục Ω , điểm z0 ∈ Ω , f chỉnh hình theo biến.(*) Tính chất 1: Nếu f thỏa (*) đa tròn U = B (a, r ) z ∈ U , ta có: f (z) = f (ζ )dζ dζ n ∫ n ∫ (2πi) Γ Γ (ζ − z1 ) (ζ n − z n ) Γ khung đa tròn, tức tích n vòng tròn biên { } γ j = ζ j − aj = r Tính chất 2: Nếu f thỏa (*) đa tròn đóng U với z ∈ U , ta có f (z) = ∞ ∑c k =0 c k = k ( z − a) k , f (ζ ) n ∫ (2πi) Γ (ζ − a) k +1 k+1=(k1+1,… kn+1) ∈ Ν n (1.2.1) k=(k1,…kn)∈ Ν n đa số, (z-a)k=(z1 - a1)k……(zn - an)k Tính chất (Định lý Abel) Nếu chuỗi (1.2.1) hội tụ ζ ∈ C n tập K bất kỳ, với K { } compact K ⊂ z : z j − a j < ζ j − a j , chuỗi hội tụ tuyệt đối Tính chất 4: Nếu f thỏa (*) đa tròn đóng U z ∈ U , hàm f có đạo hàm riêng cấp, liên tục Tính chất 5: Nếu f chỉnh hình điểm a f khai triển thành chuỗi dạng (1.2.1) hệ số chuỗi xác định theo công thức Taylor: ∂ k + + k f ck = k 1! k n ! ∂z1K .∂z Kn 1 k n n 1∂ f k! ∂z k z =a Tính chất :(Bất đẳng thức Cauchy) k!=k1! kn! z=a 43 Vậy z thuộc lân cận f ′ (z) ≡ f(z) Theo nguyên lý hàm phức nhiều biến, ta có f ′ ≡ f hầu khắp nơi, mà f chỉnh hình Vì f ′ chỉnh hình Ω , thác triển giải tích cần tìm Định nghóa Cho Ω ⊂ C n tập M ⊂ Ω gọi tập mỏng ∀z ∈ Ω, ∃U z ⊂ Ω lân cận z, tồn hàm chỉnh hình ϕ không đồng 0, lại điểm M ∩ U z Định lý 3.2.2 Giả sử M tập mỏng miền Ω ⊂ C n hàm f chỉnh hình Ω \ M Nếu f bị chặn địa phương, nghóa ∀z ∈ Ω, ∃U z ⊂ Ω lân cận z cho f bị chặn (Ω \ M) ∩ U z thác triển cách thành hàm chỉnh hình toàn Ω Chứng minh Tính liên thông tập Ω \ M Sau ta chứng minh tính thác triển f điểm a ∈ M Không tính tổng quát, ta lấy a =0 cần thực phép biến đổi tuyến tính, hàm ϕ xác định cho tập mỏng M lân cận Uz thỏa ϕ(' z,0) ≠ Với ρ n > đủ nhỏ, ta có hàm ϕ('0, z n ) ≠ đường tròn {z n = ρ n } ta lấy số ρ v (1 ≤ v ≤ n − 1) đủ nhỏ cho: ϕ(' z, z n ) ≠ 0∀' z ∈' V, z n ∈ ∂Ω n không thuộc tập M Tức f chỉnh hình lân cận ' V × ∂Ω n Mặt khác, với ' z ∈' V cố định tùy yù Haøm ϕ(' z , z n ) , theo định lý Weierstrass có hữu hạn không-điểm hình tròn {z n = ρ n } Tức f(‘z0,zn) có hữu hạn điểm bất thường Theo giả thiết f bị chặn {z n = ρ n } 44 nên điểm bất thường bỏ được, nghóa f(‘z0,zn) thác triển thành hàm chỉnh hình {z n = ρ n } Hàm ‘f chỉnh hình lân cận tập ({z v ≤ ρ v ,1 ≤ v ≤ n − 1}× ∂Ω n ) ∪ ({'0}× Ω n ) Theo định lý 3.2.1 ‘f chỉnh hình đa tròn V=’V × Ω n Định nghóa Miền Ω ⊂ C n gọi miền chỉnh hình hàm f f chỉnh hình Ω không thác triển giải tích giới hạn miền này, theo nghóa: ∀z ∈ Ω hàm f chỉnh hình đa tròn lớn U(z0,r) ⊂ Ω không thác triển giải tích vào đa tròn U(z0,r’) mà r’> r Định nghóa Nếu Ω ⊂ G, G ≠ Ω cho hàm chỉnh hình Ω thác triển giải tích thành hàm chỉnh hình G, miền G gọi mở rộng chỉnh hình Ω Định lý 3.2.3 Nếu G mở rộng chỉnh hình Ω , thác triển hàm f chỉnh hình Ω nhận G\ Ω giá trị mà f nhận Ω Chứng minh Giả sử ngược lại, có hàm f chỉnh hình Ω cho: ∃w ∈ G \ Ω : w = f (z ) maø f (z ) ≠ f (z) ∀z ∈ Ω Khi hàm g(z) = chỉnh hình Ω không khai f ( z) − w triển giải tích vào G, điểm G\ Ω vô Điều mâu thuẩn với định nghóa mở rộng chỉnh hình Hệ Nếu Ω ⊂ C n miền bị chặn, mở rộng chỉnh hình G miền bị chặn 45 Chứng minh Gọi z = (z1,…,zn) fj(z) = zj (1 ≤ j ≤ n) Theo định lý fj có giá trị G\ Ω Ω Như sup z j = sup z j z∈G ∀j = n Vì Ω z∈Ω bị chặn nên vế phải hữu hạn Suy G bị chặn Định lý 3.2.4 Nếu Ω z miền chỉnh hình không gian Cn(z) Ω w miền chỉnh hình không gian Cm(w) Khi tích Ω z × Ω w miền chỉnh hình không gian Cm+n(z,w) Hệ Mọi đa tròn Cn miền chỉnh hình Thật vậy, không gian C miền miền chỉnh hình, mà đa tròn xem tích hữu hạn miền phẳng 3.3 Tính Giả Lồi Lấy Ω tập mở Cn K tập compact Ω Định nghóa Bốn loại bao lồi tự nhiên K sau: Bao lồi K, ký hiệu Conv(K) tập lồi nhỏ Cn chứa K Conv(K) = {z ∈ C n : ϕ(z) ≤ sup ϕ(K) ∀ ϕ ∈ L(C n , R)} L(C n , R) họ ánh xạ R-tuyến tính Cn Bao lồi đa thức K, ký hiệu K K = {z ∈ C n : p(z) ≤ p k ∀p ∈ Pn } Pn họ đa thức n biến Bao lồi chỉnh hình K Ω , ký hiệu K O(Ω) K O(Ω)= {z ∈ Ω : f ( z) ≤ f k ∀ f ∈ O( Ω) } 46 O (Ω) họ hàm chỉnh hình Ω Bao lồi đa điều hòa K Ω , ký hiệu K PSH(Ω) K PSH(Ω)= {z ∈ Ω : u(z) ≤ sup u(K ) ∀ u ∈ PSH( Ω ) } PSH( Ω ) họ hàm đa điều hòa Ω Tính lồi đa điều hòa gọi tính giả lồi Ta có mối quan hệ bốn loại bao sau: K PSH(Ω) ⊂ K O(Ω) ⊂ K ⊂ Conv(K) Thật vậy: Dấu bao hàm thứ f∈ O( Ω ) f ∈ PSH( Ω ) Dấu bao hàm thứ hai hiển nhiên Dấu bao hàm thứ ba có ý K O(Ω)= K ϕ ∈ L(C n , R) Φ(z) = ϕ(z) − iϕ(iz) vơi z ∈ C n C-tuyến tính exp Φ = exp ϕ Từ cách tương đương ta có định nghóa sau Định nghóa Ω lồi Conv(K) ⊂ Ω , với K compact Ω Ω lồi đa thức với K compact Ω K compact tương đối Ω Ω lồi chỉnh hình với K compact Ω , K O(Ω) compact tương đối Ω Ω giả lồi với K compact Ω K PSH(Ω) compact tương đối Ω Định lý 3.3.1 47 Cho Ω lân cận mở đa tròn đóng K Cn ( n ≥ ) _ Neáu f∈ O( Ω \ K ) tồn hàm chỉnh hình f Ω cho f Ω\K =f _ ( f giới hạn Ω \ K f ) Chứng minh Không tính tổng quát ta chọn K = P(0,1) Choïn r >1 cho P (0,r ) ⊂ Ω Nếu ta tìm hàm chỉnh hình f P(0,r) mở rộng f đủ Neáu z′ = ( z1, … , zn-1 ) ∈ P('0, r ) cố định hàm zn f( z’,zn ) chỉnh hình lân cận hình khuyên D(0 n , r ) \ D(0,1) Theo hệ số cj chuỗi Laurent: f(z)= +∞ ∑ c (z' )z j j= −∞ j n laø hàm chỉnh hình P(0,r) Thật vậy: 2πi cj( z’) = Nếu 1< z' < r hàm zn f (z' , ξ) dξ ξ j+1 ξ =r ∫ f (z' , z n ) chỉnh hình đóa D(0n, r ) Suy cj(z)=0 với z’ j < Theo nguyên lý đồng cj ≡ với j < Ta đặt _ f (z) = ∞ ∑ c (z' )z j= j j n z ∈ P(0,r) Theo lý thuyết hàm phức biến (biến zn) chuỗi hội tụ tuyệt đối Thực chất hội tụ địa phương P(0,r) Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy: Nếu z ∈ P(0, r ) j ≥ z  c j (z' )z nj ≤ M n   r  j 48 Trong M = f _ chuoãi f (z) = P ( , r )×∂D ( n , r ) ∞ ∑ c (z' )z j= j j n Đánh giá đảm bảo hội tụ địa phương Vậy theo định lý Weierstrass, hàm f chỉnh hình Vì f trùng với f tập khác ∅ P(0,r)\ P (0,1), nên theo nguyên lý đồng f mở rộng cần tìm f Hàm khoảng cách Cn hàm δ : C n → R + = [0,+∞ ) liên Định nghóa tục, không âm cho: i δ (z) = ⇔ z = ii δ ( λ z) = λ δ (z) ∀λ ∈ C ∀z ∈ C n Cho Ω tập mở Cn Khoảng cách theo δ từ biên Định nghóa Ω hàm δΩ : Cn → R+ cho: δΩ(z) = inf {δ(z − w) : w ∈ C n \ Ω} inf ∅ = ∞ Định lý 3.3.2 Cho Ω tập thật sự, mở Cn Các phát biểu sau tương đương: (i) -logδΩ ∈ PSH( Ω ) (ii) Tồn hàm đa điều hòa liên tuïc u: Ω → R cho: ∀c ∈ R, tập {z ∈ Ω : u(z) < c}là tập compact tương đối Ω (iii) Nếu K tập compact Ω K PSH(Ω) compact (iv) Ω tập giả lồi (v) ∀a ∈ ∂Ω , tồn lân cận W cho W ∩ Ω giả lồi Chứng minh (i) ⇒ (ii) Ta cần đặt u(z) = max{z ,− log δ Ω (z)} 49 (ii) ⇒ (iii) Từ (ii) ta suy Ω giả lồi Với tập compact K ⊂ Ω ta coù: K PSH(Ω) = { z ∈ Ω : v(z) ≤ sup v(K ), v ∈ PSH ∩ C(Ω) } Hiển nhiên ta có “ ⊂ ” Để chứng minh chiều ngược lại ta phải chứng minh raèng: ∀a ∈ Ω \ K PSH(Ω) ∃v : Ω → R đa điều hòa dưới, liên tục cho v(a) > supv(K) Lấy tập compact K ⊂ Ω điểm a ∈ Ω \ K PSH(Ω) Gọi u hàm thỏa (ii) Bằng cách cộng thêm vào u số ta giả sử u không âm K ∪ {a} Chọn hàm w∈ PSH( Ω ) cho w(a) > vaø w K < Theo định lý xấp xỉ cho hàm đa điều hòa dưới, ta tìm hàm w′ cho: a) w′ ∈ C (G ) ∩ PSH( Ω ) với G= {z ∈ Ω : u(z) < 1} b) w′ (a) > c) w′ K < max{w′(z), c.u(z)} Đặt c = sup{w′(z) : z ∈ G} v(z) =  c.u(z) v ∈ C (G ) ∩ PSH( Ω ), v(a) > z∈G z∈Ω \ G vaø v K < Bây thay chứng minh trực tiếp (v) ⇒ (i), ta chứng minh gián tiếp (iv ⇒ i) (v ⇒ ii) Trước hết (iv ⇒ i): Lấy a ∈ Ω vaø w ∈ C n \ {0} Choïn r >0 cho: D = {a + ςw : ς ∈ D(0, r )} ⊂ Ω Goïi h hàm điều hòa xác định lân cận đóa đóng D(0, r) cho: 50 − log δ Ω (a + ςw) ≤ h(ς) ς ∈ ∂D(0, r) Ta tìm hàm chỉnh hình f xác định lân cận D(0, r) cho: Re f Vì D ( ,r ) =h D ( ,r ) δ Ω (a + ςw) ≥ e − f ( ς ) ς ∈ ∂D(0,r) Sau ta chứng minh bất đẳng thức với ς ∈ D(0, r ) Laáy b ∈ C n cho δ( b) ≤ Với t ∈ [0,1] định nghóa ánh xạ ϕt : D(0, r ) → Cn với ϕ t (ς) = a + ςw + t.b.e − f ( ς ) Goïi Dt ma trận ánh xạ tuyến tính ϕt Ñaët T = Tb= {t ∈ [0,1] : D t ∈ Ω} Ta có T ≠ ∅ 0∈ T Hiển nhiên T mở Ta hoàn tất phần T đóng Cố định b ∈ δ −1 ([0,1]) sau ta chứng minh T = Tb tập đóng Đặt K = {a + ςw + t.b.e − f ( ς ) : ς ∈ ∂D(0, r ), t ∈ [0,1]}, ta có K compact Cn Hơn nữa, ς ∈ ∂D(0, r) t ∈ [0,1] thì: δ Ω (a + ςw ) ≥ e − f ( ς ) ≥ δ(t.b.e − f ( ς ) ) Suy K ⊂ Ω Neáu u∈ PSH( Ω ) t ∈ T công thức ς u(a + ςw + t.b.e − f ( ς ) ) xaùc định hàm điều hòa lân cận D(0, r) Theo nguyên lý cực đại: u(a + ςw + t.b.e − f ( ς ) ) ≤ sup u(K ) Suy với t∈T, (iv) ta coù Dt ⊂ K PSH(Ω) ⊂ Ω , ∀ς ∈ D(0, r) Vì K PSH(Ω) compact tương đối Ω , nên điều suy T đóng Như ta kết luận T = [0,1] suy Dt ⊂ Ω Do việc chọn b, nên a + ςw + t.b.e − f ( ς ) ∈ Ω Suy δ Ω (a + ςw ) ≥ e − f ( ς ) ∀ς ∈ D(0, r) Hay tương đương: -logδΩ( a + ςw ) ≤ Re f (ς) = h(ς) , ∀ς ∈ D(0, r) 51 Sau ta chứng minh (v ⇒ ii) Lấy a ∈ ∂Ω , chọn W lân cận a cho W ∩ Ω giả lồi Theo tương đương mà ta vừa chứng minh thì: -logδw∩Ω ∈ PSH(w∩Ω ) Hơn U lân cận đủ nhỏ a δΩ =δw∩Ω U ∩ Ω Do tính chất lấy a ∂Ω , ta vừa chứng minh tồn tập đóng F Cn cho F ⊂ Ω vaø - logδΩ ∈ PSH( Ω \ F ) Lấy ϕ : R → R hàm lồi tăng cho: lim ϕ(t ) = ∞ ϕ( z ) > − log δ Ω (z) ∀z ∈ F t →∞ Ta thấy hàm u(z) = max{ϕ( z ),− log δ Ω (z)} với z ∈ Ω hàm đa điều hòa thỏa (ii) KẾT LUẬN - NHẬN XÉT–- PHƯƠNG HƯỚNG PHÁT TRIỂN Thông qua chương luận văn này, ta thấy tính đa điều hòa hàm nhiều biến phức dùng để mô tả cho tính chất lồi-một tính chất có nguồn gốc hình học, nghiên cứu nhiều phát triển, đặc biệt lónh vực ứng dụng giải tích lồi lý thuyết tối ưu, lý thuyết đa vị… Để kết thúc luận văn xin nên lên số nhận xét khuynh hướng phát triển lónh vực sau: - Trong định lý xấp xỉ cho hàm đa điều hòa dưới, thay xấp xỉ hàm u ∈PSH( Ω ) daõy {u ε ≡ u * χ ε }ε >0 hội tụ điểm Ω u Câu hỏi đặt “có thể tìm dãy giảm {u } j j∈N ⊂ PSH( Ω ), hội tụ điểm u Ω ?” Câu trả lời trường hợp tổng quát “không” Sau phản ví dụ Fornaess-1982 Cho Ω tập mở, liên thông C2 , xác định bởi: ∞ 1 Ω = [(D(0,2) \ ∂D(0,1)) × D(0,1)] ∪ ∪ ∂D(0,1) × D , e −e j  j=2 1 Để ý D , e −e j j j      1  ∩ D , e −e  = ∅ neáu j ≠ k  k  k Ta chứng minh qui nạp rằng: 2j(j+1) ≤ 2 j ∀j∈ N Vì 1 − ≥ > e −e + e −e Điều có nghóa đóa tròn thứ j j j+1 j +1 j j thứ j+1 rời Mặt khác ta thấy: 1 Ω chứa đóa D j =D(0,2) ×    j với j = 2,3,… tập D = (D(0,2) \ ∂D(0,1)) × {0} D j hội tụ D Ω j → ∞ Nếu có u∈PSH( Ω ) ∩ C(Ω) , theo nguyên lý cực đại đóa:   1 D 0,  ×   ⊂ D j , ta coù :    j Vì theo tính chất liên tục, ta có:  1  1 u 0,  ≤ sup u z,   j  z = 23  j  u(0,0) ≤ sup u(z,0) (*) z= Điều đạt với hàm u∈PSH( Ω ) giới hạn điểm dãy giảm hàm PSH( Ω ) ∩ C(Ω) , điều đủ để ta tìm hàm u∈PSH( Ω ) không thỏa (*) Đặt: 2− j log w − ψ ( w) = ∑ j j= log j ∞ ∀w ∈ C Ta coù: ψ ∈ SH(C) ψ (0) = − Hơn ψ 1 Thật vậy, w ∈ D , e −e j j j  1 D  ,e − e  j  ≤ −1 ∀j ≥  -j  × log w − ≤ lọg j  −k × log w − < log k k Vì hàm max{ψ(z),−1} u(z, w) =  − đa điều hòa Ω Hơn z = z