Tải Bài tập Quy tắc đếm và Nhị thức Newton - Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 11

Biến ngẫu nhiên rời rạc 1.[r]

Bài 1: Qui tắc đếm

I Qui tắc cộng:

Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1, m2 cách chọn đối tượng a2, …, mn cách chọn đối tượng

an, mà ởđó cách chọn đối tượng khơng trùng với cách chọn đối tượng aj (i ¹ j,

i, j =1, 2, …, n) có m1 + m2 + … + mn cách chọn đối tượng cho

II Qui tắc nhân:

Cho n đối tượng a1, a2, …, an Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1, với cách chọn a1 có

m2 cách chọn đối tượng a2, sau cách chọn a1, a2 có m3 cách chọn đối tượng a3, …,

cuối với cách chọn a1, a2, …, an–1 có mn cách chọn đối tượng an Thế có

m1.m2…mn cách chọn dãy đối tượng a1, a2, …, an.

Ví dụ 1: Anh Tuấn có sách khác khác Hỏi anh Tuấn có cách chọn đó?

ĐS: Có + = 10 cách chọn

Ví dụ 2: Cơ Th có bộ áo dài áo đầm Hỏi cô Thuý có cách chọn trang phục đểđi dự sinh nhật?

ĐS: Có + = cách chọn

Ví dụ 3: Từ tỉnh A đến tỉnh B có đường đi, từ tỉnh B đến tỉnh C có đường Muốn

đi từ tỉnh A đến tỉnh C bắt buộc phải qua tỉnh B Hỏi có cách chọn đường từ

tỉnh A đến tỉnh C?

ĐS: Có 3.2 = cách chọn

Ví dụ 4: Từ chữ số 1, 2, lập số tự nhiên khác có chữ số khác nhau?

ĐS: – Số gồm chữ số: có cách chọn – Số gồm chữ số: có cách chọn – Số gồm chữ số: có cách chọn

Þ Có + + = 15 (số)

Ví dụ 5: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên: a) Có chữ số

b) Có chữ số khác nhau?

ĐS: a) 55 b) 5!

Bài tập

Baøi 1: Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố A đến thành phố C có đường, từ thành phố B đến thành phố D có đường, từ thành phố C đến thành phố

D có đường Khơng có đường nối thành phố B với thành phố C Hỏi có tất

bao nhiêu đường từ thành phố A đến thành phố D?

ĐS: có 12 đường

Bài 2: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp Cứ đội phải đấu với trận (đi về) Hỏi có trận đấu?

ĐS: có 25.24 = 600 trận

Bài 3: a) Một bó hoa gồm có: bơng hồng trắng, hồng đỏ hồng vàng Hỏi có cách chọn lấy bơng hoa?

b) Từ chữ số 1, 2, lập số khác có chữ số khác nhau?

ĐS: a) 18 b) 15

cách chọn tiết mục biểu diễn, biết chất lượng kịch, điệu múa, hát

nhau?

ĐS: 36

Bài 5: Một người có áo có áo trắng cà vạt có hai cà vạt màu vàng Hỏi người có cách chọn áo – cà vạt nếu:

a) Chọn áo cà vạt được? b) Đã chọn áo trắng khơng chọn cà vạt màu vàng?

ĐS: a) 35 b) 29

Baøi 6: Một trường phổ thơng có 12 học sinh chun tin 18 học sinh chun tốn Thành lập đồn gồm hai người cho có học sinh chun tốn học sinh chuyên tin Hỏi có cách lập đồn trên?

Bài 7: Có cách xếp người đàn ông người đàn bà ngồi ghế

dài cho người phái phải ngồi gần

Bài 8: Có cách xếp viên bi đỏ viên bi đen xếp thành dãy cho hai viên bi màu không gần

Baøi 9: Hội đồng quản trị xí nghiệp gồm 11 người, có nam nữ Từ hộ đồng quản trịđó, người ta muốn lập ban thường trực gồm người Hỏi có cách chọn ban thường trực cho phải có người nam

ĐS: 161

Baøi 10: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5} Có cặp thứ tự (x; y) biết rằng: a) x A y AỴ , Ỵ b) { , }x y Ì A c) x A y A x yỴ , Ỵ + =6

ĐS: a) 25 b) 20 c) cặp

Baøi 11: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} đó n số nguyên dương lớn Có cặp thứ tự (x; y), biết rằng: x A y A x yỴ , Ỵ , >

ĐS: n n( 1)

-Bài 12: Có số palindrom gồm chữ số (số palindrom số mà ta viết chữ số

theo thứ tự ngược lại giá trị khơng thay đổi)

ĐS: Số cần tìm có dạng: abcba Þ có 9.10.10 = 900 (số)

Baøi 13: Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên thoả: a) gồm chữ số

b) gồm chữ số khác

c) gồm chữ số khác chia hết cho

ĐS: a) 66 b) 6! c) 3.5! = 360

Baøi 14: a) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số? b) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số? c) Có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ sốđều số chẵn?

d) Có số tự nhiên có chữ số, chữ số cách chữ sốđứng giống nhau?

e) Có số tự nhiên có chữ số chia hết cho 5?

ĐS: a) 3125 b) 168 c) 20 d) 900 e) 180000 Baøi 15: Với chữ số 1, 2, 3, 4, lập số:

a) Gồm chữ số? b) Gồm chữ số khác nhau? c) Số lẻ gồm chữ số? d) Số chẵn gồm chữ số khác nhau? e) Gồm chữ số viết không lặp lại? f) Gồm chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5?

ĐS: a) 25 b) 20 c) 15 d) e) 120 f) 24 Baøi 16: Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số:

a) Khác nhau?

d) Khác nhau, có số chẵn? e) Khác nhau, có số lẻ?

ĐS: a) 100 b) 60 c) 36 d) 52 e) 48

Baøi 17: Từ chữ số 1, 3, 5, 7, lập số gồm chữ số khác cho chữ sốđầu tiên 3?

b) Từ chữ số 0, 1, 2, 5, 6, 7, lập số có chữ số khác không tận 6?

c) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số có chữ số khác phải có chữ số 2?

d) Từ số: 0, 1,2 3, 6, lập số chẵn có chữ số khác hai chữ sốđầu tiên phải 7?

e) Từ số: 1, 2, 3, 4, 5, lập số có chữ số khác không bắt

đầu 345?

f) Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số có chữ số hai chữ

số kề phải khác nhau?

g) Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số khác nhau, hai chữ số không đứng cạnh nhau?

Bài 2: Hoán vị

I Giai thừa:

n! = 1.2.3…n n! = (n–1)!n n

p !

!= (p+1).(p+2)…n (với n>p)

n n p

!

( - )!= (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p) II Hốn vị khơng lặp:

Một tập hợp gồm n phần tử (n>=1) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự

được gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử là: Pn = n!

III Hoán vị lặp: (tham khảo)

Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, …, ak Một cách xếp n phần tử gồm n1 phần tử

a1, n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo thứ tự gọi

một hoán vị lặp cấp n kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử

Số hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử là:

Pn(n1, n2, …, nk) =

k n n n1 2 n

! ! ! ! IV Hốn vị vịng quanh: (tham khảo)

Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi là hốn vị vịng quanh n phần tử

Số hốn vị vịng quanh n phần tử là: Qn = (n – 1)!

Ví dụ 1: Có số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ số 1, 2, ?

ĐS: P3 = 3! = (số)

Ví dụ 2: Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, chữ số cịn lại có mặt lần?

ĐS: P8(3,2,1,1,1) = 8!

3!2!= 3360 (số)

Ví dụ 3: Tìm số cách chia 10 người thành nhóm, cho số người nhóm theo thứ tự

là 2, 3, 5?

ĐS: P10(2,3,5) = 10!

2!3!5!= 2520 cách

Ví dụ 4: Có người khách ngồi xung quanh bàn trịn Hỏi có cách xếp chỗ

ngồi?

ĐS: Q6 = 5! = 120 cách

Ví dụ 5: Một hội nghị bàn trịn có phái đồn nước: Anh có người, Pháp có người,

Đức có người, Nhật có người, Mỹ có người Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho người quốc tịch ngồi cạnh nhau?

ĐS: · Số cách xếp phái đoàn: Q5 = 4!

· Số cách xếp cho phái đoàn Anh: 3! · Số cách xếp cho phái đoàn Pháp: 5! · Số cách xếp cho phái đoàn Đức: 2! · Số cách xếp cho phái đoàn Nhật: 3! · Số cách xếp cho phái đoàn Mỹ: 4!

Bài tập

Baøi 1: Rút gọn biểu thức sau: A = 7!4! 8! 9!

10! 3!5! 2!7!

ổ -

ỗ ữ

ố ứ B =

2011! .2009

2010! 2009! 2011- C =

m m m m

5! . ( 1)! ( 1) ( 1)!3!

+

+

-D = m

m m2 m

7! . ( 2)! 4!( 1)!

( )

+

-+ E =

n k k k ! =

å F = n

k k k ! = -å

G = m m m

m m m m m m

6! . . ( 1)! ( 1)! ( 2)( 3) ( 1)( 4) ( 5)!5! 12.( 4)!3!

é + - - ù

ê ú

- - ë + - - - û (với m ³ 5)

ĐS: A

= B=2010 C=20 D=210(m+2) G=

E=(n+ -1)! 1 (chú ý: k k ! (= k+ -1)! !k ) F

n 1

!

= - (chú ý: k

k k k

1 1

! ( 1)! !

-=

)

Baøi 2: Chứng minh rằng:

a) P Pn- n-1= n( -1)Pn-1 b) Pn =(n-1)Pn-1+ -(n 2)Pn-2+ + 2P P2+ +1 c) n

n n n

2 1 1

! (= -1)! (+ -2)! d) n

1 1

1

1! 2! 3! !

+ + + + + < e) n! 2³ n-1

Bài 3: Giải bất phương trình sau:

a) n n n

n n n n n

1 . ( 1)! ( 1)! 5 ( 3)!4! 12( 3).( 4)!2!

æ + - - ửÊ

ỗ ữ

- ố + - - - ø b)

n n

n

3 ! 10

( 2)!

+ £

-c) 4£ + +n! (n 1)! 50<

ĐS: a) Û (n 1)n

- £

Þ n = 4, n = 5, n = b) c) n = 2, n = Bài 4: Giải phương trình sau:

a) P x2 2-P x3 =8 b) x x x P P

P 1 1 -+

-= c) n

n

( 1)! 72 ( 1)!

+ =

-d) n n

n n

! ! 3

( -2)! (- -1)!= e)

n n n

! ( 3)!

20 = - f)

n n

n

3 ! 10

( 2)!

+ =

-ĐS: a) x = –1; x = b) x = 2; x = c) n = d) n = e) n = f) n =

Baøi 5: Trên kệ sách có sách Tốn, sách Lí, sách Văn Các sách khác Hỏi có cách xếp sách trên:

a) Một cách tuỳ ý? b) Theo mơn? c) Theo mơn sách Tốn nằm giữa?

ĐS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!)

Bài 6: Có cách xếp bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào ghế dài cho:

a) Bạn C ngồi giữa? b) Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế?

ĐS: a) 24 b) 12

Baøi 7: Sắp xếp 10 người vào dãy ghế Có cách xếp chỗ ngồi nếu: a) Có người nhóm muốn ngồi kề nhau?

b) Có người nhóm khơng muốn ngồi kề nhau?

ĐS: a) 86400 b) 2903040

Baøi 8: Sắp xếp nam sinh nữ sinh vào dãy ghế Hỏi có cách xếp chỗ

a) Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau? b) Chỉ có nữ ngồi kề nhau?

ĐS: a) 34560 b) 120960

Bài 9: Có cách xếp 12 học sinh đứng thành hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết phải có em định trước đứng kề nhau?

ĐS: 4838400

Bài 10: Có đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi phát cho 10 học sinh khối 11 10 học sinh khối 12 Có cách xếp 20 học sinh vào phịng thi có dãy ghế cho hai em ngồi cạnh có đề khác nhau, cịn em ngồi nối có đề?

ĐS: 26336378880000

Bài 11: Có viên bi đen (khác nhau), viên bi đỏ (khác nhau), viên bi vàng (khác nhau), viên bi xanh (khác nhau) Hỏi có cách xếp viên bi thành dãy cho viên bi màu cạnh nhau?

ĐS: 298598400

Bài 12: Trên giá sách có 30 tập sách Có thể xếp theo cách khác để có: a) Tập tập đứng cạnh nhau?

b) Tập tập không đứng cạnh nhau?

ĐS: a) 2.29! b) 28.29!

Baøi 13: Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi sốđó có số:

a) Bắt đầu chữ số 5? b) Không bắt đầu chữ số 1? c) Bắt đầu 23? d) Không bắt đầu 345?

ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2!

Baøi 14: Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ số 1, 3, 5, 7, Hỏi sốđó có số:

a) Bắt đầu chữ số 9? b) Không bắt đầu chữ số 1? c) Bắt đầu 19? d) Không bắt đầu 135? ĐS: a) 24 b) 96 c) d) 118

Baøi 15: Với hoán vị số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta số tự nhiên Tìm tổng tất

các số tự nhiên có từ hoán vị phần tử trên?

ĐS: Với i, j Ỵ {1,2,3,4,5,6,7}, số số mà chữ số j hàng thứ i 6!

Þ Tổng tất số là: (6!1+…+6!7) + (6!1+…+6!7).10 +…+ (6!1+…+6!7).106 = 6! (1+2+…+7).(1+10+…+106)

Bài 16: Tìm tổng S tất số tự nhiên, sốđược tạo thành hoán vị chữ số 1, 2, 3, 4, 5,

ĐS: 279999720

Bài 17: Có số tự nhiên có chữ số khác khác biết tổng chữ số

này

ĐS: 18

Baøi 18: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất số có chữ số khác Hỏi sốđã thiết lập được, có số mà hai chữ số không đứng cạnh nhau?

ĐS: 480

Baøi 19: Với chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt lần?

ĐS: 3360

Baøi 20: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ

số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần?

Baøi 21: Xét số gồm chữ số, có chữ số chữ số lại 2, 3, 4, Hỏi có số nếu:

a) chữ số xếp kề nhau? b) Các chữ sốđược xếp tuỳ ý?

ĐS: a) 120 b) 3024

Bài 22: Có học sinh nam A1, A2, A3, A4, A5 học sinh nữ B1, B2, B3 xếp ngồi xung quanh bàn trịn Hỏi có cách xếp nếu:

a) Một cách tuỳ ý? b) A1 không ngồi cạnh B1? c) Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau?

ĐS: a) Q8 = 7! b) Q7 = 6! c) Có 4!5.4.3 cách xếp

Bài 23: Một hội nghị bàn trịn có phái đồn nước: Mỹ người, Nga người, Anh người, Pháp người, Đức người Hỏi có cách xếp cho thành viên cho người quốc tịch ngồi gần nhau?

Bài 3: Chỉnh hợp

I Chỉnh hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (0£ k £ n) gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A

Số chỉnh hợp chập k n phần tử: k

n n

A n n n n k

n k ! ( 1)( 2) ( 1)

( )!

= - - - + =

-II Chỉnh hợp lặp: (tham khảo)

Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử A, phần tử có thểđược lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A

Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: Ank =nk

Ví dụ 1: Từ số 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhau? ĐS: · Các số gồm chữ số: S5 = A55-A44 = 96

· Các số gồm chữ số: S4 = A54-A43 = 96 · Các số gồm chữ số: S3 = A53-A42 = 48

· Các số gồm chữ số: S2 = A52-A14 = 16 · Các số gồm chữ số: S1 =

Þ Có 96 + 96 + 48 + 16 + = 261 số

Ví dụ 2: Có 10 đội bóng thí đấu vịng trịn lượt Hỏi có tất trận đấu?

ĐS: Có A102 = 90 trận

Ví dụ 3: Cho chữ số 1, 2, Hỏi có số tự nhiên có chữ sốđược thành lập từ chữ

số trên?

ĐS: A32= 32 =

Ví dụ 4: Một "từ" k chữ dãy gồm k chữ viết liên tiếp (dù có nghĩa hay khơng) Với chữ a, b viết từ có 10 chữ cái?

ĐS: A210= 210 từ

Bài tập

Baøi 1: Rút gọn biểu thức sau: A = A A

P P

2

5 10

+ B = P A1 21+P A2 32+P A3 43+P A4 54-P P P P1 4

C = A A A A

A A

12 11 10 49 49 17 17

10

49 17

+ +

- D = P P P P A

A A A A

5

5

4

5 5

æ

+ + +

ỗ ữ

ỗ ÷

è ø

E = A A A

10 49 10 11 49 49

39 12!(5! 4!) 13!4! 38

-+

+ F =

P P P P P P A A A A

3

5

4

5 5

21( ) 20

-ỉ

+ + +

ỗ ữ

ỗ ữ

è ø

ĐS: A = 46; B = 2750; C = 1440; D = 42 ; E = 815

Baøi 2: Chứng minh rằng: a)

n

n với n N n n

A22 A32 A2

1 + + + = -1, Ỵ , ³2. b) An kn++2+An kn++1 = k A2 n kn+ với n, k Ỵ N, k ³ c) Ank = Ank-1+k A nk--11

Baøi 3: Giải phương trình sau:

a) An3=20n b) An3+5An2= 2(n + 15) c) 3An2-A22n+42 0.= d) nn

n P A P

2

210

+

-= e) 2(An3+3An2) = Pn+1 f) 2Pn+6An2-P An n2=12

g) A10x +Ax9=9 Ax8 h) P Ax x2+72 6(= Ax2+2 )Px i) 2Ax2+50= A22x k)

y

x x y x A P

P 1

1

72 +

+

-= l) Pn+3=720 A Pn n5 -5 m) An6+An5=An4

ĐS: a) n = b) n = c) n = d) n = e) n = f) n = 2; g) x = 11 h) x = 3; i) x = k) x = 8, y £ 7, y NỴ

Bài 4: Giải bất phương trình: a) An

n n

4

4 15

( ++2)! (< -1)! b) nn n A

P P

4

2

143 0

+

+

< c) An3+15 15< n d) An3<An2+12 e) n

n n

A

P P

1

2

143 0

+

+

<

ĐS: a) n = 3; 4; b) £ n £ 36

Bài 5: Tìm số âm dãy số x x x1, , , ,2 3 xn với: n n

n n

A

x n

P P

4

143 ( 1, 2, 3, )

+ +

= - =

ĐS: n1 1, x1 63; n2 2, x2 23

4

= = - = =

-Baøi 6: Một khiêu vũ có 10 nam nữ Người ta chọn có thứ tự nam nữđể ghép thành cặp Hỏi có cách chọn?

ĐS: Có A A10 63 3 cách

Bài 7: Trong khơng gian cho điểm A, B, C, D Từ điểm ta lập vectơ khác vectơ – khơng Hỏi có vectơ?

ĐS: A42 = 12 vectơ

Baøi 8: Từ 20 học sinh cần chọn ban đại diện lớp gồm lớp trưởng, lớp phó thư ký Hỏi có cách chọn?

ĐS: 6840

Baøi 9: Huấn luyện viên đội bóng muốn chọn cầu thủđểđá luân lưu 11 mét Có cách chọn nếu:

a) Cả 11 cầu thủ có khả nhau? (kể thủ mơn)

b) Có cầu thủ bị chấn thương thiết phải bố trí cầu thủ A đá số cầu thủ B

đá số

ĐS: a) 55440 b) 120

a) Người có tượng khác nhau? b) Người có tượng khác nhau? c) Người có tượng khác nhau?

ĐS: a) 6! b) 360 c) 20160

Baøi 11: Từ chữ số 0, 1, 2, …, 9, lập số tự nhiên gồm chữ số: a) Các chữ số khác nhau?

b) Hai chữ số kề phải khác nhau?

ĐS: a) 9.A94 b) Có 95 số

Bài 12: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập bao nhiêu: a) Số gồm chữ số khác nhau?

b) Số chẵn gồm chữ số khác nhau?

c) Số gồm chữ số khác phải có mặt chữ số 5?

ĐS: a) 6.A64 b) 6.A53+3.5A53 c) Số gồm chữ số có dạng: abcde

· Nếu a = có A64 số

· Nếu a ¹ a có cách chọn Số có thể đặt vào vị trí b, c, d, e Þ có cách chọn vị trí cho số vị trí cịn lại chọn từ chữ số cịn lại Þ có A53 cách chọn Þ Có A64+4.5.A53 = 1560 số

Baøi 13: Từ chữ số 0, 1, 2, …, lập biển số xe gồm chữ số (trừ số 000)?

ĐS: A103 -1= 999

Bài 14: Có số tự nhiên có chữ số với: a) Chữ sốđầu chữ số cuối giống nhau? b) Chữ sốđầu cuối khác nhau?

c) Hai chữ sốđầu giống hai chữ số cuối giống nhau?

ĐS: a) 9.A104 = 9.104 số

b) Có tất cả: A106 -A105 = 9.105 số gồm chữ sốÞ Có 9.105 – 9.104 số

c) Có 9.10.10.10 = 9000 số

Bài 15: Có sốđiện thoại có chữ số? Trong có sốđiện thoại có chữ

số khác nhau?

ĐS: a) A106 = 106 b) A106 = 15120

Baøi 16: Một biển số xe gồm chữ đứng trước chữ sốđứng sau Các chữ lấy từ

26 chữ A, B, C, …, Z Các chữ sốđược lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, Hỏi:

a) Có biển số xe có chữ khác chữ O chữ sốđôi khác nhau?

b) Có biển số xe có hai chữ khác có chữ số lẻ giống nhau?

ĐS: a) Số cách chọn chữ cái: 26 ´ 26 – = 675 cách Số cách chọn chữ số: A104 = 5040 cách

Þ Số biển số xe: 675 ´ 5040 = 3.402.000 số

b) · Chữ thứ nhất: có 26 cách chọn Chữ thứ hai: có 25 cách chọn

· Các cặp số lẻ giống là: (1;1), (3;3), (5;5), (7;7), (9;9) Þ Có cách chọn cặp số lẻ

Þ Có 5.C42 cách xếp cặp số lẻ · Còn lại vị trí chữ số chẵn: Chữ số chẵn thứ nhất: có cách chọn Chữ số chẵn thứ hai: có cách chọn

Þ Có 26 ´ 25 ´ ´ C42´ ´ = 487500 cách

Bài 17: a) Có số tự nhiên gồm chữ số khác mà tổng chữ sốđó 18? b) Hỏi có số lẻ thoả mãn điều kiện đó?

ĐS: Chú ý: 18 = + + + + + 18 = + + + + + 18 = + + + + + a) ´ ´ 5! b) 192 + 384 + 192 = 768 số

Baøi 18: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số khác thoả: a) Số chẵn b) Bắt đầu số 24 c) Bắt đầu số 345

d) Bắt đầu số 1? Từđó suy số khơng bắt đầu số 1?

ĐS: a) 312 b) 24 c) d) 120 ; 480

Baøi 19: Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Có thể lập số n gồm chữ số

khác đôi lấy từ X trường hợp sau: a) n số chẵn?

b) Một ba chữ sốđầu tiên phải 1?

ĐS: a) 3000 b) 2280 (ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2) Baøi 20: a) Từ chữ số 0, 1, 3, 6, lập số gồm chữ số khác

chia hết cho

b) Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số khác cho chữ sốđó có mặt số số (HVCN Bưu Viễn thơng, 1999) c) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm chữ số khác thiết phải có mặt chữ số

ĐS: a) 18 b) 42000 c) 13320

Bài 21: a) Tính tổng tất số tự nhiên gồm chữ số khác đôi tạo thành từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7,

b) Có số tự nhiên gồm chữ số khác tạo thành từ chữ số 0, 1, 2, 3, Tính tổng số

ĐS: a) 37332960 b) 96 ; 259980

Baøi 22: a) Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0) (ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1) b) Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , Có số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ 10 chữ sốđã cho (ĐH Y khoa Hà Nội, 1997)

Bài 4: Tổ hợp

I Tổ hợp không lặp:

Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (0 £ k £ n) phần tử A gọi tổ

hợp chập k n phần tử

Số tổ hợp chập k n phần tử: Cnk n k n k

! !( )! =

-Tính chất:

n n n k n k n n

k k k

n n n

k k

n n

C C C C

C C C n k

C C

k

1

1

1

1

-= =

=

= +

- + =

II Tổ hợp lặp: (tham khảo)

Cho tập A = {a a1 2; ; ;an} số tự nhiên k Một tổ hợp lặp chập k n phần tử một hợp gồm k phần tử, phần tử n phần tử A

Số tổ hợp lặp chập k n phần tử: Cnk =Cn kk+ -1=Cn km+ --11 III Phân biệt chỉnh hợp tổ hợp:

· Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ công thức: Ank =k C! nk · Chỉnh hợp: có thứ tự, Tổ hợp: khơng có thứ tự

Þ Những tốn mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, tổ hợp

· Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k £ n):

+ Không thứ tự, khơng hồn lại: Cnk + Có thứ tự, khơng hồn lại: Ank

+ Có thứ tự, có hồn lại: Ank

Ví dụ 1: Cho tập A = {a b c, , } Tìm số tập gồm phần tử tập A?

ĐS: C32 =

Ví dụ 2: Tìm sốđường chéo đa giác lồi 10 cạnh?

ĐS: C102 – 10 = 35

Ví dụ 3: Có cách chia một lớp 40 học sinh thành tổ I, II, III, IV cho tổ có 10 học sinh?

ĐS: · Lập tổ I: có C4010 cách, Lập tổ 2: có C3010 cách, Lập tổ III: có C1020 cách, Lập tổ IV: có C1010 cách

Þ Có: C1040.C1030.C1020.C1010 cách

Bài tập

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức tổ hợp Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau:

A = C2523-C1513-3C107 B = C C C A P C C C

4

7

5 6

2 10 10 11

1

+ +

-+

+ + - C =

C C C C

8 10

15 15 15 10 17

+ +

D = C C C C

5

15 15 15

17

+ +

ĐS: A = – 165; B = 4; C = 1; D = Baøi 2: Rút gọn biểu thức sau:

A = C C Cnn 2nn 3nn; B = kn n n k

P C C C

A P C

8 10

2 15 15 15

10 17

+

-+ +

+ ;

C =

k n

n n n

n k n

n n n

C C C

C k n

C C C

2

1 1

2 -

-+ + + + +

ĐS: A = n

n (3 )!

( !) B = (n+1)(n+2) + C =

n n( 1)

+

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức tổ hợp Baøi 1: Chứng minh hệ thức sau:

a) C Cnk n kp k-- =C Cnp pk (k £ p £ n) b) Cnk nCnk k 11

= (1 £ k £ n)

c) Cnk+1+2Cnk +Cnk-1=Cnk++21 d) C Cnm mk =C Cnk n km k-- (0 £ k £ m £ n) e) 2Cnk+5Cnk+1+4Cnk+2+Cnk+3=Cnk++22+Cnk++33 f) k k( -1)Cnk =n n( -1)Cnk--22 ( < k < n) g) Cnk +3Cnk-1+3Cnk-2+Cnk-3=Cnk+3 (3 £ k £ n)

h) Cnk +4Cnk-1+6Cnk-2+4Cnk-3+Cnk-4 =Cnk+4 (4 £ k £ n)

ĐS: Sử dụng tính chất: Cnk-1+Cnk =Cnk+1 Baøi 2: Chứng minh hệ thức sau:

a) C Cr0 qp+C Cr1 qp-1+ + C Crp q0 =Cr qp+ b) ( )Cn0 2+( )Cn1 2+ + ( )Cnn =C2nn c) C20p+C22p+C24p+ + C22pp =C21p+C23p+ + C22 1pp- =c2 1p

-d) 1-C1n+Cn2-Cn3+ + - ( 1)p pCn = -( 1)p pCn-1

ĐS: a) Sử dụng khai triển: (1+x)r.(1+x)q = (1+x)r+q So sánh hệ số xpở vế b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n

c) Sử dụng (x+y)2p (x–y)2p

Dạng : Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp Baøi 1: Chứng minh rằng: n Cnn

n

2

1 .

2

2 < + ( n Ỵ N, n ³ 1) HD: Biến đổi vế trái: n Cnn nn n

n n n

2

2

1 . (2 )! 1.3.5 (2 1) 2.4.6 (2 ) 2 ! !

-= =

Vậy ta phải chứng minh: n

n n

1.3.5 (2 1) 2.4.6 (2 ) 2 1

- < +

Ta có: k k k k

k k k k

2

2

2 ( 1) ( 1)

2 4 4 1 2 1

- = - < - =

-+

Cho k từ 1, 2, …, n, nhân BĐT vế theo vế, ta đpcm Baøi 2: Chứng minh rằng: C2nn k+ C2nn k- £(C2nn)2 (với k, n Ỵ N, £ k £ n)

HD: · Đặt uk = C2nn k+ C2nn k- (k = 0;1;…;n)

Ta chứng minh: uk > uk+1 (*)

Thật vậy, (*) Û C2nn k+ C2nn k- >C2nn k+ +1 2.Cnn k- -1 Û n + 2nk > Điều luôn Þ đpcm

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức tổ hợp

Baøi 1: a) Chứng minh: Cnk-1<Cnk với n = 2m, k £ m Từđó suy Cnm lớn b) Chứng minh: Cnk-1<Cnk với n = 2m + 1, k £ m

Từđó suy C Cnm; nm+1 lớn HD: a) Theo tính chất: Cnk n k Cnk

k

1 +

= Þ nk

k n C n

k C -1 1

+

=

Với k £ m Þ 2k £ n Þ n

k1 1 + - >

Þ Cnk >Cnk-1 Vì Cnk =Cnn k- nên Cnk lớn

b) Tương tự

Baøi 2: Cho n > 2, p Ỵ [1; n] Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Cnp HD: Vì Cnp=Cnn p- nên ta cần xét £ p £ n

2 Ta có: Cnp >Cnp-1 Û pnp

n

C n p p C

1

+

= > Û p < n +

Vậy Cnp nhỏ p = p = n – 1, ứng với Cn1=Cnn-1= n Cnp lớn p = n

2

(nếu n lẻ) p = n

Baøi 3: Với giá trị p Cnp lớn HD: Ta có:

p m p m

C m p m

p p

C

1 1 1

+ +

= = - Tỉ số giảm p tăng · Cmp >Cmp-1 Û m p

p 1 - +

³ , đó: p £ m

+ · Nếu m chẵn: m = 2k Þ p £ k + 1

2 Để Cmp >Cmp-1 ta phải có: p £ k + 1

2, p, k Ỵ N nên chọn p = k · Nếu m lẻ: m = 2k + Þ p £ k + 1, ta có:

p m p m C

C -1 =1 p = k + Þ

p k

m k k

C C

k k

2 1++ ((2 1)! !+1)!

= =

+

* Áp dụng tốn ta giải nhiều tốn khác Ví dụ:

Có 25 học sinh Muốn lập thành nhóm gồm p học sinh Tìm giá trị p đểđược số cách chia nhóm lớn nhất? Tìm số cách chia nhóm

* Vì có 25 học sinh, chọn p em nên số nhóm lập C25p

Theo trên, ta có m = 25 (lẻ) với k = 12 C25p lớn p = k + = 13 Vậy p = 13, đó: số nhóm tối đa lập: C2513 = 5200300

Dạng : Giải phương trình, bất phương trình có chứa biểu thức tổ hợp Bài 1: Giải phương trình sau:

a) n n

n n A A C 4 24 23 -+ =

- b) C4x C5x C6x

1 - =

c) C1x+6C2x +6C3x =9x2-14x d) C10x++4x =C102 10x+-x e) x2-C x C C4x + 32 3=0 f) Ax2-2+Cxx-2 =101

g) C8x++x3=5Ax3+6 h) Cxx+-12+2C3x-1=7(x-1) i) Ax3+Cxx-2 =14x k) xx

x A C 5 336

-= l)

x x C C 28 24 225 52

- = m) C1x Cx2 Cx3 x

+ + =

n) Cxx-1+Cxx-2+Cxx-3+ + Cxx-10=1023 o)

x x x

C1 C2 1 C1 4

1

6

+ +

- =

ĐS: a) n = b) x = c) x = d) x = 14; x = e) x = f) x = 10 g) x = 17 h) x = i) x = k) x = l) x = m) x = n) x = 10 o) x = 3; x =

Baøi 2: Giải bất phương trình: a) n n n C P A 1 14 -+

< b) Pn Ank

n k5 60 32

( -+ )!£ ++ c) Cn4-1-Cn3-1-54An2-2 <0 d) 2C2x+1+3Ax2<30 e) A x Ax Cx

x

2

2

1 10

2 - £ + f)

n n

n n

C +-12-C +-11£100

b) ì £í +k n(n 5)(n 4)(n k 1) 0

+ - + £

ỵ

· Xét với n ³ 4: bpt vô nghiệm

· Xét n Ỵ {0,1,2,3} ta nghiệm là: (0;0), (1;0), (1;1), (2;2), (3,3) c) đk: n ³ 5, n2 – 9n – 22 < Þ n = 5; 6; 7; 8; 9; 10

d) x = e) x = 3, x = Bài 3: Giải hệ phương trình:

a) x

y y x y x x A C P P 11

126 720 -ì ï + = í ï = ỵ b) x

y y x y x x A C P P 1 126 720 + -+ ì ï + = í ï = ỵ c) x x y y x x y y C C C A : : 24 + ì = ï í ï = ỵ d) y y x x y y x x A C A C

2 90

5 80

ì + = ï í - = ïỵ e) y y x x y y x x C C C C 1

4

+ -ì - = ï í - =

ïỵ f)

y y x x y y x x C C C C 1 -

-ì = ï í = ïỵ g)

y y y

x x x

C 1 C C

6

+

-+ = = h) yx yx

y y x x A A C C 5 7 - -ì = ï í =

ïỵ i)

y y x x y y x x A C A C 180 36 ì + = ï í - = ïỵ

ĐS: a) x=5,y=7 b) x=4, y=7 c) x=4, y=8 d) x=5, y=2 e) x=17,y=8 f) x=7, y=4 g) x=8,y=3 h)

i)

Bài 4: Tìm số tự nhiên k cho C14k ,C14k+1,C14k+2 lập thành cấp số cộng

ĐS: k = 4;

Dạng 6: Tìm số tổ hợp toán số học

Bài 1: Cho 10 câu hỏi, có câu lý thuyết tập Người ta cấu tạo thành đề

thi Biết đề thi phải gồm câu hỏi, thiết phải có câu lý thuyết tập Hỏi tạo đề thi?

ĐS: · Đề gồm câu lý thuyết tập: C C42 6 =36 · Đề gồm câu lý thuyết tập: C C14 6 2=60 Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi

Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh, gồm 25 nam 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm em Hỏi có cách chọn, nếu:

a) Gồm học sinh tuỳ ý b) Có nam nữ c) Có nam nữ d) Có nam e) Có nam nữ

ĐS: a) C404 b) C C25 151 c) C C25 152 d) C C25 151 +C C25 152 +C C25 153 +C254 e) C404 -C254 -C154

Baøi 3: Cho điểm mặt phẳng khơng có điểm thẳng hàng Hỏi có vectơ

tạo thành từ điểm ấy? Có đoạn thẳng tạo thành từ điểm ấy?

ĐS: 20 ; 10

Bài 4: Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn từđó tem thư, bì thư dán tem thưấy lên bì thưđã chọn Một bì thư dán tem thư Hỏi có cách làm vậy?

Baøi 5: Một túi chứa viên bi trắng viên bi xanh Lấy viên bi từ túi đó, có cách lấy được:

a) viên bi màu? b) viên bi trắng, viên bi xanh?

ĐS: a) 20 b) 150

Baøi 6: Từ 20 người, chọn đoàn đại biểu gồm trưởng đồn, phó đồn, thư ký ủy viên Hỏi có cách chọn?

ĐS: 4651200

Bài 7: Từ bơng hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ (các hoa xem nhưđôi khác nhau), người ta muốn chọn bó hóa gồm bơng, hỏi có cách chọn bó hoa đó:

a) Có bơng hồng đỏ?

b) Có hồng vàng hồng đỏ?

ĐS: a) 112 b) 150

Baøi 8: Từ tập thể 14 người gồm năm nữ có An Bình, người ta muốn chọn tổ cơng tác gồm có người Tìm số cách chọn trường hợp sau:

a) Trong tổ phải có nam lẫn nữ?

b) Trong tổ có tổ trưởng, tổ viên An Bình khơng đồng thời có mặt tổ?

ĐS: a) 2974 b) 15048 (ĐH Kinh tế, Tp.HCM, 2001)

Bài 9: Một đồn tàu có toa chở khách Toa I, II, III Trên sân ga có khách chuẩn bị tàu Biết toa có chỗ trống Hỏi:

a) Có cách xếp cho vị khách lên toa

b) Có cách xếp cho vị khách lên tàu có toa có vị khách nói

ĐS: a) 99 b) 24 (ĐH Luật Hà Nội, 1999)

Bài 10: Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số

học sinh thành hai tổ, tổ học sinh cho tổđều có học sinh giỏi tổ có hai học sinh

ĐS: 3780 (HVKT Quân sự, 2001) Baøi 11: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} lập số:

a) Chẵn gồm chữ số khác đôi chữ sốđứng đầu chữ số 2?

b) Gồm chữ số khác đôi cho chữ sốđó có chữ số chẵn chữ số lẻ?

ĐS: a) 360 b) 2448 (ĐH Cần Thơ, 2001)

Baøi 12: Từ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm 10 chữ sốđược chọn từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần

ĐS: 544320 (HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999)

Bài 13: a) Có số tự nhiên gồm chữ sốđôi khác (chữ sốđầu tiên phải khác 0), có mặt chữ số khơng có chữ số 1)

b) Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt khơng q lần

ĐS: a) 33600 b) 11340 (ĐH QG, Tp.HCM, 2001)

Baøi 14: Người ta viết số có chữ số chữ số 1, 2, 3, 4, sau: Trong số viết có chữ số xuất hai lần chữ số lại xuất lần Hỏi có số vậy?

Dạng 7: Tìm số tổ hợp tốn hình học

Bài 1: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt đôi một, khơng có đường đồng quy Hỏi có giao điểm? Có tam giác tạo thành?

ĐS: · Số giao điểm: Cn2 n n( 1)

-= · Số tam giác: Cn3 n n( 1)(n 2)

-

-=

Bài 2: Cho 10 điểm khơng gian, khơng có điểm thẳng hàng a) Có đường thẳng qua cặp điểm?

b) Có vectơ nối cặp điểm?

c) Có tam giác có đỉnh 10 điểm trên?

d) Nếu 10 điểm khơng có điểm đồng phẳng, có tứ diện tạo thành?

ĐS: a) C102 b) A102 c) C103 d) C104 Bài 3: Cho đa giác lồi có n cạnh (n ³ 4)

a) Tìm n đểđa giác có sốđường chéo số cạnh?

b) Giả sử đường chéo qua đỉnh khơng đồng qui Hãy tính số giao điểm (khơng phải đỉnh) đường chéo ấy?

ĐS: a) Cn2- =n n Û n =

b) Giao điểm đường chéo đa giác lồi (khơng phải đỉnh) giao điểm của đường chéo tứ giác mà đỉnh đỉnh đa giác Vậy số giao điểm phải tìm số tứ giác với đỉnh thuộc n đỉnh đa giác: Cn4

Baøi 4: Cho đa giác lồi có n-cạnh (n N nỴ , ³3)

a) Tìm sốđường chéo đa giác Hãy đa giác có số cạnh sốđường chéo? b) Có tam giác có đỉnh trùng với đỉnh đa giác?

c) Có tối đa giao điểm đường chéo?

ĐS: a) n n( 3); 5.n

- =

b) (n 2)(n 1) n

-

c) n n( 1)(n 2)(n 3) 24

- -

- Bài 5: Tìm số giao điểm tối đa của:

a) 10 đường thẳng phân biệt? b) 10 đường tròn phân biệt? c) 10 đường thẳng 10 đường tròn trên?

ĐS: a) 45 b) 90 c) 335

Baøi 6: Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2) Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, (d2) lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh điểm số 37 điểm chọn (d1) (d2)

ĐS: 5950 (ĐH SP Quy Nhơn, 1997)

Baøi 7: Cho mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có ba đỉnh lấy từ

các đỉnh H

a) Có tất tam giác vậy? Có tam giác có hai cạnh cạnh H?

b) Có tam giác có cạnh cạnh H? Có tam giác khơng có cạnh cạnh H?

ĐS: a) 1140; 20 b) 320 ; 80 (HVNH, 2000, khối D)

Bài 8: Có 10 điểm A, B, C, mặt phẳng khơng có điểm thẳng hàng

a) Nối chúng lại ta đường thẳng? Trong có đường khơng qua A hay B?

b) Có tam giác đỉnh điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Bao nhiêu tam giác chứa cạnh AB?

ĐS: a) 45; 28 b) 120 ; 36 ;

nào thẳng hàng Nối p điểm lại với Hỏi:

a) Có đường thẳng? b) Chúng tạo tam giác?

ĐS: a) 1 ( 1) ( 1) 2;p p q q

2 - - - + b) ( 1)( 2) ( 1)( 2)6 p p- p- -q q- q-

Bài 10: Cho p điểm khơng gian có q điểm đồng phẳng, số cịn lại khơng có

điểm đồng phẳng Dựng tất mặt phẳng chứa p điểm Hỏi: a) Có mặt phẳng khác nhau? b) Chúng tạo tứ diện?

ĐS: a) Cp3-Cq3+1 b) Cp4-Cq4

Baøi 11: Cho p điểm có q điểm nằm đường trịn, ngồi khơng có điểm đồng phẳng Hỏi có bao nhiêu:

a) Đường trịn, đường qua ba điểm? b) Tứ diện với đỉnh thuộc p điểm đó?

Bài 5: Nhị thức Newton

I Công thức khai triển nhị thức Newton: Với nỴN với cặp số a, b ta có: n

n k n k k n k

a b C a b

( )

-=

+ = å

II Tính chất:

1) Số số hạng khai triển n +

2) Tổng số mũ a b số hạng n

3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = C ank n k k- b ( k =0, 1, 2, …, n)

4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: k n k

n n C =C -5) Cn0 =Cnn =1, Cnk-1+Cnk =Cnk+1

* Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trịđặc biệt thì ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn:

n n n n

n n n

x C x0 C x1 C

(1+ ) = + - + + Þ Cn0+C1n+ + Cnn =2n

n n n n n

n n n

x C x0 C x1 C

( -1) = - - + + - ( 1) Þ Cn0-C1n+ + - ( 1)n nCn =0

Ví dụ 1: a) Khai triển nhị thức: (2x + 5)5

b) Tìm hệ số x3 khai triển p(x) = (x+1)2 + (x+1)3 + (x+1)4 + (x+1)5

ĐS: b) Hệ số x3 (x+1)3 là: C30

Hệ số x3 (x+1)4 là: C14 Hệ số x3 (x+1)5 là: C52 Þ Hệ số x3 p(x) là: C30+C14+C52 =15

Ví dụ 2: Chứng minh đa thức A = x9999 + x8888 + … + x1111 + chia hết cho đa thức B = x9 + x8 + … + x +

ĐS: Ta cần chứng minh (A – B) chia hết cho B

Ta có: A – B = (x9999– x9) + (x8888 – x8)+ …+ (x1111– x)

= x9[(x10)999–1] + x8[(x10)888–1] + …+ x[(x10)111–1] = (x10–1).Q = (x–1)(x9+x8+…+x+1).Q

Bài tập

Dạng 1: Xác định hệ số khai triển nhị thức Newton Bài 1: Tìm hệ số số hạng chứa M khai triển nhị thức, với:

a) (x-3) ;9 M x= b) (2x-1) ;12 M x= c) (2-x) ;15 M x= d) (1 ) ;- x 11 M x= e) (3x x- 12) ;M x= 15 f) (2 ) ;- x 13 M x=

g) x M x

x 10

2 ; 11

ỉ

- =

ỗ ữ

ố ứ h) x x M x

12 ; ổ - = ỗ ữ

ố ứ i) y y M y

14 2 ; ổ - = ỗ ữ ố ứ

k) (2x-3 ) ;y17 M x y= l) (x3+xy) ;15 M x y= 25 10 m) (2x+3 ) ;y 25 M x y= 12 13

ĐS: a) b) c) d) e) f) g) h) i) k) l) m) Bài 2: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức:

a) x x 10 ổ + ỗ ữ

ố ứ b) x x

12 ỉ + ỗ ữ

ố ứ c) x x

5 ổ -ỗ ữ

ố ø d) x x

6 ỉ -ỗ ữ ố ứ

e) x x 10 ổ -ỗ ữ

ố ứ f) x x

10 ổ + ỗ ÷

è ø g) x x

15 2 ổ + ỗ ữ

ố ứ h) x x

10 ổ + ỗ ÷ è ø

ĐS: a) 45 b) 495 c) –10 d) 15 e) –8064 f) 210 g) h)

Baøi 3: Khai triển đa thức P(x) dưới dạng: P x( )=a0+a x a x1 + 2 2+ + a xn n Xác định hệ số

ak:

a) P x( ) (1= +x)9+ +(1 x)10+ + + (1 x) ;14 a9?

b) P x( ) (1= +x) 2(1+ +x)2+3(1+x)3+ + 20(1+x) ;20 a15? c) P x( ) (= x-2)80=a0+a x a x1 + 2 2+ + a x80 80; a78? d) P x( ) (3= +x)50 =a0+a x a x1 + 2 2+ + a x50 50; a46? e) P x( ) (1= +x)3+ +(1 x)4+ +(1 x)5+ + + (1 x) ;30 a3?

ĐS: a) a9=3003 b) a15=400995 c) a78=12640 d) a46 = 18654300

Baøi 4: Trong khai triển (x y z+ + )n, tìm số hạng chứa x yk m (k, m < n)

ĐS: Trước hết tìm tất số hạng chứa xk

Ta có: (x + y + z)n = ëéx+(y z+ )ùûn = + C x y znk k( + )n k- + mà (y + z)n–k = +Cn km- y zm n k m- - +

Þ số hạng chứa x yk m là: C Cnk n km- x y zk m n k m

-Baøi 5: Tìm hệ số số hạng chứa M khai triển nhị thức, với: a) (1- +x x2 10) ; M x= b) (1+ +x ) ;x2 10 M x= 17 c) (x2+ -x 1) ;5 M x= d) (1+x2-x3 8) ; M x= e) (1+ +x x2+x3 10) ;M x= f) éë1+x2(1-x) ;ùû8 M x= Baøi 6:

a) Cho biết khai triển

n x x æ + ỗ ữ

ba bng 11 Tìm hệ số x2 b) Cho biết khai triển

n x

x ,

ổ

+

ỗ ữ

ố ø tổng hệ số hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba 46 Tìm hạng tử không chứa x

c) Cho biết tổng hệ số số hạng khai triển

n x2

3

ỉ

-ỗ ữ

ố ứ l 97 Tìm hạng tử khai triển chứa x4

d) Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển

n x x ỉ + ỗ ữ

ố ứ , bit rng:

C12 1n+ +C2 12n+ + + C2 1nn+ =220-1

e) Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển (2+x)n, biết rằng: 30 0Cn -3n-1 1Cn+3n-2 2Cn - + - ( 1)n nCn =2048

ĐS: a) n=4,C42=6 b) n = ; 84 c) n = 8; 1120x4 d) n = 10; 210x26 e) n = 11; 22x10

Bài 7: a) Tìm số hạng khơng chứa thức khai triển nhị thức: (33+ 2)5 b) Tìm số mũ n biểu thức

n b 31

12

ổ

+

ỗ ữ

è ø Biết tỉ số hệ số số hạng thứ thứ khai triển nhị thức 7:2 Tìm số hạng thứ 6?

c) Tìm số hạng thứ khai triển x x 15 . ỉ -ỗ ữ ố ứ

d) Tỡm s hng cha a7 khai triển a a 12

3 .

64

ỉ

+

ỗ ữ

ố ứ

e) Tỡm số hạng khai triển x x 10 . ổ + ỗ ữ ố ứ

f) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức: x x 12 ỉ + ỗ ữ ố ứ

g) Tỡm hng tửđộc lập với x khai triển x x

16

3 .

ỉ

+

ỗ ữ

ố ứ

S: a) C52.3.2 60= b) n = Þ T6 = C ( )b

b b b

4

9 312 1263 2

ổ

ỗ ữ =

ỗ ữ

ố ứ c)

5 15 T =C d) 924 a7 -30 e) T16 =C x y3015 30 15 . f) 495 g) 1820

Baøi 8: Trong khai triển nhị thức: a b b a 21 3 ổ + ỗ ữ ç ÷

è ø , tìm số hạng chứa a, b với luỹ thừa giống nhau?

ĐS: Ta có: Tk+1 =

k k

k a b

C

b a

21

21 3

-ỉ ỉ

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ữ ỗ ÷

è ø è ø =

k k k k k

C a b

21 21

3 6 21

Þ 21 k k k 21 k

3 6

- - = - - Þ k = V

ậy số hạng cần tìm là: T10 = C a b

5 2 2 21 Baøi 9: Số hạng chứa x với số mũ tự nhiên khai triển sau:

a) (4x x+ ) 10 b) x x

13

1 .

ổ

+

ỗ ữ

ố ứ

ĐS: a) C x C x C x102 , 106 7, 1010 10 b) C x130 13,C x C x C x133 9, 136 5, 139 Baøi 10: a) Tìm số hạng khai triển ( 3+32)9 số nguyên b) Tìm số hạng hữu tỉ khai triển ( 3- 15)

c) Xác định số hạng hữu tỉ khai triển ( 35 +37) 36 d) Có hạng tử nguyên khai triển ( 3+45) 124

ĐS: a) T4=4536,T10 =8 b) T1=27,T3=2005,T5=10125,T7 =3375 c) T T T7, 22, 37 d) 32 số hạng

Baøi 11: a) Tìm số hạng thứ ba khai triển

n a a

a 13

1

-æ

+

ỗ ữ

ỗ ữ

è ø

C Cn3: n2 =4 :1

b) Trong khai triển (1+x)n theo lũy thừa tăng x, cho biết :

T T T T

3

4

4 40

3 ì = ï í =

ïỵ Tìm n x? c) Trong khai triển

n a a

a4

ỉ

+

ỗ ữ

ố ứ cho bit hiu s gia hệ số hạng tử thứ ba thứ hai 44 Tìm n

ĐS: a) n=14,T3=9113 51a b) n 6, x

= = ± c) n = 11

Dạng : Áp dụng khai triển nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp Bài 1: Tính tổng sau (sử dụng trực tiếp khai triển (a b+ )n):

a) S C= 60+C16+ + C66 HD: Sử dụng: (1+x)6, với x = b) S C= 50+2C15+22 2C5 + + 25 5C5 HD: Sử dụng: (1+x)5, với x = c) S C= 20100 +C20101 +C20102 + + C20102010 HD: Sử dụng: (1+x)2010, với x = d) S C= 20100 +2C12010+22 2C2010+ + 22010 2010C2010 HD: Sử dụng: (1+x)2010, với x = e) S C= 116 +C117 +C118 +C119 +C1110+C1111 HD: Sử dụng: (1+x)11, với x = f) S=316 0C16-315 1C16+314 2C16- + C1616 HD: Sử dụng: (x-1)16, với x =

Bài 2: Tính tổng sau (sử dụng trực tiếp khai triển (a b+ )n):

a) S C= n0+Cn1+Cn2+ + Cnn HD: Sử dụng: (1+x)n, với x = b) S1=C20n+C22n+C24n+ + C22nn HD: Sử dụng: (1-x)2n, với x = S2=C21n+C23n+C25n+ + C22 1nn

c) S C= n0+3Cn1+32 3Cn + + 3n nCn HD: Sử dụng: (1+x)n, với x = d) S C= n0+6Cn1+62 2Cn + + 6n nCn HD: Sử dụng: (1+x)n, với x = e) S C= n0+2Cn1+22 2Cn + + 2n nCn HD: Sử dụng: (1+x)n, với x = Baøi 3: Chứng minh hệ thức sau (sử dụng trực tiếp khai triển (a b+ )n):

a) C20n+C22n+ + C22nn =C21n+C23n+ + C22 1nn- HD: (1-x)2n, với x = b) C20n+C12n+C22n+ + C22nn=4n HD: (1+x)2n, với x = c) 10.- C21n+10 2C2n-10 3C2n+ - 102 1n- C2nn- +102n =81 n HD: (1-x)2n, với x = 10 d) C20n+C22 2n3 +C24 4n3 + + C22nn32n =22 1n-.(22n+1) HD: (1+x)2n+ -(1 x)2n, với x =

e) S C C C C

2004

0 2 4 2004 2004

2004 2004 2004 2004 2 +1

= + + + + =

HD: (1+x)2004+ -(1 x)2004, với x = Baøi 4: Dùng đẳng thức (1+x) (1m +x)n= +(1 x)m n+ , chứng minh rằng:

a) C Cm n0 k +C Cm n1 k-1+C Cm n2 k-2+ + C Cmm nk m- =Cm nk+ ,m k n£ £ b) ( )Cn0 2+( )Cn1 +( )Cn2 + + ( )Cnn 2=C2nn

c) C Cn nk C Cn nk C Cn nk Cnn kCnn n n k n k 0. 1. 2. . (2 )!

( )!( )!

+ +

-+ + + + =

- +

Bài 5: Tính giá trị biểu thức A, B cách tính A + B, A – B:

a) A = 22nC20n+22 2n- C2n+ + 20 2C2nn B = 22 1n- C2n+22 3n- C2n+ + 21 1C2nn -b) A = 2nCn0+2n-2 2Cn +2n-4 4Cn + B = 2n-1 1Cn+2n-3 3Cn+.2n-5 5Cn + HD:

a) Khai triển (2x+1)2n, với x = Þ A + B = 32n = 9n; (2x-1)2n, với x = Þ A – B = Từđó suy ra: A = 1 (9 1)n

2 + , B = 1 (9 1)2 n

-b) Khai triển (2x+1)n, với x = Þ A + B = 3n; (2x-1)n, với x = Þ A – B =

Þ A 1(3n 1), B 1(3 1)n

2

= + =

-Baøi 6: Biết tổng tất hệ số khai triển thị thức (x2+1)n 1024, tìm hệ số a (a số tự nhiên) số hạng ax12 khai triển

ĐS: a = 210 (HV hành QG, 2000)

Baøi 7: Chứng minh:

a) S C= 2002 20020 C2001+C2002 20011 C2000+ + C2002 2002k C2001--kk + + C2002 12001 0C =1001.22002 HD: a) C2002 2002k C2001--kk = = 2002.C2001k Þ S = k

k C

2001 2001 2002

2001

2002 2002.2 1001.2 =

= =

Dạng 3: Tính tổng Ck phương pháp đạo hàm tích phân 1 Để tính tổng có dạng k

k k C

å k

k

k k.( +1).C

å ta lấy đạo hàm cấp 1, cấp nhị thức Niutơn (1+x)n

2 Để tính tổng có dạng k n k

C k+1

å

k n k

C k k ( +1)( +2)

å ta lấy tích phân (hoặc hai) lần nhị thức Niutơn (1+x)n

Ghi chú: Tuỳ theo hệ số mà ta lấy nhị thức Niutơn cho thích hợp

Tổng quát: Muốn chứng minh đẳng thức tổ hợp dạng: A = k C0 n0+k C1 n1+k C2 n2+ + k Cn nn (1) Ta cần nhận dạng biểu thức theo kiểu hình kp (p=0,1,…,n) vế trái (1)

Sau sử dụng khai triển (a + b)n = C an0 n+C a bn1 n-1 + + C bnn n (2a) (x + 1)n = C xn0 n+C xn1 n-1+ + C xnn n (2b) Loại 1:

Kiểu hình của kp

k0 1 k1 1 k2 1

…… kn–1

1

kn

1 A = 2n Thay x = vào (2b) a = b vào (2a) Loại 2:

Kiểu hình của kp

k0

1 –1 k1 k1 2 …… (–1)kn–1n–1 (–1)knn A = 2n Thay x = –1 vào (2b) a =– b=1 vào (2a) Loại :

Kiểu hình kp

k0 n 0 k1 n–1 1 k2 n–2 2

…… kn–11 n–11

kn

0 n A = n.2n–1 Lấy đạo hàm vế (2b) (2a) Thay x =

n(n–1) 0

(n–1)(n–2) 0

…… …… 0

(n–1)(n–2)

0 n(n–1) A = n.(n–1)2n–2 Lấy đạo hàm cấp hai vế Thay x =

Loại 4:

Kiểu hình kp

k0 i + k1 i 1 + k2 i + …… kn–1 i n ( 1) + -kn i n +

A = n

n

1

2 1

-

-+ Lấy

n

x dx

1

(1+ )

ò sử dụng khai triển (2b) Thay x =

1 1 -

…… n

n

1

( 1)- - n

n ( 1) -+ A = n 1

+ Lấy x dxn

1

(1- )

ò Thay x = –1

1 1.2

1

2

- .22

3.2

3 …… …… n

n

1

A = n

n

1 ( 1)

+

-+ Lấy

n

x dx

1

(1- )

Bài 1: Tính tổng sau (sử dụng đạo hàm khai triển (a b+ )n):

a) S C= 20100 +2C12010+3C20102 + + 2011C20102010 HD: Lấy đạo hàm: (1+x)2011, với x =

ĐS:

Baøi 2: Chứng minh hệ thức sau (sử dụng đạo hàm khai triển (a b+ )n):

a) S=1.Cn1+2.Cn2+ + n C nn=n.2n-1 HD: éë(1+x)nùû¢, với x = b) S=2.1.Cn2+3.2.Cn3+ + n n( -1).Cnn =n n.( -1)2n-2 HD: éë(1+x)nùû¢¢, với x = c) S=12 1Cn+22 2Cn + + n C2 nn =n n( +1).2n-2 HD: k C2 nk =[k k( - +1) k C] nk d) S C= 1n3n-1+2 3Cn2 n-2+3 3Cn3 n-3+ + nCnn =n.4n-1 HD: éë(3+x)nùû¢, với x = Baøi 3: Chứng minh hệ thức sau (sử dụng tích phân khai triển (a b+ )n):

a) S Cn Cn Cn n Cnn n

n n

2 1

0 2 2

2

2 1

+ +

-= + + + + =

+ + HD:

n S x dx

0 (1 ) =ò + b) n n

n n n n

S C C C C

n n

1

0 1

2 1

+

-= + + + + =

+ + HD:

n S x dx

0 (1 )

=ò +

c) S Cn Cn Cn nCnn

n n

0 1 ( 1)

2 1

-= - + - + =

+ + HD:

n S x dx

0 (1 ) =ò -d) n n

n n n n

S C C C C

n n

0

1 1 ( 1)

2 2( 1) 2( 1)

-= - + - + =

+ + HD:

n S 1x x2 dx

0

(1 )

=ò

-e) S Cn Cn Cn Cnn n

n n

1

0

1 1

2 2( 1) 2( 1)

+

-= + + + + =

+ + HD:

n S 1x x2 dx

0

(1 )

=ò +

f)

n n n

n

n n n n

S C C C C

n n

2 1

0 1 2

2 1

+ + +

- - -

-= + + + + =

+ + HD:

n S x dx

1 (1 )

=ò +

Bài 4: Tính I = x ndx

2

(1- )

ị (nỴN) Từđó chứng minh: n n

n n n n

C C C C n

n n

1 ( 1) 2.4.6 (2 )

1

3 1.3.5 (2 1)

+ - + + =

+ +

HD: Xét In = x ndx

1

(1- )

ò , với n Î Z+

Đặt u x n

dv dx (1 ) ỡ = -ớ = ợ ị n du nx x dx v x

2 (1 )

-ì = -

-í = ợ

ị In = x x n n x x ndx

1

2 2

0 0

(1- ) +2 ò (1- ) = n x ndx n x n dx

1

2

0

2 (1 ) (1 )

ò - + ò

= –2n.In + 2n.In–1

Þ In = n In

n

2 +1 - =

n n I

n n

2 (2 2) 4.2 (2 1)(2 1) 5.3

-+ - với I0 = dx

1

n n n n

n n n n

C C C C

n n

0 1 1

2 .2 ( 1) ( 1)

2 + 1é ù

- + - + - = ë + - û

+ +

ĐS: Xét khai triển Niutơn: (1-x)n =Cn0-C x C x1n + n2 - + - ( 1)n n nC xn - Lấy tích phân hai vế đoạn éë0; 2ùû ta được:

n n n n

n n n n

x dx C C x C x C x dx

2

0 2

0

(1- ) = éë - + - + - ( 1) ùû

ò ò

n n n

n n n n

n n n

n n n n

C x C x C x C x n

C C C C

n

2

0 2

0

0 2

1 ( 1) .

2

1 ( 1)

2 .2 (1)

2

+

-é - ù

=ê - + - + ú

+

ë û

-= - + - +

+ - Mặt khác, ta có: x dxn u dun

2

0

(1- ) =

ò ò (với u = – x, du = -dx)

n n n

n n

u du u

n n

n n

1 1

1

1

1

( 1)

1

1 1 ( 1).( 1) ( 1) (2)

1

+ +

-é ù é ù

= = ë û = ë - - û

+ +

é ù é ù

= ë - - - û= ë + - û

+ +

ò

- So sánh (1) (2) ta có (đpcm) Bài 6: Cho f x( ) (1= +x) ,n n N nỴ , ³2 a) Tính f¢¢(1)

b) Chứng minh rằng: 2.1.Cn2+3.2.Cn3+4.3.Cn4+ + n n( -1).Cnn =n n( -1)2 n-2

ĐS: a) n n( -1)2 n-2 (ĐH An ninh, Cảnh sát, 1998) Baøi 7: Cho (x-2)100 =a0+a x a x1 + 2 2+ + a x100 100

a) Tính a97 b) Tính S a= 0+ +a a1 2+ + a100

c) Tính M a= 0+2a1+2a2+3a3+ + 100a100 (ĐH Hàng Hải, 1998)

ĐS: a) –1293600 b) c) –100 Baøi 8: Chứng minh rằng:

a) n-1 1Cn+2 n-1 2Cn +3.2 n-3 3Cn+4.2 n-4 4Cn + + n C nn=n.3 n-1

(ĐH Kinh tế Quốc dân Hà Nội, 2000) b) Cn1.3n-1+2 .3Cn2 n-2+3 .3Cn3 n-3+ + nCnn =n.4 n-1

(ĐH Sư phạm Thành phố.HCM, 2001) c) n.4 n-1 0Cn - -(n 1).4 n-2 1Cn+ -(n 2).4 n-3 2Cn- + - ( 1) n-1Cnn-1=

=Cn1+4Cn2+ + n.2 n-1Cnn (ĐH Hàng hải, 1997) Baøi 9: Tính tổng sau:

a) S C= n1-2.Cn2+3.Cn3-4.C44+ + - ( 1)n-1n C .nn (ĐH BK Hà Nội, 1999) b) S C= 20000 +2.C12000+3.C20002 + + 2001C20002000

ĐS: a) b) 2002.21999 Bài 10: a) Tính I x dx n Nn

1

(1 ) , ( )

b) Chứng minh rằng:

n n

n n n

C C C

n n

1

1

1 1

1

2 1

+

-+ + + + =

+ +

(ĐH Kiến trúc Hà Nội, 1999; Sư phạm Thành phố.HCM, 2000) Baøi 11: a) Tính I x x ndx n N

1

2

(1 ) ,

=ò - Î

b) Chứng minh rằng: Cn Cn Cn n Cnn

n n

0

1 1 ( 1)

2 2 2

+ - + =

+ +

(ĐH Luật 1997, Bách khoa Hà Nội 1997) Baøi 12: a) Tính In x ndx n N

1

(1 ) ,

=ị - Ỵ

b) Chứng minh rằng: Cn Cn Cn n Cnn n

n n

0 1. 1. ( 1) . 6 . .

3 5

+ - + =

+ +

(ĐHTCKT Hà Nội, QGTp.HCM 1997) Bài 13: Tính tổng sau:

a) S 26.C60 25.C61 24.C62 23.C63 22.C64 21.C65 1C66

1

= + + + + + +

(ĐH Dân lập Duy Tân, 2001) b) S Cn Cn Cn Cn Cnn n

n

0 1 .21 1 .22 1 .23 .2

2

= + + + + +

+ (ĐH Đà Nẵng, 2001) c) 1.C190 1.C191 1.C192 C1919

2 -3 +4 - -21 (ĐH Nông nghiệp, 1999) d) 3C20050 32.C12005 33.C20052 32006.C20052005

2 2006

+ + + +

ĐS: a)

7 2

7

b) n

n 1. 2( 1)

+

-+ c) 4201 d) 2006 1.

2006

-Dạng 4: Áp dụng khai triển nhị thức Newton để chứng minh bất đẳng thức (a b+ )n=C an0 n+C a bn1 n-1 + + C bnn n (1)

Ví dụ 1: Từ cơng thức (1), cho a = ta được: (1 + b)n = + nb + n n( 1)b2

2

-+ …-+ bn (2)

Nếu b số khơng âm (n+1) số hạng vế phải (2) số không âm, bỏđi số số hạng vế phải ta sẽđược bất đẳng thức Chẳng hạn: (1 + b)n³ + nb (BĐT Becnuli)

(1 + b)n³ + nb + n n( 1)b2

Ví dụ 2: Từ (2), b n

= (n > 1) thì:

n

n

n n n n n

C C C C

n n n2 n

1 1

1

ỉ

+ = + + + +

ỗ ữ

ố ø

Để ý: Cnk k n k n k

k k

n k n k n n k n

1 ! !

! !

!( )! ( )!

é ù

= = ê ú<

- êë - úû Þ

n

n n

1 1

1

1! 2! !

ỉ + < + + + +

ỗ ữ

ố ứ

Vớ d 3: Vit nhị thức Newton theo cách sau:

n n n n n

n n n

a b C a0 C a b1 C b

( + ) = + - + + ; (b a+ )n=C bn0 n+C b an1 n-1 + + C ann n Cộng theo vế đẳng thức ta có:

2(a+b)n = C an0( n+bn)+C a b b a1n( n-1 + n-1 ) + +C ann( n+bn) Dễ thấy với a, b³ 0, i £ n thì:

(an–i – bn–i).(ai – bi) ³ Þ an + bn³ an–ibi + aibn–i

Do đó: 2(a+b)n£ C an0( n+bn)+C an1( n+bn) + +C ann( n+bn) = 2n (an + bn)

Þ

n n n a b a b

2

ổ + Ê +

ỗ ữ

ố ø

Bài 1. Với –1 £ x £ 1, chứng minh: 2n³ (1 – x)n + (1 + x)n (n Ỵ N*) HD: Ta thấy 2n = (1–x+1+x)n = [(1–x)+(1+x)]n

Khai triển nhị thức Newton vế phải, ta có:

2n = Cn0(1-x)n+Cn1(1-x) (1n-1 +x) + +Cnn(1+x)n Vì –1 £ x £ nên – x ³ 0, + x ³

Þ 2n³ Cn0(1-x)n+Cnn(1+x)n Þ 2n³ (1 – x)n + (1 + x)n Bài 2. Cho x1³ x2³ 0, y1³ y2³ 0, n Ỵ N* Chứng minh :

(x1 + y1)n + (x2 + y2)n³ (x1 + y2)n + (x2 + y1)n

HD: Vì x1 ³ x2 ³ nên x1m ³ x2m ( m Ỵ N)

y1³ y2³ nên y1k³ y2k (k Ỵ N)

Do đó : (x1m – x2m).(y1k – y2k) ³ hay x1my1k + x2my2k ³ x1my2k + x2my1k

Lấy m = n – k, n ³ k ³ 0, ta được: x1n–ky1k + x2n–ky2k³ x1n–ky2k +x2n–ky1k (3)

Từ (3) cho k từ 0,1,2,…,n ta (n+1) BĐT Sau nhân vế BĐT tương ứng với Cnk, ta có :

C xn0( 1n+x2n)=C xn0( 1n+x2n)

n n n n

n n

C x y1( 1-1 1+x y2-1 2)³C x y1( 1-1 2+x y2-1 1)

………

C ynn( 1n+y2n)=C ynn( 1n+y2n)

Cộng vế theo vế, sử dụng nhị thức Newton, ta : (x1 + y1)n + (x2 + y2)n³ (x1 + y2)n + (x2 + y1)n

Đẳng thức xảy x1 = x2 y1 = y2

Bài 3. Chứng minh xk, yk³ (k=1,2,…,n)

( )

n

m m

n n

m m

k k k k

k=1 x y m k=1x k=1y

é ù

ê ú

+ ³ +

ê ú

ë û

å Õ Õ

HD: Vì xk, yk ³ nên theo BĐT Cơsi ta có:

m m

n j j m n j j

k k k k

k k

x y m x y

1

-

-= =

³

å Õ

đó cộng BĐT vế theo vế, áp dụng nhị thức Newton, ta đpcm Bài 4. Cho n Z nỴ , ³3 Chứng minh rằng:

a) n! > n-1 b)

n

1 1

1

1! 2! !

+ + + + < c) nn+1>(n+1)n Bài 5. a) Cho a, b > 0, a + b = Chứng minh rằng: an+bn ³ 2, với n Z nỴ , ³1 b) Cho a b, ³0; n nguyên dương Chứng minh rằng:

n n n

a b a b .

2

ổ

+ +

ỗ ữ

è ø

c) Cho x<1 n nguyên dương Chứng minh rằng: (1-x)n+ +(1 x)n £2 n Bài 6. Cho n số nguyên dương Chứng minh rằng:

a)

n n

n n

1

1

1

1 +

ỉ ỉ

+ > +

ỗ + ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ b)

n n n

1

2<ổỗ1+ ửữ <3, ³2

è ø c)

n

n n

2 1

1 8,

+

ổ

+ <

ỗ ÷

è ø

Bài 7. Cho n Z nỴ , ³2 Chứng minh rằng:

a) n

n C19971 C19982 C19971

1 1 .

1995 +

+

+ + + < b) An n

n

n n

1 1.3.5 (2 1) 2.4.6

2

-< = <

c) n Cnn n

n n

2

2

2

2

-< < d) 2100 C10050 2100

10 10 < < Bài 8. a) Cho k n Z, Ỵ ; 0£ £k n Chứng minh rằng:

C2nn k+ C2nn k- £( )C2nn (ĐH Y dược Tp.HCM, 1998, 2001) b) Cho k ZỴ , 0£ £k 2000 Chứng minh rằng:

C2001k +C2001k+1 £ C20011000 +C20011001 (ĐHQG Hà Nội, 2000, Khối A) c) Cho n N nỴ , ³2 Chứng minh rằng:

n n n n n n n C C C C

n

1 1 .2 2

1

-ổ -

Ê ỗ ữ

-è ø

Dạng 1: Toán chia hết Nếu a chia cho b có số dư r a = bq + r

nên an = (bq + r)n = bnqn + nbn–1qn–1r + … + nbqrn–1 + rn

Do an rn có số dư chia cho b Tức là: an º rn(mod b) Vậy aº r (mod b) anº rn (mod b)

Ví dụ 1: Chứng minh với "n Ỵ Z+, ta có:

a) 4n + 15n – M b) 16n – 15n – M 225

HD: a) Ta có 4n = (3+1)n = 3n + n.3n–1 + … + 3n + º 3n + (mod 9) (vì 3kM , "k ³ 2) 4n + 15n – º 3n + + 15n – (mod 9) = 18n (mod 9)

Vậy 4n + 15n – M

b) 16n = (1 + 15)n = + n.15 + n n( 1) 152

-+ … -+ n.15n–1 + 15n º + 15n (mod 152)

Do đó: 16n – 15n – º + 15n – 15n – º (mod 225) Vậy 16n – 15n – M 225

Ví dụ 2: Chứng minh với "n Ỵ Z+, ta có: 26n+1 + 36n+1 + 56n + M HD: 26n+1 + 36n+1 + 56n+1 + = 2(26)n + 3(36)n + (56)n +

= 2.64n + 3.729n + 15625n +

= 2[(7.9 + 1)n – 1] + 3[(7.104 + 1)n – 1] + [(7.2232 + 1)n – 1] + Do với số tự nhiên p q thì:

(7p+1)q – = [(7p+1)–1].[(7p+1)q–1+ … + (7p+1) + 1] nên biểu thức cho chia hết cho

Dạng 2: Tìm hệ số xm khai triển (a bx+ p+cxq n) B1: Viết số hạng tổng quát khai triển theo (bxp + cxq)k

B2: Khai triển nhị thức (bxp + cxq)k = k ki p k i q i i 0C bx( ) (cx )

-=

å B3: Tk =

k

n k k i k i i pk pi qi n k

i

a C C b c x

- - - +

= å

B4: Cho pk – pi + qi = m Þ chọn k, i

Ví dụ: Tìm hệ số x8 khai triển: [1 + x2(1–x)]8

HD: Số hạng thứ k+1 khai triển: Tk+1 = ( )

k k

C x8 2(1-x) = C x8k 2k(1-x)k = k k k ki i i

i

C x8 C x ( 1) =

-å = k k ki i k i

i

C8 C x2 ( 1)

+ =

-å ( £ i £ k £ 8) Theo đề bài: 2k + i = Þ Chọn (k=3; i=2) (k=4; i=0) Vậy hệ số cần tìm là: C C8 33 2+C C84 40

Bài 6: Một số toán liên quan đến

Bài 1. a) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển p(x) = x x

9 1

ổ

+

-ỗ ÷

è ø

b) Tìm hệ số số hạng chứa x

1

khai triển p(x) = x x

7

1

ổ

ỗ - + ữ

ỗ ữ

ố ứ

S: a)

Bài 2. Khai triển f x( ) (1= + +x x2+x3 5) =a0+a x a x1 + 2 2+ + a x15 15 a) Tính hệ số a10 b) Tính tổng A a= 0+ +a a1 2+ + a15

c) Tính tổng B a= 0- +a a1 2- - a15

ĐS: a) 10 b) 1024 c)

Bài 3. a) Khai triển P x( ) (1= + +x x2 10) ta được:

P x( )=a0+a x a x1 + 2 2+ + a x1 19+a x20 20 Tính hệ số a19

b) Tìm hệ số x y z6 khai triển P=(2x-5y z+ ) 15 c) Tìm số hạng không chứa x khai triển P x x

x ( )=ổỗ1 2+ - ửữ

è ø

d) Tìm hệ số số hạng chứa x

1

khai triển P x x x

7

1 ( )=ổỗ1 2- + ửữ

ỗ ÷

è ø

ĐS: a) 10 b) -126 10 c) ; 1008 ; 20160 ; 5376 d) 840

Dạng 3: Tìm hệ số ak lớn khai triển nhị thức Newton P x( )=a0+a x a x1 + 2 2+ + a xn n

· Xét hệ số tổng quát liên tiếp:

- Hệ số số hạng thứ k + a kk ( =0, 1, 2, , )n - Hệ số số hạng thứ k + ak+1

- Hệ số số hạng thứ k ak-1

· Hệ số ak lớn khi: k k k k k k

a a k k T a

a a k N

1

a b

-+ +

ì > ì < <

Û Þ Þ Þ =

í > ẻ

ợ ợ

Lu ý: Cn phõn biệt hệ số số hạng

Ví dụ: Khai triển thị thức (1 )+ x 12 viết dạng a0+a x a x1 + 2+ + a x12 12 Tìm phần tử

lớn tập hợp { , , , ,a a a0 1 2 a12}

· Ta có : k k k k k k

K K

x 12 12 C12 x 12 12 C12 x

0

(1 ) (2 ) -

= =

+ = å = å

k k k k k

k k k k k k

k

C C k k k k

C C

k k k k

1 1

12 12

1 1

12 12

12!2 12!2 2 !(12 )! ( 1)!(13 )!

.2 12!2 12!2

!(12 )! ( 1)!(13 )!

-+ + +

ì

> ï

ì >

ï ï - -

-Û í Û í

>

ï ï

ỵ >

ï - +

-ỵ

k k k k

k k 23 26

26 8

24 3

ì - >

Û í - < + Û < < ị =

ợ (vỡ k Nẻ )

Bài 1. a) Xác định số n khai triển (x+2)n, biết số hạng thứ 11 có hệ số lớn

b) Tìm số nguyên dương bé n cho khai triển (1+x)n có hai hệ số liên tiếp có tỷ số

15

c) Tìm giá trị n khai triển

n x 5

ỉ

+

ỗ ữ

ố ứ , cho bit số hạng thứ có hệ số lớn d) Tìm số hạng lớn khai triển

100 1 . 2

ỉ

+

ỗ ữ

ố ứ

e) Khai trin x 10 3

ỉ

+

ỗ ữ

ố ứ thnh a a x a x a x 10

0+ + + + 10 Hãy tính hệ số ak lớn k

(0£ £10)

ĐS: a) n = 15 b) n = 21 c) n = 12 d) C 100

50 100

1 .

2 ổ ỗ ữ

ố ứ e) C

7 10 10 .

Dạng 4: Các toán khác Bài 1. Xét khai triển x

m x

5

lg(10 ) ( 2)lg3

2 -

-ổ +

ỗ ữ

ố ứ (m ³ 3) Biết số hạng thứ 21 hệ số số hạng thứ 2, 3, khai triển số hạng thứ 1, 3, cấp số cộng Tính giá trị x

HD : Gọi a1, a3, a5 số hạng thứ 1, 3, cấp số cộng

Theo giả thiết : Cm1 =a1 ; Cm2 =a3 ; Cm3 =a5

Theo tính chất CSC : 2a3= a1+a5Û (m m 1) m m m( 1)(m 2)

1.2 1.2.3

+ = + -

-Û m2 – 9m + 14 = Û m = 7; m = (loại)

Þ T6 = 21 Û

x x

C75 ( 2)lg3 lg(10 )2 - - =21 Û (3x)2 – 10.3x + = Û x=0; x=2

Bài 2. Tìm số tự nhiên k cho số: C C14k , 14k+1,C14k+2 lập thành cấp số cộng

Bài 3. Cho Sn =

n k n k

C33 =

å Hãy tính n n nlimđƠ3 S HD:

Ta cú: C33nk =C3 13nk- +C3 13 1nk-- = C3 23nk- +C3 23 1nk-- +C3 23 1nk-- +C3 23 2nk-- >C3 23nk- +C3 23 1nk-- +C3 23 2nk-

-Þ Sn > ( )

n k k k

n n n

k

C3 23 C3 23 C3 23

-

-

-=

+ +

å = 23n–2 (1)

Mặt khác: Sn <

n k

n k

C

3 =

å = 23n (2) Từ (1) (2) Þ 3n23 2n- < 3nSn < mà n n

n n

3

lim - lim

đƠ = đƠ = ị n

Bài 7: Xác suất

I Biến cố xác suất 1 Biến cố

· Không gian mẫu W: tập kết xảy phép thử · Biến cố A: tập kết phép thử làm xảy A A Ì W

· Biến cố khơng: Ỉ · Biến cố chắn: W · Biến cốđối A: A=W \A

· Hợp hai biến cố: A È B · Giao hai biến cố: A Ç B (hoặc A.B) · Hai biến cố xung khắc: A Ç B = Ỉ

· Hai biến cốđộc lập: việc xảy biến cố không ảnh hưởng đến việc xảy biến cố

kia 2 Xác suất

· Xác suất biến cố: P(A) = n A n

( ) ( )W

· £ P(A) £ 1; P(W) = 1; P(Ỉ) =

à Qui tc cng: Nu A ầ B = ặ P(A È B) = P(A) + P(B) Mở rộng: A, B bất kì: P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A.B) · P(A) = – P(A)

· Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập P(A.B) = P(A) P(B)

Bài 1: Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất

b) Tích hai mặt xuất số lẻ c) Tích hai mặt xuất số chẵn

ĐS: a) n(W) = 36 n(A) = Þ P(A) =

36 b)

4 c)

Bài 2: Một lớp học có 25 học sinh, gồm có 15 em học mơn Tốn, 17 em học mơn Văn

a) Tính xác suất để chọn em học mơn

b) Tính xác suất để chọn em học mơn Tốn khơng mơn Văn

ĐS: a) n(AÇB) = n(A) + n(B) – n(AẩB) = 15 +17 25 = ị P(AầB)=C72 25 b)

C83 25 Baøi 3: Gieo hai súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố:

a) Tổng hai mặt xuất b) Các mặt xuất có số chấm

ĐS: a) 1

6 b)

Baøi 4: Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi, lấy tiếp viên Tính xác suất biến cố lần thứ hai viên bi xanh

ĐS: 5

Baøi 5: Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất đểđược viên bi xanh

Baøi 6: Hai người săn độc lập với bắn thú Xác suất bắn trúng người thứ

5, người thứ hai

2 Tính xác suất để thú bị bắn trúng

ĐS: 4

Baøi 7: Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố

sau:

a) Lần thứ xuất mặt chấm b) Lần thứ hai xuất mặt chấm c) Ít lần xuất mặt chấm d) Không lần xuất mặt chấm

ĐS: a) 1

6 b)

6 c) 11

36 d) 25 36

Baøi 8: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố: a) Cả đồng xu ngửa

b) Có đồng xu lật ngửa c) Có hai đồng xu lật ngửa

ĐS: a)

16 b)

4 c) 11 16

Baøi 9: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, có bóng tốt Lấy ngẫu nhiên bóng.Tính xác suất để lấy được:

a) bóng tốt b) bóng tốt

Bài 10: Một lớp học gồm 20 học sinh có học sinh giỏi Toán, học sinh giỏi Văn học sinh giỏi môn GVCN chọn em Tính xác suất để em học sinh giỏi Bài 11: Một hộp có 20 cầu giống nhau, có 12 cầu trắng cầu đen Lấy

ngẫu nhiên Tính xác suất để chọn có màu đen

Bài 12: Một tổ có học sinh nam học sinh nữ GVCN chọn em thi văn nghệ Tính xác suất để em khác phái

Bài 13: Một lớp có 30 học sinh, có em giỏi, 15 em em trung bình Chọn ngẫu nhiên em dựđại hội Tính xác suất để :

a) Cả em học sinh giỏi b) Có học sinh giỏi c) Khơng có học sinh trung bình

Bài 14: Cho số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Gọi X tập hợp số gồm hai chữ số khác lấy từ số

trên Lấy ngẫu nhiên số thuộc X Tính xác suất để: a) Sốđó số lẻ

II Biến ngẫu nhiên rời rạc 1 Biến ngẫu nhiên rời rạc

· X = {x1, x2, …,xn}

· P(X=xk) = pk p1 + p2 + … + pn =

2 Kì vọng (giá trị trung bình)

· m = E(X) = n i i

i x p = å

3 Phương sai độ lệch chuẩn

· V(X) = n i i

i x p

2 1( )

m =

-å = n i i

i

x p2

m =

-å · s(X) = V X( )

Baøi 1: Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền Mỗi người đá lần với xác suất làm bàn người thứ 0,8 Tính xác suất làm bàn người thứ hai, biết xác suất để hai người làm bàn 0,56 xác suất để bị thủng lưới lần 0,94

Bài 2: Một cặp vợ chồng có người Gọi X số lần sinh trai Lập bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X

Baøi 3: Một hộp đựng viên bi xanh viên bi đỏ Chọn ngẫu nhiên viên bi Gọi X số lần lấy bi đỏ Lập bảng phân phối biến ngẫu nhiên X

Baøi 4: Cho bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X:

X

P 0,3 0,5 0,2

Tìm kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn X

Baøi 5: Một hộp đựng viên bi đỏ viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên Gọi X số bi đỏ

lấy Tính kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn X

Baøi 6: Hai xạ thủđộc lập bắn vào bia Mỗi người bắn viên đạn Xác suất để xạ thủ thứ

Ơn tập Bài 1: Một quan có cổng vào

a) Hỏi người khách chọn cách vào quan đó?

b) Có thể chọn cách vào quan cổng khác (cổng vào khác cổng ra)?

ĐS: a) 16 b) 12

Bài 2: Có 10 mơn học buổi sáng môn học buổi chiều

a) Hỏi có khả học sinh lựa chọn để buổi sáng học môn buổi chiều học mơn?

b) Hỏi có khả học sinh lựa chọn để buổi sáng học môn buổi chiều không học môn nào?

ĐS:

Bài 3: Một người có áo, quần đơi giày Trong có áo sọc áo trắng, quần đen, đơi giày đen Hỏi người có cách chọn mặc áo – quần – giày, nếu:

a) Chọn áo, quần, giày được?

b) Nếu chọn áo sọc với quần nào, giày được; cịn chọn áo trắng mặc với quần đen giày đen?

ĐS:

Bài 4: Một nhóm học sinh gồm có 30 em giỏi Tốn 20 em giỏi Văn Có cách chọn học sinh cho có em giỏi Tốn?

ĐS:

Bài 5: Một đồn cảnh sát có 10 người Trong ngày cần cử người làm nhiệm vụởđịa điểm A, người ởđịa điểm B, người thường trực đồn Hỏi có cách phân cơng?

ĐS:

Bài 6: Trong số 107 sốđiện thoại chữ số số có chữ số khác chiếm tỉ lệ bao nhiêu?

ĐS:

Baøi 7: Hội đồng quản trị công ty gồm 15 người Từ hội đồng bầu cử chủ tịch, phó chủ tịch ủy viên kiểm tra Hỏi có cách?

ĐS: 16380

Baøi 8: Trong bình hoa có 10 bơng hồng đỏ bơng hồng trắng Có cách lấy từ

bình hoa bơng hồng màu?

ĐS: 215

Baøi 9: Một sách gồm 30 tập Hỏi có cách sách lên kệ sách dài cho tập tập không đứng kề

ĐS: 30! – 29! = 28 29!

Baøi 10: Hai nhân viên bưu điện cần phải chuyển 10 thưđến 10 địa Hỏi họ có cách phân cơng cơng việc đó?

ĐS: 210

Bài 11: Cần phát 12 đề thi gồm đề A đề B cho 12 học sinh, học sinh đề Có cách xếp học sinh thành hai dãy dãy học sinh cho học sinh ngồi kề khơng đề với cịn học sinh ngồi trước đề với học sinh ngồi phía sau

ĐS: 6! 6!

Bài 12: Có thể chia 12 sách khác cho đứa trẻ theo cách biết rằng: a) Mỗi đứa trẻđược sách?

b) Hai đứa lớn sách đứa hai đứa bé sách

đứa?

ĐS: a) 369600; b) 207900

a) Vào ghế thành dãy

b) Vào ghế chung quanh bàn trịn, khơng có phân biệt ghế này?

ĐS: a) 120 b) 24

Baøi 14: Một dãy ghế dành cho nam nữ Có cách xếp chỗ ngồi nếu: a) Họ ngồi được?

b) Nam ngồi kề nhau, nữ ngồi kề nhau? c) Chỉ có nữ ngồi kề nhau?

ĐS: a) 120; b) 24; c) 48

Baøi 15: Xếp người ngồi vào dãy ghế, có cách nếu: a) Có người họ muốn ngồi kề nhau?

b) Có người họ khơng muốn ngồi kề nhau?

c) Có người họ khơng muốn ngồi kề đôi một? ĐS: a) 144; b) 480; c) 144

Bài 16: Có cách xếp người gồm nam nữ vào hàng ghế gồm ghế nếu: a) Họ ngồi được?

b) Họ ngồi kề nhau?

c) nam ngồi kề nhau, nữ ngồi kề hai nhóm có ghế trống? ĐS: a) 6720; b) 480; c) 144

Baøi 17: Một hàng ghế gồm 10 ghế Có cách xếp đơi vợ chồng ngồi vào ghếđó nếu:

a) Họ ngồi ghế được? b) Họ ngồi kề nhau?

c) Vợ ngồi bên phải chồng? d) Họ ngồi cách ghế?

ĐS: a) 90; b) 18; c) 9; d) 16

Baøi 18: Có cách xếp người vào bàn có chỗ ngồi cho A B ngồi cạnh nếu?

a) Cái bàn bàn dài?

b) Cái bàn bàn tròn không phân biệt chỗ? c) Cái bàn bàn trịn có đánh số (có phân biệt chỗ)? ĐS: a) 48; b) 12; c) 60

Bài 19: Lớp có 12 nam có An có nữ có Bình Có cách cử người dự trại hè quốc tế cho phải có hai nam, hai nữ, An Bình khơng đồng thời cửđi?

ĐS: 9240

Bài 20: Một lớp học có 15 học sinh ưu tú có An Bình Có cách cử học sinh ưu tú du học nước khác nhau, nước người, người có An Bình

ĐS: 4.3.A132 =4.3.13.12 1872=

Bài 21: Có học sinh có An Bình Hỏi có cách xếp họ lên đoàn tàu gồm toa nếu:

a) người lên toa? b) người lên toa đầu?

c) người lên toa khác nhau? d) An Bình lên toa đầu? e) An Bình lên toa?

f) An Bình lên toa, ngồi khơng có người khác lên toa này? ĐS: a) 7; b) 120; c) 6720 d) 512; e) 4096; f) 343

Bài 22: Giám đốc cơng ty muốn chọn nhóm người vào hội đồng tư vấn Trong cơng ty có 12 người hội đủ điều kiện để chọn, có hai cặp vợ chồng Hỏi có cách chọn nếu:

a) Hội đồng có cặp vợ chồng?

ĐS: a) 112; b) 560

Baøi 23: Cho cầu màu trắng có bán kính khác cầu màu xanh có bán kính khác Người ta muốn xếp 10 cầu vào hàng 10 chỗ cho trước

a) Có cách xếp khác nhau?

b) Có cách xếp cho hai cầu đứng cạnh phải khác nhau? c) Có cách xếp cho cầu trắng đứng kề nhau?

ĐS: a) 3628800; b) 28800; c) 86400 Baøi 24: Cho thập giác lồi:

a) Tìm sốđường chéo?

b) Tìm số tam giác có đỉnh đỉnh thập giác?

c) Trong tam giác có tam giác có cạnh cạnh thập giác? Có tam giác khơng có cạnh cạnh thập giác?

ĐS:

Baøi 25: a) Cho trước 15 điểm mặt phẳng cho điểm số khơng nằm đường thẳng Có đường thẳng qua điểm sốđó?

b) Cho trước 25 điểm không gian cho điểm số khơng nằm mặt phẳng Có tam giác nối điểm sốđó? Có tứ diện nối điểm sốđó?

ĐS: a) 105; b) 2300; 12650

Baøi 26: Một họ n đường thẳng song song cắt họ m đường thẳng song song Hỏi có hình bình hành tạo thành?

ĐS: mn m( 1)(n 1)

-

-Baøi 27: Cho đa giác lồi n đỉnh (n ³ 4) a) Tính sốđường chéo đa giác này?

b) Biết đường chéo không qua đỉnh khơng đồng quy, tính số giao

điểm đỉnh đường chéo ấy? ĐS: a) n n( 3);

2

-b) n n( 1)(n 2)(n 3) 24

- -

-Baøi 28: Cho tam giác ABC Xét tập hợp đường thẳng gồm đường thẳng song song với AB,

đường thẳng song song với BC đường thẳng song song với CA Hỏi đường thẳng tạo được:

a) Bao nhiêu tam giác?

b) Bao nhiêu hình thang mà khơng phải hình bình hành? ĐS: a) 120; b) 720

Bài 29: Có số gồm chữ số khác lập nên từ số 1, 2, 3, 4, và: a) Bắt đầu với chữ số 3?

b) Không bắt đầu với chữ số 5? c) Bắt đầu với số 54?

d) Không bắt đầu với số 543?

ĐS:

Bài 30: Có 100000 vé sốđược đánh số từ 00000 đến 99999 Hỏi có vé số gồm chữ số khác nhau?

ĐS: A105

Baøi 31: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, ta lập số chẵn, số gồm chữ số

khác nhau?

ĐS: 312

Bài 32: Có số gồm n chữ số, chữ số 1, 2, 3, cho chữ số có mặt lần sốđó?

Bài 33: Có số tự nhiên gồm chữ số khác đôi cho tất chữ sốđều khác khơng có mặt đồng thời chữ số 2, 4,

ĐS: 1800

Baøi 34: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số có chữ số a) Có chữ số 1?

b) Có chữ số chữ sốđều khác nhau? ĐS: a) 1225; b) 750

Bài 35: a) Có số có chữ số khác b) Tính tổng sốở câu a)

ĐS: a) 648; b) 355680

Bài 36: Có số lớn 2000 với chữ số khác đôi lấy từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4}

ĐS: 168

Bài 37: Có số tự nhiên gồm chữ số biết hai chữ số đứng kề phải khác nhau?

ĐS: 59049

Baøi 38: Với chữ số 2, 3, 5, lập a) Số tự nhiên lớn 400 nhỏ 600?

b) Số tự nhiên gồm chữ số khác đôi chia hết cho 4? ĐS: a) 16; b)

Baøi 39: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên gồm chữ số khác đôi và:

a) Các số lớn 300000?

b) Các số lớn 300000 chia hết cho 5? c) Các số lớn 350000?

ĐS: a) 360; b) 120; c) 264

Baøi 40: Với chữ số 2, 3, 5, 6, 7, người ta muốn lập số gồm bốn chữ số khác a) Có số nhỏ 5000?

b) Có số chẵn nhỏ 7000? ĐS: a) 120; b) 120

Bài 41: Có số tự nhiên gồm chữ số khác đôi khác biết tổng chữ số

ĐS: 12

Bài 42: Có số tự nhiên gồm chữ số khác đôi biết tổng chữ số

này 12 ĐS: 54

Baøi 43: Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, người ta muốn lập số gồm chữ số khác

đơi Có số

a) Chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần?

b) Chữ số có mặt hai lần, chữ số có mặt hai lần, chữ số khác có mặt lần? ĐS: a) 6720 HD: A85; b)10080 HD: A C84 .142 =C C82 .4!62

Baøi 44: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số có năm chữ số khác đơi đó:

a) Phải có mặt chữ số 0? b) Phải có mặt chữ số 6? c) Phải có mặt hai chữ số 6?

ĐS: a) 4.A64 =1440; b) 6.A64-5.A54=1560; c) 1.4.A53+5 .A A42 42 =960

Baøi 45: Cho S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Có tập A S trường hợp sau:

a) A có phần tử

c) A có phần tử phần tử bé A bé hay ĐS: a) 252; b) 35; c) 231

Bài 46: a) Có tập {1, 2, , 11} chứa số chẵn? b) Có tập {1, 2, , 12} chứa số chẵn? ĐS: a) 211 – 26; b) 212 – 26

Bài 47: Giả sử có phần tư số tập phần tử {1, 2, , n} chứa số Hãy tìm n ĐS: n = 20

Baøi 48: Tính giá trị biểu thức sau: A = 10! 8!

8! +

B = 7!4! 8! 9! 10! 3!5! 2!7!

é ù

-ê ú

ë û

C = A A P P

2

5 10

+ D = P P P P A

A A A A

5

5

1

5 5

ổ

ỗ + + + ữ

ỗ ữ

ố ứ

ĐS:

Bài 49: Giải phương trình:

a) 2Ax2+50=A22x (x NỴ ) b) Pn+5=15Ank+1.Pn+ -1 k c) Ax3-2Cx4=3Ax2 d) Axx 11 2Px 1 30Px

7

-+ + - = ĐS: a) x=5 c) x = v x = 11; d) x = 7; Baøi 50: Giải hệ phương trình

a) yx x yy x x

A P C P 1

: 126

720

-+

ì + =

ï í

=

ïỵ b)

y y y y y

x x x x x

C C 2 C 22 2C 12 C

3 5

- - + +

- + - +

-= =

c)

y y y y

x x x x

A 1 yA 11 A C

10

- -

+ - = =

ĐS: a) x = 5, y = 7; b) x = 7, y = 3; c) x = 7, y = Baøi 51: Chứng minh rằng:

a) ( !)n 2>nn (n ỴN, n ³ 2) b)

n n n n n n C C C

n

1 1 . 2

1

-æ -

Ê ỗỗ ữữ

-ố ứ (n ỴN, n ³ 2); dấu “=” xảy ra) Baøi 52: Chứng minh đẳng thức sau: (dùng công thức Pascal)

a) P Ak n2+1.An2+3.An2+5=nk A! n5+5 (k £ n; k, nỴN)

b) Cnk+4Cnk-1+6Cnk-2+4Cnk-3+Cnk-4=Cnk+4 (4 £ k £ n) c) 2Cnk +5Cnk+1+4Cnk+2+Cnk+3=Cnk++22+Cnk++33

d) C2110=C99+C109 + + C209

Baøi 53: Chứng minh đẳng thức sau: (dùng công thức Pascal) a) Pn =(n-1)(Pn-1+Pn-2) b) C Cn n kk m k-- =C Cm nk m

c) Cnm+Cnm-1+ + Cnm-10=Cnm++11-Cnm-+101 d) Cnm+Cnm-1+ + Cn pm- =Cnm++11-Cn pm-+1 e) Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+ + - ( 1)k kCn = -( 1)k kCn-1 f) ( ) ( )Cn0 2+ Cn1 2+ + ( )Cnn 2=C2nn ĐS: f (1+x x) (n +1)n = +(1 x)2n So sánh hệ số xnở vế

a) A C= n0+2Cn2+4Cn4+ + 2kCn2k + B C= n1+2Cn3+4Cn5+ + 2kCn2 1k+ + b) S=1.C1n+22 2Cn+32 3Cn+ k C2 nk + + n C2 nn

c) (1+x)n-C xn1 (1+x)n-1+C xn2 2(1+x)n-2+ + - ( 1)n n nC xn d)

n n n k n k n

1 1

0! ! 1!(+ -1)! 2!(+ -2)!+ + !( - )!+ + !0! (chú ý:

k n C k n k n

1

!( - )!= ! )

e) n

n n n n

1 1 ( 1)

0! ! 1!(- -1)! 2!(+ -2)!- + - !0!

ĐS: a) Khai triển biểu thức (1+ 2)n (1- 2)n

b) Đạo hàm hàm số: f(x) = (1 + x)n g(x) = x(1 + x)n d) n

n

!; e)

Baøi 55: CMR: C Cnk, nk+1,Cnk+2 (với k+3 ³ n ; n, kỴN) số hạng liên tiếp cấp số cộng Baøi 56: Viết khai triển biểu thức (3x-1)16, từđó chứng minh :

16 0C16-3 15 1C16+3 14 2C16- + C1616 =216 Baøi 57: Chứng minh hệ thức sau: (dùng đạo hàm)

a) Cn0+2C1n+3Cn2+ + + (n 1)Cnn =(n+2).2n-1 b) 2.1Cn2+3.2C3n+ + n n( -1)Cnn =n n( -1).2n-2 c) 12 1Cn+22 2Cn+ + n C2 nn=n n( -1).2n-2 Bài 58: Chứng minh rằng: (dùng tích phân)

a)

n n

n n n n n

C C C C C

n n

0

1 1 ( 1)

2 2 2( 1)

+ - + + =

+ +

b)

n n n

n n n

n

C C C

C

n

1 2 2

0 2

2

.2 ( 1)

1 1 ( 1)

- - + + + = + + + + c)

n n n

n n n n

n

C C C C

C

n n

2 1

0 2 2

2

2 1

+ +

-+ + + + + =

+ +

Baøi 59: Chứng minh:

k n n

n n

k n

n k n

k k

C C

k k n

2

1

0

1 .

1 ( 1).2 ( 1).2

+ + + + = = = + + + å å

Bài 60: a) Tính I = x x dx

2

0

(1+ ) ò

b) Chứng minh :

n n

n n n n

C C C C

n n

1

0

1 1

3 3 3( 1)

+

-+ + + + =

+ +

Bài 61: Cho nỴN, chứng minh hệ thức sau:

n n n n

k k k

n n

k k

e C C e

n k n k

1

1

0

(1 ) .

1 1

+ + + = = + + = + + å + + å +

Baøi 62: Với giá trị x số hạng thứ khai triển (5 )+ x 16 lớn số hạng thứ thứ

Baøi 63: Số hạng thứ khai triển

n x

x2

ỉ

+

ỗ ữ

ố ứ khụng cha x Vi giỏ trị x số hạng số hạng thứ khai triển (1+x3 30)

ĐS: x =

Baøi 64: a) Dùng khai triển P = (a b c+ + )n, CMR số hoán vị khác m chữ a, n chữ b, p chữ c là: N = m n p

m n p

( )!

! ! ! + +

b) Áp dụng: Tính hệ số đơn thức x y z6 khai triển P = (2x-5y z+ )15

ĐS:

Baøi 65: Xác định hệ số x4 khai triển P = (1 2+ x+3 )x2 10

ĐS:

Bài 66: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển, biết: a)

n x x x

28 -15

ổ

ỗ + ữ

è ø , biết Cnn+Cnn-1+Cnn-2 =79 b)

n nx

nx 2

2

ổ

+

ỗ ữ

ố ứ , biết tổng hệ số khai triển 64 c) ( )

n ax x

1

-+ , biết tổng hệ số bậc chẵn khai triển 512 d)

n x

x

6

æ

-ỗ ữ

ố ứ , biết tổng hệ số số hạng thứ hai thứ khai triển 25,5 ĐS: a) 792 b) 240 c) 45a2 d) 1547

1024 Bài 67: Tìm giá trị x cho khai triển

n x

x

2

-ỉ 1

+

ỗ ữ

ỗ ữ

ố ứ , (n số nguyên dương) có số hạng thứ thứ có tổng 135, cịn hệ số ba số hạng cuối khai triển

đó có tổng 22 ĐS: x = 2; x = –1

Baøi 68: Tìm số nguyên dương n cho khai triển

n 3

2

ỉ

+

ỗ ữ

ố ứ t s số hạng thứ số hạng thứ

ĐS: n =

Bài 69: Tìm giá trị x cho khai triển của( x x ) 12

6 - - hiệu số giữa số hạng thứ k+1 số hạng thứ k 30 số mũ x số hạng thứ k gấp đôi số mũ x số hạng thứ k+1

ĐS: x1 ; x2 5

= =

Baøi 70: Với giá trị x, số hạng thứ khai triển x x x

9 lg

1

ổ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ố ứ

bng 3600

Bài 71: Tìm giá trị số thực x, cho khai triển

n x

x x

1

-ổ

ỗ + ữ

ỗ ữ

è ø tổng số hạng thứ thứ 135, tổng hạng tử cuối 22

ĐS:

Baøi 72: Gieo đồng tiền hai lần, xét biến cố A = “ lần xuất mặt sấp ” Tính n(W) n(A)

ĐS:

Baøi 73: Gieo đồng thời ba xúc sắc cân đối, đồng chất Gọi A biến cố ba mặt không giống Tính n(W) n(A)

ĐS:

Bài 74: Gieo xúc sắc hai lần tính xác suất biến cố: a) A : “ tổng số chấm hai lần gieo 8”

b) B : “ tổng số chấm hai lần gieo số chia hết cho ” c) C : “ tổng số chấm hai lần gieo ”

ĐS:

Baøi 75: Gieo xúc sắc hai lần Tính xác suất biến cố:

a) A : “ lần đầu mặt có số chấm lẻ, lần sau mặt có số chấm lớn ” b) B : “ lần số chấm chẵn, lần số chấm lẻ ”

ĐS:

Baøi 76: Cho số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Gọi X tập hợp số gồm hai chữ số khác lấy từ số

trên Lấy ngẫu nhiên số thuộc X Tính xác suất để: a) Sốđó số lẻ

b) Sốđó chia hết cho c) Sốđó chia hết cho

ĐS:

Baøi 77: Một hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ, cân đối, đồng chất Lấy ngẫu nhiên viên Tính xác suất đểđược:

a) viên bi màu xanh b) viên bi màu đỏ c) viên bi màu xanh viên bi màu đỏ

Bài 78: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, có bóng tốt Lấy ngẫu nhiên bóng.Tính xác suất để lấy được:

a) bóng tốt b) bóng tốt

ĐS:

Baøi 79: Một lớp học gồm 20 học sinh có học sinh giỏi Tốn, học sinh giỏi Văn học sinh giỏi mơn GVCN chọn em Tính xác suất để em học sinh giỏi

ĐS:

Bài 80: Một hộp có 20 cầu giống nhau, có 12 cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất để chọn có màu đen

ĐS:

Baøi 81: Một tổ có học sinh nam học sinh nữ GVCN chọn em thi văn nghệ Tính xác suất để em khác phái

ĐS:

Bài 82: Một lớp có 30 học sinh, có em giỏi, 15 em em trung bình Chọn ngẫu nhiên em dựđại hội Tính xác suất để :

a) Cả em học sinh giỏi b) Có học sinh giỏi c) Khơng có học sinh trung bình

Đề thi Đại học

Phần 1: Bài toán đếm

Baøi 1: (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1999) Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

1 Có tập X tập A thoảđiều kiện X chứa khơng chứa

2 Có số tự nhiên chẵn gồm chữ sốđôi khác lấy từ tập A không bắt

đầu 123

ĐS: 1) 64 2) 3348

Baøi 2: (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999)

Một học sinh có 12 sách đơi khác nhau, có sách Tốn, sách Văn sách Anh Hỏi có cách xếp tất sách lên kệ sách dài, sách môn xếp kề nhau?

ĐS: 207360 cách

Baøi 3: (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 1999)

Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Hỏi có cách xếp trường hợp sau:

1 Bất học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường với Bất học sinh ngồi đối diện khác trường với

ĐS: 33177600 cách

Baøi 4: (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999)

Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7} Có thể lập số n gồm chữ số khác đôi từ X (chữ sốđầu tiên phải khác 0) trường hợp sau:

1 n số chẵn

2 Một ba chữ sốđầu tiên phải

ĐS: 1) 3000 2) 2280 số

Baøi 5: (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)

Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ

hộp Hỏi có cách chọn để số bi lấy đủ màu?

ĐS: 645

Baøi 6: (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)

Người ta xếp ngẫu nhiên phiếu có ghi số thứ tự từ đến cạnh Có cách xếp để phiếu số chẵn ln cạnh nhau?

2 Có cách xếp để phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?

ĐS: 1) 48 2) 24

Baøi 7: (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)

Người ta viết chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên phiếu, sau xếp thứ tự ngẫu nhiên thành hàng

1 Có số lẻ gồm chữ sốđược thành? Có số chẵn gồm chữ sốđược thành?

ĐS: 1) 288 2) 312

Baøi 8: (HV Ngân hàng TPHCM 1999)

Xét số gồm chữ số, có năm chữ số bốn chữ số 2, 3, 4, Hỏi có số thế, nếu:

1 Năm chữ số xếp kề Các chữ sốđược xếp tuỳ ý

Có cách xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào ghế dài cho: Bạn C ngồi

2 Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế

ĐS: 1) 24 2) Baøi 10: (HV BCVT 1999)

Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số gồm chữ số khác nhau, cho chữ sốđó có mặt số

ĐS: 21840

Baøi 11: (ĐHQG HN khối B 2000)

Từ chữ số 0, 1, 3, 5, lập số gồm chữ số khác không chia hết cho

ĐS: 54

Baøi 12: (ĐHQG TPHCM khối A 2000)

Một thầy giáo có 12 sách đơi khác có sách Văn, sách Nhạc sách Hoạ Ông muốn lấy tặng cho học sinh A, B, C, D, E, F em

1 Giả sử thầy giáo muốn tặng cho học sinh sách thuộc thể loại Văn Nhạc Hỏi có cách tặng?

2 Giả sử thầy giáo muốn sau tặng sách xong, ba loại sách cịn lại Hỏi có cách chọn?

ĐS: 1) 60480 2) 579600

Baøi 13: (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000)

Một lớp có 30 học sinh nam 15 học sinh nữ Có học sinh chọn để lập tốp ca Hỏi có cách chọn khác nếu:

1) phải có nữ 2) chọn tuỳ ý

ĐS: 1) C C15 302 +C C15 303 +C C15 304 +C C15 305 +C156 2) C456 Baøi 14: (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)

Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Từ chữ sốđã cho ta lập được: Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số bốn chữ sốđó khác đơi

2 Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số ba chữ sốđó khác đơi Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số ba chữ sốđó khác đơi

ĐS: 1) 156 2) 36 3) 16 Bài 15: (ĐH Y HN 2000)

Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ nhà vật lí nam Lập đồn cơng tác người cần có nam nữ, cần có nhà tốn học nhà vật lí Hỏi có cách?

ĐS: 90

Baøi 16: (ĐH Cần Thơ khối D 2000)

Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ta lập số mà số có năm chữ số chữ số

khác đôi Hỏi

1 Có số phải có mặt chữ số

2 Có số phải có mặt hai chữ số

ĐS: 1) 600 2) 480

Baøi 17: (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)

Một đội văn nghệ có 20 người, có 10 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn người cho:

1 Có nam người

2 Có nam nữ người

ĐS: 1) 5400 2) 12900

Baøi 18: (ĐH Thái Nguyên khối D 2000)

đủ chữ số

ĐS: 75594

Baøi 19: (ĐH Thái Nguyên khối G 2000)

Có số gồm chữ số cho tổng chữ số số số lẻ

ĐS: 45000

Baøi 20: (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)

Có viên bi xanh, viên bi đỏ, viên bi vàng có kích thước đơi khác Có cách chọn viên bi, có viên bi đỏ

2 Có cách chọn viên bi, số bi xanh số bi đỏ

ĐS: 1) 7150 2) 3045

Baøi 21: (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)

Có thẻ trắng thẻđen, đánh dấu loại theo số 1, 2, 3, 4, Có cách xếp tất thẻ thành hàng cho hai thẻ màu không nằm liền

ĐS: 5!5! 5!5!+

Baøi 22: (ĐH Sư phạm HN khối A 2000)

Có thể lập số gồm chữ số từ chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, chữ số

1 có mặt lần, chữ số khác có mặt lần

ĐS: 10080

Baøi 23: (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)

Có số khác gồm chữ số cho tổng chữ số số số chẵn

ĐS: 45.105

Baøi 24: (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)

Tìm tất số tự nhiên có chữ số cho sốđó chữ sốđứng sau lớn chữ sốđứng liền trước

ĐS: 126

Baøi 25: (HV Kỹ thuật quân 2000)

Một đồn cảnh sát khu vực có người Trong ngày, cần cử người làm nhiệm vụởđịa điểm A, người địa điểm B, người thường trực đồn Hỏi có cách phân cơng?

ĐS: 1260

Baøi 26: (ĐH GTVT 2000)

Một lớp học có 20 học sinh, có cán lớp Hỏi có cách cử người dự hội nghị Hội sinh viên trường cho người có cán lớp

ĐS: 324

Baøi 27: (HV Quân y 2000)

Xếp viên bi đỏ có bán kính khác viên bi xanh giống vào dãy ô trống Hỏi:

1 Có cách xếp khác nhau?

2 Có cách xếp khác cho viên bi đỏ xếp cạnh viên bi xanh xếp cạnh nhau?

ĐS: 1) 840 2) 36

Baøi 28: (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000) Có số lẻ gồm chữ số, chia hết cho 9?

ĐS: 50000

Baøi 29: (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)

Có số lẻ gồm chữ số khác lớn 500000?

ĐS: 57120

Baøi 30: (CĐSP Nha Trang 2000)

Với số: 0, 1, 2, 3, 4, thành lập số tự nhiên gồm chữ số khác phải có mặt chữ số

Bài 31: (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, có em nam, em nữ Cơ giáo chủ nhiệm muốn chọn nhóm em để tham dự trò chơi gồm em nam em nữ Hỏi có cách chọn?

ĐS: 1260

Baøi 32: (ĐH An ninh khối D 2001)

Cho chữ số 0, 1, 2, 3, Hỏi thành lập số có bảy chữ số từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, cịn chữ số khác có mạt lần

ĐS: 720

Baøi 33: (ĐH Cần Thơ 2001)

Một nhóm gồm 10 học sinh, có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 học sinh thành hàng dài cho học sinh nam phải đứng liền

ĐS: 120960

Bài 34: (HV Chính trị quốc gia 2001)

Một đội văn nghệ có 10 người, có nữ nam

1 Có cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người nhóm có số nữ

2 Có cách chọn người mà khơng có nam

ĐS: 1) 120 2) 66

Bài 35: (ĐH Giao thơng vận tải 2001)

Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Hỏi lập số gồm chữ số khác nhau, thiết phải có mặt chữ số

ĐS: 13320

Baøi 36: (ĐH Huế khối ABV 2001)

Có số tự nhiên gồm chữ số cho khơng có chữ số lặp lại lần?

ĐS: 8676

Baøi 37: (ĐH Huế khối DHT 2001)

Từ nhóm học sinh gồm nam nữ, thầy giáo cần chọn em tham dự lễ mittinh trường với yêu cầu có nam nữ Hỏi có cách chọn?

ĐS: 1260

Baøi 38: (HV Kỹ thuật quân 2001)

Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành tổ, tổ có người cho tổđều có học sinh giỏi tổ có học sinh

ĐS: 3780

Baøi 39: (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)

Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên mà số có chữ số

khác phải có chữ số

ĐS: 1560

Baøi 40: (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)

1 Có thể tìm số gồm chữ số khác đôi một?

2 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số chẵn có chữ sốđơi khác nhau?

ĐS: 1) 648 2) 3000

Baøi 41: (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)

Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập số có chữ số khác mà hai chữ số khơng đứng cạnh nhau?

ĐS: 480

Bài 42: (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Có học sinh nam học sinh nữ xếp thành hàng dọc Hỏi có cách xếp để

ta cách xếp mới)

ĐS: 21600

Baøi 43: (HV Quan hệ quốc tế 2001)

Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số có chữ số mà chữ số

đứng vị trí giữa?

ĐS: 40320

Baøi 44: (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)

1 Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác nhau, có mặt chữ số khơng có mặt chữ số

2 Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt không lần

ĐS: 1) 33600 2) 11340 Baøi 45: (ĐHSP HN II 2001)

Tính tổng tất số tự nhiên gồm chữ số khác đôi lập từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7,

ĐS: 3732960

Baøi 46: (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001) Cho A hợp có 20 phần tử Có tập hợp A?

2 Có tập hợp khác rỗng A mà có số phần tử số chẵn?

ĐS: 1) 220 2) 219-1

Baøi 47: (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)

1 Có số chẵn có ba chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, Có số có ba chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, mà

các sốđó nhỏ số 345

ĐS: 1) 24 2) 50 Baøi 48: (ĐH Văn Lang 2001)

Một lớp có 10 học sinh nam 10 học sinh nữ Cần chọn học sinh để làm công tác “Mùa hè xanh” Hỏi có cách chọn học sinh phải có nhất:

1 Hai học sinh nữ hai học sinh nam Một học sinh nữ học sinh nam

ĐS: 1) 10800 b) 15000 Baøi 49: (ĐH Y HN 2001)

Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số chẵn có ba chữ số khác không lớn 789?

ĐS: 171

Baøi 50: (ĐH khối D dự bị 2002)

Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, có học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có em chọn

ĐS: 41811

Baøi 51: (ĐH khối A 2003 dự bị 2)

Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên mà số có chữ số

khác chữ số đứng cạnh chữ số

ĐS: 192

Baøi 52: (ĐH khối B 2003 dự bị 1)

Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 lập số tự nhiên mà số có chữ số thoả mãn điều kiện: sáu chữ số số khác số tổng chữ

sốđầu nhỏ tổng chữ số cuối đơn vị

ĐS: 108

Từ tổ gồm học sinh nữ học sinh nam cần chọn em số học sinh nữ

phải nhỏ Hỏi có cách chọn vậy?

ĐS: 462

Baøi 54: (ĐH khối D 2003 dự bị 1)

Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập số tự nhiên chẵn mà số

gồm chữ số khác nhau?

ĐS: 90720

Baøi 55: (CĐ Sư phạm khối A 2002) Tìm số giao điểm tối đa của: a) 10 đường thẳng phân biệt b) đường tròn phân biệt

2 Từ kết câu 1) suy số giao điểm tối đa tập hợp đường nói

ĐS: 1a) 45 1b) 30 2) 195 Baøi 56: (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bị)

Cho đa giác lồi n cạnh Xác định n đểđa giác có sốđường chéo gấp đôi số cạnh

ĐS: n=7

Baøi 57: (CĐ Xây dựng số – 2002)

Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số khác nhỏ 245

ĐS: 20

Baøi 58: (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002)

Từ chữ số 0, 1, 2, 5, lập số lẻ, số gồm chữ số khác

ĐS: 54

Bài 59: (ĐH khối B 2004)

Trong mơn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ khơng

ĐS: 56875

Baøi 60: (ĐH khối B 2005)

Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ

ĐS: 207900

Baøi 61: (ĐH khối A 2005 dự bị 1)

Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn

ĐS: 1440

Baøi 62: (ĐH khối B 2005 dự bị 1)

Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam nữ Hỏi có cách lập nhóm

đồng ca gồm người, biết nhóm phải có nữ

ĐS: 3690

Baøi 63: (ĐH khối B 2005 dự bị 2)

Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên, số gồm chữ số

khác thiết phải có chữ số 1,

ĐS: 1200

Baøi 64: (ĐH khối D 2006)

Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn vậy?

Baøi 65: (CĐ GTVT III khối A 2006)

Từ nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, học sinh khối C, chọn 15 học sinh cho có học sinh khối A học sinh khối C Tính số cách chọn

ĐS: 51861950

Baøi 66: (CĐ Tài – Hải quan khối A 2006)

Có số tự nhiên gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần hai chữ số lại phân biệt?

ĐS: 1008

Baøi 67: (CĐ Xây dựng số khối A 2006)

Có số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng tất sốđó

ĐS: 2210

Bài 68: (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Cho đường thẳng d1, d2 song song với Trên đường thẳng d1 cho 10 điểm phân biệt,

trên đường thẳng d2 cho điểm phân biệt Hỏi lập tam giác mà đỉnh

của tam giác lấy từ 18 điểm cho

ĐS: 640

Baøi 69: (ĐH 2012B)

Trong lớp học gồm có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ

ĐS: P 11075 443 12650 506

= =

Baøi 70: (ĐH 2013A)

Gọi S tập tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để sốđược chọn số chẵn

ĐS: P 90 210

= =

Bài 71: (ĐH 2013B)

Có hai hộp chứa bi Hộp thứ chứa viên bi đỏ viên bi trắng, hộp thứ hai chứa viên bi đỏ viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi, tính xác suất để

2 viên bi lấy màu

ĐS: P 20 10 42 21

= =

Baøi 72: ()

Phần 2: Biểu thức tổ hợp

Bài 1: (CĐSP TPHCM 1999)

Tìm số tự nhiên k thoả mãn hệ thức: C14k +C14k+2=2C14k+1

ĐS: k=4;k=8

Bài 2: (ĐHDL Kỹ thuật cơng nghệ khối D 1999)

Tính tổng: C106 +C107 +C108 +C109 +C1010, Cnk số tổ hợp chập k n phần tử

ĐS: 386

Baøi 3: (ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999)

Tìm số nguyên dương x thoả: Cx1+6Cx2+6Cx3 =9x2-14x

ĐS: x=7

Baøi 4: (ĐH Bách khoa HN 1999)

Tính tổng: S = Cn1-2Cn2+3Cn3-4Cn4+ + - ( 1) n-1nCnn, n số tự nhiên lớn

ĐS: S=0

Baøi 5: (ĐHQG HN khối A 2000)

Chứng minh rằng: C2001k +C2001k+1 £C10002001+C10012001, (trong k nguyên, ≤ k ≤ 2000) HD: Chứng tỏ C2001k <C2001k+1,k =0,1,2, ,999

Baøi 6: (ĐHQG HN khối B 2000)

Tìm số hạng khơng chứa x khai triển biểu thức sau: x x

17 3

1

ổ

ỗ + ữ

ỗ ữ

è ø

, x ≠

ĐS: C178

Baøi 7: (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000) Giải bất phương trình: A x Ax Cx

x

2

2

1 6 10

2 - £ +

ĐS: x=3;x=4

Baøi 8: (ĐHSP HN khối A 2000) Trong khai triển nhị thức

n x x x

28 -15

ổ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ố ứ

, hóy tìm số hạng khơng phụ thuộc vào x, biết

n n n

n n n

C +C -1+C -2 =79

ĐS: C127 =792

Baøi 9: (ĐHSP HN khối BD 2000)

Biết tổng tất hệ số khai triển nhị thức (x2 + 1)n 1024, tìm hệ số a (a số

tự nhiên) số hạng ax12 khai triển

ĐS: C106 =210

Bài 10: (ĐHSP TPHCM khối DE 2000)

Tính tổng: S = Cn Cn Cn Cnn n 1

2

+ + + +

+

ĐS: S n n

1

2

1 + -=

+

Chứng minh: 2n-1 1Cn+2n-1 2Cn +2n-3 3Cn+2n-4 4Cn + + nCnn =n.3n-1 HD: Lấy đạo hàm biểu thức (1+x)n, thay x

2

=

Bài 12: (ĐH Nơng nghiệp I khối A 2000)

Tìm hệ số x31 khai triển f(x) = x x

40

ỉ

+

ỗ ữ

ố ứ

ĐS:

Baøi 13: (ĐH Thuỷ lợi 2000)

Chứng minh với số nguyên n ≥ 2, ta ln có:

n n

n A22 A32 A42 A2

1 1 -1

+ + + + =

HD: Dùng phương pháp quy nạp Baøi 14: (ĐH Thuỷ lợi II 2000)

Cho đa thức P x( ) (1= +x)9+ +(1 x)10+ + + (1 x)94 có dạng khai triển là: P x( )=a0+a x a x1 + 2 2+¼+a x14 14

Hãy tính hệ số a9

ĐS: a9=3003

Baøi 15: (ĐH Y Dược TPHCM 2000)

Với n số nguyên dương, chứng minh hệ thức sau: Cn0+Cn1+Cn2+ + Cnn = 2n

2 C12n+C23n+C25n+ + C22 1nn- = C20n+C22n+C24n+ + C22nn HD: 1) Xét (1+x)n với x=1 2) Xét (1-x)2n với x=1 Baøi 16: (ĐH An ninh nhân dân khối DG 2000)

Tính tổng: S = C20000 +2C20001 +3C20002 + + 2001C20002000

ĐS: i i

i i

S 2000C2000 2000iC2000 2000

0

1001.2

= =

= å + å =

Baøi 17: (HV Kỹ thuật quân 2000)

Khai triển đa thức: P x( ) (1 )= + x 12 thành dạng: P x( )=a0+a x a x1 + 2 2+¼+a x12 12 Tìm max( ,a a1 2, ,¼ a12)

ĐS: max( ,a a1 2, ,¼ a12)=a8=C128 28=126720 Baøi 18: (ĐH Cảnh sát nhân dân khối A 2000)

Tính tích phân: I = x x ndx

2

(1- )

ị (n Ỵ N*) Từđó chứng minh rằng:

n n

n n n n n

C C C C C

n n

0

1 1 ( 1)

2 2( 1) 2( 1)

+ - + + =

+ +

ĐS: Đặt t= -1 x2 Þ I n

1 2( 1) =

+

Baøi 19: (CĐ Cảnh sát nhân dân khối A 2000)

Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức: (x+1)4+(x+1)5+(x+1)6+(x+1)7

Baøi 20: (ĐH An Ninh khối A 2001)

Tìm số âm dãy số x x1, , ,2 ¼ xn,¼ với n n

n n

A x

P P

4

143 + +

= - (n = 1, 2, 3, …)

ĐS: xn 19 n n 1;n

2

< Û - < < Û = =

Baøi 21: (ĐH An ninh nhân dân khối A 2001)

Chứng minh với n số tự nhiên, n ≥ 2, ta có:

n A22 A32 A2 + + +

= n n

1

-

ĐS: Chú ý:

k k k k k

A2

1 1

( 1)

= =

- Cho k =2,3, ta đpcm Baøi 22: (ĐH Bách khoa HN khối AD 2001)

Giải hệ phương trình:

y y

x x

y y

x x

A C A C

2 90

5 80

ì + =

ï í

- =

ïỵ

ĐS: (x=5;y=2)

Bài 23: (ĐH Dân lập Duy Tân khối A 2001) Tính tích phân: I = x 6dx

0

( +2) ị

2 Tính tổng: S = C C C C C C C

6

0

6 6 6 6

2 2 2

1 + + + + +6 +7

ĐS: S I 37 27

-= -=

Baøi 24: (ĐH Đà Lạt khối D 2001)

Chứng minh với số x ta có: xn = n n nk k k

C x

1 (2 1) =

-å (n Î N) (*) HD: Đặt u=2x-1 Chứng tỏ VT=VP

Baøi 25: (ĐH Đà Nẵng khối A 2001)

Với n số tự nhiên, tính tổng:

S Cn Cn Cn Cn Cnn n

n

0 1.2 2.2 3.2 .2

2

= + + + + +

+

ĐS: S x ndx= n n

2

0

1 ( 1)

2 2( 1)

+

-= +

+

ị

Bài 26: (ĐH Hàng hải 2001)

Chứng minh: C20n+C22n.32+C24n.34+ + C22nn.32n=22 2n- (2 n+1) HD: Xét (1 3)+ 2n+ -(1 3)2n

Baøi 27: (ĐH Luật TPHCM khối A 2001)

Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 1, ta có:

Cn1.3n-1+2 .3Cn2 n-2+3 .3Cn3 n-3+ + n C nn =n.4n–1 HD: Xét f x( ) (= x+3)n Tính f x¢( ) với x=1

Trong khai triển x 10 3

æ

+

ỗ ữ

ố ứ thnh đa thức: a0+a x a x1 + 2 2+¼+a x9 9+a x10 10 (akỴR)

hãy tìm hệ số ak lớn (0 ≤ k ≤ 10)

ĐS: ak 1 ak k 22

- £ Û £ Þ a7=3110C107.27 lớn Bài 29: (ĐH Vinh khối AB 2001)

Cho n số nguyên dương cố định Chứng minh Cnk lớn k số tự nhiên lớn không vượt n

2 +

HD:

k

k k n

n n k

n

C n

C C k

C

1

1

2

-+

> Û > Û <

Baøi 30: (ĐH Vinh khối DTM 2001)

Chứng minh rằng: C20010 +32 2C2001+34 4C2001+ + 32000 2000C2001 =22000 2001(2 -1) HD: Xét (x+1)2001+ - +( x 1)2001 với x=3

Baøi 31: (ĐH Y Dược TPHCM 2001)

Cho k n số nguyên thoả mãn: ≤ k ≤ n Chứng minh rằng: C2nn k+ C2nn k- £( )C2nn HD: Đặt ak =C2nn k+ C2nn k- (0£ £k n) Chứng minh a0>a1>a2> > an

Baøi 32: (ĐH khối A 2002) Cho khai triển nhị thức:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

n n n

x x

x x x

n n

n n

x x

x

n n

n n

C C

C C

1

1 1

0

3

2 2

1

1 2 3 3

2 2 2

2 2

-

-+ = + + +

+ +

(n số nguyên dương) Biết khai triển Cn3=5C1n số hạng thứ tư 20 Tìm n x

ĐS: n=7;x=4 Bài 33: (ĐH khối B 2002)

Cho đa giác A1A2…A2n (n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O) Biết số tam giác

có đỉnh 2n điểm A1, A2, …, A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh

là 2n điểm A1, A2, …, A2n Tìm n?

ĐS: C23n =20Cn2Û =n 8 Bài 34: (ĐH khối D 2002)

Tìm số nguyên dương n cho: Cn0+2C1n+4Cn2+ + 2n nCn = 243

ĐS: PT Û 3n =243Û =n 5 Bài 35: (ĐH dự bị 2002)

Tìm số n nguyên dương thoả mãn bất phương trình: An3+2Cnn-2 ≤ 9n

Baøi 36: (ĐH dự bị 2002)

Giả sử n số nguyên dương (1+x)n =a0+a x a x1 + 2 2+¼+a xk k +¼+a xn n Biết tồn số k nguyên (1 ≤ k ≤ n – 1) cho ak ak ak

2- = = 24+ Hãy tính n

ĐS: HPT Û

n k

n k

2 11

11

ì = +

ï

í

-ï = ỵ

Û 3n- =8 2n+ Û =2 n 10

Baøi 37: (ĐH dự bị 2002)

Gọi a1, a2, …, a11 hệ số khai triển sau:

(x+1) (10 x+2)=x11+a x1 10+a x2 9+¼+a11 Hãy tính hệ số a5

ĐS: a5=C105 +2C104 =672 Bài 38: (ĐH khối A 2003)

Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Newton

n x x

5

ổ

+

ỗ ữ

è ø , biết rằng:Cnn++14-Cnn+3=7(n+3)(n nguyên dương, x > 0)

ĐS: n=12 Þ Hệ số x8 C124 =495 Baøi 39: (ĐH khối B 2003)

Cho n số nguyên dương Tính tổng:

n

n

n n n n

S C C C C

n

2

0 1 2

2

+

- -

-= + + + +

+

ĐS:

n n

n S x dx=

n

2 1

1

3

(1 )

1 + - +

= +

+

ị

Bài 40: (ĐH khối D 2003)

Với n số nguyên dương, gọi a3 –3n hệ số x3 –3n khai triển thành đa thức

n n

x2 x

( +1) ( +2) Tìm n để a3 –3n =26n

ĐS: ta có: (x2+1)n =C xn0 2n+C xn1 2n- + + Cnn; (x+2)n =C xn0 n+2C x1n n-1+ + 2n nCn Kiểm tra với n=1;n=2 khơng thoảđk tốn

Với n³3 x3 –3n =x x2n n–3 =x2 –2n xn–1 Do hệ số x3 –3n khai triển đa thức (x2+1) (n x+2)n là: a3 3n- =23 0C Cn n3+2C C1 1n n Û n=5

Baøi 41: (ĐH khối D 2003 dự bị 2)

Tìm số tự nhiên n thoả mãn: C Cn n2 n-2+2C Cn n2 3+C Cn n3 n-3 = 100

ĐS: n=4

Baøi 42: (CĐ Xây dựng số – 2002)

Chứng minh với số nguyên dương n ta có: C21n+C23n+C25n+ + C22 1nn- =C20n+C22n+C24n+ + C22nn HD: Xét (x+1)2n với x= -1

1 Giải phương trình: C1x+6Cx2+6C3x =9 –14x2 x

2 Chứng minh rằng: C201 +C203 +C205 + + C1720+C1920 =219

ĐS: 1) x=2 2) Áp dụng Cnk+1=Cnk-1+Cnk Cn0=1 Baøi 44: (CĐ khối AD 2003)

Chứng minh rằng: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ nPn = Pn+1 –

HD: Dùng quy nạp

Bài 45: (CĐ Giao thơng II 2003)

Chứng minh với số nguyên dương n ≥ 2, ta có:

n n n n n n C C C

n

1 1 2

1

-ỉ -

£ ç ÷

-è ø

HD: Do Cn0 =Cnn=1 nên ta có: C C Cn n0 nn=C C Cn n1 nn-1 Áp dụng BĐT Cơsi ta có:

n n

n n n n

n n n

C C C C C C

n

1

1

1 2

1

Êổỗ + + + ửữ

-è ø

Áp dụng khai triển (a + b)n = n nk k n k k

C a b

-=

å với a = b = 1, ta có: Cn0+Cn1+Cn2+ + Cnn = 2nÞ Cn1+Cn2+ + Cnn-1 = 2n –

Suy ra:

n n n

n n n C C C

n

1 2 2

1 £ çỉ - ư÷

-è ø (đpcm) Bài 46: (CĐ Giao thơng III 2003)

1 Tính tổng: S = C1n-2Cn2+3Cn3-4Cn4+ + - ( 1)n-1nCnn (n > 2) Tính tổng: T = Cn Cn Cn Cnn

n 1

2

+ + + +

+

biết n số nguyên dương thoảđiều kiện: Cnn+Cnn-1+Cnn-2 =79

ĐS: 1) Xét f x( ) (1= +x)n S f= ¢( 1) 0- = 2) T x dx=n n

n

1

0

2

(1 )

1 +

-= +

+

ò ; Cnn+Cnn-1+Cnn-2 =79 Û n=12 Þ T 213 13

-=

Baøi 47: (CĐ Tài kế tốn IV 2003)

Chứng minh rằng: C C20 nk-2+C C12 nk--21+C C22 nk--22 =Cnk (với n, k Î Z+;n ≥ k + 2) HD: Dùng công thức Pascal

Bài 48: (CĐ Tài kế tốn IV 2003 dự bị) Giải bất phương trình: ( !)n C C C3 nn 2nn 3nn£720

ĐS: BPT Û (3 )! 720 6!n £ = Û £ £0 n 2 Bài 49: (CĐ Cơng nghiệp HN 2003)

Cho đa thức: P x( ) (16 –15)= x 2003 Khai triển đa thức dạng: P x( )=a0+a x a x1 + 2 2+¼+a2003x2003

Tính tổng S a= 0+ +a a1 2+¼+a2003

ĐS: S P(1) 1= =

Bài 50: (CĐ Khí tượng thuỷ văn khối A 2003)

ĐS: n=5

Bài 51: (CĐ Nơng Lâm 2003)

Tìm hệ số lớn đa thức khai triển nhị thức Newton của: x 15 3

ổ +

ỗ ữ

ố ø

ĐS: ak 115C15k k2

= ; ak 1 ak k 32

3

- < Û < Þ k=10 Þ a

10 10 3003.215

3

=

Baøi 52: (CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003)

Hãy khai triển nhị thức Newton (1 – x)2n, với n số nguyên dương Từđó chứng minh rằng: 1C21n+3C23n+ + (2n-1)C22 1nn- =2C22n+4C24n+ + 2nC22nn

HD: Xét f x( ) (1= -x)2n T f =(1) 0 ị đpcm Bài 53: (ĐH khối A 2004)

Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức éë1+x2(1– )x ùû8

ĐS: a8=C C8 33 +C C84 40=238 Baøi 54: (ĐH khối D 2004)

Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Newton của: x x

7

4

ổ

+

ỗ ÷

è ø với x >

ĐS: C74 =35

Baøi 55: (ĐH khối A 2005)

Tìm số nguyên dương n cho:

C2 11n+ -2.2C2 12n+ +3.22 3C2 1n+ -4.23 4C2 1n+ + + (2n+1).22nC2 12 1nn++ = 2005

ĐS: Xét f x( ) (1= +x)2 1n+ VT f= Â( 2)- ị n=1002 Baứi 56: (ĐH khối D 2005)

Tính giá trị biểu thức: M = An An n

4

1 (+ 1)!

+

+ , biết Cn Cn Cn Cn

2 2

1 2

+ + + + + + + = 149

ĐS: n=5 Þ M

=

Baøi 57: (ĐH khối A 2005 dự bị 2)

Tìm hệ số x7 khai triển đa thức (2 –3 )x 2n, n số nguyên dương thoả

mãn: C2 11n+ +C2 13n+ +C2 15n+ + + C2 12 1nn++ =1024

ĐS: Xét f x( ) (1= +x)2 1n+ VT (1) ( 1)f f

2é ù

= ë - - û Þ 2n=10 Þ hệ số x7 -C107 33 Baøi 58: (ĐH khối D 2005 dự bị 1)

Tìm k Ỵ {0; 1; 2; …; 2005} cho C2005k đạt giá trị lớn

HD: C2005k lớn Û Ckk Ckk k N C C

1 2005 2005

1 2005 2005

( ) +

-ì ³

ù ẻ

ớ

ùợ

k k k k

k k k k

2005! 2005! !(2005 )! ( 1)!(2004 )!

2005! 2005! !(2005 )! ( 1)!(2006 )! ì

³

ïï - +

-í

ï ³

- -

-ïỵ

Û ì + ³í2006k 2005k k-k - ³

ỵ Û

k

k 10021003 ì ³ í £

Baøi 59: (ĐH khối D 2005 dự bị 2)

Tìm số nguyên n > thoả mãn đẳng thức: 2Pn + 6An2-P An n2 = 12

ĐS: n=2;n=3 Baøi 60: (ĐH khối A 2006)

Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển nhị thức Newton

n x x

7

ổ

+

ỗ ÷

è ø , biết rằng: C12 1n+ +C2 12n+ + + C2 1nn+ =220-1

ĐS: Từ giả thiết suy ra: C2 10n+ +C2 11n+ +C2 12n+ + + C2 1nn+ =220 (1) Vì C2 1kn+ =C2 12 1nn++ -k, "k, ≤ k ≤ 2n + nên:

C2 10n C2 11n C2 12n C2 1nn 1(C2 10n C2 11n C2 12n C2 12 1nn )

2 +

+ + + + + + + + = + + + + + + + + (2) Từ khai triển nhị thức Newton (1 + 1)2n+1 suy ra:

C2 10n+ +C2 11n+ +C2 12n+ + + C2 12 1nn++ = +(1 1)2 1n+ =22 1n+ (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: 22n = 220 Û n = 10

Ta có: k k( )k k k

k k

x C x x C x

x

10 10 10

7 10 11 40

10 10

4

0

1 ( - ) -

-= =

ỉ

+ = =

ỗ ữ

ố ứ ồ ồ

Hệ số x26 C10k với k thoả mãn: 11k–40 = 26 Û k =

Vậy hệ số x26 C106 = 210 Baøi 61: (ĐH khối B 2006)

Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số

tập gồm phần tử A Tìm kỴ{1,2,…, n} cho số tập gồm k phần tử A lớn

ĐS: Cn4 =20Cn2Û =n 18 Từ

k k C

k C

1 18

18

1

+

> Û < , nên C181 <C182 < < C189 Þ C189 >C1810> > C1818 Vậy số tập gồm k phần tử A lớn k =9 Bài 62: (CĐ Bán cơng Hoa Sen khối A 2006)

Giải hệ phương trình:

x x y y x x y y C C C A

2 :

3 :

24 + ì

= ï

í

ï =

ỵ

ĐS: (x=4;y=8)

Bài 63: (CĐ KT–KT Cần Thơ khối AB 2006) Tìm số tự nhiên n cho: n n n

C4 C5 C6 - =

ĐS: n=2

Bài 64: (CĐ Sư phạm TPHCM khối A 2006) Tính tổng S =

n

n n n n

n

C C C n C

A A A A

0

1 1

1

1 ( 1)

+ +

+ + + + , biết rằng: Cn0+Cn1+Cn2=211

Baøi 65: (CĐ Sư phạm TPHCM khối BT 2006)

Khai triển biểu thức (1–2 )x n ta đa thức có dạng: a0+a x a x1 + 2 2+¼+a xn n Tìm hệ số x5, biết a0+ +a a1 2 =71

ĐS: n=7;a5= -672

Baøi 66: (CĐĐiện lực TPHCM 2006)

Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức

n x

x

3

ỉ

+

ỗ ữ

ố ứ , bit rng: Cn Cn n

1+ 3=13 (n số tự nhiên lớn 2, x số thực khác 0)

ĐS: T5 =210

Baøi 67: (CĐ Kinh tế TPHCM 2006)

Tìm n Ỵ N cho: C4 20n+ +C4 22n+ +C4 24n+ + + C4 22nn+ =256

ĐS: Ta có: C4 20n+ +C14 2n+ +C4 22n+ + + C4 24 2nn++ =24 2n+ C4 20n+ +C4 22n+ +C4 24n+ + + C4 24 2nn++ =24 1n+ C4 20n+ +C4 22n+ +C4 24n+ + + C4 22nn+ =24n Vậy có: 24n = 256 Û n =

Khi n = S2 = C100 +C102 +C104 = 256 Vậy Sn = 256 Û n =

Baøi 68: (CĐ Kinh tếđối ngoại khối AD 2006)

Cho A = x x

x x

20 10

3

1

ỉ ỉ

- +ỗ - ữ

ỗ ữ ố ứ

è ø Sau khai triển rút gọn biểu thức A gồm số hạng?

ĐS: A = k k k( )k n n ( ) k( )n

k n

C x x C x x

20 20 2 10 3 10 1

20 10

0

( 1) - - ( 1) -

-= =

- +

-å å

= ( )k k k ( )n n n

k n

C x C x

20 20 3 10 30 4

20 10

0

1 -

-= =

- +

-å å

Xét trường hợp 20 – 3k = 30 – 4n Û 10 – n = 3(n – k)

Vì ≤ n ≤ 10 10 – n phải bội số nên n = hay n= hay n= 10 Þ có số hạng hai khai triển có luỹ thừa x giống

Vậy sau khai triển rút gọn biểu thức A gồm: 21 + 11 – = 29 số hạng Baøi 69: (CĐ KT Y tế I 2006)

Tìm số tự nhiên n thoả mãn đẳng thức sau:

C20n+C22 2n3 + + C22nk32k + + C22 2 2nn- n- +C22nn32n =2 (215 16+1)

ĐS: Ta có: 42n = (1 + 3)2n = C20n+C21 1n3 +C22 2n3 + + C22 1nn- n- +C22nn32n 22n = (1 – 3)2n = C20n-C21 1n3 +C22 2n3 - - C22 1nn- n- +C22nn32n

Þ 42n + 22n = ( n n)

n n n

C20 C22 C22

2 + + + Þ 42n + 22n = 2.215(216 + 1)

Þ (22n – 216)(22n + 216 + 1) = Þ 22n = 216 Þ n =

Baøi 70: (CĐ Xây dựng số 2006)

Chứng minh: Cn03n-Cn13n-1+ + - ( 1)n nCn =Cn0+Cn1+ + Cnn HD: Lưu ý: (3 1)- n =2n (1 1)+ n =2n Þ đpcm

Giải bất phương trình: 2Cx2+1+3Ax2-20 0<

ĐS: x=2

Baøi 72: (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Tìm hệ số x y29 khai triển ( – )x3 xy15

ĐS: C158 =6435

Baøi 73: (CĐ Sư phạm TPHCM khối DM 2006)

Khai triển biểu thức (1–2 )x n ta đa thức có dạng: a0+a x a x1 + 2 2+¼+a xn n Tìm hệ số x5, biết a0+ +a a1 2=71

ĐS: n=7;a5= -672 Baøi 74: (ĐH 2007A)

Chứng minh rằng: C n C n C n C nn n

n n

2

1

2 2

1 1

2 -

-+ + + + =

+

HD: Tính 1 x 2n x 2ndx

(1 ) (1 )

+

-ị cách

Bài 75: (ĐH 2007B)

Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển nhị thức Newton (2+x)n, biết:

n n n n n n

n n n n n

C0 1C 2C 3C C

3 -3 - +3 - -3 - + + - ( 1) =2048

ĐS: VT = -(3 1)n =2n Þ n=11 a10=C1110.2 22= Bài 76: (ĐH 2007D)

Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức x(1 )- x 5+x2(1 )+ x 10

ĐS: Hệ số x5 khai triển x(1 )- x 5 là: ( 2) - 4C54 Hệ số x5 khai triển x2(1 )+ x 10 là: 33 3C10 Þ a5 = -( 2) 4C54+33 3C10=3320

Baøi 77: (ĐH 2008A)

Cho khai triển (1 )+ x n=a0+a x1 + + a xn n, n NỴ * hệ số a a0 1, , ,an

thoả mãn hệ thức a0 a1 ann 4096

2 2

+ + + = Tìm số lớn số a a0 1, , ,an

ĐS: Đặt f x( ) (1 )= + x n =a0+a x1 + + a xn n Þ a a1 ann f n

0 2 12

2

ỉ

+ + + = ỗ ữ=

ố ứ ị n=12

Từ k

k a

k

a +1< Û £1 7 kk a

k

a +1 > Û >1 7 Þ Số lớn a C 8

8=2 12 =126720 Baøi 78: (ĐH 2008B)

Chứng minh k k k

n n n

n

n C C C

1

1 1

2 +

+ +

ỉ

+ + =

ỗ ữ

ỗ ữ

+ è ø

ĐS: VT k n k VP n

!( )! !

-= =

Baøi 79: (ĐH 2008D)

ĐS:

n n

n VT (1 1)2 (1 1)2 22

2

-+

-= = Þ n=6

Bài 80: (CĐ 2008)

Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Newton x x x

18

1

2 ( 0)

æ

+ >

ỗ ữ

ố ứ

ĐS: T16 =6528 Baøi 81: (ĐH 2012A)

Cho n số nguyên dương thoả mãn 5Cnn-1=Cn3 Tìm số hạng chứa x5 khai triển nhị

thức Newton

n nx x

x

1 , ( 0) 14

ỉ

-

ỗ ữ

ố ứ

ĐS: n=7; Số hạng chứa x5 35x5 16

-

Baøi 82: