1. Trang chủ
  2. » Nghệ sĩ và thiết kế

Tải Giải bài tập Toán 11 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học - Giải bài tập môn Toán lớp 11

6 20 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 6
Dung lượng 134,13 KB

Nội dung

Số đoạn thẳng (cả cạnh và đường chéo) trong một đa giác lồi n cạnh là Cn2 đoạn thẳng. Suy ra số đường chéo của đa giác lồi có n cạnh là:.[r]

(1)

Giải tập Tốn 11 Giải tích: Phương pháp quy nạp toán học Bài (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh với n N*, ta có các∈ đẳng thức:

Lời giải: a Với n = 1, ta có:

VT = – = VP = (3 + 1)/2

Vậy VT = VP (1) với n =

Giả thiết (1) với n = k ≥ nghĩa là:

2 + + + …+3k – = k(3k+1)/2 (1a)

Ta chứng minh (1a) với n = k + nghĩa chứng minh:

Vậy (2) với n =

Giả sử đẳng thức với n = k, tức là:

(2) với n = k + Vậy với n

N* ∈

Vậy (3) với n =

*giả sử đẳng

(2)

Ta phải chứng

minh (3a) n = k + + Ta cộng vế (3) cho (k + 1)2

Vậy đẳng thức với n = k + Do đó, đẳng thức với n N*∈

Bài (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với n N*∈

a n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3.

b 4n + 15n – chia hết cho c n3 + 11n chia hết cho 6.

Lời giải:

Đặt An = n3 + 3n2 + 5n

+Ta có: với n =

A1 = + + = chia hết + giả sử với n = k ≥ ta có:

Ak = (k3 + 3k2 + 5k) chia hết (giả thiết quy nạp)

+Ta chứng minh Ak + chia hết

Thật vậy, ta có:

A(k + 1) = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)

= k3 + 3k2 + 3k + + 3k2 + 6k + + 5k + 5

(3)

Theo giả thiết quy nạp Ak chia hết 3, 9(k + 1) chia hết Nên An = n3 + 3n2 + 5n chia hết cho với n N*∀ ∈

b 4n + 15n – chia hết cho 9

đặt An = 4n + 15n –

với n = => A1 = + 15 – = 18 chia hết + giả sử với n = k ≥ ta có:

Ak = (4k + 15k – 1) chia hết (giả thiết quy nạp)

+Ta chứng minh: Ak+1 chia hết Thật vậy, ta có:

Ak+1 = (4k+1 + 15(k + 1) – 1) = 4k.41 + 15k + 15 –

= (4k + 15k – 1) + (3.4k + 15) = A

k + 3(4k + 5)

Theo giả thiết quy nạp Ak chia hết 9, nữa:

3(4k + 5) chia hết ( chứng minh tương tự) k≥ nên Ak+1 chia hết 9∀

Vậy An = 4n + 15n – chia hết cho n N*∀ ∈

c n3 + 11n chia hết cho 6.

Đặt Un = n3 + 11n

+ Với n = => U1 = 12 chia hết

+ giả sử với n = k ≥ ta có:

Uk = (k3 + 11k) chia hết (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh: Uk+1 chia hết

Thật ta có:

Uk+1 = (k + 1)3 + 11(k +1) = k3 + 3k2 + 3k + + 11k + 11

= (k3 + 11k) + 3k

2 + 3k + 12 = Uk + 3(k2 + k + 4)

(4)

Uk chia hết 6, 3(k2 + k + 4) = 3(k(k+1)+4) chia hết k≥ (2 số liên∀

tiếp nhân với chia hết cho 2)

Do đó: Uk+1 chia hết

Vậy: Un = n3 + 11n chia hết cho n N*∀ ∈

Bài (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có bất đẳng thức:

a 3n > 3n + 1

b 2n+1 > 2n + 3

Lời giải:

a.3n > 3n + (1)

+ Với n = (1) <=> >

Luôn x =

+ giả thiết mệnh đề (1) n = k ≥ 2, nghĩa 3k > 3k +

Ta chứng minh (1) n = k + nghĩa chứng minh: 3k+1 = 3.3k > 3(3k + 1) (theo giả thiết)

3(3k + 1) = 9k + = 3(k +1) + 6k > 3(k + 1) (vì k > 2) Vậy 3k+1 >3(k + 1) + 1

Mệnh đề với n = k + 1, với n ≥ b 2k+1 > 2n + 3

+Với n = 2, ta có: 23 = > 2.2 + = 7

Vậy mệnh đề x =

+ giả thiết mệnh đề n = k ≥ 2, nghĩa 2k+1 > 2k + (2)

(5)

Nhân hai vế (2) cho 2, ta được:

2k+1.2 = 2k+1 > 2(2k + 3) = 4k + = 2k + (2k + 6) (3)

Mà k ≥ => 2k + = 2.2 + = 10 > (3) => 2k+1 > 2k + (2)

Mệnh đề với n = k + nên n N*.∀ ∈ Bài (trang 83 SGK Đại số 11):

a Tính S1, S2, S3

b Dự đốn cơng thức tính tổng Sn chứng minh quy nạp

Lời giải:

Ta chứng minh đẳng thức (1) quy nạp

Với n = (1)

Giả sử (1) với n = k, ta có:

Vậy (1) với n = k + 1, với n ∈ N*

(6)

Lời giải:

Ngày đăng: 31/12/2020, 19:03

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w