Số đoạn thẳng (cả cạnh và đường chéo) trong một đa giác lồi n cạnh là Cn2 đoạn thẳng. Suy ra số đường chéo của đa giác lồi có n cạnh là:.[r]
(1)Giải tập Tốn 11 Giải tích: Phương pháp quy nạp toán học Bài (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh với n N*, ta có các∈ đẳng thức:
Lời giải: a Với n = 1, ta có:
VT = – = VP = (3 + 1)/2
Vậy VT = VP (1) với n =
Giả thiết (1) với n = k ≥ nghĩa là:
2 + + + …+3k – = k(3k+1)/2 (1a)
Ta chứng minh (1a) với n = k + nghĩa chứng minh:
Vậy (2) với n =
Giả sử đẳng thức với n = k, tức là:
(2) với n = k + Vậy với n
N* ∈
Vậy (3) với n =
*giả sử đẳng
(2)Ta phải chứng
minh (3a) n = k + + Ta cộng vế (3) cho (k + 1)2
Vậy đẳng thức với n = k + Do đó, đẳng thức với n N*∈
Bài (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với n N*∈
a n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3.
b 4n + 15n – chia hết cho c n3 + 11n chia hết cho 6.
Lời giải:
Đặt An = n3 + 3n2 + 5n
+Ta có: với n =
A1 = + + = chia hết + giả sử với n = k ≥ ta có:
Ak = (k3 + 3k2 + 5k) chia hết (giả thiết quy nạp)
+Ta chứng minh Ak + chia hết
Thật vậy, ta có:
A(k + 1) = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + + 3k2 + 6k + + 5k + 5
(3)Theo giả thiết quy nạp Ak chia hết 3, 9(k + 1) chia hết Nên An = n3 + 3n2 + 5n chia hết cho với n N*∀ ∈
b 4n + 15n – chia hết cho 9
đặt An = 4n + 15n –
với n = => A1 = + 15 – = 18 chia hết + giả sử với n = k ≥ ta có:
Ak = (4k + 15k – 1) chia hết (giả thiết quy nạp)
+Ta chứng minh: Ak+1 chia hết Thật vậy, ta có:
Ak+1 = (4k+1 + 15(k + 1) – 1) = 4k.41 + 15k + 15 –
= (4k + 15k – 1) + (3.4k + 15) = A
k + 3(4k + 5)
Theo giả thiết quy nạp Ak chia hết 9, nữa:
3(4k + 5) chia hết ( chứng minh tương tự) k≥ nên Ak+1 chia hết 9∀
Vậy An = 4n + 15n – chia hết cho n N*∀ ∈
c n3 + 11n chia hết cho 6.
Đặt Un = n3 + 11n
+ Với n = => U1 = 12 chia hết
+ giả sử với n = k ≥ ta có:
Uk = (k3 + 11k) chia hết (giả thiết quy nạp)
Ta chứng minh: Uk+1 chia hết
Thật ta có:
Uk+1 = (k + 1)3 + 11(k +1) = k3 + 3k2 + 3k + + 11k + 11
= (k3 + 11k) + 3k
2 + 3k + 12 = Uk + 3(k2 + k + 4)
(4)Uk chia hết 6, 3(k2 + k + 4) = 3(k(k+1)+4) chia hết k≥ (2 số liên∀
tiếp nhân với chia hết cho 2)
Do đó: Uk+1 chia hết
Vậy: Un = n3 + 11n chia hết cho n N*∀ ∈
Bài (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có bất đẳng thức:
a 3n > 3n + 1
b 2n+1 > 2n + 3
Lời giải:
a.3n > 3n + (1)
+ Với n = (1) <=> >
Luôn x =
+ giả thiết mệnh đề (1) n = k ≥ 2, nghĩa 3k > 3k +
Ta chứng minh (1) n = k + nghĩa chứng minh: 3k+1 = 3.3k > 3(3k + 1) (theo giả thiết)
3(3k + 1) = 9k + = 3(k +1) + 6k > 3(k + 1) (vì k > 2) Vậy 3k+1 >3(k + 1) + 1
Mệnh đề với n = k + 1, với n ≥ b 2k+1 > 2n + 3
+Với n = 2, ta có: 23 = > 2.2 + = 7
Vậy mệnh đề x =
+ giả thiết mệnh đề n = k ≥ 2, nghĩa 2k+1 > 2k + (2)
(5)Nhân hai vế (2) cho 2, ta được:
2k+1.2 = 2k+1 > 2(2k + 3) = 4k + = 2k + (2k + 6) (3)
Mà k ≥ => 2k + = 2.2 + = 10 > (3) => 2k+1 > 2k + (2)
Mệnh đề với n = k + nên n N*.∀ ∈ Bài (trang 83 SGK Đại số 11):
a Tính S1, S2, S3
b Dự đốn cơng thức tính tổng Sn chứng minh quy nạp
Lời giải:
Ta chứng minh đẳng thức (1) quy nạp
Với n = (1)
Giả sử (1) với n = k, ta có:
Vậy (1) với n = k + 1, với n ∈ N*
(6)Lời giải: