Mô tả không gian mẫu bằng cách sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử.. Vì việc lấy giày là ngẫu nhiên nên các kết quả của mỗi lần lấy giày là như nhau,. mỗi một lấy giày sẽ cho một kết quả[r]
(1)Giải tập trang 74, 75 SGK Giải tích 11: Xác suất biến cố
A Nhắc lại kiến thức:a Để xác định không gian mẫu biến cố ta thường sử dụng hai phương pháp sau:
Cách 1: Liệt kê phần tử không gian mẫu biến cố đếm.
Cách 2: Sử dụng quy tắc đếm để xác định số phần tử không gian mẫu và biến cố
b Định nghĩa xác suất: Giả sử A biến cố mô tả A Xác suất biến cố A, kí hiệu P(A), cho cơng thức:
AP A
Số kết thuận lợi cho A / Số kết xảy
Chú ý: Xác suất biến cố A phụ thuộc vào số kết thuận lợi cho A, nên
ta đồng Avới A nên ta có:
n A P An
1,
0,0
P P P A
c Quy tắc nhân xác suất:
+ Nếu hai biến cố A B độc lập với thì: P A B
P A P B
+ Quy tắc nhân cho nhiều biến cố Nếu cho m biến cố A A A1, 2, 3, ,Am độc lập với
nhau thì:
A m
1 2
3
n
P A A A A P A P A P A P A
B Hướng dẫn giải tập
Bài Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần. a) Hãy mô tả không gian mẫu.
b) Xác định biến cố sau:
(2)B: "Mặt chấm xuất lần" c) Tính P(A), P(B).
Hướng dẫn giải
a Mô tả không gian mẫu cách sử dụng quy tắc đếm
b Liệt kê trường hợp
A: Các trường hợp tổng số chấm xuất hai lần gieo lớn
10, mặt có số chấm lớn nên tổng số chấm lớn hai lần
gieo không lớn 12
B: Các trường hợp mà mặt số xuất lần, ta hiểu đơn giản
rằng số xuất lần gieo lần gieo thứ hai lần gieo
c Sử dụng định nghĩa xác suất
Bài giải:
Phép thử T xét "Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần"
a) Ω = {(i, j) i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = 36
Do tính đối xứng súc sắc tính độc lập lần gieo suy kết
quả có phép thử T đồng khả
b) A = {(6, 4), (4, 6), (5, 5), (6, 5), (5, 6), (6, 6)}
B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6)}
c)
6 11
,
36 36 36
P A P B
Bài Có bốn bìa đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên ba tấm.
a) Hãy mô tả không gian mẫu. b) Xác định biến cố sau:
(3)B: "Các số ba bìa ba số tự nhiên liên tiếp" c) Tính P(A), P(B).
Hướng dẫn giải
a Mô tả không gian mẫu cách sử dụng quy tắc đếm
b A: Xác định trường hợp cho tổng số chấm ba bìa
B: Xác định trường hợp cho số ba bìa ba số tự nhiên liên
tiếp
Ở hai biến cố ta sử dụng phương pháp liệt kê phần tử
c Sử dụng định nghĩa xác suất
Bài giải:
Phép thử T xét là: "Từ bốn bìa cho, rút ngẫu nhiên ba tâm"
a) Đồng số i với bìa đánh số I, I 1,6, ta có: Mỗi kết có
thể có phép thử T tổ hợp chập số 1, 2, 3, Do khơng gian
mẫu là: Ω = {(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4)}
Số phần tử không gian mẫu
3 4
n Ω C
Vì lấy ngẫu nhiên, nên kết có phép thử T đồng khả
b) A = {(1, 3, 4)}; B = {(1, 2, 3), (2, 3, 4)}
c)
1
,
4
P A P B
Bài Một người chọn ngẫu nhiên hai giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau. Tính xác suất để hai chọn tạo thành đôi.
Hướng dẫn giải
(4)Vì việc lấy giày ngẫu nhiên nên kết lần lấy giày nhau,
mỗi lấy giày cho kết thuận lợi
Bài giải:
Phép thử T xét là: "Lấy ngẫu nhiên giày từ đôi giày có cỡ khác
nhau"
Mỗi kết tổ hợp chập giày Do số kết
quả có thể có phép thử T
28n C
Vì lấy ngẫu nhiên, nên kết có phép thử T đồng khả
Gọi A biến cố: "Lấy hai giày tạo thành đơi" Mỗi kết có
thể có thuận lợi cho A đơi giày đơi giày cho Do số kết
quả có thuận lợi cho A n(A) = Suy
4 28
P A
Bài Gieo súc sắc cân đối đồng chất Giả sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm Xét phương trình x2 + bx + = Tính xác suất cho:
a) Phương trình có nghiệm b) Phương trình vơ nghiệm.
c) Phương trình có nghiệm ngun.
Hướng dẫn giải
- Mô tả không gian mẫu phương pháp liệt kê
2
2 8, 1, 2, 3,4, 5,6,
x bx b b
Phương trình có nghiệm 0
Phương trình vơ nghiệm 0 sử dụng P A
1 P A
(5)Không gian mẫu Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Số kết có (hữu hạn);
các kết đồng khả
Ta có bảng:
b
∆ = b2 - -7 -4 17 28
a) Phương trình x2 + bx + = có nghiệm ∆ = b2 - ≥ (*) Vì
nếu A biến cố: "Xuất mặt b chấm cho phương trình x2 + bx + = có
nghiệm"
thì A = {3, 4, 5, 6}, n(A) =
P(A) = =
b) Biến cố B: "Xuất mặt b chấm cho phương trình x2 + bx + = vô
nghiệm" biến cố A, theo qui tắc cộng xác suất ta có
P(B) = - P(A) =
c) Nếu C biến cố: "Xuất mặt b chấm cho phương trình x2 + bx + =
có nghiệm ngun" C = {3},
P(C) =
Bài Từ cỗ tứ lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên lúc bốn Tính xác
suất cho:
a) Cả bốn át b) Được át
c) Được hai át hai K. Bài giải:
(6)Mỗi kết có tổ hợp chập 52 Do số kết
có thể có phép thử T
52 270725
n Ω C
Vì rút ngẫu nhiên nên kết có đồng khả
a) Gọi biến cố A: "Rút bốn át" Ta có, số kết có thuận lợi cho
A n(A) = Suy
1
0,0000037 270725
P A
b) Gọi biến cố B: "Rút át" Ta có
= "Rút không át" Mỗi kết thuận lợi cho
một tổ hợp chập 48 át Suy số kết có
thuận lợi cho C448 = = 194580 Suy P( ) = ≈ 0,7187
Qua ta có P(B) = - P( ) ≈ 0,2813
c) Gọi C biến cố: "Rút hai át hai K"
Mỗi kết có thuận lợi cho C tổ hợp gồm át K Vận
dụng quy tắc nhân tính số kết có thuận lợi cho C
n(C) = C24 C24 = = 36
Suy P(C) = ≈ 0,000133
Bài Hai bạn nam hai bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp
thành hai dãy đối diện Tính xác suất cho: a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau
b) Nữ ngồi đối diện nhau. Hướng dẫn giải
(7)a Sử dụng quy tắc P A
1 P A
có nghĩa ta tìm biến cố đối biến cốcho
b Biến cố đối phần a biến cố câu b dễ dàng tìm xác suất
Bài giải:
Mỗi cách xếp bạn vào chỗ ngồi hốn vị phần tử, khơng
gian mẫu có 4! = 24 phần tử
a) Trước hết ta tính số cách xếp chỗ cho bạn cho nam, nữ không ngồi đối
diện Trong cách xếp chỗ nữ phải ngồi đối diện nhau,
nam ngồi đối diện Trong cách xếp chỗ nữ phải ngồi
đối diện nhau, nam phải ngồi đối diện Có chỗ bạn nữ thứ
nhất chọn, với cách chọn chỗ bạn nữ thứ có chỗ
(đối diện) cho bạn nữ thứ hai chọn Sau bai bạn nữ chọn chỗ ngồi (đối
diện nhau) cịn lại chỗ (đối diện nhau) để xếp cho bạn nam có 2! cách
xếp chỗ cho bạn Vi theo quy tắc nhân, tất có 2! = cách xếp
chỗ cho nam nữ không ngồi đối diện Do có kết khơng thuận lợi
cho biến cố A: "Nam, nữ ngồi đối diện nhau" Do có kết khơng thuận lợi
cho biến cố A: "Nam, nữ ngồi đối diện nhau" Vậy xác suất xảy biến cố đối
A P( ) = = Theo quy tắc cộng xác suất ta có P(A) = - P( ) =
b) Vì có người: nam nữ nên nữ ngồi đối diện nam
cũng ngồi đối diện Do biến cố: "Nữ ngồi đối diện nhau" Xác
(8)Bài Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ chứa trằng, đen. Hộp thứ hai chứa trằng, đen Từ hộp lấy ngẫu nhiên Kí hiệu:
A biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ trắng" B biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ hai trắng"
a) Xét xem A B có độc lập khơng.
b) Tính xác suất cho hai cầu lấy màu.
c) Tính xác suất cho hai cầu lấy khác màu. Hướng dẫn giải
Xác định không gian mẫu cách sử dụng quy tắc đếm
a Cần nằm rõ định nghĩa biến cố độc lập: Hai biến cố A B độc lập
xảy hay không xảy biến cố không làm thay đổi xác suất xảy biến
cố ngược lại hay nói cách khác:
Nếu P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B) A B độc lập với
b, c Sử dụng quy tắc định nghĩa để xác định biến cố tính xác suất tương tự
các tập
Bài giải:
Phép thử T xét là: "Từ hộp lấy ngẫu nhiên cầu"
Mỗi kết có phép thư T gồm hai thành phần là: cầu
hộp thứ cầu hộp thứ
Có 10 cách để lấy cầu hộp thứ có 10 cách để lấy cầu
hộp thứ Từ đó, vận dụng quy tắc nhân ta tìm số cách để lập
một kết có hai phép thử T 10 10 = 100 Suy số kết có
(9)Vì lấy ngẫu nhiên nên kết có phép thử T đồng khả
Xét biến cố A: "Quả cầu lấy từ hộp thứ có màu trắng"
Mỗi kết có thuận lợi cho A gồm thành phần là: cầu trắng
ở hợp thứ cầu (nào đó) hộp thứ Vận dụng quy tắc nhân ta tìm
được số kết có thuận lợi cho A là: n(A) = 10 = 60
Suy P(A) = = 0,6
Xét biến cố B: "Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu trắng"
Tương tự ta tìm số kết thuận lợi cho B là:
n(B) = 10 = 40
Từ suy P(B) = = 0,4
a) Ta có A B biến cố: "Lấy cầu trắng hộp thứ cầu trắng
hộp thứ hai" Vận dụng quy tắc nhân ta tìm số kết có thuận
lợi cho A B là:
6 = 24 Suy ra:
P(A B) = = 0,24 = 0,6 0,4 = P(A) P(B)
Như vậy, ta có P(A B) = P(A) P(B) Suy A B hai biến cố độc lập với
nhau
b) Gọi C biến cố: "Lấy hai cầu màu" Ta có
C = A B +
Trong = "Quả cầu lấy từ hộp thứ có màu đen" P( ) = 0,4
: "Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu đen" P( ) = 0,6
Và ta có A B hai biến cố xung khắc với
(10)Qua suy ra;
P(C) = P(A B + ) = P(A B) + P( ) = P(A) P(B) + P( ) P( )
= 0,6 0,4 + 0,4 0,6 = 0,48
c) Gọi D biến cố: "Lấy hai cầu khác màu" Ta có
D = => P(D) = - P(C) = - 0,48 = 0,52