chơng hàm số luỹ thừa, hàm số mũ hàm số lôgarit CHUYấN : PHNG TRèNH M V LễGARIT Phơng pháp đa số giải phơng trình mũ lôgarit Phơng pháp Dạng 1: Phơng trình: a f(x) =a g(x) a = a > ⇔ < a ≠ hc (a − 1)[f(x) − g(x)] = f(x) = g(x) 0 < a ≠ logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x) > Chó ý: ViƯc lùa chän ®iỊu kiƯn f(x) > g(x) > tuỳ thuộc vào độ phức tạp f(x) g(x) Dạng 2: Phơng trình: < a ≠ 1,b > af(x) = b ⇔ ; logaf(x) = b ⇔ f(x) = loga b 0 < a ≠ b f(x) = a Thí dụ Giải phơng trình sau: a 8x3 −4x2 + x+2 = 4x2 −x+2 ( ) x b 0,125.42x − = Giải a Phơng trình đợc biến đổi dạng: (23 )x − 4x + x+ = (22 )x − x+ ⇔ 3(x3 − 4x2 + x + 2) = 2(x2 − x + 2) ⇔ 3x3 − 14x2 + 5x + = ⇔ (3x − 2)(x2 − 4x − 1) = ⇔ x = ∨x = ± VËy, phơng trình có ba nghiệm phân biệt x = , x = ± 3 2 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu 1 = 2−3 nªn ta biến đổi phơng trình dạng: 5x 5x 2−3.22(2x − 3) = (22.22 )x ⇔ 24x−9 = 2 ⇔ 4x − = ⇔ 8x − 18 = 5x ⇔ 3x = 18 ⇔ x = Vậy, phơng trình có nghiệm x = b Vì 0,125 = Nhận xét: Trong lời giải trên: Với phơng trình af(x) = bg(x) ta cần chọn phần tử trung gian c để biến đổi phơng trình dạng: (c)f(x) = (c)g(x) cf(x) = cg(x) f(x) = g(x), Với phơng trình ax3 + bx2 + cx + d = ta sư dơng kết Nếu a, b, c, d nguyên phơng trình có nghiệm hữu tỷ p p, q theo thứ tự q ớc d a" để đoán nhận đợc nghiệm x = , từ phân tích phơng trình trở thành: (3x 2)(x2 − 2x − 2) = ThÝ dơ Gi¶i phơng trình sau: a log2(3x + 2) = log2(x3 − 4x2 + 2x + 6) b log3x − log9x = log1 c log x log2x.log4x = Giải a Phơng trình đợc biến đổi vỊ d¹ng: 3x + = x3 − 4x2 + 2x + > 3x + > x = x > − ⇔ ⇔ ⇔ x = x − 4x − x + = (x2 − 1)(x 4) = Vậy, phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt x = 1, x = b Điều kiện x > Biến đổi phơng trình vỊ d¹ng: 1 log3x − log3x = − log32 ⇔ log3x = −log32 ⇔ x = 2−1 = 2 2 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu VËy, phơng trình có nghiệm x = c Điều kiện x > Biến đổi phơng trình vỊ d¹ng: log2x.log2x.2log2x = ⇔ log32 x = ⇔ log2x = ⇔ x = 22 = Vậy, phơng trình có nghiệm x = Nhận xét: Trong lời giải câu a), đà sử dụng kết ý cuối dạng để tránh phải kiểm tra ®iỊu kiƯn x3 − 4x2 + 2x + > Thí dụ Giải phơng trình sau: a 6x − 3x − 2x + + = b log4{2log3[1 + log2(1 + 3log2x)]} = Giải a Phơng trình đợc biến đổi d¹ng: (2.3)x − 3x − 2.2x + = ⇔ 3x(2x − 1) − 2(2x − 1) = 2x − 1= 2x = x = ⇔ (2x − 1)(3x − 2) = ⇔ x ⇔ x ⇔ x = log3 3 − = 3 = VËy, ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt x = 0, x = log32 b Phơng trình đợc biến đổi dạng: 2log3[1 + log2(1 + 3log2x)]} = ⇔ log3[1 + log2(1 + 3log2x)] =1 ⇔ + log2(1 + 3log2x) = ⇔ log2(1 + 3log2x) = ⇔ + 3log2x = ⇔ log2x = ⇔ x = Vậy, phơng trình có nghiệm x = Nhận xét: Trong lời giải trên: câu a), đà sử dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử để chuyển phơng trình dạng tích Và từ đó, nhận đợc hai phơng trình mị d¹ng GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu ë câu b), đà sử dụng phơng pháp biến đổi dần để loại bỏ đợc lôgarit Cách thực giúp tránh đợc phải đặt điểu kiện có nghĩa cho phơng trình Dạng toán 1: Phơng pháp đặt ẩn phụ giải phơng trình mũ lôgarit Phơng pháp Phơng pháp dùng ẩn phụ việc sử dụng (hoặc nhiều) ẩn phụ để chuyển phơng trình ban đầu thành phơng trình hệ phơng trình với (hoặc nhiều) ẩn phụ Các phép đặt ẩn phụ thờng gặp sau phơng trình mũ: Dạng 1: Phơng trình kakx + k 1a(k 1)x 1ax + = 0, đặt t = ax, điều kiện t > 0, ta đợc: ktk + αk − 1tk − α1t + α0 = Mở rộng: Nếu đặt t = af(x), điều kiện hẹp t > Khi ®ã: a2f(x) = t2, a3f(x) = t3, , akf(x) = tk af(x) = Dạng 2: Phơng trình 1ax + 2bx + = 0, với a.b = 1 t đặt t = ax, ®iỊu kiƯn t > 0, suy bx = đợc: , ta t + = ⇔ α1t2 + α3t + α2 = t Mở rộng: Với a.b = đặt t = a f(x), ®iỊu kiƯn hĐp t > 0, suy bf(x) = t α1t + D¹ng 3: Phơng trình 1a2x + 2(ab)x + 3b2x = 0, chia hai vế phơng trình cho b2x > (hoặc a2x, (a.b)x), ta đợc: 2x a ÷ α1 b x a ÷ + α2 b + α3 = x a Đặt t = ữ , điều kiện t > 0, ta đợc 1t2 + 2t + = b Mở rộng: Với phơng trình mũ có chứa nhân tử a2f, b2f, (a.b)f , ta thùc hiƯn theo c¸c bíc sau: GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiu - Chia hai vế phơng trình cho b2f > (hoặc a2f, (a.b)f) f - a Đặt t = ữ , điều kiện hẹp t > b Chú ý: Ta đặt t = af(x) sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t > cho trờng hợp vì: Nếu đặt t = ax t > điều kiện Nếu đặt t = 2x +1 t > điều kiện hẹp, thực chất điều kiện cho t phải t Điều đặc biệt quan cho lớp toán có chứa tham số 2 Các phép đặt ẩn phụ thờng gặp sau phơng trình lôgarit: Dạng 1: Nếu đặt t = logax với x > logak x = tk, logxa = t víi < x ≠ D¹ng 2: Ta biÕt r»ng alog c = clog a , đặt t = alog x t = xlog a Tuy nhiên, nhiều toán có chứa alog x , ta thờng đặt ẩn phụ dần với t = logbx b b b b b Thí dụ Giải phơng trình sau: a 4x + 3.2x + − 16 = ( 2+ ) x b ( 2− ) x + = Giải a Đặt t = 2x (điều kiện t > 0) Phơng trình đợc biến đổi dạng: t = 8(loại) 22x + 6.2x − 16 = ⇔ t2 + 6t − 16 = ⇔ ⇔ 2x = ⇔ t = x = Vậy, phơng trình cã nghiÖm x = b NhËn xÐt r»ng: GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu 2− 2+ = Do đó, đặt t = = ( 3) ( + 3) = ( ) x + , điều kiện t > 0, ( 2− ) x t Khi ®ã phơng trình tơng đơng với: t = 2+ t+ = ⇔ t2 − 4t + = ⇔ t t = 2− ( ( ) ) x x x 2 + = + + = 2+ 2 =1 x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x x −1 x = −1 x = −2 + = 2+ + = Vậy, phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt x = ± ( ( ) ) ( ) NhËn xÐt: Nh vËy, thông qua thí dụ đà đợc làm quen với hai dạng đặt ẩn phụ phơng trình mũ Và đó: Với câu a) cần tới phép biến đổi 4x = 22x 2x + = 2.2x để định hớng cho ẩn phụ t = 2x Với câu b) em học sinh cần biết cách mở rộng phơng pháp cho dạng phơng trình: 1ax + 2bx + 3cx = 0, víi a.b = c2 Råi thùc tËp b»ng c¸ch giải phơng trình: (3 + )x + 7(3 )x = 2x + ThÝ dơ Gi¶i phơng trình sau: a 3x + + 18.3x = 29 b 5.4x − 2.6x = 32x + Giải a Đặt t = 3x, điều kiện t > Biến đổi phơng trình dạng: 18 3.3x + 18 x = 29 ⇔ 3t + = 29 ⇔ 3t2 −29t + 18 = t t = 3x = x = 32 x = x = ⇔ ⇔ x ⇔ x+1 ⇔ ⇔ t = x = log3 − = 3 = x + = log3 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiu Vậy, phơng trình có nghiệm x = x = log32 b Viết lại phơng trình dới dạng: 5.22x 2.(2.3)x = 3.32x Chia hai vế phơng trình cho 32z > 0, ta ®ỵc: 2x x 2x x 2 2 2 2 5 ÷ − 2 ÷ = ⇔ 5 ÷ − 2 ÷ − = 3 3 3 3 x Đặt t = ữ , điều kiện t > 0, ta đợc: x t >0 2 5t2 − 2t − = ⇔ t = ⇔ ÷ = ⇔ x = Vậy, phơng trình có nghiệm x = Thí dụ Giải phơng trình sau: a log32 x3 − 20log3 x + = log9243 = b log9x27 − log3x3 + Giải a Điều kiện x > Biến đổi phơng trình dạng: (3log3x)2 20 log3x + = ⇔ 9log32x − 10log3x + = Đặt t = log3x, ta biến đổi phơng trình vỊ d¹ng: x = l og3 x = t = ⇔ 9t −10t + = ⇔ ⇔ l og3 x = 1/9 x = 39 = t = 1/9 Vậy, phơng trình có nghiệm x = x = b Điều kiÖn: < 9x ≠ 1 ⇔ x ∈ (0; +∞)\{ ; } < 3x Biến đổi phơng trình d¹ng: 1 − 3log9x3 − log3x3 + 5log33 = ⇔ + =0 log3 9x log3 3x 2 − ⇔ + = 1+ log3 3x log3 3x Đặt t = log33x, ta biến đổi phơng trình dạng: GV: Vừ Hunh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu − + = ⇔ 6t − 2(1 + t) + 5t(1 + t) = ⇔ 5t2 + 9t − = 1+ t t 3x = 30,2 x = 3−0,8 log3 3x = 0,2 t = 0,2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −2 −3 3x = x = t = −2 log3 3x = Vậy, phơng trình có nghiệm x = 3−0,8 hc x = 3−3 NhËn xÐt: Nh vËy, thông qua thí dụ đà đợc làm quen với dạng đặt ẩn phụ phơng trình lôgarit Và đó: Với câu a), em häc sinh dƠ nhËn thÊy Èn phơ t = log3x Tuy nhiên, nhiều em biến đổi nhầm log32 x3 = 3log32 x Víi c©u b), chóng ta cần sử dụng công thức đổi số để làm xuất ẩn phụ Thí dụ Giải phơng trình sau: a log2 x log8 4x = log4 2x log16 8x b 3log2 x + 12log2 x = 2.xlog2 Giải a Điều kiện: x > 1 < 2x ≠ ⇔ x ∈ (0; +∞)\{ ; } < 8x ≠ (*) BiÕn đổi phơng trình dạng: log2 4x log2 x 2(2 + log2 x) log2 x = =3 ⇔ 1 1+ log2 x 3(3+ log2 x) log2 2x log2 8x Đặt t = log2x, ta biến đổi phơng trình dạng: x = log2 x = t 2(2 + t) t = = ⇔ t + 3t −4 = ⇔ ⇔ ⇔ x = 1+ t 3(3+ t) t = − log x = − 16 Vậy, phơng trình có nghiệm x = x = 16 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Tốn Cùng Thầy Huỳnh Hiếu b §iỊu kiƯn x > Biến đổi phơng trình dạng: 3log x (**) + (3.22 )log x = 2.23log x 33log x + 12log x = 2.8log x Đặt t = log3x, ta biến đổi phơng trình dạng: 3t t 3 3 33t + (3.22 )t = 2.23t ⇔ ÷ + ÷ = t Đặt u = ữ (điều kiện u > 0), ta biến đổi phơng trình dạng: u3 + u = ⇔ (u − 1)(u2 + u + 2) = t u = 3 ⇔ ⇔ ÷ = ⇔ t = ⇔ log3x = ⇔ x = 2 u + u + = (v« nghiƯm) Vậy, phơng trình có nghiệm x = 2 2 2 NhËn xÐt: Víi câu b) em học sinh giảm bớt lần đặt ẩn phụ cách chia hai vế phơng trình (*) cho 23log x Thí dụ Giải phơng trình lg2x lgx.log2(4x) + 2log2x = Giải Điều kiện x > Biến đổi phơng trình dạng: lg2x (2 + log2x)lgx + 2log2x = Đặt t = lgx, phơng trình tơng đơng với: t2 (2 + log2x).t + 2log2x = ta cã: ∆ = (2 + log2x)2 − 8log2x = (2 − log2x)2 suy ph¬ng tr×nh cã nghiƯm: lg x = t = lg x = t = log x ⇔ lg x = lg x ⇔ lg x = ⇔ lg x = 100 x = Vậy, phơng trình cã hai nghiƯm x = 100 vµ x = GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Chó ý: Mét më rộng tự nhiên phơng pháp đặt ẩn phụ kiĨu nµy lµ chóng ta cã thĨ sư dơng số tham số phơng trình để làm ẩn phụ, phơng pháp có tên gọi "Phơng pháp số biến thiên" Dạng toán 2: Phơng pháp lôgarit trình mũ lôgarit hóa giải phơng Phơng pháp Ta giải phơng trình có hai vế dơng cách lấy lôgarit hai vế theo số thích hợp Cụ thể: af(x) = bg(x) ⇔ logaaf(x) = logabg(x) ⇔ f(x) = g(x).loga b hc logbaf(x) = logbbg(x) ⇔ f(x).logba = g(x) hc logcaf(x) = logcbg(x) ⇔ f(x).logca = g(x).logcb Chó ý: Phơng pháp logarit hoá tỏ hiệu lực hai vế phơng trình có dạng tích luỹ thừa Thí dụ Giải phơng trình sau: a 23 = 32 x b 5x x x−1 x = 500 Giải a Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Lấy logarit số hai vế phơng trình, ta đợc: x log2 log3 x x log3 = log3 ⇔ log3 = ⇔ ÷ = log3 ⇔ x = 3 Vậy, phơng trình có nghiệm x = log2 log3 x x Cách 2: Lấy logarit số hai vế phơng trình, ta đợc: x 3 x x log3 log2 3 log2 = log2 ⇔ = log2 ⇔ ÷ = log2 ⇔ x = Vậy, phơng trình có nghiệm x = log3 log2 x x C¸ch 3: LÊy logarit số 10 hai vế phơng trình, ta đợc: x lg3 3 x x lg = lg ⇔ lg2 = lg3 ⇔ ÷ = ⇔ x = log3 log2 lg2 2 x x 10GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu a log5 x + log5 7.log7 y = 1+ log5 3+ log2 y = (1+ 3log5 x)log2 b log2 (x − y) = − log2 (x + y) lgx − lg4 lgy − lg3 = −1 Gi¶i a Điều kiện x, y > Biến đổi hệ phơng trình dạng: log5 x + log5 y = 1+ log5 log5 x + log5 y = log5 10 ⇔ 3+ log2 y = log2 + 3log2 5.log5 x 3log2 x − log2 y = − log2 log5(xy) = log5 10 xy = 10 x = ⇔ log x = l og ⇔ x = ⇔ y = y y Vậy, hệ phơng trình có nghiệm (2; 5) b §iỊu kiƯn: x > 0, y > x > 0, < y ≠ (*) x − y > 0; x + y > ⇔ x − y > 0; x + y > lgy − lg3 ≠ Biến đổi tơng đơng hệ phơng trình d¹ng: x2 − y2 = 32 log2 (x2 − y2 ) = log2 (x − y) + log2 (x + y) = 12 x x ⇔ ⇔ lg = lg y x = y 4 = y 12 2 2 ÷ − y = 32 y + 32y − 144 = y = y = y (*) ⇔ ⇔ x = 12 ⇔ x = 12 ⇔ x = 12 y y x = y VËy, hƯ ph¬ng trình có nghiệm (6; 2) Dạng toán 3: Phơng pháp đặt ẩn phụ Thí dụ Giải hệ phơng trình sau: a 32x + + 22 y+ = 17 x +1 y 2.3 + 3.2 = b x + y = x y 2 − = Giải a Đặt: x u = y , ®iỊu kiƯn u, v > v = Khi đó, hệ (I) đợc biến đổi dạng: GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu 21 9u − 6u + = x x = −1 u = 3 = ⇔ ⇔ − 6u ⇔ y = v = v = 2y = VËy, hƯ cã cỈp nghiƯm (−1; 1) b BiÕn đổi hệ phơng trình dạng: 2x + y = 2x.( −2 y ) = −2 ⇔ x x y y − = − = 9u + 4v = 17 ⇔ 6u + 3v = Đặt: u = x , u > vµ v < y v = Khi đó, hệ có dạng: u + v = u.v = −2 suy u, v nghiệm phơng trình: t2 2t = ⇔ t = ± u = + 2x = + x = log (1 + 3) ⇔ ⇔ y ⇔ v = − −2 = − y = log ( 1) Vậy, hệ phơng trình có nghiệm Thí dụ Giải hệ phơng trình sau: a lg x + lg y = x lg y = b ln(xy) = ln x + ln(xy) = ln y + Gi¶i a §iỊu kiƯn x, y > BiÕn ®ỉi hƯ vỊ d¹ng: lg x + lg y = lg x lg y = Đặt: u = lg x v = lg y Khi hệ (I) đợc biến đổi dạng: u + v2 = ⇔ u − v = v = u − v = u − v = u − ⇔ ⇔ u = 2 u + (u − 1) = 2u − 2u = u = 22GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu u = & v = −1 ⇔ ⇔ u = & v = x = & y = 10 x = 10 & y = 1 ) vµ (10; 1) 10 b §iỊu kiƯn x, y > Biến đổi hệ dạng: ln x + ln y = ln x + ln x + ln y = ln y + Đặt: u = ln x v = ln y Vậy, hệ có hai cặp nghiệm (1; Khi đó, hệ (I) đợc biến đổi dạng: u + v = v + u + v = u + Trõ tõng vÕ hệ phơng trình, ta đợc: u = v u v = − (u2 − v2) + (u − v) ⇔ u2 − v2 = ⇔ u = v Ta lần lợt: Với u = v, ta đợc: v = v2 v + v2 − 2v + = ⇔ v = ⇒ u = v = ⇔ lgx = lgy = ⇔ x = y = 10 Với u = v, ta đợc: v = v2 v + ⇔ v2 + = 0, v« nghiÖm VËy, hÖ cã nghiÖm nhÊt (10; 10) Chú ý: Với em học sinh đà có kinh nghiệm việc giải toán thì: câu a), trình bày (với điều kiện x > 0, y > 0) theo c¸ch: lg x + lg y = ⇔ lg x − lg y = ( lg x − lg y ) + 2lg x.lg y = lg x − lg y = GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu 23 lg x = lg x.lg y = − lg y = ⇔ x = & y = ⇔ ⇔ 10 lg y = lg x − lg y = x = 10 & y = lg x = câu b), trình bày (víi ®iỊu kiƯn x > 0, y > 0) theo c¸ch suy ra: ln2x + = ln2y + ⇔ ln2x = ln2y ⇔ lnx = lny ⇔ x = y Từ đó, ta đợc: lnx2 = ln2x + ⇔ ln2x − 2lnx + = ⇔ lnx = ⇔ x = 10 ⇒ y = 10 Dạng toán 4: Phơng pháp hàm số Thí dụ Giải hệ phơng trình sau: a x y 3 − = y − x 2 x + xy + y = 12 b ln x − ln y = y − x 2 x + y − 6x − 2y + = Giải a Viết lại phơng trình thứ hệ dới dạng: 3x + x = 3y + y (*) XÐt hµm sè f(t) = 3t + t đồng biến Ă Vậy, phơng trình (*) đợc viết dới dạng: f(x) = f(y) x = y Khi hệ có dạng: x = y x = y x = y x = y = ⇔ ⇔ ⇔ 2 x = ±2 x = y = −2 x + xy + y = 12 3x = 12 Vậy, hệ phơng trình có cặp nghiệm (2; 2) (2; 2) b Điều kiện x, y > Từ phơng trình thứ hệ: lnx + x = lny + y (**) XÐt hµm sè f(t) = lnt + t hàm đồng biến, (**) tơng đơng: f(x) = f(y) x = y Khi đó, hệ đợc chuyển dạng: 24GV: Vừ Hunh Hiu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu x = y x, y > x = y = ⇔ x = y = x − 4x + = Vậy, hệ có hai cặp nghiệm (1; 1) (3; 3) Thí dụ (ĐHQG Hà Nội 1995): Giải hệ phơng trình: 2x 2y = (y x)(xy + 2) 2 x + y = (1) (2) Giải Thay (2) vào (1) ta đợc: 2x 2y = (y x)(x2 + y2 + xy) ⇔ 2x − 2y = y3 − x3 ⇔ 2x − x3 = 2y − y3 (3) Xét hàm số f(t) = 2t + t3 đồng biến Ă Vậy, phơng trình (3) đợc viết dới dạng: f(x) = f(y) x = y Khi đó, hƯ cã d¹ng: x = y x = y x = y x = y = ⇔ ⇔ ⇔ 2 x = ±1 x = y = −1 x + y = 2x = Vậy, hệ phơng trình có cặp nghiệm (1; 1) (1; 1) Thí dụ (ĐHQG Hà Nội 1995): Giải hệ phơng trình: log (x + 1) = y − log y = x Giải Điều kiện: x > −1 y > Tõ hÖ suy ra: log2(x + 1) + x = log2y + y − ⇔ log2(x + 1) + x + = log2y + y XÐt hµm sè f(t) = log2t + t hàm đồng biến với t > 0, phơng trình có dạng: f(x + 1) = f(y) x + = y Khi hệ đợc chun thµnh: GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu 25 y = x + ⇔ log (x + 1) = x y = x + x x + = Bernoulli ⇔ y = x + x = & y = x = ⇔ x = & y = x = VËy, hƯ cã hai cỈp nghiệm (0; 1) (1; 2) Bất phơng trình mũ lôgarit Dạng toán 1: Phơng pháp biến đổi tơng đơng cho bất phơng trình mũ Phơng pháp Dạng 1: Với bất phơng trình: af(x) ag(x) a > f(x) < g(x) a > ⇔ a = hc (a − 1)[f(x) − g(x)] ≤ 0 < a < f(x) > g(x) D¹ng 2: Víi bất phơng trình: a > f (x) < log a b < b (víi b > 0) ⇔ 0 < a < f (x) > log a b af(x) D¹ng 3: Với bất phơng trình: b f (x) cã nghÜa b > a > > b ⇔ f (x) > log a b 0 < a < f (x) < log a b af(x) Thí dụ Giải bất phơng trình sau: 4x 2− x 2 3 a ÷ ≤ ÷ 3 2 c 3x −1 b < Gi¶i 26GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu ( 3− ) x +1 ( > 5+2 ) 2x +1 a Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Bất phơng trình đợc biến đổi dạng: 4x x 2 2 ữ ÷ ⇔ 4x ≥ x − ⇔ 3x ≥ −2 ⇔ x ≥ − 3 3 Vậy, tập nghiệm bất phơng trình ; + ữ Cách 2: Bất phơng trình đợc biến đổi dạng: 4x x 3 ữ ÷ ⇔ −4x ≤ − x ⇔ 3x ≥ −2 ⇔ x ≥ − 2 2 Vậy, tập nghiệm bất phơng trình ; + ữ Nhận xét: Nh vậy, để thực toán hai cách thực công việc đa bất phơng trình dạng có số, nhiên: Trong cách 1, víi viƯc sư dơng c¬ sè a < nên dấu bất đẳng thức phải đổi chiều điểm thờng gây lỗi vài häc sinh Trong c¸ch 2, víi viƯc sư dơng số a > nên dấu bất đẳng thức không đổi chiều Trong trờng hợp tơng tự em häc h·y lùa chän theo híng nµy b Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: NhËn xÐt r»ng: ( ) ( ) −2 3− = 3− ÷ = Do đó, bất phơng trình đợc biến đổi dạng: 5+ = ( ) 3+ x2 +1 > ( 3− ) −2(2x+1) ⇔ x2 + < −2(2x + 1) ⇔ x2 + 4x + < ⇔ −3 < x < −1 VËy, tËp nghiƯm cđa bÊt phơng trình (3; 1) Cách 2: Nhận xét rằng: ( 2) ( ) 2) = − = ⇒ 5+ = 3+ , ( 3+ 3− 3− = ( 3+ ) Do đó, bất phơng trình đợc biến đổi vỊ d¹ng: GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu 27 ( 3+ ) − (x2 +1) > ( 3+ ) 2(2x+1) ⇔ −x2 − > 4x + ⇔ x2 + 4x + < a ≠ < f(x) < g(x) f(x) > logaf(x) < logag(x) ⇔ ⇔ 0 < a < g(x) > f(x) > g(x) > (a − 1)[f(x) − g(x)] < D¹ng 2: Víi bất phơng trình: a > b 0 < f(x) < a logaf(x) < b ⇔ 0 < a < f(x) > ab Dạng 3: Với bất phơng trình: 28GV: Vừ Hunh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu a > b f(x) > a logaf(x) > b ⇔ 0< a< < f(x) < ab Thí dụ Giải bất phơng trình sau: a log5(x − 1) < 1− log1 (x − 1) b log1 (x2 − 6x + 18) + 2log5(x − 4) < Gi¶i a Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: §iỊu kiƯn: x > x2 − 1> ⇔ ⇔ x > (*) x − 1> x > BiÕn ®ỉi bÊt phơng trình dạng: log5(x2 1) < 1+ log5(x − 1) ⇔ log5(x2 − 1) < log5 5(x − 1) ⇔ x2 − < 5(x − 1) ⇔ x2 − 5x + < ⇔ < x < Kết hợp với điều kiện (*) ta nhận đợc tập nghiệm bất phơng trình (1; 4) Cách 2: Bất phơng trình biến đổi tơng đơng vỊ d¹ng: log5(x2 − 1) < 1+ log5(x − 1) ⇔ log5(x2 − 1) < log5 5(x − 1) x2 − 1> x > ⇔ < x2 − < 5(x − 1) ⇔ ⇔ ⇔1 < x < 1< x < x − 5x + < Vậy, tập nghiệm bất phơng trình (1; 4) Yêu cầu: Các em học sinh hÃy so sánh hai cách giải hÃy trả lời câu hỏi "Có thể sử dụng cách cho bất phơng trình câu b) hay không ?" b Điều kiện: x2 − 6x + 18 > ⇔ x > x > Biến đổi tơng đơng bất phơng trình dạng: GV: Vừ Hunh Hiu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu (*) 29 −log5(x2 − 6x + 18) + 2log5(x − 4) < ⇔ log5(x − 4)2 < log5(x2 − 6x + 18) ⇔ x2 − 8x + 16 < x2 − 6x + 18 ⇔ 2x > −2 ⇔ x > (**) Kết hợp (*) (**) ta đợc nghiệm bất phơng trình x > Dạng toán 3: Phơng pháp đặt ẩn phụ giải bất phơng trình mũ lôgarit Phơng pháp Các dạng đặt ẩn phụ trờng hợp giống nh với phơng trình mũ phơng trình logarit Thí dụ Giải bất phơng trình sau: a 9x + 2.3x + − 16 ≥ b (5 + 21 )x + (5 − 21 )x ≤ 2x+ log2 c 4lnx + − 6lnx − 3lnx + Giải a Đặt t = 3x (điều kiện t > 0), phơng trình đợc biến đổi dạng: t 8(loại) 32x + 6.3x − 16 ≥ ⇔ t2 + 6t − 16 ≥ ⇔ ⇔t ≥ t≥ ⇔ 3x ≥ ⇔ x ≥ log32 VËy, bất phơng trình có tập nghiệm (log32; +) b Chia hai vế bất phơng trình cho 2x > 0, ta đợc: x x + 21 − 21 + ≤ ÷ ÷ ÷ ÷ + 21 − 21 ÷ ÷ NhËn xÐt r»ng ÷ ÷ = 1, nên đặt t = x − 21 ®iỊu kiƯn t > = ữ ữ t Khi đó, bất phơng trình có dạng: t> − 21 + 21 t+ ≤ ⇔ t2 − 5t + ≤ ⇔ ≤ t≤ t 2 x + 21 − 21 + 21 ⇔ ≤ ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ ÷ ÷ 2 VËy, nghiƯm cđa bÊt phơng trình [1; 1] 30GV: Vừ Hunh Hiu SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu x + 21 , ÷ ÷ c Điều kiện x > Biến đổi bất phơng trình dạng: 4.4lnx 6lnx 18 3lnx2 ≤ ⇔ 4.22lnx − (2.3)lnx − 18 32lnx ≤ (1) 2lnx 2 Chia c¶ hai vÕ (1) cho 32lnx > , ta đợc ÷ 3 lnx 2 − ÷ 18 lnx Đặt t = ữ , điều kiện t > Bất phơng trình đợc biến đổi dạng: lnx lnx −2 9 2 2 2 4t −t −18 ≤ ⇔ −2 ≤ t ≤ ⇔0 ≤ ÷ ≤ ⇔ ÷ ≤ ÷ 4 3 3 3 −2 ⇔ lnx ≥ −2 ⇔ x ≥ e VËy, bÊt ph¬ng trình có tập nghiệm [e2; +) Nhận xét: Nh vậy, thông qua thí dụ đà đợc làm quen với ba dạng đặt ẩn phụ đà đợc biết phần phơng trình mũ Và đây: Với câu a) cần tới phép biến đổi 9x = 32x 3x + = 3.3x để định hớng cho ẩn phụ t = x Và với điều kiện t > nên kết t bị loại Với câu b) đà sử dụng dạng mở rộng đà biết cho phơng trình 1ax + 2bx + 3cx = 0, với a.b = c2 Và với điều kiện t > loại bỏ mẫu số sau phép quy đồng Với câu c) cần sử dụng vài phép biến đổi đại số để nhận dạng đợc loại ẩn phụ cho bất phơng trình Và việc chia hai vế bất phơng trình cho số dơng nên dấu bất đẳng thức không đổi chiều Thí dụ Giải bất phơng trình sau: a lg2x3 20lg x + ≤ b logx − 14 ≥ + log2(x 1) Giải a Điều kiện x > Biến đổi bất phơng trình dạng: (3lgx)2 − 20 lgx + ≤ ⇔ 9lg2x − 10lgx + ≤ GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu 31 Đặt t = lgx, ta biến đổi bất phơng trình dạng: 1 9t2 10t + ⇔ ≤ t ≤ ⇔ ≤ lgx ≤ ⇔ 10 ≤ x ≤ 10 9 Vậy, bất phơng trình có tập nghiệm 10; 10 b §iỊu kiƯn < x −1 ≠ ⇔ < x ≠ (*) Biến đổi bất phơng trình dạng: 2logx 12 ≥ + log2(x − 1) ⇔ ≥ + log2(x 1) log2 (x 1) Đặt t = log2(x 1), ta biến đổi bất phơng trình vỊ d¹ng: 2 t2 + t − ≥ + t ⇔t + − ≤ ⇔ ≤0 t t t x − 1≤ 2−2 log2(x − 1) ≤ −2 x≤ t ≤ −2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 0 < t ≤ < log2(x − 1) ≤ 1< x − 1≤ 2 < x Vậy, bất phơng trình có tËp nghiƯm lµ 1; ∪ ( 2; 3] 4 NhËn xÐt: Nh vËy, th«ng qua thí dụ đà đợc làm quen với hai dạng đặt ẩn phụ đà đợc biết phần phơng trình lôgarit Và đây: Với câu a) em học sinh dễ nhận thấy ẩn phơ t = lgx Tuy nhiªn, rÊt nhiỊu em biÕn ®ỉi nhÇm lg32 x3 = 3lg23 x Víi câu b) em học sinh bị mắc lỗi thực quy đồng mẫu số bỏ mẫu không kết hợp với điều kiện (*) bất phơng trình Dạng toán 4: Phơng pháp lôgarit hóa giải bất phơng trình mũ lôgarit Phơng pháp Với bất phơng trình: af(x) > bg(x) lgaf(x) > lgbg(x) ⇔ f(x).lga > g(x).lgb hc cã thĨ sư dơng logarit theo c¬ sè a hay b 32GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Chú ý: Phơng pháp logarit hoá tỏ hiệu lực hai vế bất phơng trình có dạng tích luỹ thừa Thí dụ Giải bất phơng trình sau: a 43 < 34 b x6 5− log ≤ 5−5 x x x Gi¶i a Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Lấy logarit số hai vế phơng trình, ta đợc: x x > log3 log4 x x ⇔ < log ⇔ log4 < log4 ÷ < log4 ⇔ Vậy, bất phơng trình có tập nghiệm log3 log4 3; + ữ Cách 2: LÊy logarit c¬ sè hai vÕ cđa ph¬ng trình, ta đợc: x x > log4 log3 x x log3 43 < log3 34 ⇔ log3 < ⇔ ÷ > log3 ⇔ 3 VËy, bÊt phơng trình có tập nghiệm log4 log3 4; + ữ Cách 3: Lấy logarit số 10 hai vế phơng trình, ta đợc: x lg4 4 x x = log3 ⇔ x > log4 log3 lg43 < lg34 ⇔ lg4 < lg3 ⇔ ÷ > 3 lg3 Vậy, bất phơng trình cã tËp nghiƯm lµ log4 log3 4; + ∞ ÷ b §iỊu kiƯn < x (*) Lấy lôgarit số hai vế bất phơng trình, ta đợc: log5(x6 log ) ≤ log55−5 ⇔ log5x6 + log5 5− log 6log5x logx5 Đặt t = log5x, ta biến đổi bất phơng trình d¹ng: log5 x ≤ −1 t ≤ −1 x ≤ 5−1 6t2 + 5t − 6t − ≤ −5 ⇔ ⇔ ⇔ ≤0 ⇔ < t ≤ < log5 x ≤ 1< x ≤ t t −1 Vậy, bất phơng trình có tập nghiệm ( 0; ∪ 1; 5 x x x x x x x x ( GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu 33 NhËn xÐt: Nh vËy, th«ng qua thÝ dơ đà đợc làm quen với phơng pháp lôgarit hóa Và đó: Với câu a) đà trình bày cách lấy lôgarit hóa hai vế bất phơng trình Với câu b) em học sinh đà nhận thấy tính linh hoạt việc thùc hiƯn phÐp l«garit hãa hai vÕ cđa mét bÊt phơng trình để giảm thiểu tính phức tạp Và cần lu ý tới việc kết hợp điều kiện (*) với giá trị tìm đợc Thí dụ Giải bất phơng trình sau: a log3x > log4x 1 b 3log x+ + 3log x− 4 x Giải a Điều kiện x > Biến đổi bất phơng trình dạng: log4 3 log43.log3x ⇔ (1 − log43)log3x > ⇔ log3x > ⇔ x > VËy, bÊt ph¬ng trình có nghiệm x > b Điều kiện x > Biến đổi bất phơng trình dạng: ≤ x ⇔ 3log4 x ≤ 3x 3log4 x + ÷ Láy lôgarit số hai vế bất phơng trình, ta đợc: log x log4(4 ) ≤ log4 3x ⇔ + log4x.log43 ≤ (log43 + log4x) ⇔ (2log43 −1)log4x ≤ log43 −2 ⇔ log4 log4 x ≤ log4 (*) 16 3 log4 16 ⇔ log4x ≥ = = log3 ⇔ x ≥ log32 4 log4 log4 log4 log3 ÷ ; + Vậy, bất phơng trình có tập nghiệm ữ Yêu cầu: Các em học sinh hÃy giải thích cho phép biến đổi từ (*) 34GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toỏn Cựng Thy Hunh Hiu Dạng toán 5: Phơng pháp sử dụng tính chất hàm số để giải bất phơng trình mũ lôgarit Thí dụ Giải bất phơng trình sau: a 2.2x + 3.3x > 6x − b log2 x + + log3 x + > Gi¶i a Chia hai vÕ bất phơng trình cho 6x > 0, ta đợc: + x + x > x (1) Hµm sè f(x) = x + x + x , hàm nghịch biến Ta cã: Víi x ≥ 2, f(x) f(2) = bất phơng trình (1) v« nghiƯm Víi x < 2, f(x) > f(2) = bất phơng trình (1) nghiệm Vậy x < nghiệm bất phơng trình b Điều kiện: x + > x > −1 x + > C¸c hµm sè f1(x) = x > −1 x + f2(x) = x + đồng biến miền ⇒ hµm sè f(x) = log2 x + + log3 x + đồng biến miền x > −1 Ta cã f(0) = 1, ®ã: NÕu x > th× f(x) > f(0) ⇔ log2 x + + log3 x + > 1, nªn x > lµ nghiƯm NÕu −1 < x ≤ th× f(x) ≤ f(0) ⇔ log2 x + + log3 x + ≤ 1, nªn − < x nghiệm Vậy, nghiệm bất phơng trình x > GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu 35 ... "Phơng pháp số biến thiên" Dạng toán 2: Phơng pháp lôgarit trình mũ lôgarit hóa giải phơng Phơng pháp Ta giải phơng trình có hai vế dơng cách lấy lôgarit hai vế theo số thÝch hỵp Cơ thĨ: af(x) =... xÐt r»ng g(1) = g(3) = VËy, ph¬ng trình có hai nghiệm x = x = Hệ phơng trình mũ lôgarit Khi giải hệ phơng trình mũ lôgarit, ta dùng phơng pháp giải hệ phơng trình đà học nh phơng pháp thế, phơng... pháp lôgarit hóa Và đó: Với câu a) đà trình bày cách lấy lôgarit hóa hai vế phơng trình Với câu b) em học sinh nhận thấy tính linh hoạt việc sử dụng phép biến đổi đại số trớc thực phép lôgarit