Khi nhấn một công tắc thì tất cả các bóng đèn nối với công tắc đó đều thay đổi trạng thái (bật thành tắt và ngược lại). a) Với m n , chứng minh rằng có thể qui định trạng thái ban đ[r]
(1)Bài viết
VỀ BÀI TỔ HỢP ĐỀ OLYMPIC GGTH – KHỐI 12 1) Bài toán mở đầu
Vừa rồi, đề thi GGTH khối 12, có tốn thú vị sau:
Cho bảng ô vuông 2018 2019 mà ban đầu có số tơ màu Chứng minh tơ màu thêm khơng q 4036 ô bảng để số ô tô màu hàng lẻ số ô tô màu trên cột số chẵn
Bài toán phát biểu đơn giản thử thách lớn với thí sinh kỳ thi Đây T30 tạp chí Pi, số thứ năm 2017, đến tạp chí chưa đưa lời giải Dưới hướng giải theo mơ hình graph:
Ta nhận xét câu hỏi đề tương đương với “số ô không tô màu hàng cột bảng số chẵn”, tổng quát thành bảng kích thước m n tùy ý Khi đó, ta chứng minh tơ màu thêm khơng q mn1 để có kết
Đặt C { ,C C1 2,,Cn} tập hợp cột R{ ,R R1 2,,Rm} tập hợp hàng Xét graph lưỡng phân G mà tập đỉnh chia thành hai phần ,C R cạnh nối từ Ri đến Cj vị trí ô ( , )i j hàng thứ i, cột thứ j, ô tô màu
Ta bổ sung thêm số cạnh vào G graph bù G có bậc có tất đỉnh chẵn (vì graph bù đại diện cho khơng tơ màu) Để có phân biệt, ta gọi cạnh graph G ban đầu (tương ứng với tơ màu trước) “cạnh chính”, cịn cạnh cần bổ sung thêm vào “cạnh phụ”
Trước hết, ta bổ sung tất cạnh phụ vào graph G để graph lưỡng phân đầy đủ Khi đó, graph G có bậc tất đỉnh (là số chẵn) Tiếp đến, ta tiến hành loại bỏ chu trình có G cách xóa cạnh phụ Rõ ràng chu trình graph lưỡng phân ln có có độ dài chẵn, ta xóa chu trình, bậc đỉnh liên quan giảm đơn vị (đồng nghĩa với bậc đỉnh graph bù G tăng lên đơn vị)
(trong hình trên, C1R2 C2R1C1 tạo thành chu trình) R2
R1
(2)Sau xóa hết tất chu trình cạnh phụ đi, graph bù G có bậc đỉnh chẵn Bên cạnh đó, graph G có số đỉnh mn, khơng có chu trình nên số cạnh phụ không vượt mn1 (bổ đề chứng minh cuối bài)
Điều chứng tỏ graph thỏa mãn đề bài, nói cách khác, tồn cách tô màu thỏa mãn Để kết thúc toán, ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề.Graph G( , )V E có V n E n phải tồn chu trình
Khẳng định chứng minh lập luận tree thành phần liên thông Tuy nhiên, ta chứng minh trực tiếp quy nạp sau
Với n3, khẳng định hiển nhiên
Giả sử với graph G có V n Ta xét graph G có V n E n Khi đó, có đỉnh có bậc loại ra, graph cịn lại có số đỉnh n số cạn n nên có chu trình Suy ra, ta cần xét graph có bậc tất đỉnh 2
Xét đường dài L( ,v v1 2,,vk) G Lại xét tiếp đỉnh v1, ta thấy degv12 nên phải nối thêm đỉnh v0v2 Rõ ràng v0L độ dài đường dài hơn, mâu thuẫn Do v0L nên tạo thành chu trình
Theo nguyên lý quy nạp, bổ đề chứng minh 2) Các toán liên quan đề thi.
Việc mơ hình hóa liên hệ bảng thành graph khơng Gần đây, ta thấy có đề thi, chẳng hạn như:
Bài (VMO 2017) Bảng vng ABCD kích thước 2017 2017 gồm 20172 ô vuông đơn vị, ô vuông đơn vị tô ba màu: đen, trắng, xám Một cách tô màu gọi
đối xứng có tâm đường chéo AC tô màu xám cặp ô đối xứng qua
AC tô màu đen màu trắng Người ta điền vào ô xám số 0, ô trắng số nguyên dương ô đen số nguyên âm Một cách điền số gọi k
cân đối (với k nguyên dương) thỏa mãn điều kiện sau:
Mỗi cặp ô đối xứng qua AC điền số nguyên thuộc đoạn [k k, ]
Nếu hàng cột giao đen tập số nguyên dương điền hàng tập số ngun dương điền cột khơng giao nhau; hàng cột giao ô trắng tập số nguyên âm điền hàng tập số nguyên âm điền cột khơng giao
(3)Bài (Trường Đơng Vinh 2018) Cho m bóng đèn n cơng tắc m2,n2 Mỗi cơng tắc nối với bóng đèn bóng đèn nối với hai cơng tắc Ban đầu bóng đèn trạng thái bật tắt Khi nhấn cơng tắc tất bóng đèn nối với cơng tắc thay đổi trạng thái (bật thành tắt ngược lại)
a) Với mn, chứng minh qui định trạng thái ban đầu bóng đèn cho với cách nhấn cơng tắc, ln tồn bóng đèn bật
b) Với mn, chứng minh qui định trạng thái ban đầu bóng đèn cho với cách nhấn công tắc, tồn bóng đèn bật bóng đèn tắt
Lời giải
Xét đồ thị G đó: đỉnh công tắc, cạnh nối hai đỉnh bóng đèn nối với hai cơng tắc tương ứng Chú ý có nhiều cạnh nối hai đỉnh Từ giả thiết G có
n đỉnh m cạnh, deg( )x 1 với đỉnh x Ta tô màu trắng cho cạnh ứng với đèn bật, tô màu đen cho cạnh ứng với đèn tắt
a) Ta chứng minh qui nạp theo n G có chu trình Dễ dàng kiểm tra với n2
Xét trường hợp n3 Nếu tồn đỉnh x với deg( )x 1 xóa x với cạnh nối x Đồ thị cịn lại có n1 đỉnh n1 cạnh, theo qui nạp, đồ thị cịn lại có chu trình
Nếu deg( )x 2 với đỉnh x Ta xét đỉnh x1 bất kì, tồn đỉnh x2 nối x1 cạnh c1 Do
deg(x )2 nên tồn đỉnh x3 nối x2 cạnh c2 c1 Lập luận tương tự, số đỉnh hữu hạn, nên tồn đường x x1 2 xj mà xj xi i j Đồ thị có chu trình
Quay lại tốn, tơ màu trắng cho cạnh chu trình tơ màu đen cho cạnh cịn lại chu trình Mỗi nhấn cơng tắc, có cạnh chu trình đổi màu Suy số cạnh trắng chu trình ln lẻ khác Do ln tồn bóng đèn bật
b) Ta chứng minh quy nạp theo n đồ thị có hai chu trình Cách chứng minh quy nạp tương tự toán ban đầu Dễ kiểm tra với n2
(4)Nếu với i mà deg( )xi 3 tồn đỉnh y1 cho y1 nối xi cạnh c0 không thuộc
C Do deg( )y1 2 nên tồn đỉnh y2 nối y1 cạnh c1c0 Lập luận tương tự, số đỉnh hữu hạn nên tồn đường x y yi 1 2 ys ysthuộc C1 ys yr với rs Trong hai trường hợp ta có thêm chu trình C2
Giả sử C1 C2 có p cạnh chung số cạnh riêng Tô đen cho p cạnh chung, tơ đen cho cạnh cịn lại C1, tơ trắng cho cạnh cịn lại C2
Trường hợp 1: với p lẻ ta đổi cạnh riêng C1 sang màu trắng
Trường hợp 2: với p chẵn ta đổi cạnh riêng C1 sang màu trắng, đổi cạnh riêng C2 sang màu đen
Trong hai trường hợp số cạnh trắng C1 số cạnh đen C2 lẻ Lập luận tương tự (a), số cạnh trắng C1 số cạnh đen C2 luông lẻ khác Do ln tồn bóng đèn bật bóng đèn tắt
Tiếp theo khác sử dụng thuật tốn khơng dùng graph, có tư tưởng sử dụng “chu trình” bảng ô vuông tương tự trên, tức dãy ô liên tiếp bảng mà ô liền sau hàng/cột với liền trước; ngồi ô cuối trùng với ô Chẳng hạn ta có ví dụ hình bên (dãy chu trình graph ta đề cập toán trên):
Bài Cho n xét bảng ô vuông n n mà số ô vuông điền số nguyên cho tổng số hàng, tổng số cột chia hết cho 2019.Chứng minh với cách điền trên, thay số bảng bội 2019 cho:
i) Chênh lệch số ban đầu số thay nhỏ 2019 đơn vị; ii) Tổng số hàng, tổng số cột giữ nguyên Lời giải
Đối với số bảng chia hết cho 2019, ta giữ nguyên chúng; ràng buộc thỏa mãn; nên cần quan tâm số không chia hết cho 2019
(5) Đầu tiên chọn số a1 bảng
Tiếp theo, chọn số a2 hàng với a1 (số a2 tồn tổng số hàng chứa
a chia hết cho 2019); lại chọn số a3 cột với a2 (tương tự a3 tồn tại) Cứ tiếp tục trình thu số ak hàng cột với số at
nào mà 1 t k2 Khi đó, dễ thấy tập hợp C{ ,a at t2,,ak} phải có chẵn phần tử vị trí số tạo thành chu trình khép kín
Với số ai với i{ ,t t1,, }k , đặt d i( ) khoảng cách từ ai đến bội 2019 gần Giả sử d GTNN số d i( ) trên, ta tiến hành thay am am bội 2019 cho amam d 2019 Ta giả sử amam d 0 (tức ta giảm số
m
a d đơn vị) Ta tiến hành thay số lại C quy tắc sau: im chẵn, thay ai aid ; im lẻ, thay ai aid
Khi đó, số lượng số tăng lên d đơn vị số giảm d đơn vị nên điều kiện ii) thỏa mãn Ngoài ra, số aiC mà 2019kai 2019(k1) thay số ai với 2019kai 2019(k1) nên điều kiện i) không bị ảnh hưởng Sau trình trên, ta nhận thấy rằng: tổng số hàng, cột khơng đổi; cịn số lượng số khơng chia hết cho 2019 giảm Lặp lại thuật toán nhiều lần với số cịn lại khơng chia hết cho 2019 toàn số bảng thay bội 2019 Vậy cách áp dụng thuật toán trên, ta tồn cách thay số thỏa mãn đề
Cuối thú vị đề Olympic toàn Nga năm 1963 xin dành cho bạn đọc Bài (All Xoviet Union MO 1962) Với m n, , xét số nguyên dương A{ ,a a1 2,,am} B{ ,b b1 2,, }bn cho
a A b B
a b
Chứng minh điền lên bảng vng kích thước m n khơng mn1 số thực (mỗi số ô) cho tổng số hàng số thuộc tập A, tổng số cột số thuộc tập B
Gợi ý Quy nạp tổng mn Xét số max{ }, max{ }
a A b B
x a y b