a) Tỷ lệ diện tích.. Khi đó, OI là đường thẳng Euler của tam giác DEF. Có thể chứng minh bổ đề bằng phép nghịch đảo hoặc phép vị tự. b) Dùng tam giác đồng dạng và hệ thức lượng.. b) D[r]
(1)MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH PHẲNG CĨ DẠNG “NẾU – THÌ”
Bài (Mathley 2011) Cho tam giác ABC có M N, trung điểm AB AC, ,
G H trọng tâm trực tâm tam giác Chứng minh A M G N, , , thuộc đường trịn ( ) ( ) tiếp xúc với (HBC)
Gợi ý
Gọi O điểm đối xứng với tâm ngoại tiếp O qua BC O tâm (HBC) Chú ý trung điểm K AO tâm ( ). Ta chứng minh B H G C, , , nội tiếp dùng Menelaus để chứng minh O G K, , thẳng hàng
Bài (Tạp chí THTT) Cho tam giác ABC có G I, trọng tâm tâm nội tiếp tam giác Đặt cạnh BC a CA, b AB, c
a) Chứng minh IG song song với BC 2a b c b) Chứng minh IG vng góc với BC 3a b c
3 r IG
c) Chứng minh G ( )I
2 2
6
a b c
ab bc ca
Gợi ý
a) Tỷ lệ diện tích b) Định lý điểm
c) Cơng thức tính IG theo a b c, , p R r, ,
Bài (China TST 2012) Cho đường tròn ( ),(C1 C2) gọi S tập hợp tam giác ABC thỏa mãn ( ),(C1 C2) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC Gọi D E F, , tiếp điểm (C2) lên đường thẳng BC CA AB, , Giả sử S 0, chứng minh trọng tâm tam giác DEF điểm cố định
(2)Sử dụng bổ đề sau: Cho tam giác ABC có O I, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác D E F, , tiếp điểm đường tròn nội tiếp ( )I lên cạnh
, ,
BC CA AB Khi đó, OI đường thẳng Euler tam giác DEF Có thể chứng minh bổ đề phép nghịch đảo phép vị tự
Bài (Ả Rập TST 2015) Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn
( ).O Gọi I điểm di động BC giả sử H K, hình chiếu I lên AB AC, Gọi
,
X Y tâm đường tròn (ABK), (ACH)
a) Chứng minh XY song song với BC trực tâm tam giác XOY trung điểm IO
b) Gọi M N, giao điểm HK với ( ).O Chứng minh A tâm ngoại tiếp tam giác IMN AI BC
Gợi ý
a) Chứng minh nhận xét: Gọi Z giao điểm AI với đường trung bình B C tam giác ABC Khi XZ AC YZ, AB
b) Dùng tam giác đồng dạng hệ thức lượng
Bài Cho tam giác ABC nhọn, không cân có D hình chiếu A lên BC O H,
lần lượt tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm tam giác Một đường thẳng song song với BC cắt tia đối BA CA, E F, Chứng minh rằng: A trực tâm tam giác DEF trung tuyến đỉnh A tam giác AOH qua tâm (DEF)
Gợi ý
Gọi O đối xứng với O qua BC tứ giác AHO O hình bình hành Sử dụng phép vị tự chứng minh AO qua tâm (DEF)
Bài 6. (Ấn Độ, 2012) Cho ABC tam giác nhọn có AD BE CF, , trung tuyến, phân giác đường cao Chứng minh rằng:
(3)Bài giảng trường Đơng Tốn học miền Nam 2014 – Lê Phúc Lữ
a) Dùng BĐT cạnh – góc tam giác
b) Dựng trung điểm ba cạnh chứng minh tứ giác nội tiếp
Bài (Trung Quốc, 2010) Cho tam giác ABC khơng cân có AD BE CF, , phân giác Chứng minh DE DF góc A tù
Gợi ý. Dùng định lý sin chứng minh tứ giác AEDF nội tiếp Đến tìm quan hệ cạnh tam giác chứng minh a2 b2 c2
Bài (Trường Xuân 2014) Cho tam giác ABC cố định nội tiếp đường tròn ( )O Các điểm P Q, di động AB AC, (APQ) cắt ( )O M Gọi N điểm đối xứng với
M qua PQ Chứng minh N BC MN qua điểm cố định
Gợi ý Gọi K điểm đối xứng với M qua BC Dùng đường thẳng Steiner chứng minh KN qua trực tâm H tam giác ABC để chứng minh MN qua điểm đối xứng H qua BC Chú ý thêm tam giác đồng dạng
Bài (Sharyin, 2012) Cho tam giác ABC nhọn có CC1 phân giác với C1AB O tâm đường tròn ngoại tiếp Đường thẳng qua C, vng góc với AB cắt OC1 K Chứng minh K(ABO) C 60
Bài 10 (Mathley, 2011) Cho tam giác ABC có ABAC O tâm đường trịn ngoại tiếp Điểm M nằm tam giác BM cắt AC D Chứng minh
DM AM
DA AB (ABM) tiếp xúc với AC
Bài 11 (France TST 2012) Cho tam giác ABC nhọn, không cân với H trực tâm O tâm đường tròn ngoại tiếp, M trung điểm BC Đường thẳng AM cắt ( )O N đường trịn đường kính AM cắt ( )O P Chứng minh HAHN
, ,
BC AP OH đồng quy
(4)Bài 13. (Sharygin 2011) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn ( ).I Gọi M N, trung điểm đường chéo AC BD, Chứng minh IM AC
IN BD ABCD tứ giác nội tiếp
Bài 14 (China TST 2009) Cho đường tròn ( )O (O) tiếp xúc S,
( )O tiếp xúc với dây cung AB (O) T Gọi P điểm thuộc đường thẳng AO
Chứng minh PBAB PSTS
Bài 15 (Nguyễn Thế Hoàn) Cho tam giác ABC nhọn khơng cân có M trung điểm BC, đường trịn nội tiếp ( ),I đường tròn ngoại tiếp ( )O đường cao BE CF, cắt H Giả sử EF cắt BC G GH cắt đường thẳng qua ,A song song với BC K Đường thẳng qua M tiếp xúc với đường tròn ( )I T Chứng minh đường thẳng MT chia đơi đoạn thẳng AK cos
2
b c A
a b c
Trước hết, ta phát biểu (không chứng minh) bổ đề quen thuộc sau:
Bổ đề H trực tâm tam giác AGM (dùng phương tích)
Bổ đề Gọi S R, giao điểm MT DT, đường thẳng qua A, song song BC S
là trung điểm AR (dùng cực đối cực).
Từ bổ đề 1, ta thấy GH AM Ngoài ra, MT chia đôi AKKR
Giả sử ta có KR, đó, ta có AM đường đối cực K ( )I (do đường F
E
T D
H
G
S K
M I
C B
(5)đi qua K nên dùng định lý La Hire, ta có A M, nằm đường đối cực K) Từ suy IK AM nên G H I K, , , thẳng hàng IH AM
Đến dùng vector với ý
(a b c HI)a HAbHBcHC 2AM ABAC nên
0 ( )( )
HI AM a HAbHBcHC ABAC
Khai triển ta có
0
aHA AB aHA AC bHB AB cHC AC Chú ý AH AB AH AB 2AB AC cosA
BH AB BF AB CH AC ; CE AC Do ta
2 2
(2 ) cos cos
2
b c
abc b c bc A bc cb A
a b c