Bất đẳng thức Schur và ứng dụng

Trước hết ta bắt đầu với bài toán.. Bất đẳng thức Schur và các hệ quả. a) Bất đẳng thức Schur.. Một số bài toán ứng dụng hệ quả của bất đẳng thức Schur.[r]

Ứng dụng hệ bất đẳng thức Schur

Trong chương trình mơn Tốn bậc phổ thơng tập chứng minh bất đẳng thức loại tập khó Cái khó loại tập chỗ, có cách tiếp cận riêng, cách giải riêng độc đáo Chứa đựng chúng kiến thức sâu rộng kĩ phức tạp, địi hỏi cần phải có tư linh hoạt, kĩ thục tới độ“linh cảm” Mặc dù biết nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức như: Phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp sử dụng bất đẳng thức biết,

phương pháp quy nạp, phương pháp đánh giá đại diện, phương pháp phản chứng ; có nhiều kỹ thuật để chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức phong phú Trong nội dung bất đẳng thức ởtrường phổ thơng lại đóng vai trị quan trọng việc rèn luyện tư duy, khảnăng linh hoạt óc sáng tạo; đồng thời giúp học sinh rèn luyện tính cần cù, tinh thần vượt khó Hơn nữa, bất đẳng thức cách chứng minh bất đẳng thức có vẻđẹp lộng lẫy sức hấp dẫn kì lạđối với người nghiên cứu chúng nên việc nghiên cứu chúng cịn có tác dụng kích thích say mê học tập mơn Tốn mơn học khác Bên cạnh đó, sau giải xong tập bất đẳng thức, câu hỏi thường

đặt với là: Bất đẳng thức từđâu mà có? Bất đẳng thức có thểứng dụng để

chứng minh toán nào? Để trả lời câu hỏi thật không đơn giản chút

Trước hết ta bắt đầu với toán. Cho a, b, c số thực dương Chứng minh

(a b c a b c b c a+ − )( − + )( + − )abc

Bất đẳng thức bất đẳng thức đối xứng ba biến hệ bất đẳng thức Schur Có ba cách giải hiệu quảnhư sau

Khơng tính tổng qt, ta giả sử a số lớn ba số a b c, ,

Cách 1.Khi a b c+ − 0;a c b+ − 0

Nếu b c a+ − 0 bất đẳng thức cho

Do ta cịn xét cảba đại lượng a b c a c b b c a+ − ; + − ; + − dương

Theo bất đẳng thức Cauchy

( )( )

( )( )

( )( )

+ − + − +

 

+ − − +   =

 

− + − + +

 

− + + −   =

 

+ − + + −

 

+ − + −   =

 

2

2

2

2

2

2

a b c a b c

a b c a b c a

a b c a b c

a b c b c a c

b c a a b c

b c a a b c b

Do hai vế bất đẳng thức dương, nên nhân vế với vế ta

( )( )( ) ( )

 + − − + + −  

 a b c a b c b c a 2 abc

Hay ta (a b c a b c b c a+ − )( − + )( + − )abc

Đẳng thức xảy a b c= =

Cách 2. Ta có bất đẳng thức hiển nhiên 2− −( )2

( + − )( − + )

a b c a c b a

Tương tự ta có thêm hai bất đẳng thức

( + − )( + − ) ( + − )( + − )

;

b c a a b c b c a b b c a c

Do hai vế bất đẳng thức dương, nên nhân vế với vế ta

( )( )( ) ( )

 + − − + + −  

 a b c a b c b c a 2 abc

Hay ta (a b c a b c b c a+ − )( − + )( + − )abc

Đẳng thức xảy a b c= =

Cách Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta

( ) ( ) ( )

+ + +  + + + + +

3 3 3 2

a b c abc a b c b c a c a b

Khơng tính tổng qt ta giả sử a số lớn ba số a, b, c Khi ta có

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

− + − + − − 

 + + +  + + + + +

2

3 3 2

0

a b a b c c a c b c

a b c abc a b c b c a c a b

Như bất đẳng thức chứng minh

Khá bất ngờ với cách giải thứ ba biến đổi tương đương bất đẳng thức ta thu

được hệ khác bất đẳng thức Schur, thông thường với toán ta thường sử

dụng cách thứ cách thứ hai Một vấn đềđược đặt ởđây từ bất đẳng thức

(a b c a b c b c a+ − )( − + )( + − )abc

Ta có thểứng dụng để chứng minh lớp bất đẳng thức nào?

1 Bất đẳng thức Schur hệ

a) Bất đẳng thức Schur Cho a b c, , số thực không âm Khi ta có ( − )( − +) ( − )( − +) ( − )( − )

a a b a c b b c b a c c a c b

b) Hệ Cho a b c, , số thực không âm Khi ta có

• 3+ + +3  2( + +) 2( + +) 2( + )

a b c abc a b c b c a c a b

• abc(a b c b c a c a b+ − )( + − )( + − )

2 Một số toán ứng dụng hệ bất đẳng thức Schur

Với hai hệ ta sẽứng dụng để chứng minh lớp bất đẳng thức đối xứng bậc ba, qua ta thấy ứng dụng rộng lớn bất đẳng thức Schur

Bài toán 1. Cho a b c, , số thực không âm Chứng minh

( )( )

+ + +  + + + +

3 3 6

a b c abc a b c ab bc ca

Lời giải Đểý đến đẳng thức

(a b c ab bc ca+ + )( + + )=a b c2( + +) b c a2( + +) c a b2( + +) 3abc Khi bất đẳng thức viết lại thành

( ) ( ) ( )

+ + +  + + + + +

3 3 2

a b c 3abc a b c b c a c a b

Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức Schur

Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy cỉ a b c= = Bài toán 2 Cho a b c, , số thực không âm Chứng minh

( + + )3+  ( + + )( + + )

9

Lời giải

Đểý đến đẳng thức ( + + )3 = 3+ + +3 ( + )( + )( + )

a b c a b c a b b c c a

Do ta ( + + )3+ = 3+ + +3 + ( + )( + )( + )

9

a b c abc a b c abc a b b c c a

Theo hệ bất đẳng thức Schur ta

( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

+ + + + + + +

 + + + + + + + + + +

3 3

2 2

9

6

a b c abc a b b c c a

a b c b c a c a b abc a b b c c a

Đểý đến đẳng thức

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )

+ + + + + + = + + + + + + + + = + + + +

2 2 3

a b c b c a c a b abc a b c ab bc ca

a b b c c a abc a b c ab bc ca

Do ta

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

+ + + + + + + + + + = + + + +

2 2 6 3

4

a b c b c a c a b abc a b b c c a

a b c ab bc ca

Suy a3+ + +b3 c3 9abc+3(a b b c c a+ )( + )( + ) (4 a b c ab bc ca+ + )( + + )

Hay ( + + )3+  ( + + )( + + )

9

a b c abc a b c ab bc ca

Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c= = Bài toán 3 Cho a b c, , số thực dương Chứng minh

( )

+ + +  + +

+ +

2 2 9abc 2

a b c ab bc ca

a b c

Lời giải

Vì a b c, , sốdương + + +  ( + + )

+ +

2 2 9abc 2

a b c ab bc ca

a b c

Tương đương với ( + + ) +  ( + + ) + +

2

4

abc

a b c ab bc ca

a b c Hay

( + + )3+  ( + + )( + + )

9

a b c abc a b c ab bc ca

Bất đẳng thức cuối theo toán Vậy bất đẳng thức chứng minh

Bài toán 4. Cho a b c, , số thực dương Chứng minh

( )( )( )

+ + + 

+ + + + + +

4

2

a b c abc

b c c a a b a b b c c a

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )

+ + + + + + + + +  + + +

4

a a b a c b a b b c c c a b c abc

a b b c a c Hay tương đương với

( ) ( ) ( )

+ + +  + + + + +  + + +  + + + + +

3 3 2 2 2

3 3 2

3

a b c abc a b ab b c bc c a ca

a b c abc a b c b c a c a b

Bài toán Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn a b c+ + =1 Chứng minh

( + + ) +

4 ab bc ca 9abc

Lời giải

Bất đẳng thức có vế chưa đồng bậc, ý đến giả thiết a b c+ + =1 ta đồng bậc hóa bất

đẳng thức thành

( + + )( + + ) + ( + + )3

4 a b c ab bc ca 9abc a b c

Đây bất đẳng thức toán

Bài toán Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c+ + =1 Chứng minh + + −2 

27

ab bc ca abc

Lời giải

Dễ dàng chứng minh (a b c b c a c a b+ − )( + − )( + − ) abc Hay (1 2− a)(1 2− b)(1 2− c)abc, khai triển ta

( ) ( )

( )

− + + + + + −   + +  +

1

4

a b c ab bc ca abc abc

ab bc ca abc

Từđó suy + + 1 9+

abc

ab bc ca

Mặt khác, từ a b c+ + =1 bất đẳng thức Cauchy ta  + +  =

 

3

3 27

a b c

abc

Do ta có + + −2 1 9+ −2 

4 27

abc

ab bc ca abc abc

Bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xảy = = =1

3

a b c

Nhận xét. Một lớp bất đẳng thức tương tự

• 7(ab bc ca+ + ) 9abc+

• 2(a3+ +b3 c3)+ 3abc a 2+ +b2 c2

• + + −  27

ab bc ca abc

• 6(a3+ +b3 c3)+ 9abc1

• 2+ + +2 4 13 27

a b c abc

• 8( + + ) 9 +7

ab bc ca abc

Bài toán Cho a b c, , số thực dương Chứng minh

( )

 

+ + +  + +  + +

+ + +

 

2 2 2 1 2

a b c abc ab bc ca

a b b c c a

Lời giải

Áp dụng bất đẳng tức Cauchy dạng + + 

+ +

1 1

 

+ + +  + +  + + +

+ + + + +

 

2 2 2 1 2 9abc

a b c abc a b c

a b b c c a a b c

Ta cần chỉra + + +  ( + + ) + +

2 2

2

abc

a b c ab bc ca

a b c , bất đẳng thức tương đương với

( ) ( ) ( )

+ + +  + + + + +

3 3 2

3

a b c abc a b c b c a c a b

Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức Schur

Như bất đẳng thức chứng minh

Bài toán Cho a b c, , số thực dương Chứng minh

( + + )

+ + +

+ + 

+ + + + +

2 2

2 2 2 a b c

a b b c c a

b c b c c a a b c

Lời giải

Biến đổi tương đương bất đẳng thức sau

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

+ +

+ + +

+ + 

+ + + + +

+ + +

 + + + + +  + +

+ + +

 + −   + −   + − 

     

 + +  + +

+ + +

 

 + +  + + +  + + 

+ + +

 

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

3

2

2 2

1 1

2

a b c

a b b c c a

a b b c c a a b c

c a b a b c b c a

a b c a b c

a b b c c a

c a b ab a b c bc b c a ca

a b c

a b b c c a

ab bc ca a b c abc

a b b c c a

Theo bất đẳng thức dạng + + 

+ +

1 1

x y z x y z ta

 

+ + +  + +  + + +

+ + + + +

 

2 2 2 1 2 9abc

a b c abc a b c

a b b c c a a b c

Ta cần chỉra + + +  ( + + ) + +

2 2 9abc 2

a b c ab bc ca

a b c , bất đẳng thức tương đương với

( ) ( ) ( )

+ + +  + + + + +

3 3 2

3

a b c abc a b c b c a c a b

Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức Schur

Bài toán chứng minh xong Dấu đẳng thức xảy a b c= =

Bài toán Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn abc=1 Chứng minh

+ + +

+ + 

+ + + + + +

3 3

3 3 3

1 1

2

1 1

a b c

b c c a a b

Lời giải

Đặt x a y b z c= 3; = 3; = 3xyz =1, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

+ + +

+ + 

+ + + + + +

1 1

2

1 1

x y z

y z z x x y

( )

( )( ) ( ()( ) ) ( ()( ) )

( )

( ) ( )

+ + +

+ +

+ + + + + +

+ + +

= + +

+ + + + + + + + +

+ + + 

+ + + + + +

2 2

2

1 1

1 1

1 1

1 1 1

3

2 3

x y z

y z z x x y

x y z

x y z y z x z x y

x y z

xy yz zx x y z

Ta cần chứng minh ( )

( ) ( )

+ + +

 + + + + + +

2

2

2 3

x y z

xy yz zx x y z , bất đẳng thức tương đương với

( ) ( ) ( ) ( )

+ + + + + + + + +  + + + + + +

2 2

2 6

x y z xy yz zx x y z xy yz zx x y z

Hay 3 2 (xy yz zx+ + )−(x2+y2+z2).

Từ bất đẳng thức quen thuộc (x y z y z x z x y+ − )( + − )( + − )xyz Khai triển biến đổi tương đương ta

(x y z+ + )3+9xyz 4(x y x xy yz zx+ + )( + + ) Do ta ( + + ) (− + + )  =

+ + + +

2 9

4 xy yz zx x y z xyz

x y z x y z

Hay ( + + )−( + + )

+ +

2 2

2 xy yz zx x y z

x y z

Cuối cúng ta cần  + +

9

3

x y z hay x y z+ + 3

Bất đẳng thức cuối theo bất đẳng thức Cauchy Vậy bất đẳng thức chứng minh

Dấu đẳng thức xảy a b c= = =1

Bài toán 10 Cho a b c, , số thực dương tùy ý Chứng minh

( + + ) (3 + − )( + − )( + − ) 2 2

27

a b c a b c b c a c a b a b c

Lời giải

Xét trường hợp (a b c b c a c a b+ − )( + − )( + − ) 0, bất đẳng thức hiển nhiên Xét trường hợp (a b c b c a c a b+ − )( + − )( + − ) 0, dễ dàng chứng minh

(a b c+ − ) 0;(b c a+ − )0;(c a b+ − ) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

( + + ) (3 + − )( + − )( + − ) 3 3

27abc a b c a b c b c a c a b a b c

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta

( + − )( + − )( + − )  ( + − +) ( + − +) ( + − )3

27abc a b c b c a c a b a b c a b c a b c a b c

Hay 27abc a b c b c a c a b( + − )( + − )( + − ) 2(ab bc ca+ + )−(a2+ +b2 c2)3

Khi ta

( + − )( + − )( + − )( + + )3 ( + + )−( 2+ +2 2)3( + + )3

27abc a b c b c a c a b a b c ab bc ca a b c a b c

Hay + + +  ( + + ) + +

2 2 9abc 2

a b c ab bc ca

a b c

Khai triển rút gọn ta

( ) ( ) ( )

( )( )( )

+ + +  + + + + +   + − + − + −

3 3 3 2

a b c abc a b c b c a c a b

abc a b c b c a c a c

Bất đẳng thức cuối với a b c, , Bất đẳng thức chứng minh

Bài toán 11 Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn ab bc ca+ + =1 Chứng minh

( )

( )

( )

( )

( )

( )

+ + +

+ + 

− − −

2 2

2 2

1 1

12

1 1

ab bc ca

ab bc ca

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

+ + + + + +

+ + 

− − − − − −

2 2 2

3

2 2 2

1 1 1

3

1 1 1

ab bc ca ab bc ca

ab bc ca ab bc ca

Như ta cần chứng minh ( )

( )

( )

( )

( )

( )

+ + +



− − −

2 2

2 2

1 1

64

1 1

ab bc ca

ab bc ca hay ta cần chứng minh bất đẳng

thức (1+ab)(1+bc)(1+ca) (8 1−ab)(1−bc)(1−ca)

Đặt x ab y bc z ca= ; = ; = , x y z, , 0 x y z+ + =1

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành (1+x)(1+y)(1+z) (8 1−x)(1−y)(1−z), tương đương với bất đẳng thức 9xyz7(xy yz zx+ + )−2

Ta dễ dàng chứng minh + + +  ( + + )

+ +

2 2 9xyz 2

x y z xy yz zx

x y z

Mà x y z+ + =1 nên ta suy 9xyz4(xy yz zx+ + )−1 Vì x y z+ + =1 nên 3(xy yz zx+ + )1,

( + + )−  ( + + )−

4 xy yz zx xy yz zx

Điều dẫn tới 9xyz7(xy yz zx+ + )−2

Như bất đẳng thức ban đầu chứng minh

Bài toán 12 Cho a b c, , số thực dương tùy ý Chứng minh

( 2+ )( 2+ )( 2+ ) ( + + )2

2 2

a b c a b c

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

( ) ( ) ( ) ( )

+ + + + + + +  + + + + +

2 2 2 2 2 2 4 2 8 3 2 6

a b c a b b c c a a b c a b c ab bc ca

Hay a b c2 2+2(a b2 2+b c2 2+c a2 2)+a2+ + + b2 c2 8 6(ab bc ca+ + )

( )

( ) ( ) ( )

( )

+ + + + + + +

 

= + +  + + + + + + + + +  + + + + + + +

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2

1 1 1

2

a b c a b b c c a a b c

a b c a b b c c a a b c

abc ab bc ca a b c

Phép chứng minh hoàn tất ta chỉra

( ) ( )

( )

+ + + + + + +  + +

 + + + +  + +

2 2

2 2

2

1 2

abc ab bc ca a b c ab bc ca

a b c abc ab bc ca

Dễ dàng chứng minh

( )

+ + +  + +

+ +

2 2 9abc 2

a b c ab bc ca

a b c

Ta cần chỉra +   +( )( + + ) + +

9

1 2abc abc 2abc a b c 9abc

a b c

Đánh giá cuối theo bất đẳng tức Cauchy

+ = + +  2 + + 

1 2abc abc abc a b c a b c; abc

Vậy toán chứng minh

Đẳng thức xảy a b c= = =1

Bài toán 13 Cho a b c, , số thực dương tùy ý Chứng minh

( 2+ +2 2)+ +  ( + + )

2 a b c abc a b c

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có + + ( + + ) +

2

a b c a b c

Bài toán quy chứng minh

( + + )+ +  ( + + ) + 

 

2

2 2

2

6

a b c abc a b c

Hay 7( 2+ +2 2)+ + 1 5( + + )

6 a b c abc ab bc ca

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có

( )

+

+ =  = 

+ +

3 2

3

1 9

2 2 2.3

abc a b c abc abc

abc

a b c abc

Do phép chứng minh hoàn tất ta chỉra

( + + )+ ( ) ( + + )

+ +

2 2

7

6

abc

a b c ab bc ca

a b c

Hay ( + + )+  ( + + )

+ +

2 2 3.9

7 a b c abc 10 ab bc ca

a b c

Theo đánh giá quen thuộc 4(a2 + +b2 c2)4(ab bc ca+ + ) nên ta được

( + + )+  ( + + )+ + ( + + )

+ + + +

2 2 3.9 2 3.9

7 a b c abc a b c abc ab bc ca

a b c a b c

Ta cần chỉra

( ) ( ) ( )

( )

+ + + + + +  + +

+ +

 + + +  + +

+ +

2 2

2 2

3.9

3 10

9

2

abc

a b c ab bc ca ab bc ca

a b c abc

a b c ab bc ca

Đánh giá cuối chứng minh

Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c= = =1 Bài toán 14 Cho a b c, , số thực dương tùy ý Chứng minh

( )( )( )

 + +  + 

 + + +  + + +

 

2

14

4

a b c abc

b c c a a b a b b c c a

Lời giải

Đặt = = =

+ ; + ; +

a b c

x y z

b c c a a b, ta

+ + =  + + + = + + +

1 1

2

1 1 xy yz zx xyz

x y z

Dễ dàng chứng minh + + 

x y z Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

( + + )2+  14

x y z xyz

Dễ ta chứng minh

( ) ( )

( ) ( )

+ + +  + +

+ +

 + + +  + + + −

+ +

2

2

9

4

9

14 14

xyz

x y z xy yz zx

x y z

xyz

x y z xyz xyz xy yz zx

x y z

Từ + + 3

x y z suy 

+ +

9

6

xyz

xyz

x y z , ta

( ) ( )

+ + + −  + + + = + +

9

14xyz xy yz zx xyz xy yz zx 8xyz

x y z Do ta được(x y z+ + )2+14xyz4

Vậy bất đẳng thức chứng minh

Đẳng thức xảy a b c= =

Bài toán 15 Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn a b c+ + =1 Chứng minh

( ) + ( ) + ( ) 

+ + − + + − + + −

1

1 9

a b c

bc b c ca c a ab a b

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

+ +

+ + − + + − + + −

+ + 

+ + + + − + − + −

2 2

2

2 2

1 9

27 4

a b c

bc b c ca c a ab a b

a b c

a b c abc a b c b c a c a b

Phép chứng minh hoàn tất ta chỉra

( + + )2 + + ( − )2+ ( − )2+ ( − )2

2 a b c 27abc 4a b c 4b c a 4c a b

Hay 4 ab a b( + +) 4bc b c( + +) 4ca c a( + +) 3abc

Đểý đến giả thiết ta viết lại bất đẳng thức thành

( + + )3 ( + +) ( + +) ( + +)

4 4

Hay 3+ + +3  ( + +) ( + +) ( + )

a b c abc ab a b bc b c ca c a

Biến đổi tương đương ta abc(a b c b c a c a b+ − )( + − )( + − )

Bất đẳng thức bất đẳng thức dễ dàng chứng minh Vậy toán chứng minh

Đẳng thức xảy a b c= = =1 = =1; =0

a b c hoán vị