Hệ thức Vi-ét và ứng dụng.[r]
(1)Bài Hệ thức Vi-ét ứng dụng. A/ Hệ thức Vi-ét
Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) thì
1.
b
x x
a c x x
a
Ngoài ta cần phải ý thêm hai công thức sau đây:
●
2 2
1 2 2
x x x x x x
●
3 3
1 2 2
x x x x x x x x
Ví dụ Cho phương trình 3x2 – x – = có hai nghiệm x
1, x2 Khơng giải phương trình,
tính :
2 2
A x x ( trích đề thi ts 2018 – 2019) Giải
Vì a = c = –1 nên a c trái dấu phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Theo định lí Vi-ét, ta có
1
1 1
3 3
1 .
3
b
x x
a c x x
a
Ta lại có
2 2
A x x
22 2
A x x x x
2
1 1
2.
3 3
A
7 9
A
Ví dụ 2. Cho phương trình x2 – 2mx + m – =0 (x ẩn số, m tham số)
(2)c/ Tìm m để
2
1 2 1
1 x 2 x 1 x 2 x x x 2
Giải
1; 2 ; 2
a b m c m
a/ Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m ● Cách 1. Dùng để chứng minh:
Ta có b2 4ac
2m2 4.1.m 2
2
4m 4m 8
2
4m 4m 1 7
2m 12 7 0
với m
Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m ●Cách 2. Dùng ' để chứng minh:
Ta có
' 2
2 2
b m
b m
2
' b' ac
2
' m 1 m 2
2
' m m 2
2 1 7
'
4 4
m m
2
1 7
' 0
2 4
m
với m
Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b/ Gọi x1, x2 hai nghiệm pt Tính x1 + x2 x1.x2 theo m
Vì x1, x2 hai nghiệm pt nên theo định lí Vi-ét
1
2
2 1
2
. 2
1
m b
x x m
a
c m
x x m
a
(3)c/ Tìm m để
2
1 2 1
1 x 2 x 1 x 2 x x x 2
Ta có:
2
1 2 1
1 x 2 x 1 x 2 x x x 2 2
2 1 2 2 2 x 2x x x 2 x 2x x x x x 2x x 2
2 2
4 x x x x 2
2 4 2m 2m 2
2
4m 2m 2 0
Giải phương trình ta
1 1;
2
m m
B/ Ứng dụng Vi-ét vào phương pháp nhẩm nghiệm phương trình bậc hai. Xét phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0)
● Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm x1 1
c x
a
Ví dụ Giải phương trình sau:
a/ 5x2 3x 2 0 b/
2
2x 2 1 x 2 0
Giải a/
2
5x 3x 2 0(a 5;b 3;c 2)
Ta có a b c 5 3 2 0
Nên phương trình có nghiệm x1 1
2 2 5 5
c x
a
b/
2
2x 2 1 x 2 0( a 2;b 2 ; c 2 3)
Ta có a b c 2 2 1 2 3 0 Nên phương trình có nghiệm x1 1
2 3 2
c x
a
(4)● Nếu a – b + c = phương trình có nghiệm x1 1
c x
a
Ví dụ Giải phương trình sau:
a/ 2004x2 2005x 1 0 b/
2
2x 2 1 x 2 0
Giải a/
2
2004x 2005x 1 0(a 2004;b 2005;c 1)
Ta có a b c 2004 20 05 1 0
Nên phương trình có nghiệm x1 1
1 2004
c x
a
b/
2
2x 2 1 x 2 0( a 2;b 2 ; c 2 3)
Ta có a b c 2 2 1 2 3 0 Nên phương trình có nghiệm x1 1
2
2 3 3 2
2 2
c x
a
Nếu a + b + c ≠ a – b + c ≠ khơng dùng phương pháp nhẩm nghiệm để giải phương trình mà phải dùng cơng thức nghiệm để giải phương trình.
C/ Tìm hai số biết tổng tích chúng.
Nếu hai số có tổng bằng S tích bằng P hai số nghiệm phương trình x2 – Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số S2 – 4P ≥ 0
Ví dụ Tìm hai số u v biết u + v = 32 uv = 231 Giải
Vì u + v = 32 uv = 231 nên u v nghiệm phương trình
2 32 231 0
x x
Ta có
2
' b' ac 16 1.231 25 0
' 25 5
(5)1
' ' 16 5
21 1
b x
a
2
' ' 16 5
11 1
b x
a
Vậy u = 21 v = 11 u = 11 v = 21 Bài tập tự luyện
Bài 26 (sgk/53) Bài 27 (sgk/53) Bài 31 (sgk/54) Bài 32 (sgk/54) Bài tập thêm:
Bài Cho phương trình 3x2 + 5x – = có hai nghiệm x
1, x2 Khơng giải phương trình,
tính :
2 1 1
A x x x x
Bài Cho phương trình 2x2 – 3x – = có hai nghiệm x
1, x2 Khơng giải phương trình,
tính :
1
2
1 1
1 1
x x
A
x x
Bài Cho phương trình x2 – mx + m – =0 (x ẩn số, m tham số)
a/ Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b/ Gọi x1, x2 hai nghiệm pt Tính x1 + x2 x1.x2 theo m
c/ Tìm m để
2
1
1
2 2
4
1 1
x x
x x
Bài Cho pt x2 – 2mx + m2 – 2m + =0 (x ẩn số, m tham số)
a/ Tìm m để phương trình có nghiệm
b/ Gọi x1, x2 hai nghiệm pt Tính x1 + x2 x1.x2 theo m
c/ Tìm m
2
1 16