GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ TÍCH SỐ2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ TÍCH SỐ.[r]
(1)1
TRƯỜNG THPT VÕ VĂN KIỆT TỔ: TỐN
Kính chào
Q Thầy Cơ em học sinh
(2)CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ
CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ
1 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC CƠ BẢN
1 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC CƠ BẢN
2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ TÍCH SỐ
2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ TÍCH SỐ
3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN SỐ PHỤ
(3)B 0
2. A B
A B ìï ³
ï = Û í
ï = ïỵ
1 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC CƠ BẢN
1 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC CƠ BẢN
1.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN
2
B
1 A B
A B ìï ³
ïï = Û í
(4)3 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN KHÁC
• DẠNG A + B = C ( )1
( )1 Û ( A + B)3 = ÛC A B AB A+ + ( + B) = C ( )
3 A + B = C
3
A + +B ABC = C
(5) Lưu y: Phương pháp biến đổi dạng đưa về phương trình hệ quả Do đó, để đảm bảo rằng không xuất hiện
(6)1.2 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA • Vd1: Giải phương trình:
( )
2
x 4x 2x
- + - = - *
( ) 2 ( )2
2x
x 4x 2x
ìï - ³ ïï * Û í ï - + - = -ïïỵ x 2
x x 2 14
x
5 5x 24x 28 14
(7)Vd2: Giải phương trình:
( )
2
7 x- + x x 5+ = 2x x- - *
( ) 2x x2 2 x x 53 x 4 2x
7 x x x 2x x
ì ì
ï - - ³ ï - £ £
ï ï
ï ï
* Û í Û í
ï - + + = - - ï + =
-ï ïïỵ
ïỵ
( ) ( )
2 2
2 x
3 x x
x
x( 2x) x x
x
x x 16x 16
x x 2x
ìï ìï ìï - £ <
ï - £ £ ï- £ £ ï
ï ï ï
ï ï ï
ï é
=-Û í - - ³ Û - £ <í Û í ê Û =
-ï ï ï
ï ï ï ê =±
ï + = - - ï + - - = ï ê
ï ïỵ ï ëỵ
ïỵ
(8)
Vd3: Giải phương trình:
• ĐK:
( )
3x 2- - x 1+ = *
3x 2
x
x 3
ìï - ³
ï Û ³
íï + ³ ïỵ
( ) 3x x 3x x x x x
* Û - = + + Û - = + + +
Û + =
x 02 x x
x x
x x 10x 25
ì ì
ï - ³ ï ³
ï ï
ï
Û í Û í Û =
ï + = - + ï = Ú =
ï ïỵ
ïỵ
● Kết hợp điều kiện, nghiệm của phương trình
x = 9
(9)Vd4: Giải phương trình:
• ĐK:
( )
x 8+ - x = x 3+ * x ³
● Kết hợp điều kiện, nghiệm của phương trình
x =
( )* Û x + =8 x 3+ + x Û x 2x+ = + +3 x x 3( + )
( )
( ) ( )
x
x
5 x x 1
2 x x x 25
x
4x x x 25
x
3 ìï £
ï é
ï =
ìï - ³ ï é ê
ï ï =
ï ê ê
Û + = - Û í Û í Û
ê
ï + = - ï ê =
-ï ï ê ê
ïỵ ï = -ï ê ë
(10)Vd5: Giải phương trình:
● Kết hợp điều kiện, nghiệm của phương trình
x =
( )
x +2 x 1- = -x *
( )* Û ( x - 1)2 + x - 1+ = -1 x
( )
Û x - 1+ = -x
2
x
x 1 x
x 1 x
x
x x 3
x
x 7x 10
x x
x
ìï - ³ ïï
Û - + = - Û í
ï - + =
-ïïỵ
ìï ³ ï
ì ì
ï - ³ ï ³ ï
ï ï ï
ï ï é =
Û í Û í Û í ê
ï - = - ï - + = ï
ï ïïỵ ï ê
ïỵ ï ê =
ï ë ỵ
(11)Vd6: Giải phương trình:
● Thử lại, Nghiệm của phương trình x 19
30 =
( )
3 3x 1- + 2x 1- = 5x 1+ *
( )* Û ( 3x 1- + 2x 1- )3 = 5x +1
( )
( )
3 3
3 3
5x 3x 2x 3x 2x 5x
3 3x 2x 3x 2x
Û - + - + - - - = +
Û - + - - - =
Þ 5x 3x 2x 1+ - - =
( )( )( )
Û 5x 3x 2x 1+ - - =
x
30x 19x 19
x
30 é =
ê ê
Û - = Û
(12)2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ TÍCH SỐ
• 2.1 KIẾN THỨC SỬ DỤNG:
( ) ( )( )
1
1 f x = ax + bx + =c a x x- x x
-với hai nghiệm của x , x1 f x( ) =
( )( )
3 u v uv+ = + Û u v 0- - =
( )( )
4 au bv ab vu+ = + Û u b v a- - = 0
(13)5 BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ TỔNG CÁC SỐ KHÔNG ÂM
5 BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ TỔNG CÁC SỐ KHÔNG ÂM
Dùng các biến đổi(chủ yếu hằng đẳng thức) hoặc tách ghép để đưa về dạng:
Dùng các biến đổi(chủ yếu hằng đẳng thức) hoặc tách ghép để đưa về dạng:
2 2
A 0 B 0 A B C 0
C 0 0 ìï =
ïï
ï = ïï
+ + + = Û í
ï = ïï
(14)6 NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP
6 NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP
Dự đoán nghiệm bằng máy tính bỏ túi Tách, ghép phù hợp để sau nhân liên hợp
xuất hiện nhân tử chung hoặc bội của phương trình nhằm đưa về phương trình tích số:
Các công thức thường dùng nhân liên hợp Dự đoán nghiệm bằng máy tính bỏ túi Tách, ghép phù hợp để sau nhân liên hợp
xuất hiện nhân tử chung hoặc bội của phương trình nhằm đưa về phương trình tích số:
Các công thức thường dùng nhân liên hợp
o x = x
o x - x
(15)Biểu thức Biểu thức liên hợp Tích
A ± B A m B
3 A + 3 B A2 - AB + B2 A B+
A B -A B
-3 A - 3 B 3 2 3 3 2
(16)2.2 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Vd7: Giải phương trình:
Đk:
( )
x + x 5+ = *
x 0+ ³ Û x ³ - 5
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
x x 5 x x 5 0 x x 5 x x 5 0 * Û - + + + + = Û - + + + + =
( )( ) ( )
( )( )
x x x x 5 x x 5 0
x x x 1 x 5 0
Û - + + + + + + =
(17)( ) ( )2
x
x
2 1 17 1 17
x x x x
2 17 x ìï ³ -ìï + ³ ï ï ï ï ï Û í Û í - - - + ï + = + ï = Ú = ï ï ïỵ ïïỵ - + Û =
( )
x
x
1 1 21 1 21
x x x x
2 21 x ìï £ ì ï ï - ³ ï ïï ï Û í Û í + -ï + = ï = Ú = ï ï ïỵ ïïỵ -Û = ( ) ( )
x x
x x
é + = -ê
Û ê
(18)Vd8: Giải phương trình:
Giải: ( ) ( )
2
x 10 x+ - = x - -x 12 *
2
10 x- ³ Û - 10 x£ £ 10
Đk:
( )* Û ( x + 3 10) - x2 = ( x + 3 x) ( - 4)
( ) ( )
Û x 10 x+ éê - - x 4- ùú=
ë û
( )
2
x
10 x x
é = -ê
Û ê - =
-ê ë
10 x 10 x 10 x - £ £ Þ - £ - < Þ - <
Vậy phương trình có nghiệm x = - Ta có:
(19)Vd9: Giải phương trình:
Giải: Đk:
Kết hợp đk, phương trình có nghiệm
3 x ³ -( )
4x + 2x 8x 1+ = + *
2
2
(*) 4x 2x 8x
9 1
4x 6x 2x 2x
4
Û + + = +
Û - + = + - + +
2
3
2x 2x
2 ỉ ư÷ ỉ ư÷ ç ÷ ç ÷ Û çç - ÷ = çç + - ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ø
3 21
2x 2x 2x 2x 1 x
2
3 2x 2x 3 17
2x 2x x
2 4
é é ê -é ê - = + - ê + = - ê = ê ê Û ê Û ê Û ê ê ê - = - + ë + = - ê + = ê ê ë ë
5 21 17
x x
4
- +
(20)Vd10: Giải phương trình:
Giải: Đk:
Kết hợp đk, phương trình có nghiệm
x ³ - ( )
2
4 x x+ = - 5x 14+ *
( )
( ) ( )
2
2
x 5x 14 x
x x x 6x
* Û - + - + =
Û + - + + + - + =
( ) ( )
Û éêê x 1+ - 2.2 x 2+ + 2ùúú+ -x =
ë û
( x 2)2 (x 3)2 x x x
ìï + - = ïï
Û + - + - = Û íï - = Û =
ïïỵ
(21)Vd11: Giải phương trình:
Giải:
Đk:
Kết hợp đk, phương trình có nghiệm x ³ ( ) 2x 3- - x 2x 6= - *
( )
( 2x 3x x) x 3( )
-* Û - - =
- +
( )
x
2x x
ổ ửữ ỗ ữ - ỗỗ - ữ= ữ çè - + ø ( ) x 2x x
é = ê ê Û ê = êê - + ë
x = 3
( )
3
x 2x x 1
2 2x 3 x
1
2 VN
2x x
³ Þ - + ³ > Þ <
- +
Þ =
(22)Vd12: Giải phương trình:
Giải:
Đk:
Kết hợp đk, phương trình có nghiệm
x
- £ £
( )
2
3x 1+ - x 3x- + - 14x 0- = *
( )* Û ( 3x 4+ - ) (+ -1 6 x- ) + 3x2 - 14x 5- = 0
( ) ( )( )
x x 3x x 3x x
-
-Û + + + - =
+ + +
-x 5=
( ) ( )
x 3x 1
3x x
ổ ửữ
ỗ ữ
ỗ
- ỗ + + + =ữữ
ữ
ỗố + + + - ứ
Ta có: Do đó
1
x ;6 3x
3 3x 1 6 x
é ù
ê ú
" ẻ -ờ ỳị + + + >
+ + +
-ë û
(23)3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN SỐ PHỤ • 3.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN
( ) ( ) PP ( )
2
t f x , t
1 a.f x b f x c
at bt c
ìï = ³
ïï
+ + = ắắắđớ
ï + + =
ïïỵ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PP ( ) ( )
2 f x + g x + f x g x = h x ắắắđ =t f x + g x
( ) ( ) ( )
( )
n PP
n m
m
u a f x
3 a f x b f x c
v b f x
ìï = -ïï
a - + b + = ắắắđớ
ï = +
(24)3.2 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
VD13: Giải phương trình: x2 + x2 +11 31= ( )*
( )
2 2 2
t = x +11, t 11³ Þ t = x + Þ11 x = -t 11
( ) ( t2 11) t 31 t2 t 42 0 t ( )( )N
t L
é = ê
* Û - + = Û + - = Û ê
= -êë
2
t 6= Þ x +11 6= Û x = 25 Û x = ±5
Đặt:
Với
(25)VD14: Giải phương trình:
( )( ) ( )
x 2+ + x- + x x+ - = * x
2 x 5 x
ìï + ³
ï Û - £ £
íï - ³ ïỵ
( )( ) ( )( )
2 t
t x x x x
2
-Þ = + + - Û + - =
( ) t t2 4 t2 2t 15 0 t N ( )( )
t L
é =
- ê
* Û + = Û + - = Û ê
= êë
Đk:
Với ( )( ) ( )( )
2
2
t
t x x x x
2
3
x 3x x (n)
2
-= Þ + - = = Û + - =
±
Û - + - = Û =
(26)VD15: Giải phương trình: 2 3x x 4+ - - = ( )*
7 x
3 ³
-( )* Û 2u 5v 2- = ( )
( ) ( )
3
u 3v 25
1 ,
2u 5v
v 5v
u
2 1 2017
v
12v 25v 40v 84
2 ìï - = ùù ị ớù - = ùùợ ộ ỡ = ï + ï = ê ïï ê Û í Û ê ± ï = ï - - + = ê ïïỵ ë Đk: Đặt: ( ) 3 2 3
u 3x u 3x
v x
v x
u 3x
u 3v 25
3v 3x 18
(27)3
1 2017 2017 2017
v x x
2 2
æ
- - ỗỗ - ữữ
= ị - = = ỗ ữữ+
ỗ ữ
ỗố ứ
3
1 2017 2017 2017
v x x
2 2
ổ
+ + ỗỗ + ữữ
= ị - = = ỗ ữữ+
ỗ ữ
ỗố ứ
3
v 2= Þ x 2- = Û - = Ûx x 14=
So đk, nghiệm pt là:
3
1 2017
x 14 x
2
ổ+ ửữ
ỗ ữ
ỗ
= =ỗ ữữ+
ỗ ÷
(28)VD16: Giải phương trình: ( x 3+ ) - x2 - 8x 48 x 24+ =
-( )
2
2 u v
u v 2x 57
u v
u v
2uv 2x 48
ì é
ï + = - + + =
ïï Û + = Û ê
í ê
ï = - ê + =
-ï ë
ïỵ
2
u v 3+ = Û - x - 8x 48 x 3+ + + = Û x = - -2
Đặt:
Ta có:
2
2
2
u x 8x 48
u x 8x 48
v x 6x
v x
ì ì
ï = - - + ³ ï = - - +
ï ï
ï Þ ï
í í
ï = + ï = + +
ï ïïỵ
ïỵ
2
u v+ = - Û -3 x - 8x 48 x 3+ + + = - Û3 x = - -5 31
(29)