TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ ... TÓM TẮT LÍ THUYẾT ... Biểu diễn dao động điều hòa bằng véc tơ quay. Tổng hợp các dao động điều hòa. PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN ... BÀI TOÁN THUẬN T[r]
(1)MỤC LỤC
Chủ đề TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ 354
A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 354
1 Biểu diễn dao động điều hòa véc tơ quay 354
2 Tổng hợp dao động điều hòa 354
B PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN 354
Dạng BÀI TOÁN THUẬN TRONG TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 354
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 366
Dạng BÀI TOÁN NGƢỢC VÀ “BIẾN TƢỚNG” TRONG TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 372
1 Bài toán ngƣợc tổng hợp dao động điều hoà 372
2 “Biến tƣớng” tổng hợp dao động điều hoà 379
3 Hai chất điểm dao động điều hòa đƣờng thẳng song song hai mặt phẳng song song có vị trí cân gốc tọa độ 382
4 Hiện tƣợng trùng phùng gặp 390
4.1 Hiện tƣợng trùng phùng với hai lắc có chu kì khác nhiều 390
4.2 Hiện tƣợng trùng phùng với hai lắc có chu kì xấp xỉ 391
4.3 Hiện tƣợng gặp hai lắc 392
(2)Chủ đề TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HỒ A TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1 Biểu diễn dao động điều hịa véc tơ quay
Mỗi dao đơng điều hòa đƣợc biểu diễn véc tơ quay Véc tơ có góc góc tọa độ trục Ox, có độ dài biên độ dao động A, hợp với hục Ox góc ban đầu cp quay quanh O với vận tốc góc ω
2 Tổng hợp dao động điều hòa
Phƣơng pháp giản đồ Fre−nen: Lần lƣợt vẽ hai véc tơ quay biếu diễn hai phƣơng trình dao động thành phần Sau vẽ véc tơ tổng hợp hai véc tơ
Véc tơ tổng véc tơ quay biểu diễn phƣơng trình dao động tổng hợp
1
M
2
M M
A
2
A
1
A
1
x x2
1
y
2
y
O
1
y
x + Nếu vật tham gia đồng thời hai dao x1A cos1 t 1 x2A cos2 t 2 dao động tổng hợp là: xx1x2A cos t với A đƣợc xác định bởi:
2 2
1 2
A A A 2A A cos
1 2
1 2
A sin A sin
tan
A cos A cos
Biên độ pha ban đầu dao động tổng hợp phụ thuộc vào biên độ pha ban đầu dao động thành phần
+ Khi hai dao động thành phần pha ( 2 1 2k) dao động tổng hợp có biên độ cực đại: A = A1 + A2
+ Khi hai dao động thành phần ngƣợc pha ( 2 2k 1 ) dao động tổng hợp có biên
độ cực tiểu:AA1A2
+ Trƣờng hợp tổng quát:A1A2 A A1A2
B PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TỐN
1 Bài tốn thuận tổng hợp dao động điều hịa 2 Bài tốn ngược tổng hợp dao động điều hòa.
Dạng BÀI TỐN THUẬN TRONG TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA
Nội dung tốn: Cho biết phƣơng trình dao động thành phần, yêu cầu tìm dao động tổng hợp
Phƣơng pháp giải:
Tổng hợp hai hay nhiều dao động điều hoà phƣơng, tần số dao động điều hoà phƣơng, tần số
Cách 1 Phƣơng pháp áp dụng trực tiếp cơng thức tính A tan
2
1 2
1 1
1 2
2 2
1 2
A A A 2A A cos
x A cos t
x A cos t A sin A sin
x A cos t tan
A cos A cos
* Nếu dạng hàm cos, dạng hàm sin đổi: sin t cos t
2
(3)* Nếu hai dao động pha: 2 1 k2 AmaxA1A 2
* Nếu hai dao động thành phần ngƣợc pha: 2 1 2k 1 Amin A1A2
* Nếu hai dao động thành phần vuông pha: 2
2 i1 2k A A1 A2
2
Cách 2 Phƣơng pháp cộng hàm lƣợng giác
1
1 2
x x x
x A cos t A cos t
1 2 1 2
A cos A sin
x cos t A cos A cos sin t A sin A sin
x A cos t
Cách 3. Phƣơng pháp cộng số phức
1
xx x
1 2
xA A
Kinh nghiệm:
1) Khi cần tổng hợp hai dao động điều hịa dùng ba cách Khi cần tổng hợp ba dao động điều hịa trở lên nên dùng cách cách
2) Phƣơng pháp cộng số phức áp dụng trƣờng hợp số liệu tƣờng minh biên độ chủng có dạng nhân với số
(I)
(IV) (I II)
(II)
4
A1
1
A
2
A
/
Ví dụ:
1
A 2A
A 3a
A 5a
Chọn a =
3) Trƣờng hợp chƣa biết đại lƣợng nên dùng phƣơng pháp vectơ quay cộng hàm lƣợng giác Trƣờng hợp hai dao động thành phần biên độ nên dùng phƣơng pháp lƣợng
Ví dụ 1: Một vật thực hai dao động điều hòa phƣơng tần số: x1 = 4cos(ωt + 30) cm, x2 = 8cos(ωt + 90) cm (với ω đo rad/s t đo giây) Dao động tổng hợp có biên độ
A 6,93 cm B 10,58 cm C 4,36 cm D 11,87 cm
Hướng dẫn
Bài toán đơn giản nên ta dùng cách : 2
1 2
A A A 2A A cos
2
A 8 2.4.8cos 90 30 4,36 cm Chọn C
Nếu hiểu nhầm 30 rad 90 rad 30° 90° dẫn đến kết sai
Ví dụ 2: Cho hai dao động điều hòa phƣơng, tần số, biên độ có pha ban đầu π/3 π/6 (phƣơng trình dạng cos) Pha ban đầu dao động tổng hợp hai dao động
A −π/2 B π/4 C π/6 D π/12
(4)1 2
1 2
a sin a sin
A sin A sin 3 6
tan
A cos A cos a cos a cos
3
Chọn B
Ví dụ 3: Một vật thực đồng thời dao động điều hồ phƣơng, tần số có phƣơng trình: x1 cos t / cm; x 2cos t cm Phƣơng trình dao động tổng hợp
A x = 2cos(ωt − π/3) cm B x = 2cos(ωt + 2π/3) cm
C x = 2cos(ωt + 5π/6) cm D x = 2cos(ωt – π/6) cm
Hướng dẫn
2
x x cos t cm
2 3
Chọn B
Dùng máy tính Casio fx 570 − ES, bấm nhƣ sau: shift MODE (Để chọn đơn vị góc radian) MODE (Để chọn chế độ tính toán với số phức)
3 Shift ( ) Shift ( )
(Màn hình máy tính hiển thị
) Shift
Màn hình kết quả: 2
Nghĩa biên độ A = cm pha ban đầu
3
nên ta chọn B
Chú ý: Để thực phép tính vê số phức, bấm: MODE hình xuất CMPLX
Muốn biểu diễn số phức dạng A bấm | SHIFT 3 Muốn biểu diễn số phức dạng: a + bi, bấm SHIFT Để nhập ký tự bấm: SHIFT ( )
Khi nhập số liệu phải thống đƣợc đơn vị đo góc độ hay rađian Nếu chọn đơn vị đo độ (D), bấm: SHIFT MODE hình hiển thị chữ D Nếu chọn đơn vị đo Rad (R), bấm : SHIFT MODE hình hiển thị chữ R
Ví dụ 4: Một vật thực đồng thời dao động điều hoà phƣơng, tần số có phƣơng trình: x1 = 2sin(πt – 5π/6) cm, x2 = cos(πt + π/6) cm Phƣơng trình dao động tổng hợp
A x = 5cos(πt + 1,63) cm B x = cos(πt – 5π/6) cm
C x = cos(πt − π/6) cm D x = 5cos(πt − 1,51) cm
Hướng dẫn Đổi hàm sin cos:
1
2
5
x 2sin t cos t cm
6
x cos t cm
6
(5)Cách 1:
2 2
1 2
1 2
1 2
4
A A A 2A A cos 2.2.1cos cm
6
4
2sin 1.sin
A sin A sin 3 6
tan 1,51 rad
4
A cos A cos 2 cos 1.cos
3
Chọn D:
Cách 2:
1
5
x x x 2sin t cos t
6
5
x 2sin t cos cos t sin cos t cos sin t sin
6 6
5 cos 1,51 sin 1,51
2 3
x cos t sin t cos t 1,51 cm
2
Chọn D
Cách 3:
1
4
x x x 1, 63
3
x cos t 1, 63 cm
Chọn A
Bình luận: Đáp án A! Vậy cách cách sai đâu ? Ta dễ thấy véc tơ tổng
1 2
AA A nằm góc phần tƣ thứ III khơng thể lấy 1,51rad
Sai lầm chỗ, phƣơng trình có hai nghiệm:
1,51 rad tan
1,51 1, 63 rad
Ta phải chọn nghiệm 1,63 rad véc tơ tổng “bị kẹp” hai véc tơ thành phần Qua ta thấy máy tính khơng “dính bẫy” thơng thƣờng giống nhƣ ngƣời! Đây lợi cách
Ví dụ 5: Cho hai dao động điều hoà phƣơng tần số, biên độ lần lƣợt a a pha ban đầu tƣơng ứng là 1 / 3, 2 / Pha ban đầu dao động tổng hợp là:
A π/2 B π/3 C −π/2 D 2π/3
Hướng dẫn Muốn sử dụng máy tính ta chọn a = thực nhƣ sau :
1
2
x x x x cos t cm
3 3
Chọn B
Dùng máy tính Casio fx 570 − ES, bấm nhƣ sau: Shift MOD (Để chọn đơn vị góc radian) MODE (Để chọn chế độ tính tốn với số phức)
2
1 Shift ( ) Shift ( )
3
(6)(Màn hình máy tính hiển thị
3
Shift
Màn hình kết quả:
Nghĩ biên độ A = 2a, pha ban đầu
3
nên ta chọn B
Dùng máy tính Casio fx 570MS bấm nhƣ sau:
Shift MODE (Để cài đặt ban đầu, đơn vị đo góc độ) MODE (Để cài đặt tính tốn với số phức)
1 SHIFT ( ) 120 SHIFT ( ) 30
Bấm SHIFT đƣợc A =
Bấm SHIFT đƣợc 60
Nghĩa biên độ A = cm pha ban đầu = 60° nên ta chọn B
Chú ý : Nếu hai dao động thành phần có biên độ ta nên dùng phƣơng pháp lƣợng
giác: 2
1
x a cos t a cos t 2a cos cos t
2
Ví dụ 6: Phƣơng trình dao động tổng hợp dao động thành phần phƣơng tần số: x1 = 4cos(100t) (cm); x2 = 4cos(100t + π/2) (cm)
A x = 4cos(100t + π/4) (cm) B x = cos(100t + π/8) (cm)
C x = 2cos(100t + π/4) (cm) D. x = 4cos(100t + 3π/4) (cm)
Hướng dẫn
1
x x x 2.4 cos cos 100t cos 100t cm
4 4
Chọn B
Ví dụ 7: Biên độ dao động tổng hợp ba dao động
1
x 4 cos t cm , x 4cos t 0, 75 (cm) x33cos t 0, 25 cm
A 7cm B 8 2cm C 8 cm D 7 2cm
Hướng dẫn
Cách 1: Phƣơng pháp cộng hàm lƣợng giác
1
xx x
1 2 1 2
xcos t A cos A cos sin t A sin A sin x
3
x cos t cos cos 3cos sin t sin 4sin 3sin
4 4
x 3,5 cos t 3,5 sin t cos t cm A cm
Chọn A
Cách 2: Phƣơng pháp cộng số phức:
1 1 2
xx x A A
3
x 4
4 4
(7)Dùng máy tính Casio fx 570 − ES, bấm nhƣ sau:
Shift MODE (Để chọn đơn vị góc radian) MIDE (Để chọn chế độ tính tốn với số phức)
3
4 Shift ( ) Shift ( ) Shift ( )
4
(Màn hình máy tính hiển thị: 4 3
4
Shift
Màn hình kết quả:
Nghĩa biên độ A = cm pha ban đầu
4
nên ta chọn A
(Pha ban đâu cân nhập 4 3
4
đƣợc kểt nhƣtrên)
Dùng máy tính Casio fx 570− MS, bấm nhƣ sau:
SHIFT MODE (Để cài đặt ban đầu, đom vị đo góc độ) MODE (Để cài đặt tính toán với số phức)
4 SHIFT ( ) 135 SHIFT ( ) 45
Bấm SHIFT đƣợc A =
Bầm SHIFT đƣợc 450
Nghĩa biên độ A = cm pha ban đầu = 45° nên ta chọn A
Ví dụ 8: Một vật thực đồng thời dao động điều hòa pha tần số có phƣơng trình lần lƣợt x1 = 5cos(2πt +) cm; x2 = 3cos(2πt − π) cm ; x3 = 4cos(2πt – 5π/6) cm, với < < π/2 tan = 4/3 Phƣơng trình dao động tổng hợp
A x4 cos t 5 / 6 cm B x3 cos t 2 / 3 cm
C x4cos t 5 / 6 cm D x = 3cos(2πt – 5π/6) cm
Hướng dẫn
4 5
5 arctan 4
3 6
Chọn C
4
Shift ( ) Shift tan Shift ( ) Shift ( )
3
Shift
Màn hình kết quả:
Ví dụ 9: Vật thực đơng thời hai dao động phƣơng có phƣơng trình x1 = 8cos(20t – π/3) cm x2 = 3cos(20t + π/3) cm (với t đo giây) Tính gia tốc cực đại, tốc độ cực đại vận tốc vật vị trí cách vị trí cực đại gần cm
(8)
2
1 2
2
A A A 2A A cos 64 2.8.3.cos cm
3
Gia tốc cực đại tốc độ cực đại:
2 2
max max
a A 20 A 20 2800 cm / s
v A 20.7 140 cm / s
Vị trí cách vị trí cực đại gần cm, tức vị trí cách vị trí cân bằng: |x| = − = (cm)
Vận tốc tính theo cơng thức:v A2x2 20 7252 40 cm / s (cm/s)
Ví dụ 10: Một vật có khối lƣợng 0,5 kg thực đồng thời ba dao động điều hồ thƣơng, tần số có phƣơng trình: x12 cos 10t / cm, x24cos 10t / cm ,
3
x 8cos 10t / cm (với t đo s) Tính dao động độ lớn gia tốc vật vị trí cách vị trí cực đại gần cm
Hướng dẫn Tổng hợp theo phƣơng pháp cộng số phức:
shift 23
1
2
3 6
Biên độ dao động tổng hợp cm nên dao động :
2
1
W m A
2
0,5.102.0,062 = 0,09 (J)
Vị trí cách vị trí cực đại gần cm, tức vị trí cách vị trí cân bằng: |x| = − = 4(cm)
Độ lớn gia tốc vật tính theo cơng thức: 2 2
a x 10 4400 cm / s
Ví dụ 11: Một vật tham gia đồng thời dao động diêu hoà phƣơng tần số vuông pha với Nếu tham gia dao động thứ dao động W1 Nếu tham gia dao động thứ hai dao động W2 Nếu tham gia đồng thời dao động thi dao động
A 0,5(W1 + W2) B (W1 + W2) C.
0,5
2
1
W W D 20,5
1
0,5 W W Hướng dẫn
Cả hai dao động vuông pha nên biên độ dao động tổng hợp: A A12A22
Cơ dao động: 2 2 2
1 2
1 1
W m A m A m A W W
2 2
Chọn B
Ví dụ 12: Một vật nhỏ có chuyển động tổng hợp hai dao động điều hòa phƣơng Hai dao động có phƣơng trình làx1A cos t; x1 2A cos2 t / 3 Gọi W vật
Khối lƣợng vật
A
2 2
1
W
A A
B 2 2
1 2
W
A A A A
C
2 2
1
W
A A
D 2 2
1 2
2W
A A A A
Hướng dẫn
Biên độ dao động tổng hợp: 2 2
1 2 1
A A A 2A A cos A A A A
3
(9)Cơ dao động:
2
2 2
1 2
1 2W
W m A m
2 A A A A
Chọn D
Ví dụ 13: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hịa phƣơng tần số có phƣơng trình x1 = 2cos(2πt + π/2) (cm) x2 = 2sin(2πt − π/2) (cm) Tính quãng đƣờng đƣợc từ thời điểm t = 4,25 s đến t = 4,375 s
A 10 cm B 9 cm C 6 cm D 2 cm
Hướng dẫn Phƣơng trình dao động tổng hợp:
x = x1 + x2 = 2cos(2πt + π/2) + 2sin(2πt − π/2)
Shift 23 3
2 2 x 2 cos t cm
2 4
3 t
4
1
3 4, 25 4.2
4
2 4,375 4, 25 S cm
4
2
4
Chú ý:
1) Lực kéo cực đại:
max
F kA m A
2) Lực đàn hồi cực đại: Fdh max k 0 A
Trong độ biến sạng lị xo vị trí cân bằng:
0
mg k mg sin
k
Ví dụ 14: Con lắc lị xo gồm vật nhỏ nặng kg thực đồng thời hai dao động điều hoà theo phƣơng ngang, theo phƣơng trình: x1 = 5cosπt (cm) x2 = 5sinπt (cm) (Gốc tọa độ trùng với vị trí cân bằng, t đo giây, lấy π2 = 10) Lực cực đại mà lò xo tác dụng lên vật
A 50 N B 0,5 N C 25 N D 0,25 2N
Hướng dẫn
1
2
2 2
2
x 5cos t
x 5sin t 5cos t A A A 2A A cos 0, 05 cm
2
k m 10 N / m
max
F k A 10 0, 005 0,5 N
Chọn B
Ví dụ 15: Con lắc lò xo gồm vật nhỏ nặng kg thực đồng thời hai dao động điều hoà theo phƣơng thẳng đứng, theo phƣơng trình : x15 cos10t (cm) x25 sin10t (cm) (Gốc
tọa độ trùng với vị trí cân bằng, t đo giây lấy gia tốc trọng trƣờng g = 10 m/s2) Lực cực đại mà lò xo tác dụng lên vật
A 10N B 20 N C 25 N D 0,25 N
(10)1
2
x cos10t
x sin10t cos 10t
2
0
mg
k m 100 N / m 0,1 m
k
2
1 2
max
A A A 2A A cos 10 cm 0,1 m
F k A 100 0,1 0,1 20 N
Chọn B
A
3
3
Chú ý: Giả sử thời điểm x A n
tăng (giảm) để tính giá trị x1 x2 có thể: Dùng phƣơng pháp vectơ quay; Giải phƣơng trình lƣợng giác
Ví dụ 16: Hai dao động điều hịa phƣơng tần số có phƣơng trình x1 = 6cos(10t + π/6) (cm) x2 = 6cos(10t + 5π/6) (cm) Tại thời điểm li độ dao động tổng hợp cm tăng li độ dao động thứ hai bao nhiêu?
A 10cm B 9cm C 6cm D – 3cm
Hướng dẫn Phƣơng trình dao động tổng hợp:
1
5
x x x 6 6 cos 10t cm
36 2
Vì x = cm tăng nên pha dao động bằng(ở nửa dƣới vòng tròn 10t 10t
2
2
5 5
x cos 10t cos cm
6 6
Chọn C
Chú ý:
1) Hai thời điểm pha cách khoảng thời gian kT
2 t1 t
t t kt k2 x x
2) Hai thời điểm ngƣợc pha cách khoảng (2k +1)T
2k 1 xt1 xt
3) Hai thời điểm vuông pha cách khoảng 2k 1T
22
2 t1 t
T
t t 2k 2k A x x
4
Ví dụ 17: Một vật thực đồng thời dao động điều hòa pha tần số có phƣơng trình lần lƣợt x1 = A1cos(2πt + 2π/3) (cm), x2 = A2cos(2πt) (cm), x3 = A3cos(2πt – 2π/3) (cm) Tại thời điểm t1 giá trị li độ x1(t1) = −10 cm, x2 (t1) = 40 cm, x3 (t1)= −20 cm Thời điểm t2 = t1 + T/4 giá trị li độ x1(t2) = −10 3cm, x2 (t2)= cm, x3(t2) = 20 3cm Tìm phƣơng trình dao động tổng hợp?
A x = 30cos(2πt + π/3) (cm) B x = 20cos(2πt − π/3) (cm)
(11)Hướng dẫn
Hai thời điểm t2 t1 vng pha nên biên độ tính theo cơng thức:
2
t1 t
A x x
1
2 2
1 t1 t 2 t t
A x x 20 cm ; A x x 40 cm
1 2
2
3 t t
A x x 40 cm
Tổng hợp theo phƣơng pháp cộng số phức: xx1x2x3A1 1 A2 2 A33
2
20 40 40 20 x 20 cos t cm
3 3
Chọn B
Chú ý: Nếu toán cho biết trạng thái hai dao động thành phần thời điểm đó, u cầu tìm trạng thái dao động tổng hợp làm hai cách (vịng trịn lƣợng giác giải phƣơng trình lƣợng giác)
Ví dụ 18: Hai dao động điều hòa (1) (2) phƣơng, tần số biên độ cm Tại thời điểm đó, dao động (1) có li độ 3cm, chuyển động ngƣợc chiều dƣơng, cịn dao động (2) có li độ cm theo chiều dƣơng Lúc đó, dao động tổng hợp hai dao động có li độ chuyển động theo chiều nào?
A x = cm chuyển động ngƣợc chiều dƣơng
B x = 5,46 chuyển động ngƣợc chiều dƣơng
C x = 5,46 cm chuyển động theo chiều dƣơng
D x = cm chuyển động theo chiều dƣơng Hướng dẫn
Cách 1: Chọn thời điểm khảo sát thời điểm han đầu t = phƣơng trình dao động
chất điểm lần lƣợt là:
1
2
x cos t
6
x cos t
3
Phƣơng trình dao động tổng hợp (bằng phƣơng pháp cộng hàm lƣợng giác):
1
x x x cos t cos t
6
x 2.4 cos cos t
4 12
x cos t cm 12
Tại thời điểm ban đầu li độ tổng hợp
0 01 02
x x x 2 3 2 5, 46cm Pha ban đầu dao động tổng hợp
12
thuộc góc phần tƣ thứ IV nên vật chuyền động theo chiều dƣơng => Chọn B
3
6
6
2
6
1
A
2
A A 2
Cách 2:
Li độ tổng hợpxx1x22 3 2 5, 46 cm Véc tơ tổng hợp AA1A2 nằm góc phần
(12)Ví dụ 19: Hai dao động điều hòa phƣơng tần số vị trí cân bằng, li độ x1 x2 phụ thuộc thời gian theo đồ thị sau Tổng tốc độ có giá trị lớn
A 280π (cm/s) B 200π (cm/s) C 140π (cm/s) D 160π (cm/s)
t(s)
6
8
2
x
1
x x(cm)
0, 05 0,10
Hướng dẫn
Phƣơng trình tổng tốc độ vật:
1
2
x 8cos 20 t cm x cos 20 t cm
Phƣơng trình vận tốc vật:
'
1
'
2
v x 160sin 10 t cm / s
v x 120sin 200 t cm / s
'
1
'
2
v x 160 cos 20 t cm / s
v x 120 sin 20 t cm / s
Phƣơng trình tổng tốc độ vật: v v1 v2 160 cos 20 t 120 sin 20 t
2 2 2 2
160 120 cos 20 t sin 20 t 200 cm / s
Dấu xảy tan 20 t
3
Chọn B
Ví dụ 20: Một chất điểm thực đồng thời hai dao động điều hòa phƣơng chu kì T mà đồ thị x1 x2 phụ thuộc thời gian biểu diễn hình vẽ Biết x2 = v1T, tốc độ cực đại cua chất điểm 53,4 cm/s Giá trị T gần giá trị sau đây?
A 2,56 s B 2,99 s
C 2,75 s D 2,64 s
x(cm)
0
1
t 2,5 3, 95
1
x t(s)
2
x
Hướng dẫn
Cách 1:
* Trƣờng hợp vuông pha nên:
2
2
th
2 max max
max th 2 2
A A A A
v v T
v A A A
1 4
x
A
1
A
(13)2
max
0 2 2 2 2 2
1
v T
A A A
x
A A A 4
2
0 max
x
T 2,99 s
v
Chọn B
Cách 2:
Dễ thấy x1 sớm pha x1 π/2 Chọn lại mốc thời gian lúc t = 2,5 s thì:
2
2
1
th
2
2
max th
x A sin t
A A A A
2
x v T A cos t A cos t v A A 4
Thay số:
2
53,
53, A A
1
Tại thời điểm t t1 x1x2 3,95cm
1 1
Asin t 2 A cos t 3,95
1
1
tan t
3,95 3,95
A cm
sin t sin arctan
2
2
T A 2,99 s
53,
Chọn B
Ví dụ 21 : Cho ba dao động điều hòa phƣơng tần số có phƣơng trình lần lƣợt x1 = l,5acosωt (cm); x2 = A2cosωt + φ2) (cm) x3 = acos(ωt + π) (cm) Gọi x12 = x1 + x2 x23 = x2 + x3 Biết đồ thị phụ thuộc x12 x23 theo thời gian nhƣ hình vẽ Tính A2
A A2 = 3,17 cm
B A2 = 6,15 cm
C A2 = 4,87 cm
D A2 = 8,25cm
x(cm)
t(s)
12
x
23
x
0 0,
4
8
4
Hướng dẫn Từ đồ thị: T / 40,5s T 2s 2 / T rad / s
Tại thời điểm t = 0,5s đồ thị x12 vị trí biên âm xuống đồ thị x23 vị trí biên âm
12
23
2
x 8cos t 0, 8cos t cm
3
x cos t 0, cos t cm
2
1 12 23
x x x x 4 cos t cm
6
(14)Mặt khác: x1x31,5a cos t a cos t 2,5a cos t nên 2,5a4
1
A 1,5a 2, cm
a 1, cm
A a 1, cm
Tƣơng tự: x31x1x31,5a cos t a cos t 0,8 cos t cm
12 23 31
2
8 0,8
x x x 6 2 37
x 0,965
2
2
4 37
A 4,87 cm
5
Chọn C
Ví dụ 22: Hai lắc lị xo giống hệt Kích thích cho hai lăc dao động điều hòa với biên độ lằn lƣợt 3A A dao động pha.Chọn gốc vị trí cân hai lắc Khi động lắc thứ 0,72 J lắc thứ hai 0,24 J Hỏi lắc thứ 0,18 J động lắc thứ hai bao nhiêu?
A 0,32J B 0,30J C 0,08 J D 0,31J
Hướng dẫn
*Tại thời điểmx13x2 v13v2 Suy Wt19Wt 2 Wd19Wd2 * Khi Wd1 = 0,72 J Wd2W / 9d1 0, 08JW2Wd2Wt 0,32 J
* Khi Wt10, 09JWt 2W / 9t1 0, 01JWd2W2Wt 20,31J Chọn B
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1 : Một vật thực đồng Hai dao động điều hòa phƣơng, theo phƣơng trình x1 = 4sin(πt + α ) cm x2 = 3cosπt cm Nếu biên độ dao động tổng hợp đạt giá trị nhỏ α bằng?
A π/2 B π/4 C π D 3π/2
Bài 2: Một vật thực đồng thời Hai dao động điều hòa phƣơng, theo phƣơng trình x1 = 4sin(πt + α) cm x2 = 3cosπt cm Nếu biên độ dao động tổng hợp đạt giá trị lớn α
A π/2 B π/4 C π D 3π/2
Bài 3: Phƣơng trình dao động điều hồ vật có dạng x = 6.sin5t + 8.cos5t (cm) Biên độ dao động vật
A 5 cm B 9 cm C 10 cm D 11 cm
Bài 4: Một vật thực đồng thời dao động điều hòa phƣơng, tần số có phƣơng trình: x1 = 2sin(ωt − π/3) cm, x2 = cos(ωt + π/6) cm Phƣơng trình dao động
A x = 2cos(ωt − π/3) cm B x = cos(ωt – 5π/6) cm
C x = cos(ωt − π/6) cm D x = 2cos(ωt − π/6) cm
Bài 5: Toạ đô chất điểm chuyển động trục Ox phụ thuộc vào thời gian theo phƣơng trình: x = A1cosωt + A2sinωt A1, A2, ω số biết Chất điểm
A dao động điều hoà với tần số góc ω, biên độ 2
1
A A A , pha ban đầu φ (dạng cos) với
tanφ = −A1/A2
B dao động điều hịa với tần số góc ω, biên độ 2
1
A A A , pha ban đầu φ (dạng cos) với
tanφ = −A1/A2
(15)Bài 6: Cho hai dao động điều hoà phƣơng tần số, biên độ pha ban đầu lần lƣợt φ1 = π/6; φ2 = 5π/6 Pha ban đầu dao động tổng hợp là:
A π/2 B π/3 C − π/2 D 2π/3
Bài 7: Cho hai dao động điều hoà phƣơng tần số, biên độ lần lƣợt a 3và a pha ban đầu tƣơng ứng π/2 π Pha ban đầu dao động tổng hợp
A 5π/6 B −π/3 C −π/6 D 2π/3
Bài 8: Một chất điểm thực đồng thời hai dao động điều hòa.cùng phƣơng tần số: x1 = 5cos(ωt + 5π/6) (cm) x2 = 10sinωt (cm) Dao động tổng hợp có dạng: x = Acos(ωt + φ) Giá trị φ
A π/3 rad B −2π/3 rad C −5π/6 rad D π/6rad
Bài 9: Hai dao động học điều hoà phƣơng, tần số góc ω = 50 rad/s, có biên độ lần lƣợt 100 mm 173 mm, dao động thứ hai trễ pha π/2 so với dao động thứ (có dạng hàm cos) Xác định dao động tổng hợp (xem pha dao động thứ 0)
A x = 4cos(50t − π/2) cm B x = 5cos(50t − π/2) cm
C x = 20cos(50t − π/3) cm D x = 20cọs(50t − π/6) cm
Bài 10: Hai dao động điều hoà phƣơng tần số có phƣơng trình lần lƣợt x1 = 5cos(2t − π/6) cm; x2 = 5cos(2t − π/2) cm Dao động tổng hợp hai dao động có biên độ
A 5 cm B 5 cm C 10 cm D.5 cm
Bài 11: Hai dao động điều hỏa tần số có độ lệch pha π/2, biên độ chúng lần lƣợt cm, cm Biên độ dao động tổng hợp :
A 5 cm B 4m C 3 cm D 7 cm
Bài 12: Hai dao động điều hịa phƣơng có biên độ cm nhƣng pha ban đầu lần lƣợt −π/6 −π/2 Dao động tổng hợp hai dao động có biên độ
A 4 cm B 4cm C 2 cm D.2 cm
Bài 13: Cho hai dao động điều hòa phƣơng có phƣơng trình dao động lần lƣợt x1= 3 sin(5πt + π/2) cm, x2 = 3sin(5πt − π/2) cm Biên độ dao động tổng hợp hai dao động
A 6 cm B 3cm C 0 cm D 3 cm
Bài 14: Một vật chịu đồng thời Hai tác nhân kích thích dao động với dao động riêng phần mà Hai tác dụnu gày độc lập có phƣơng trình x1 = 3cos(10πt − π/6) cm x2 = 5sin( 10πt) cm Dao dộng tổng hợp mà vật thực dao động
A điều hòa với biên độ 4,36 cm B điều hòa với biên độ cm
C điều hòa với biên độ 7,73 cm D khơng điều hịa
Bài 15: Phƣơng trình dao động tổng hợp dao động thành phần phƣơng tần số: x1 = 4.cos(10t – π/6) (cm); x2 = 4.cos( ωt + π/2) (cm)
A x = 4.cos(10t + π/4) (cm) B x = cos(10t + π/8) (cm)
C x = cos(10t + π/4) (cm) D x = 4.cos(10t + π/6) (cm)
Bài 16: Một vật thực đồng thời hai dao động điều hoà phƣơng, tần số có phƣơng trình: x1 = 3cos(ωt − π/2) cm, x2 = cos(ωt) cm Phƣơng trình dao động tổng hợp
A x = 2cos(cot − π/3) cm B x = 2cos(ωt + 2ω/3)cm
C x = 2cos(cot + 5π/6) cm D x = 2cos(ωt − ω/6) cm
Bài 17: Một vật thực đồng thời ba dao động điều hồ phƣơng, tần số có phƣơng trình: x1 = 0,5 cos(ωt) cm; x2 = cos(ωt + π/2) cm; x3 = cos(ωt + 5π/6) cm Biên độ dao động tổng hợp:
(16)Bài 18: Một vật thực đồng thời ba dao động điều hồ phƣơng, tần số có phƣơng trình: x1 = l,5cos(ωt) cm, x2 = 0,5 cos(ωt + π/2) cm, x3 = 3cos(ωt + 5π/6) cm Biên độ dao động tổng hợp là:
A cm B ( 3/3)cm C 72 cm D 2 cm
Bài 19: Một vật thực đồng thời ba dao động điều hồ phƣơng, tần số có phƣơng trình: x1 = 2cos(2t + π/4) cm, x2 = 4cos(2t − π/2) cm, x3 = 5cos(2t + π) cm Biên độ dao động tổng hợp
A lcm B 2cm C cm D 2 cm
Bài 20: Một vật thực đồng thời ba dao động điều hoà phƣơng, tần số có phƣơng trình: x1 = 4cos(2πt + π/2) cm, x2 = 3cos(2πt − π) cm, x3 = 8cos(2πt − π/2) cm Biên độ dao động tổng hợp
A 5cm B 2cm C cm D 2 cm
Bài 21: Một vật thực đồng thời ba dao động điều hoà phƣơng, tần số có phƣơng trình: x1 = 3cos(2πt + π/3) cm, x2 = 4cos(2πt + π/6) cm, x3 = 8cos(2πt − π/2) cm Biên độ pha ban đầu cua dao động tổng hợp (dạng cos) là:
A 12 (cm) π/3 B 16 (cm) π/6
C 8 (cm) −π/6 D 6 (cm) −π/6
Bài 22: Có bốn dao động điều hồ phƣơng tần số có biên độ pha ban đầu A1 = cm; A2 = cm; A3 = cm; A4 = cm φ1 = 0; φ2 = π/2; φ3 = π; φ4 = 3π/2 Biên độ pha ban đầu dao động tổng hợp là:
A 4 (cm) π/4 B 4 (cm) 3π/4
C 4 (cm) −π/4 D 4 (cm) −3π/4
Bài 23: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hịa phƣơng có phƣơng trình lần lƣợt x1 = 4cos(0,1t − π/6) (cm) x2 = 4cos(0,1t − π/2) (cm) (t đo mili giây) Tốc độ cực đại vật
A 2 cm/s B 0, cm/s C 2/2 cm/s D 4 m/s
Bài 24: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà phƣơng, có phƣơng trình lần lƣợt x1= 2.sin(10t − π/3) (cm); x2 = cos(10t + π/6) (cm) (t đo giây) Xác định vận tốc cực đại vật
A 5 (cm/s) B 20 (cm) C 10 (cm/s) D 10 (cm/s)
Bài 25: Chuyển động vật tổng hợp hai dao động điều hòa phƣơng, hai dao động có phƣơng trình lần lƣợt x1 = 3cos(30t + π/4) cm x2 = 4cos(30t + 3π/4) cm (với t đo giây) Tốc độ vật qua vị trí cân
A 1,5 m/s B 0,3 m/s C 0,3 cm/s D l,5cm/s
Bài 26: Một vật đồng thời thực hai dao động điều hồ phƣơng tần số có phƣơng trình: x1 = 4sin(8t + π/6) cm; x2 = 4cos(8t) cm (t đo giây) Tốc độ cực đại vật
A 32 (cm/s) B 32 (cm/s) C 61,8 (cm/s) D 16,6 (cm/s)
Bài 27: Một vật thực đồng thời ba dao động điều hoà phƣơng, tần số có phƣơng trình: x1 = l,5cos(5t) cm, x2 = 0,5 3cos(5t + π/2) cm, x3 = 3cos(5t + 5π/6) cm (t đo giây) Vận tốc cực đại vật
A 5 cm/s B (5 /3) cm/s C 5 3cm/s D 15 cm/s
(17)A 12 cm/s B 12 m/s C 16 cm/s D 16 m/s
Bài 29: Một vật thực đồng thời ba dao động điều hồ phƣơng, tần số có phƣơng trình: x1 = 2cos(5t − π/4) cm; x2 = 3cos(5t + π/2) cm ; x3 = 5cos(5t + π) cm Tốc độ cực đại vật
A 10 (cm/s) B 5 (cm/s) C 8 (cm/s) D 8 (cm/s)
Bài 30: Một vật thực đồng thời ba dao động điều hoà phƣơng, tần số có phƣơng trình: x1 = 3cos(2πt + π/3) cm; x2 = 4cos(2πt + π/6) cm ; x3 = 8cos(2πt − π/2) cm Dao động tổng hợp x = Acos(ωt + φ) Tốc độ cực đại vật φ
A 12π (cm/s) π/3 B 16π (cm/s) π/6
C 16π (cm/s) −π/6 D 12π (cm/s) −π/6
Bài 31: Hai dao động điều hòa phƣơng, tần số 10Hz có biên độ lần lƣợt cm cm Độ lệch pha hai dao động π/3 (rad) Vận tốc dao dao động tổng hợp li độ x = 6,5cm là:
A ± 13π cm/s B ± 65 cm/s C ± 130 cm/s D ± 6, 5 cm/s
Bài 32: Vật thực đồng thời hai dao động phƣơng có phƣơng trình x1 = 8cos(20t − π/3) cm x2 = 3cos(20t + π/3) cm (với t đo giây) Tính tốc độ vật vị trí cách vị trí cực đại gần cm
A 20 33cm/s B 5/3 cm/s C 140 cm/s D 40 10 cm/s
Bài 33: Một vật dao động điều hồ xung quanh vị trí cân O, dọc theo trục Ox có li độ thoa mãn phƣơng trình: x = 4cos(10t + π/6) + 4cos(10t + π/2) cm (t đo giây) Tính tốc độ vật vị trí có li độ cm
A 10 3cm / s B 5 cm/s C 20cm / s D 20 cm/s
Bài 34: Một vật dao động điều hồ xung quanh vị trí cân O, dọc theo trục Ox có li độ thỏa mãn phƣơng trình: x = (4/ ).cos(2πt + π/6) + (4/ 3).cos(2πt + π/2) (cm) (t đo giây) Tốc độ cua vật vị trí li độ x = 3(cm)
A 12,6 cm/s B 13,6 cm/s C 14,6 cm/s D 15,6 cm/s
Bài 35: Một vật thực đồng thời hai dao động điều, phƣơng tần số: x1 = 3sin10t (cm); x2 = 4cos10t (cm) (với t đo s) Gia tốc cực đại vật là:
A 3 m/s2 B 30 cm/s2 C 4 m/s2 D 500 cm/s2
Bài 36: (CĐ−2010) Chuyển động vật tổng hợp hai dao động điều hòa phƣơng Hai dao động có phƣơng trình lần lƣợt x1 = 3cos10t (cm) x2 = 4sin(10t + π/2) (cm) Gia tốc vật có độ lớn cực đại
A 7 m/s2 B 1 m/s2 C 0,7 m/s2 D 5 m/s2
Bài 37: Một vật có khối lƣợng (kg) tham gia đồng thời hai dao động điều hồ phƣơng, tần số góc 10 (rad/s) với biên độ (cm) (cm) pha ban đầu tƣơng ứng π/2 π Tính dao động
A 0.15J B 0,25 J C 125000 J D 0,125 J
Bài 38: Dao động chất điểm có khối lƣợng 200 g tổng hợp hai dao động điều hòa phƣơng, có phƣơng trình li độ lần lƣợt x1 = 5cos10t x2 = 10cos10t (x1 x2 tính cm, t tính s) Mốc vị trí cân Cơ chất điểm
A 0,225 J B 225 J C 112,5 J D 0,1125 J
Bài 39: Một vật có khối lƣợng (kg) tham gia đồng thời ba dao động điều hồ phƣơng, tần số góc 100 (rad/s) với biên độ 1,5 cm; 0,5 cm; 3cm pha ban đầu tƣơng ứng 0; π/2; 5π/6 Tính dao động
(18)Bài 40: Một vật có khối lƣợng (kg) tham gia đồng thời dao động điều hoà phƣơng tần số góc 10 (rad/s) Biên độ dao động A1 = A2 = cm Pha ban đầu dao động π/6 5π/6 Cơ dao động vật
A 0,03 J B 0,015 J C 150 J D 0,02 J
Bài 41: Một vật có khơi lƣợng 0,5 (kg) tham gia đồng thời hai dao động điều hoà phƣơng, tần số có phƣơng trình: x1 = 3cos(10t − π/3) cm; x2 = 3cos(10t + π/6) cm (t đo giây) Cơ dao dộng vật
A 0,25 (J) B 0,025 (J) C 0,045 (J) D 450 (J)
Bài 42: Chất điểm có khối lƣợng m1 = 200 gam dao động điều hòa quanh vị trí cân với phƣơng trình dao động x1 = sin(5πt + π/6) (cm) (t đo giây) Chất điểm có khối lƣợng m2 = 100 gam dao động điều hịa quanh vị trí cân với phƣơng trình dao động x2 = 5sin(πt − π/6) (cm) (t đo giây) Tỉ số q trình dao động điều hịa chất điểm m1 so với chất điểm m2
A 2 B 1/2 C 1 D 1/5
Bài 43: Vật có khối lƣợng m = 100g thực dao động tổng hợp Hai dao động điều hồ phƣơng, tần số, với phƣơng trình x1 = 5cos(10t + π) (cm) x2 = 10cos(10t − π/3) (cm) Giá trị cực đại lực tổng hợp tác dụng lên vật là:
A 50 N B 5 N C 0,5 N D 5 N
Bài 44: Con lắc lò xo gồm vật nhỏ nặng kg thực đồng thời hai dao động điều hoà theo phƣơng ngang, theo phƣơng trình: x1 = 2cos10(cm) x2 = 2sin 10t (cm) (Gốc tọa độ trùng với vị trí cân bằng, t đo giây lấy gia tốc trọng trƣờng g = 10 m/s2) Lực cực đại mà lò xo tác dụng lên vật
A 10 N B 20N C 25N D 0,25 N
Bài 45: Hai dao động điều hòa phƣơng tần số có phƣơng trình x1 = 6cos(10t + π/6) (cm) x2 = 6cos(10t + 5π/6) (cm) Tại thời điểm li độ dao động tổng hợp 3m giảm li độ dao động thứ hai bao nhiêu?
A 10 cm B 9 cm C 6cm D −3cm
Bài 46: Hai dao động điều hòa phƣơng tần số có phƣơng trình x1 = 6cos(10t + π/3) (cm) x2 = 8cos(10t − π/6) (cm) Tại thời điểm li độ dao động tổng hợp cm giảm li độ dao động thứ hai bao nhiêu?
A 10 cm B 9 cm C 8cm D 11cm
Bài 47: Hai dao động điều hòa phƣơng tần số có phƣơng trình x1 = 6cos(10t + π/3) (cm) x2 = 8cos(10t − π/6) (cm) Tại thời điểm li độ dao động tổng hợp cm giảm li độ dao động thứ hai bao nhiêu?
A 7,36 cm B 9 cm C 8 cm D 11cm
Bài 48: Một vật thực đồng thời dao động điều hịa pha tần số có phƣơng trình lần lƣợt x1 = A1cos(ωt + π/2) (cm), x2 = A2cos(ωt) (cm), x3 = A3cos(ωt − π/2) (cm) Tại thời điểm t1 giá trị li độ x1(t1) = −10 3cm, x2(t1) = 15 cm, x3(t1) = 30 cm Thời điểm t2 giá trị li độ x1(t2) = −20 cm, x2 (t1) = cm, x3(t2) = 60 cm Biên dộ dao động tổng hợp
A 50 cm B 60 cm C 40 cm D 40 73 cm
Bài 49: Hai dao động điều hòa (1) (2) phƣơng, tần số biên độ cm Tại thời điểm đó, dao động (1) có li độ cm, chuyển động ngƣợc chiều dƣơng, dao động (2) qua vị trí cân theo chiều dƣơng Lúc đó, dao động tổng hợp hai dao động có li độ chuyển động theo chiều nào?
(19)C x = cm chuyển động theo chiều dƣơng
D x = cm chuyển động theo chiều dƣơng
Bài 50: Hai dao động điều hòa (1) (2) phƣơng, tần số biên độ cm Tại thời điểm đó, dao động (1) có li độ cm, chuyển động theo chiều dƣơng, dao động (2) qua vị trí cân theo chiều âm Lúc đó, dao động tổng hợp Hai dao động có li độ chuyển động theo chiều nào?
A x = cm chuyển động ngƣợc chiều dƣơng
B x = chuyển động ngƣợc chiều dƣơng C x = cm chuyển động theo chiều âm
D x = cm chuyển động theo chiều dƣơng
Bài 51: Một vật thực đồng thời hai dao động điều hồ phƣơng, tần số có phƣơng trình: x1 = cos10πt cm; x2 = 4sin10πt cm Chọn phƣơng án SAI.
A khi x1 = −4 3cm x2 =0 B khi x2 = cm x1 = 3cm
C khi x1 = 3cm x2 = D khi x1 = cm x2 = ±4 cm
Bài 52: Một vật thực đồng thời dao động điều hoà phƣơng, li độ x1 x2 phụ thuộc thời gian nhƣ hình vẽ Phƣơng trình dao động tổng hợp
A x = 2cos(ωt + 2π/3) cm B x = 2cos(ωt − π/3) cm C x = 2cos(ωt + 5π/6) cm D x = 2cos(ωt − π/6) cm
x(cm)
t(ms)
0
1
3
0,10 0,15
1
x
2
x
Bài 53: Cho ba dao động điều hịa phƣơng tần số có phƣơng trình lần lƣợt x1 = 2acosωt (cm); x2 = A2cos(ωt + φ2) (cm) x3 = acos(ωt + π) (cm) Gọi x12 = x1 + x2 x23 = x2 + x3 Biết đồ thị phụ thuộc x12 x23
A φ = 2π/3 B φ2 = 5π/6
C φ2 = π/6 D φ2 = π/3
t(s)
23
x
12
x 0,
0
4
8
x(cm)
Bài 54 Ba chất điểm dao động điều hòa dọc theo trục Ox xung quanh vị trí cân O, tần số (các chất điểm không va chạm trình dao động) Đồ thị vận tốc vận tốc chất điểm phụ thuộc thời gian biểu diễn nhƣ hình vẽ Tổng li độ chất điểm thời điểm có giá trị lớn
A 2,5/π (cm) B 28/π (cm)
C 2,8/π (cm) D 25/π (cm)
v(m / s)
t(m s)
(3) (1)
(2) 1, 9,
0 4
3
4
4
(20)Phƣơng trình dao động tổng hợp dao động
A x = 8cos(10πt + π/4) (cm) B x = cos(10πt + π/3) (cm)
C x = 8cos(l0πt + π/6) (cm) D x = 2cos(5πt + π/6) (cm)
x(cm)
t(s)
4
4
8
0,1 0,
1
x
2
x
Bài 56: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa phƣơng tần số, đồ thị phụ thuộc li độ x1 x2 vào thời gian biểu diễn nhƣ hình vẽ Phƣơng trình dao động x = 3x1 + 2x2
A x = 16cos(10πt + 0,19) (cm) B x = cos(10πt + π/3) (cm)
C x = 8cos(5πt + π/6) (cm) D x = 7cos(10πt + 0,19) (cm)
x(cm)
t(s)
4
4
8
0,1 0,
1
x
2
x
1.D 2.A 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.B 9.C 10.B 11.A 12.A 13.A 14.B 15.D 16.A 17.A 18.A 19.A 20.A 21.D 22.A 23.D 24.D 25.A 26.A 27.C 28.A 29.B 30.D 31.C 32.D 33.D 34.A 35.D 36.A 37.D 38.A 39.D 40.B 41.C 42.A 43.C 44.A 45.D 46.C 47.A 48.A 49.D 50.C 51.B 52.A 53.D 54.C 55.C 56.D
Dạng BÀI TOÁN NGƢỢC VÀ “BIẾN TƢỚNG” TRONG TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA
1 Bài tốn ngƣợc tổng hợp dao động điều hoà
Nội dung toán: Cho biết đại lƣợng dao động tổng hợp, yêu cầu tìm số đại lƣợng phƣơng trình dao động thành phần
Phƣơng pháp giải:
Từ công thức: 2 1
1 3 1 2
x x x x x x A A
x x x x x x x x A A A
Ví dụ 1: (ĐH−2010) Dao động tổng hợp hai dao động điều hòa phƣơng tần số có phƣơng trình li độ x = 3cos(πt – 5π/6) cm Biết dao động thứ có phƣơng trình li độ x1 = 5cos(πt + π/6) (cm) Dao động thứ hai có phƣơng trình li độ
A x2= 8cos(πt + π/6) (cm) B x2 = 2cos(πt + ππ/6) (cm),
C x2 = 2cos(πt – 5π/6) (cm) D x2 = 8cos(πt – 5π/6) (cm)
Hướng dẫn
Từ công thức: x x1 x2 x2 x x1 5
6 6
Chọn D Dùng máy tính Casio fx 570 − ES, bấm nhƣ sau:
Shift MODE (Để chọn đơn vị góc radian) MODE (Để chọn chế độ tính tốn với số phức)
5
3 Shift ( ) Shift ( )
6
(Nếu hình máy tính hiển thị 5
6
(21)Shift
Nghĩa biên độ A2 = cm pha ban đầu
5
nên ta chọn D
Ví dụ : Ba dao động điều hòa phƣơng: x1 = 10cos(10t + π/2) (cm), x2 = 12cos(10t + π/6) (cm) x3 = A3cos(10t + φ3) (cm) Biết dao động tổng hợp ba dao động có phƣơng trình x=6 cos10t (cm) Giá trị A3 φ3 lần lƣợt
A 16 cm φ3 = −π/2 B 15 cm φ3 = −π/2
C 10 cm φ3 = −π/3 D 18 cm φ3 = π/2
Hướng dẫn
1 3
1
x x x x x x x x 10 12 16
2
Chọn A Dùng máy tính Casio fx 570 − ES, bấm nhƣ sau:
Shift MODE (Để chọn đơn vị góc radian) MODE (Để chọn chế độ tính tốn với số phức)
6 10 Shift ( ) 12 Shift ( )
2
(Màn hình máy tính hiển thị 10 12
2
) Shift
Màn hình kết quả: 16
2
Nghĩa biên độ A3 = 16 cm pha ban đầu
1
nên ta chọn A
Chú ý: Để tính biên độ thành phần ta dựa vào hệ thức:
max
2 2
1 2 max
2
v A
A A A 2A A cos a A
W 0,5m A
Ví dụ 3: Một vật thực đồng thời dao động điều hoà phƣơng, tần số có dạng x1 = 4cos(10t − π/3) cm x2 = A2cos(10t + π) cm Biết vận tốc cực đại vật 0, m/s Xác định biên độ A2
A 4 cm B 5 cm C 6 cm D 3 cm
Hướng dẫn
Biên độ dao đông tổng hơp: A vmax 20 2 cm
2 10
Mặt khác: 2
1 2
A A A 2A A cos
2
2 2
4, 16 A 4A A cm
Chọn C
Ví dụ 4: Một vật có khối lƣợng 0,2 (kg) tham gia đồng thời hai dao động điều hoà phƣơng, tần số có dạng nhƣ sau: x1 = 6cos(15t + π/3) (cm); x2 = a.cos(15t + π) (cm), với t đo giây Biết dao động vật 0,06075 (J) Tính a
(22)Hưởng dẫn Biên độ đƣợc tính từ công thức:
2
2
m A 2W 2W
W A A 0, 03 m 3 cm
2 m m
Mặt khác: 2
1 2
A A A 2A A cos
2
9.3 36 a 2.6.a.cos a cm
Chọn A
Ví dụ 5: Một lắc lò xo tham gia đồng thời hai dao động phƣơng, tần số góc (rad/s), có độ lệch pha 2π/3 biên độ lần lƣợt A1 = cm A2 Biết độ lớn vận tốc vật thời điểm động vật lần 20 cm/s Biên độ A1
A 4 cm B 6 cm C 2 cm D 2 cm
Hướng dẫn * Khi
d t
d
1
W W
3
W 2W
2 2
W W v A 20 2A A cm
3 3
Mặt khác 2
1 2
A A A 2A A cos
2
2 2
2
4.3 A 2.4A cos A cm
Chọn D
Chú ý: Khi liên quan đến độ lệch pha 2 1 1 2 dựa vào hệ thức véc tơ:
1
1
2
A A A
A A A
A A A
bình phƣơng hai vế
1
A
2
A
A
1
Ví dụ 6: Một vật thực đồng thời hai dao động phƣơng, tần số 4Hz cùng biên độ cm Khi qua vị trí động vật lần vật đạt tốc độ 24π (cm/s) Độ lệch pha hai dao động thành phần
A π/6 B π/2 C π/3 D 2π/3
Hướng dẫn Khi Wđ = 3Wt
t
d
1
W W
4
3 3
W W v A 24 A A cm
4 4
Mặt khác: A2A12A222A A cos1 2 2 1
2
12 2 2.2.2.cos
3
(23)Ví dụ 7: Chuyển động vật tổng hợp hai dao động điều hoà phƣơng, tần số Biên độ dao động thứ cm biên độ dao động tổng hợp cm Dao động tổng hợp trễ pha π/3 so với dao động thứ hai Biên độ dao động thứ hai
A 4cm B 8cm C 10 3cm D 10 2cm
Hướng dẫn
2 2
1 2 1 2 2 2
2
2
2
A A A A A A A A A 2AA cos
A cm 16.3 16 A 2.4.A cos
3 A cm
Chọn B
Ví dụ 8: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hịa trục Ox có phƣơng trình: x1 = 4cos(ωt + π/3) cm, x2 = A2cos(ωt + φ2) cm Phƣơng trình dao động tổng hợp x = 2cos(ωt + φ) cm Biết φ – φ2 = π/2 Cặp giá trị A2 φ sau đúng?
A 3/3 cm B 2/3 cm π/4 C 3/3 cm π/2 D 2 3cm
Hướng dẫn
2 2
1 2 1 2 2 2
2 2
1 2 1` 1
A A A A A A A A A 2AA cos
A A A A A A A A A 2AA cos
2
2 2
16 A 2.4.A cos A cm
12 16 2.2.4 cos
1
cos
3
Chọn D
3
1
A
A
2
A
Ví dụ 9: Hai dao động phƣơng lần lƣợt có phƣơng trình x1 = A1cos(πt − π/2) (cm) x2 = 6cos(πt + φ) (cm) Dao động tổng hợp hai dao động có phƣơng trình x = Acos(ωt − π/6) (cm) A
A 9 cm B 6 cm C 12 cm D 18 cm
Hướng dẫn
Vì chƣa biết pha ban đầu x2 nên từ AA1A2 ta viết lại A2 A A1 bình phƣơng
vơ hƣớng hai vế:
2 2 2
2 1 1
A A A 2AA cos A AA A 36
6
Vì cần tìm điều kiện A nên ta xem phƣơng trình phƣơng trình bậc ẩn A1 Điều kiện để phƣơng này có nghiệm là:
2
A A 36 0 A 6,9 cm
Chọn B
Chú ý: Nếu hai dao động biên độ phƣơng trình dao động tổng hợp:
2
1 2
x x x a cos t a cos t 2a cos cos t
2
(24)Nếu cho biết phƣơng trình dao động tổng hợp: xA cos t ta đối chiếu suy
2
1
2
?
? ?
2
Ví dụ 10: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà phƣơng: x1 = 2cos(4t + φ1) (cm); x2 = 2cos(4t + φ2) (cm) với φ2 – φ1 π Biết phƣơng trình dao động tổng hợp x = 2cos(4t + π/6) (cm) Hãy xác định φ1
A π/6 B –π/6 C π/2 D 0
Hướng dẫn
2
1
x x x cos cos 4t
2
Đối chiếu với x cos 4t
2
2
0
2
2
2
2
6
Chọn B
Ví dụ 11: Một vật tham gia đồng thời ba dao động điều hoà phƣơng: x1 = 2cosωt (cm),
3
0 , Dao động tổng hợp x1 x2 có biên độ cm Dao động tổng hợp x1 x3 có biên độ 3cm cm Độ lệch pha hai dao động x2 x3
A 5π/6 B π/3 C π/2 D 2π/3
Hướng dẫn
2 2
12 2
1
1
x x x 2.2.cos cos 4t cos
2 2
3 3
13 3
2
2
x x x 2.2.cos cos 4t cos
2 2
2
2
3 3
Chọn B
Chú ý: Khi cho biết A, φ1, φ2 tìm điều kiện để A1max A2max ta viết lại:
2
2
2 1
0
2 2
1 2 2 2
1 2
0
A A xA yA A max
A A A 2A A cos
A A xA yA A max
Ví dụ 12 : Hai dao động điều hồ phƣơng, tần số có phƣơng trình x1 = A1cos(ωt − π/6) (cm) x2 = A2cos(ωt + π/2) (cm) (t đo giây) Dao động tổng hợp có phƣơng trình x = cos(ωt + φ) (cm) Trong số giá trị hợp lý A1 A2 tìm giá trị A1 φ để A2 có giá trị cực đại
A A1 = 3cm, / B A1 = cm, φ = π/3
(25)Hướng dẫn
2
2 2 2 2
1 2 1 2
max
A 3A
A A A 2A A cos A A A A A
2
2 max
1
1
A cm
A cm
A
A
2
Phƣơng pháp cộng số phức: xx1x2 A1 A22
1
1
6
Chọn B
Dùng máy tính Casio fx 570 − ES, bấm nhƣ sau: Shift MODE (Để chọn đơn vị góc radian) MODE (Để chọn chế độ tính tốn với số phức) Shift ( ) Shift ( )
6
(Màn hình máy tính hiển thị
6
ShifT
Màn hình kết quả: 3
Nghĩa biên độ A cm pha ban đầu
nên ta chọn B
Cách 2: Ta coi phƣơng trình bậc A1:
2 2
1 2
A A A 2A A cos
2
1 2
A A A A 3
Để phƣơng trình có nghiệm
2 2
A A A cm
2 max
A cm A cm tan
Ví dụ 13: Một chất điểm thực đồng thời hai dao động điều hòa phƣơng x1 = acos(ωt + π/3) (cm) x2 = bcos(ωt − π/2) (cm) (t đo giây) Biết phƣơng trình dao động tổng hợp x = 8cos(ωt + φ)(cm) Biên độ dao động b có giá trị cực đại φ
A −π/3 B −π/6 C π/6 D 5π/6
Hướng dẫn
Cách 1:
2
2 2 2
1 2
b 3b
A A A 2A A cos a b 3ab a
4
max
1 2
1 2
b 16cm
A sin A sin
a 3cm tan
3b 5
A cos A cos
a
2 6
(26)Cách 2: Áp dụng định lý hàm số sin ta có: sin
8 b
b
sin sin sin
6
b đạt cực đại sin
3
lấy dấu trừ
b a
3
Ví dụ 14: Hai dao động phƣơng lần lƣợt có phƣong trình x1 = A1cos(7πt − π/6) (cm) x2 = 8cos(πt + π/2) (cm) Dao động tổng hợp hai dao động có phƣơng trình x = Acos(ωt + φ) (cm) Thay đổi A1 biên độ A đạt giá trị cực tiểu φ
A −π/6 B π/6 C π/3 D 0
Hướng dẫn
Cách 1:
2
2 2 2
1 2 1 1
min
0
A A A 2A A cos A 8 8A A 4 48A 4 cm Phƣơng pháp cộng số phức: xx1x2A1 1 A22
1
4
6
Chọn C
Ví dụ 15: (THPTQG − 2017) Cho D1, D2 D3 ba đao động điều hòa phƣơng tần số Dao động tổng hợp D1 D2 có phƣơng trình x12 = 3 cos(ωt + ω/2) (cm) Dao động tổng hợp D2 D3 có phƣơng trình x23 = 3cosωt (cm) Dao động D1 ngƣợc pha với dao động D3 Biên độ dao động D2 có giá trị nhỏ
A 2,6 cm B 2,7 cm C 3,6 cm D 3,7 cm
Hướng dẫn * Đƣờng cao tam giác vuông OA12A23:
2 2
2
bc 3.3
h 2, cm
b c 3 3 3
* Biên độ D2 có giá trị nhỏ A2min = h = 2,6 cm => Chọn A
2
A
1
A
3
A
23
A
12
A
O 3
Ví dụ 16: Cho hai dao động điều hòa phƣơng với phƣơng trình lần lƣợt x1 = A1cos(ωt + π/9) (cm) x2 = A2cos(ωt − π2) (cm) Dao động tổng hợp hai dao động có phƣơng trình x = 15cos(ωt + π) (cm) Giá trị cực đại (Al + A2) gần giá trị nhất sau đây?
A 25cm B 20 cm C 40 cm D 35 cm
(27)1 2
1
A A A A
A
sin sin sin sin sin 70
A A
2sin cos
2
1
A
A A 2sin cos
2
sin 70
0
20
0
30
0
70
2
A
A
1
A
0
1
15 180 70
A A 2sin cos
2
sin 70
1
A A 26,15cos max 26,15 cm
Chọn A
2 “Biến tƣớng” tổng hợp dao động điều hoà
1
x
2
x
O M N
Về mặt toán học, thực chất tổng hợp dao động điều hoà cộng hàm sin, hàm cos (cộng véc tơ hay cộng số phức)
Vì sin t sin t cos t cos t nên trừ hàm sin, cos xem nhƣ biến tƣớng tổng hợp dao động
Gỉ sử hai chất điểm M, N dao động điều hòa trục Ox vị trí cân O
tần số với phƣơng trình lần lƣợt:
1 1
2 2
x A cos t x A cos t
Tổng đại số: OM ON là: 1 2
1 2 max
x x x A cos t A cos t
x A A A x A
Khoảng cách đại số MN : 2 2 1
2 1 max
x x x A cos t A cos t
x A A b x b
Ví dụ : Hai điểm M N dao động điều hòa trục x quanh điểm O với tần số góc ω Biên độ M A 3, N A.Dao động M chậm pha góc π/2 so với dao động N Nhận xét sau đúng:
A Độ dài đại số MN biến đổi điều hịa với tần số góc ω, biên độ 2A vuông pha với dao
động M
B Khoảng cách MN biến đổi điều hòa với tần số góc 2ω, biên độ A
C Khoảng cách MN biến đổi điều hịa với tần số góc ω, biên độ 2A lệch pha 5π/6 với dao động M
D Độ dài đại số MN biến đổi điều hịa với tần số góc 2ω, biên độ A vuông pha với dao động N
(28)Ta có:
2
1
x A cos t
2 MN x x A cos t A cos t
x A cos t
Để dùng máy tính cầm tay chọn A = 1:
2
Chọn C Dùng máy tính Casio fx 570 − ES, bấm nhƣ sau:
Shift MODE (Để chọn đon vị góc radian) MODE (Để chọn chế độ tính tốn với số phức)
(Màn hình máy tính hiền thị
2
) Shift
Màn hình kết quả:
Nghĩa biên độ 2A pha ban đầu
nên ta chọn C
Ví dụ 2: Hai chất điểm M, N dao động điều hòa trục Ox, quanh điểm O, biên độ A, tần số, lệch pha góc φ Khoảng cách MN
A bằng 2Acos B giảm dần từ A
C tăng dần từ đến giá trị 2A D biến thiên tuần hoàn theo thời gian Hướng dẫn
Ta có:
1
x A cos t
x A cos t
Với tốn khơng thể dùng máy tính đƣợc nên ta dùng phƣơng pháp trừ hàm lƣợng giác:
2
MN x x A cos t A cos t 2A sin sin t
2
Chọn D
Bình luận: Khoảng cách MN cực tiểu sin t
cực đại 2A sin2
khi sin t
2
nên MN 2A sin2
Ví dụ 3: Hai chất điểm dao động điều hồ trục tọa độ Ox, coi trình dao động hai chất điểm khơng va chạm vào Biết phƣơng trình dao động hai chất điểm lần lƣợt là: x1 = 4cos(4t + π/3) cm x2 = 2cos(4t + π/12) cm Trong trình dao động khoảng cách lớn hai vật
A 4cm B 4 1 cm C 4 1 cm D 6cm
(29)
2
max
x x x cos 4t cos 4t
12
x 4 x cm
12
Chọn A
Chú ý: Để tìm thời điểm cách khoảng b giải phƣơng trình x b dùng vịng trịn lƣợng giác để tìm bốn thời điểm t1, t2, t3, t4 Các thời điểm khác xác định nhƣ sau:
2
du1 t nT t
du t nT t
so lan n
du t nT t
4
du t nT t
Ví dụ 4: Hai chất điểm M N dao động điều hoà trục tọa độ Ox (O vị trí cân chúng), coi q trình dao động hai chất điểm không va chạm vào Biết phƣơng trình dao động chúng lần lƣợt là: x1 = 10cos(4πt + π/3) cm x2 = 10 2cos(4πt + π/12) cm Hai chất điểm cách cm thời điểm thời điểm lần thứ 2014 kể từ lúc t = lần lƣợt
A 11/24 s 2015/8 s B 3/8 s 6041/24 s
C 1/8 s 6041/24 s D 5/24 s 2015/8 s
Hướng dẫn
T 0,5 s ; x x x 10 cos t 10 cos t cm
12
x 10 10 10 x 10 cos t cm
12 6
Hai điểm cách 5cm x cm Để tìm thời điểm x cm ta dùng vòng tròn lƣợng giác.Thời điểm lần 1, lần 2, lần lần lần lƣợt là:
T T
t s
12
T T T
t s
12 6 24
T T T T T
t s
12 6 6
T T T T T T 11
t s
12 6 6 24
A T 12 T T T A
Ta xét: 2014 503
4 dƣ 2
5 6041
t 503T t 503.0,5 s
24 24
Chọn C
(30)A A1 =20 cm φ1 = π/2 rad B A1 =20 cm φ1 = π/4 rad
C A1 = 20 3cm φ1 = π/4 rad D A1 = 20 cm φ1 = π/2 rad,
Hướng dẫn
Vì vật (2) cách vật (1) (3) (x2 đƣờng trung bình hình thang) nên ta có:
1
2
x x
x x 2x x
2
1
x 10 cos 20t 10 cos 20t
6
Chuyển sang dạng phức:
10 10 20
6
1
x 20 cos 20t cm
Chọn A
Dùng máy tính Casio fx 570 – ES, bấm nhƣ sau:
1
x x2 x3
1
O O2 O3
O
MODE
10 Shift ( ) 10 Shift ( )
6
Shift Hiện kết quả: 20
2
Chọn A
Bình luận: Bài tốn kiểu biến tƣớng tổng hợp dao động Khi cho hai dao động x1, x2 x3 tìm đƣợc dao động cịn lại
3 Hai chất điểm dao động điều hòa đƣờng thẳng song song hai mặt phẳng song song có vị trí cân gốc tọa độ
Nếu hai dao động điều hòa lệch pha Δφ:
x1 = A1coscot x2 = A2cos(ωt + φ) tổng li độ x = x2 + x1= A2cos(ωt + φ) + A1cosωt hiệu li độ Δx = x2 – x1 = A2cos(ωt + φ) + A1cos(ωt + φ)
Gọi A b lần lƣợt biên độ dao động tổng hợp khoảng cách cực đại hai chất điểm thì:
2
A
1
A B
2 2
1 2
2 2
1 2
A A A 2A A cos B A A 2A A cos
(nhƣ hình vẽ)
A B hai đƣờng chéo hình bình hành!) Khi biết số đại lƣợng số đại lƣợng A, B, A1, A2 Δφ tính đƣợc đại lƣợng cịn lại
(31)A 10 cm cm B 10 cm cm C 8 cm cm D 8 cm cm
Hướng dẫn Áp dụng công thức:
2 2
1 2
2 2
1 2
A A A 2A A cos B A A 2A A cos
2
1 2
1
2
1 1`
2
49 A A 2A A cos A 8 cm
3
2 A cm
97 A A 2A A cos
Chọn C
Ví dụ 2: Hai chất điểm M N có khối lƣợng, dao động điều hòa tần số dọc theo hai đƣờng thẳng song song kề song song với trục tọa độ Ox Vị trí cân M N đƣờng thăng qua gốc tọa độ vng góc với Ox Biên độ M N cm Trong trình dao động, khoảng cách lớn M N theo phƣơng Ox cm Độ lệch pha hai dao động
A 3π/4 B 2π/3 C π/3 D π/2
Hướng dẫn
Cách 1:
Áp dụng 2
1 2
B A A 2A A cos
2 2
6 6 26.6 cos cos
2
Chọn C
Cách 2: Khoảng cách hai chất điểm lớn M1M2 //MN tứ giác MM1M2M hình chữ nhật
1 2
M M MN cm OM OM OM M
3
Chọn C
M
2
M
N O M
2
1
Quy trình giải nhanh:
Khi cho biết biên độ dao động tổng hợp hai chất điểm dao động A độ lệch pha hai dao động thành phần là:
2 2
1
1
A A A
cos
2A A
Khi cho biết khoảng cách cực đại hai chất điểm B độ lệch pha hai dao động thành phần là:
2 2
1
1
A A B
cos
2A A
Nếu t10,3 0.0, 6 0,3 s k 0 (hai dao động vng pha) 2
1
B A A A Nếu
2
2
1
(32)Ví dụ 3: Hai lắc lò xo giống hệt dao động điều hòa mặt phẳng nằm ngang, dọc theo hai đƣờng thẳng song song cạnh song song với trục Ox Biên độ lắc A1 = cm, lắc A2 = cm Con lắc dao động sớm pha lắc trình dao động khoảng cách lớn hai vật dọc theo trục Ox cm Khi động lắc cực đại động lắc thứ
N M
2
M
1
M
1
A A2
O
A 1/4 giá trị cực đại B 3/4 giá trị cực đại
C 2/3 giá trị cực đại D 1/2 giá trị cực đại
Hướng dẫn
Cách 1: Khoảng cách hai chất điểm lớn khih M1M2 //MN tứ giác MM1M2N hình chữ nhật M M1 2MN4 cm
2 2 2 2 2 2
1 2
1
4 4
OM OM M M
cos
2OM OM 2.4.4
Ta chọn:
1
2
x 4sin t cm x sin t
6
Chọn t = x1 = Wđ1 = max, x2 = A2/2 nên lắc 1/4 động 3/4 => Chọn B
Cách 2: Áp dụng cơng thức
2 2
1
1
A A B
cos
2A A
2 2 2
4 4 3
cos
2
2.4.4
Ta chọn:
1
2
x 4sin t cm
x sin t cm
Chọn t = x1 = Wđ1 = max, x2 = A2/2 nên lắc 1/4 động 3/4 => Chọn B
Ví dụ 4: Hai chất điểm M N có khối lƣợng, dao động điều hịa tần số dọc theo hai đƣờng thẳng song song kề song song với trục tọa độ Ox Vị trí cân M N đƣờng thẳng qua gốc tọa độ vuông góc với Ox Biên độ M N cm Trong trình dao động, khoảng cách lớn M N theo phƣơng Ox cm Mốc vị trí cân Ở thời điểm mà M có động gấp ba lần năng, tỉ số động M N
A 4 4/3 B 3 4/3 C 3 3/4 D 4 4/3
(33)
M
2
M
N O M
2
1
O 600
M
1
M
2
M
Cách 1: Khoảng cách hai chất điểm lớn nhat M1M2 // MN tứ giác MM1M2N hình chữ nhật => M1M2 = MN = 6(cm) = OM1 = OM2 => Δ OM1M2
3
0
tM M
dM tM
dm M
A
W W OM 60
4
W 3W
3
W W
4
M dM
0 tN
2 tN dN N N
0
2 tN N
M dM
tN N
3 W
W 4
1 W
60 W W W W
4
3
3
0 W W W
W 4
W W
Chọn C
Cách 2: Áp dụng công thức:
2 2 2
1
1
A A B 6
cos
2A A 2.6.6
3
Ta chọn:
1
2
x cos t cm x cos t cm
3
Vì khối lƣợng, tần số góc biên độ dao động thành phần nên W
Khi Wd1 = 3Wt1 = 3W/4 x1 = +A1/2 nên ωt = ±π/3 ωt = ±2π/3 Do đó, x2 = +A2 x2 = + A2/2; tức Wt2 = max = W Wt2 = W/4 Vì vậy, Wđ1/Wt2 = 3/4 Wd1/Wt2 = => Chọn C
Chú ý : Khi hai dao động vng pha
1) Khoảng cách cực đại hai chất điểm biên độ dao động tổng hợp:
2
1
b A A A
(34)Ví dụ 5: (ĐH−2012) Hai chất điểm M N có khối lƣợng, dao động điều hịa tần số dọc theo hai đƣờng thẳng song song kề song song với trục tọa độ Ox Vị trí cân M N tiên đƣờng thẳng qua gốc tọa độ vuông góc với Ox Biên độ M cm, N cm Trong trình dao động, khoảng cách lớn M N theo phƣơng Ox 10 cm Mốc vị trí cân Ở thời điểm mà M có động năng, tỉ số động M động N
N M
2
M
1
M
1
A A2
O
A 4/3 B 3/4 C 9/16 D 16/9
Hướng dẫn
Cách 1: Khoảng cách hai chất điểm lớn M1M2 // MN tứ giác MM1M2N hình chữ nhật => M1M2 = MN = 10(crn)
2 2 2
1 2
1
OM OM M M
cos
2.OM OM
N
M
dM dM dN dN
W
W A
W W OM W W
2 4
2
dM M
dN N
W 0,5W A
W 0,5W A 16
Chọn C
Cách : Khoảng cách hai chất điểm thời điểm bất kì:
M N
1 12
x
x x
6 cos t 8cos t 10 cos t
Vì 6282102 nên x
M vng pha với xN Do
2
N M
2
1
x x
1
A A
Khi
2
tM dM
m A
W
W W
2
xM A1 từ suy xN A2
hay
2
N
tN dN
W m A
W W
2
Tỉ số động M động N:
2
dM
dN
W A
W A 16
Cách : Áp dụng công thức:
2 2
1
1
A A B
0
2A A
Hai dao động vng pha.ở thời điểm đó, dao động động
năng dao động nên tỉ số động tỉ số tỉ số năng:
2
dM 1
dN 2
W W A
W W A 16
Chọn C
Ví dụ 6: Hai vật dao động điều hòa dọc theo trục song song với Phƣơng trình dao động
của vật lần lƣợt x1 = A1cosωt (cm) x2 = A2sinωt (cm) Biết
2 2
1
64x 36x 49 cm Tại thời điểm t, vật thứ qua vị trí có li độ x1 = cm với vận tốc v1 = −18 cm/s Khi vật thứ hai có tốc độ
(35)Hướng dẫn
2 2
1
64x 36x 49 cm 2
2
5 73
64.3 36.x 49 x cm
6
Đạo hàm hai vế phƣơng trình 2
1 1 2
64x 36x 49 128x v 72x v 0
1
2
16x v
v 14,5 cm / s
9x
Chọn C
Bình luận: Từ phƣơng trình 2
1
ax bx c 1
2
2
1 Cho x ,v
' '
2
1 2 1 2
x ?
ax bx c
v ?
2ax 2bx x ax v bx v
Ví dụ 7: Hai chất điểm dao động điều hòa, phƣơng cùng tần số với li độ lần lƣợt x1
và x2 Li độ hai chất điểm thỏa mãn điều kiện:
2 2
1
1,5x 2x 18 cm Tính biên độ dao động tổng hợp hai dao động
A 5cm B 2 cm C 4 cm D 5,4cm
Hướng dẫn
Từ
2
2 2
1
x x
1,5x 2x 18 cm
3 12
1 2
1
1
x x
2 A A A 12 21 cm
A 12 cm ; A cm
Ví dụ 8: Ba chất điểm dao động điều hòa, phƣơng, biên độ A, vị trí cân gốc tọa độ nhƣng tần số khác Biết rằng, thời điểm li độ (khác không) vận tốc
(khác không) chất điểm liên hệ với biểu thức
1`
x
x x
3
v v v Tại thời điểm t,
chất điểm cách vị trí cân cm lúc này, hai chất điểm cịn lại nằm đối xứng qua gốc tọa độ chúng cách cm Giá trị A gần giá trị nhất sau đây?
A 3,2 cm B 3,5 cm C 4,5 cm D 5,4 cm
Hướng dẫn
Đạo hàm theo thời gian hai vế hệ thức
1`
x
x x
3
v v v ta đƣợc:
' '
' ' ' '
3 3
1 1 2 2
2 '
1
x v x v
x v x v x v x v
3
v v v
thay
2 2
2
x ' v v A x
xv ' x.a x
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2
1 2 3
A x x A x x A x x
3
A x A x A x
2 2
2
2
3
x x
2 2 2 x 2
1
1 1
A x A x A x A 16 A 16 A
A 30 5, 48
Chọn D
(36)không) vận tốc (khác không) chất điểm liên hệ với biểu thức
1
x
x x
v v v
Tại thời điểm t, tốc độ chất điểm theo thứ tự lần lƣợt 12 cm/s, 15 cm/s v0 Giá trị v0 gần giá trị sau đây?
A 16 cm/s B 19 cm/s C 45 cm/s D 54 cm/s
Hướng dẫn
Đạo hàm theo thời gian hai vế hệ thức
1
x
x x
v v v ta đƣợc:
' '
' ' ' '
3 3
1 1 2 2
2 '
1
x v x v
x v x v x v x v
v v v
Thay
2 2
2
2 2 2 2
2
x ' v v A x
v
xv ' x.a x A A v
2 2 2
2 2 2 2 2
3 3
1 1 2 2
2 2 2
1 3
v A v
v A v v A v
v v v v v v
3
2 2
3
1
v 19, 08 cm
12 15 v
Chọn B
Chú ý: Hai chất điểm dao động điều hoà dọc theo hai đƣờng thẳng song song với trục Ox, cạnh nhau, tần số vị trí cân gốc tọa độ
Khi hai chất điểm gặp tọa độ x0, chúng chuyển động ngƣợc chiều
1 1
1
1 1
1 2
2
1 2
x A cos t x
t ?
v A sin t
x A cos t x
t ?
v A sin t
t 2 t 1 ? Hoặc
1 1
1
1 1
2
1 2
2
1 2
x A cos t x
t ?
v A sin t
t t ?
x A cos t x
t ?
v A sin t
Khi hai chất điểm gặp tọa độ x0, chúng chuyển động chiều dƣơng thì:
1 1
1
1 1
2
1 2
2
1 2
x A cos t x
t ?
v A sin t
t t ?
x A cos t x
t ?
v A sin t
(37)
1 1
1
1 1
2
1 2
2
1 2
x A cos t x
t ?
v A sin t
t t ?
x A cos t x
t ?
v A sin t
Ví dụ 10: Hai chất điểm dao động điều hoà dọc theo hai đƣờng thẳng song song với trục Ox, cạnh nhau, tần số biên độ chất điểm thứ A/ chất điểm thứ hai A Vị trí cân chúng xem nhƣ trùng gốc tọa độ Khi hai chất điểm gặp tọa độ +A/2, chúng chuyển động ngƣợc chiều Hiệu pha hai dao động giá trị sau đây:
A 2π/3 B π/3 C π D π/2
Hướng dẫn Cách 1: 1 1 A A
x cos t
2
t
A
v sin t
3 2 A
x A cos t
t
3
v A sin t
t 2 t 1
2
Chọn D
3 A 60 30 x
Cách 2: Gọi phƣơng pháp dùng VTLG kép:
+ Ta vẽ hai vòng tròn đồng tâm với bán kính lần lƣợt biên độ dao động thành phần (nếu bán kính hai đƣờng trịn trùng nhau)
+ Tại li độ gặp ta vẽ đƣờng thẳng vng góc với trục x
sẽ cắt vòng tròn hai điểm với
1
x arccos
A
0 x arccos A x A A
Nếu gặp hai chất điểm chuyển động chiều (một nửa vòng tròn nửa dƣới) độ lệch pha cỏn chuyển động chiều (cùng nửa nửa dƣới vịng trịn)
Ví dụ 11: Hai chất điểm dao động điều hoà dọc theo hai đƣờng thẳng song song với trục Ox, cạnh nhau, tần số biên độ chất điểm thứ cm chất điểm thứ hai 14,928 cm Vị trí cân chúng xem nhƣ trùng gốc tọa độ Khi hai chất điểm gặp tọa độ 3,864 cm, chúng chuyển động chiều Hiệu pha hai dao động giá trị sau đây:
A 2π/3 B π/3 C π D π/2
(38)Khi gặp hai chất điểm chuyển động chiều nên độ lệch pha:
3,864 3,864
arccos arccos 1, 047
14,928
Chọn B
4 Hiện tƣợng trùng phùng gặp
4.1 Hiện tƣợng trùng phùng với hai lắc có chu kì khác nhiều
Giả sử hai lắc bắt đầu dao động từ thời điểm t = Sau khoảng thời gian Δt lắc thực n1 dao động, lắc thực n2 dao động:
1
1 2
2
n
t n T n T
n
phân số tối giản
2
n an
a
n bn
b
1
t anT bnT , t a.T bT
n =
Ví dụ 1: Hai lắc đơn có chiều dài lần lƣợt 64 cm 81 cm dao động nhỏ hai mặt phẳng song song Lấy gia tốc trọng trƣờng π2 m/s2 Hai lắc qua vị trí cân theo chiều lúc t = Xác định thời điểm gần mà tƣợng tái diễn
A 14,4 s B 16 s C 28,8 s D 7,2 s
Hướng dẫn
1
1
1 2
2
2
T 1, s
g n 1,8 n 9n
t n T n T
n 8n
n 1,
T 1,8 s
g
min
t 14, 4.n t 14, s
Chọn A
Ví dụ 2: Hai lắc đơn có chiều dài lần lƣợt 64 cm 81 cm dao động nhỏ hai mặt phang song song Lấy gia tốc trọng trƣờng π2 m/s2 Hai lắc qua vị trí cân theo chiều lúc t = Gọi t1 t2 lần lƣợt thời điểm gần mà qua vị trí cân chiều qua vị trí cân ngƣợc chiều Giá t1 t2 lần lƣợt
A 14,4 s 7,2 s B 7,2 s 14,4 s C 28,8 s 7,2 s D 7,2 s 28,8 s
Hướng dẫn
Gọi t thời điểm mà hai vật dao động qua vị trí cân bằng:
1
1 2
T T
t n n 0,8n 0,9n s
2
(với n1 n2 số nguyên dƣơng)
1
2
n 9n
n 0,9
t 0,8.9n 0,9.8n 7, 2n s
n 8n
n 0,8
(với n = 1;2; 3…)
Khi n chẵn hai chất điểm qua vị trí cân chiều nhau, cịn n lẻ hai chất
điểm qua vị trí cân ngƣợc chiều
1
t 7, 2.2 14, s t 7, 2.1 7, s
Chọn A
Ví dụ 3: Hai lắc đon có chiều dài lần lƣợt 64 cm 81 cm dao động nhỏ hai mặt phẳng song song Lấy gia tốc trọng trƣờng π2 m/s2 Hai lắc qua vị trí cân theo chiều lúc t = Đến thời điểm t = 110 s số lần mà hai vật dao động qua vị trí cân nhƣng ngƣợc chiều
A 7 lần B 8 lần C 15 lần D 14 lần
Hướng dẫn
(39)
1
1 2
T T
t n n 0,8n 0,9n s
2
(với n1 n2 số nguyên dƣơng)
1
2
n 9n
n 0,9
t 0,8.9n 0,9.8n 7, 2n s
n 8n
n 0,8
(với n = 1;2;3)
Khi n chẵn hai chất điểm qua vị trí cân chiều nhau, cịn n lẻ hai chất điểm qua vị trí cân ngƣợc chiều
Từ điều kiện 0 t 110s 0 n 15, 28 n = 1; 2; ;15 => Trong có có giá trị lẻ n => Chọn B
4.2 Hiện tƣợng trùng phùng với hai lắc có chu kì xấp xỉ
Hai lắc có chu kì xấp xỉ T1 T2 (giả sử T2 < T1) bắt đầu dao động từ thời điểm t = 0, sau lắc thứ hai thực dao động lắc thứ “1 chút” đƣợc dao động Sẽ tồn khoảng thời gian Δt để lắc thứ hai lắc thứ dao động:
2
t t
1
T T
lon be
be lon lon be
T T
t t
1 t
T T T T
Ví dụ 1: Một lắc đơn A dao động nhỏ với TA trƣớc mặt lắc đồng hồ gõ giây B với chu kì TB = (s) Con lắc B dao động nhanh lắc A chút (TA > TB) nên có lần hai lắc chuyển động chiều trùng với vị trí cân chúng (gọi lần trùng phùng) Quan sát cho thấy hai lần trùng phùng cách 60 (s) Chu kỳ dao động lắc đơn A
A 2,066 (s) B 2,169 (s) C 2,069 (s) D 2,079 (s)
Hướng dẫn
Sau khoảng thời gian Δt = 60 (s) lắc B lắc A dao động:
A
g A A
t t 60 60
1 T 2, 069 s
T T T
Chọn C
Ví dụ 2: Hai lắc đơn giống hệt nhau, sợi dây mảnh dài kim loại, vật nặng có khối lƣợng riêng D Con lắc thứ dao động nhỏ bình chân khơng chu kì dao động T0, lắc thứ hai dao động binh chứa chất khí có khối lƣợng riêng nhỏ D Hai lắc đơn bắt đầu dao động thời điểm t = 0, đến thời điểm t0 lắc thứ thực đƣợc lấc thứ hai dao động Chọn phƣơng án
A t0 4T0 B 2 t 0 T0 C. t0 T0 D. t0 2T0 Hướng dẫn
0
0
0
0
0
T
g
T 1
1 1
T T T
T
g g
D
Sau khoảng thời gian t0 lắc lắc dao động:
0 0 0
0
0 0
t t t t 2T
1 1 t
T T T T
(40)4.3 Hiện tƣợng gặp hai lắc
Hai dao động điều hòa phƣơng Ox biên độ vị trí cân O với phƣơng hình lần lƣợt là: x1A cos 1t 1, x2A cos 2t 2 Để tìm thời điểm gặp có thể: giải phƣơng trình x1x2 dùng vịng trịn lƣợng giác
Khi giải phƣơng trình x1 = x2 ta đƣợc hai họ nghiệm:
22 22 11 11
t t k.2
t t
2
Hoặc:
1 2
1 2
t t k.2
t t
(nếu 2 1)
Trong đó, k số nguyên cho t > Thời điểm lần ứng với giá trị t > nhỏ (thông thƣờng ứng với k, = 1)
Ví dụ 1: Tại thời điểm ban đầu, hai chất điểm qua gốc O theo chiều dƣơng, thực dao động điều hòa trục Ox có biên độ nhƣng có tần số góc lần lƣợt 5π/6 rad/s 2,5π rad/s Thời điểm đầu tiên, thời điểm lần thứ 2013, thời điểm lần thứ 2014 thời điểm lần thứ 2015 hai chất điểm gặp lần lƣợt bao nhiêu?
Hướng dẫn
Cách 1: Phƣơng trình dao động chất điểm:
1
2
5 t
x A cos
6
x A cos 2, t
2
Để tìm thời điểm gặp ta giải phƣơng trình x1 = x2 hay: t
cos 2,5 t cos
2
Phƣơng trình có hai họ nghiệm:
5 t
2 t k.2
2
5 t
2, t
2
(trong k
số nguyên cho t > 0)
t 0,3 k.0, s k 0,1, t 1, 1,
Lần 1: t10,3 0.0, 6 0,3 s k 0 Lần 2: t20,3 1.0, 6 0,9 s k 1 Lần 3: t31, 2.1 1, s khi 1 Lần 4: t40,3 2.0, 1,5(s) k 2 Lần 5: t20,3 3.0, 6 2,1 s k 3 Lần 6: t31, 2.22, s khi 2 ………
(41)+ Lần 3n2 : t3n 2 t3n0,9 s Suy ra:
Lần 20133.671: t3.6711, 2.671 805, s Lần 20143.671 1: t 2014 t20130,3805,5 s Lần 20153.671 : t 2015 t20130,9806,1 s
Cách 2: Viết phƣơng trình dạng sin:
2
5 t
x A sin
6
x A sin 2, t
Giải phƣơng trình x1 = x2 hay
5 t sin 2,5 t sin
6
ta đƣợc hai họ nghiệm:
5 t
2,5 t k2
6 t
2,5 t
6
Từ suy ra:
t 0,3 k.0, s k 0,1, t 1, s 1,
Cách 3: Dùng vòng tròn lƣợng giác biểu diễn dao động điều hòa dƣới dạng hàm cos:
1
2
5 t
x cos
6
x A cos 2, t
2
Hai chất điểm gặp tổng số pha hiệu số pha số nguyên lần 2π: t
2, t k.2
2
5 t
2, t
2
Từ suy ra:
t 0,3 k.0, s k 0,1, t 1, s 1,
Kinh nghiệm:
Nếu 2 1 giải hai phƣơng trình:
2 1
2 1
t t k.2
t t
Nếu 1 2 giải hai phƣơng trình
1 2
1 2
t t k.2
t t
Ví dụ 2: Hai chất điểm thực dao động điều hịa trục Ox (O vị trí cân bằng) có biên độ A nhƣng có tần số lần lƣợt f1 = Hz f2 = Hz Lúc đầu, hai chất điểm qua li độ A/2 theo chiều âm Thời điểm lần chất điểm gặp
A t = 2/27 s B t = 1/3 s C t = l/9s D t = 1/27 s
Hướng dẫn
1 2f1 rad / s ; 2f2 12 rad / s
Phƣơng trình dao động chất điểm:
1
2
x A cos t
3
x A cos 12 t
(42)Giải phƣơng trình:
12 t t k.2
3
12 t t
3
1
t k s t k 1, 2,3 27
1
t s t 1, 2,3
Lần 1: t 1.1 s k
27 27
Chú ý: Nếu 1 2 (với < α < π/2 )thì lần ứng với:
2t 1t
2
2
t
* Xuất phát chiều dƣơng x :
2
* Xuất phát chiều dƣơng x A:
2
* Xuất phát chiều dƣơng x A :
4
* Xuất phát chiểu dƣơng tai x A 3:
2
Ví dụ 3: Hai lắc đơn có chiều dài lần lƣợt 81 cm 49 cm đƣợc treo trần phòng Khi cás vật nhỏ hai lắc vị trí cân bằng, đồng thời truyền cho chung vận tốc hƣớng cho hai lắc dao động điều hịa với biên độ góc, hai mặt phẳng song song với Gọi Δt khoảng thời gian ngắn kể từ lúc truyền vận tốc đến lúc hai dây treo song song Giá trị Δt gần giá trị nhất:
A 2,36s B 8,12s C 0,45s D 0,39.s
Hướng dẫn
1
1
g 10 g 10
rad / s ; rad / s
9
Cách 1: Vì
2
2
t 0,39 s
10 10
9
Chọn D
Cách 2: Hai sợi dây song song x1 = x2 hay:
2
2
A sin t A sin t t t t 0,39 s
Chú ý: Nếu ( 2 1 ) bội số ( 2 1) ω2 ω1 xảy hai họ nghiệm nhập thành họ nghiệm
Ví dụ 4: Hai chất điểm thực dao động điều hòa trục Ox (O vị trí cân bằng) có biên độ A nhƣng có tần số lần lƣợt f1 = Hz f2 = Hz Lúc đầu, hai chất điểm qua li độ A/2 nhƣng chất điểm theo chiều âm chất điểm theo chiều dƣơng Tìm thời điểm hai chất điểm gặp Tìm tỉ số vận tốc chất điểm chất điểm gặp lần thứ 26
(43)Phƣơng trình dao động chất điểm:
1
2
x A cos t
3
x A cos 12 t
3
Giải phƣơng trình: x1x2 hay cos 12 t cos t
3
1
12 t t k.2 t k s t k 0,1,
3 9
1
12 t t t s t 1, 2,3
3
Họ nghiệm thứ nằm họ nghiệm thứ nên viết nhập lại thành họ nghiệm:
n t s :
9
+ Lần 1: t1 1 s
n =
+ Lần 2: t2 2 s
n =
+ Lần 26: t25 26 s
n = 29
Tỉ số vận tốc chất điểm chất điểm gặp lần thứ 26:
26 '
t s
1
'
2 2
6 A sin t
v x v
v x v
6 A sin 12 t
Chú ý: Nếu hai dao động điều hoa củng phƣơng biên độ, vị trí cân tần sốx1A cos t 1 , x2A cos t 2 phƣơng trình x1 = x2 có họ nghiệm:
t 1 t 2 k.2
Lúc đó:
1 1
1
2
Asin t A sin t
v
1
v A sin t A sin k.2 t
Trong chu kỳ chúng gặp lần n chu kỳ gặp 2n lần
Ví dụ 5: Hai chất điểm thực dao động điều hòa trục Ox có phƣơng trình lần lƣợt x1 = Acos(πt + π/2) x2 = Acos(πt + π/6) Tìm thời điểm lần 2017 hai chất điểm gặp tính tỉ số vận tốc cua vật vật
A t = 0,3 s v1/v2 = B t = 6050/3 s v1/v2 = −1
C t = 6038/3 s v1/v2 = −1 D t = 2/3 s v1/v2 = −2
Hướng dẫn Tỉ số vận tốc vật vật 2:
1
1
x x t t k.2 t k k 1, 2,3
2
(44)Lần thứ 2017 ứng với k2017 nên t2013 2017 6050 s
3
Tỉ số vận vận tốc vật vật 2:
v
v Chọn B
Ví dụ 6: Hai chất điểm dao động điều hoà dọc theo hai đƣờng thẳng song song với trục Ox, cạnh nhau, với biên độ nhƣng tần số lần lƣợt (Hz) (Hz) Vị trí cân chúng xem nhƣ trùng gốc tọa độ Khi gặp tỉ số tốc độ chất điểm thứ với tốc độ chất điểm thứ hai
A 3 : B 2 : C 1 : D 2 :
Hướng dẫn
2
1
1 1
2
2 2 2
A x
v f
v A x f
Chọn C
Câu 7. Hai chất điểm thực dao động điều hòa trục Ox có phƣơng trình lần lƣợt x1 = Acos4πt x2 = 0,5Acos4πt Tìm thời điểm hai chất điểm gặp tính tỉ số vận tốc vật vật đó:
A t = 0,125 s v1/v2 =2 B t = 0,2 s v1/v2 = −1
C t = 0,4 s v1/v2 = −1 D t = 0,5 s v1/v2 = −2
Hướng dẫn
1
1 x x A cos t 0,5A cos t cos t t t s
2
1
v A sin t
2
v 0,5A sin t
Chọn A
Ví dụ 8: (QG − 2015) Đồ thị li độ theo thời gian chất điểm (đƣờng 1) chất điểm (đƣờng 2) nhƣ hình vẽ, tốc độ cực đại chất điểm 4π (cm/s) Không kế thời điểm t = 0, thời điểm hai chất điểm có li độ lần thứ
A 4,0 s B 3,25 s
C 3,75 s D 3,5 s
t(s)
6
0
(2)
(1) x(cm)
Hƣớng dẫn
Biên độ: Al = A2 = cm
Tốc độ cực đại chất điểm 2: max 2 2 2 2
2
2
v A A
T T
2
T
T s T 1,5 s
2
Cách 1:
Phƣơng trình dao động chất điểm:
2
x 6sin t
x 6sin t
1 2
x x
2
2
2 t t k2
6sin t 6sin t
2 t t
(45)
2
2
2
t k 3k s k 1, : Ho1
2
t 0, s 0; : Ho
3
1
0 t 0,5 0,5 s
(thuộc họ 1)
2
1 t 0,5 1,5 s
(thuộc họ 1)
3
2 t 0,5 2,5 s
(thuộc họ 1)
4
k 1 t 3.13 s (thuộc họ 2)
5
3 t 0,5 3,5 s
(thuộc họ 1)
Cách 2:
t(s)
6
0 2 a
t tb
(2)
(1)
x(cm)
Thời điểm gặp lần thứ nằm hai thời điểm ta = 9T1/4 = 3,375 s tb = 5T2/4 = 3,75 s => Loại trừ phƣơng án => Chọn D
Chú ý: Giả sử thời điểm t0, hai lắc có chu kì gặp li độ x1, sau nửa chu li độ chúng đổi dấu, tức gặp li độ −x1
Do đó:
* Khoảng thời gian hai lần liên tiếp hai lắc gặp T * Khoảng thời gian n lần liên tiếp hai lắc gặp t n 1T
2
Ví dụ 9: Hai lắc lị xo giống có khối lƣợng vật nặng 10 (g), độ cứng lò xo 100π2 N/m dao động điều hòa dọc theo hai đƣờng thẳng song song kề liền (vị trí cân hai vật gốc tọa độ) Biên độ lắc thứ lớn gấp đôi lắc thứ hai Biết hai vật gặp chúng chuyển động ngƣợc chiều Khoảng thời gian ba lần hai vật nặng gặp liên tiếp
A 0,03 (s) B 0,02 (s) C 0,04 (s) D 0,01 (s)
Hướng dẫn Khoảng thời gian lần liên tiếp: 3 1T m 0, 02 s
2 k
Chọn B
(46)A 1/3 s B 2/3 C 0,5 s D 0,6 s Hướng dẫn
Bài toán tổng quát:
1
2
x A cos t
x A cos t
Dấu x1x2 x1x2 đƣợc biểu diễn nhƣ hình vẽ
1
x x
2
x
1
x
Phần gạch chéo phần không âm không gạch chéo phần dƣơng Khoảng thời gian chu kỳ để x1x2 <0 (ứng với góc quét 2Δφ) là: t0
Áp dụng cho toán:
1
2
x A cos t
2
6
x A cos t
3
Khoảng thời gian chu kỳ để x1x2 là:
/
t 2 s
3
Chọn A
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
PHẦN
Bài 1: Dao động tổng hợp hai dao động điều hịa phƣơng, tần số có phƣơng trình li độ x = 3cos(πt – 5π/6) (cm) Biết dao động thứ có phƣơng trình độ x1 = cos(πt + π/6) (cm) Dao động thứ hai có phƣơng trình li độ
A x2= 4cos(πt + π/6) (cm) B x2= 2cos(πt + π/6) (cm)
C x2 = 4cos(πt – 5π/6) (cm) D x2 = 2cos(πt – 5π/6) (cm)
Bài 2: Dao động tổng hợp hai dao động điều hịa phƣơng, tần số có phƣơng trình li độ x = 6cos(πt + π/3) (cm) Biết dao động thứ có phƣơng trình li độ x1 = 6cos(πt) (cm) Dao động thứ hai có phƣơng trình li độ
A x2 = 6cos(πt + π/6) (cm) B x2 = 6cos(πt + 2π/3) (cm)
C x2 = 3 cos(πt + π/6) (cm) D x2 = 3cos(πt + 2π/3) (cm)
Bài 3: Dao động tổng hợp Hai dao động điều hịa phƣơng, tần số có phƣơng trình li độ x = 6cos(πt + π/3) (cm) Biết dao động thứ có phƣơng hình li độ x1 = 3cos(πt) (cm) Dao động thứ hai có phƣơng trình li độ
A x2 = 3cos(πt + π/6) (cm) B x2 = 3cos(πt + π/6) (cm)
(47)Bài 4: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hịa trục Ox có phƣơng trình: x1 = 10 3cos(ωt − π/3) cm, x2 = A2cos(ωt + φ2) cm Phƣơng trình dao động tổng hợp x = 10cos(ωt + π/6) cm Cặp giá trị A2 φ2 sau đúng?
A 20 cm π/2 B 10 cm π/2 C 20 cm π/4 D 10 cm π/4
Bài 5: Cho hai dao động điều hòa phƣơng tần số : x = acos(100πt + φ) (cm,s); x2 = 6cos( 100πt − π/6) (cm, s) Dao động tổng hợp x = x1 + x2 = 3cos(100πt) (cm, s) Giá trị a φ
A 6 cm ; −π/3 rad B 6 cm ; π/6 rad
C 6 cm; π/3 rad.0 D 6 cm; 2π/3 rad
Bài 6: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hồ phƣơng, tần số có phƣơng trình dao động thứ x1 = 6cos(0,25πt − π/6) (cm) phƣơng trình dao động tổng hợp x = 3cos(0,25πt − π/3) (cm) phƣơng trình dao động thành phần thứ hai
A x2= 8cos(0,25πt − π/3) (cm) B x2 = cos 0,25πt (cm)
C x2 = 6cos(0,25πt −π/2) (cm) D x2 = 3cos(0,25πt − π/2) (cm)
Bài 7: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà phƣơng tần số Biết phƣơng trình dao động vật x1 = 3cos(ωt + π/6) (cm) phƣơng trình dao động tổng hợp x = 16 3cos(ωt − π/6) (cm), (t đo giây) Phƣơng trình dao động vật
A x2 = 24cos(ωt − π/3) (cm) B x2 = 24cos(ωt − π/6)(cm)
C x2 = 8cos(ωt + π/6) (cm) D x2 = 8cos(ωt + π/3)(cm)
Bài 8: Dao động tổng hợp Hai dao động điều hịa phƣơng, tần số có phƣơng trình li độ x =5 3cos(10πt + π/3) (cm) Biết dao động thứ có phƣơng trình li độ x1 = 5cos(10πt + π/6) (cm) Dao động thứ hai có phƣơng trình li độ
A x2 = 10cos(10πt + π/6) (cm) B x2 = cos(10πt + π/6) (cm)
C x2 = 5cos(10πt + π/2) (cm) D x2 = 3,66cos(10πt + π/6) (cm)
Bài 9: Ba dao động điều hòa phƣơng: x1 = 10sinωt (cm), x2 = 12cos(10t + π/6) (cm) x3 = A3cos(10t + φ3) (cm) Biết dao động tổng hợp ba dao động có phƣơng trinh x = cos10t (cm), tìm biên độ A3 dao động thành phần x3
A 6cm B 6 cm C 10cm D 18 cm
Bài 10: Hai chất điểm M N dao động điều hoà trục tọa độ Ox (O vị trí cân chúng), coi q trình dao động hai chất điểm không va chạm vào Biết phƣơng trình dao động chúng lần lƣợt là: x1 = 10cos(4πt + π/3) cm x2 = 10 cos(4πt + π/12) cm Khoảng cách đại số MN biến thiên theo phƣơng trình
A Δx= 10cos(4πt − π/6) (cm) B Δx = 10 cos(4πt − π/6) (cm)
C Δx = 10cos(4πt + 5π/6) (cm) D Δx = 10 cos(4πt + 5π/6) (cm)
Bài 11: Hai chất điểm M N dao động điều hoà trục tọa độ Ox (O vị trí cân chúng), coi q trình dao động hai chất điểm khơng va chạm vào Biết phƣơng trình dao động chúng lần lƣợt là: x1 = 10cos(4πt + π/3) cm x2 = 10 2cos(4πt + π/l2) cm Hai chất điểm cách cm thời điểm lần thứ kể từ lúc t =
A 11/24 s B 1/9 s C 1/8 s D 5/24 s
(48)A 2011/8 s t B 6035/24 s C 2009/8 s D 6029/24 s
Bài 13: Hai chất điểm dao động điều hòa cùngtrên trục Ox tần số vị trí cân bằng, phƣơng trình dao động lần lƣợt x1 = 3cos(2πt − π) cm x2 = 3cos(2πt – 2π/3) cm Khoảng thời gian nhỏ kể từ lúc hai vật cách cực đại đến lúc hai vật cách 1,5 cm
A 1/6 s B 1/24 s C 1/8 s D 1/12 s
Bài 14: Ba lắc lò xo 1, 2, đặt thẳng đứng cách theo thứ tự 1, 2, Ở vị trí cân ba vật có độ cao Chọn trục Ox có phƣơng thẳng đứng, gốc tọa độ vị trí cân phƣơng trình dao động lần lƣợt x1 = 3cos(20πt + π/2) (cm), x2 = l,5cos(20πt) (cm) x3 = A3cos(20πt + φ3) (cm) Để ba vật dao động ba lắc luôn nằm đƣờng thẳng
A A3 = 2cm φ3 = π/4 rad B A3 = 2cm φ3 = −π/4 rad
C A3 = 1,5 cm φ3 = −2,03 rad D A3 = 1,5 5cm φ3 = 1,12 rad
Bài 15: Ba lắc lò xo 1, 2, đặt thẳng đứng cách theo thứ tự 1, 2, Vị trí cân ba vật dao động nằm đƣờng thẳng Chọn trục Ox có phƣơng thẳng đứng, gốc tọa độ vị trí cân phƣơng trình dao động lần lƣợt x1 = 3cos(20πt + π/4) (cm), x2 = l,5cos(20πt − π/4) (cm) x3 = A3cos(20πt + φ3) (cm) Để ba vật dao động ba lắc luôn nằm đƣờng thẳng
A A3 = cm φ3 = −π/2 rad B A3 = 2cm φ3 =−π/4rad
C A3 = 1,5 5cm φ3 =−π/2 rad D A3 = 1,5 cm φ3= 1,12 rad
Bài 16: Có lị xo độ dài tự nhiên, có độ cứng lần lƣợt k1 = k, k2 = 2k, k3 = 4k Ba lò xo đƣợc treo mặt phẳng thẳng đứng điểm A, B, C đƣờng thẳng nằm ngang với AB = BC.Lần lƣợt treo vào lò xo vật có khối lƣợng m1 = m m2 = 2m, từ vị trí cân nâng vật m1, m2 lên đoạn A1 = a M = 2a Hỏi phải treo vật m3 lò xo thứ có khối lƣợng theo m nâng vật m3 đến độ cao A3 theo a để đồng thời thả nhẹ ba vật q trình dao động ba vật ln thẳng hàng?
A m3 = l,5m A3 = 1,5a B m3 = 4m A3 = 3a
C m3 = 3m A3 = 4a D m3 = 4m A3 = 4a
Bài 17: Hai điểm M1 M2 dao động điều hòa trục x quanh điểm O với tần số f Biên độ M1 4, M2 2A Dao động M1 chậm pha góc φ = π/3 so với dao động M2 Dao động tổng hợp M1 M2 (OM1 + OM2) có biên độ
A A B.A C.A D 2A
Bài 18: Hai điểm M1 M2 dao động điều hòa trục x quanh điểm O với tần số f Biên độ M1 A, M2 2A Dao động M1 chậm pha góc φ = π/3 so với dao động M2 Nhận xét sau đúng:
A Độ dài đại số M1M2 biển đổi điều hòa với tần số f biên độ A vuông pha với dao động M1
B Khoảng cách M1M2 biến đổi điều hòa với tần số 2f biên độ A
C Khoảng cách M1 M2 biến đối điều hòa với tần số f, biên độ Avà lệch pha π/6 với dao động M2
D Độ dài đại số M1M2 biến đồi điều hòa với tần số 2f, biên độ A 3và vuông pha với dao động M2
Bài 19: Hai chất điểm M1, M2 dao động điều hòa trục Ox, xung quanh gốc O với tần số f, biên độ dao động M1 cm, M2 cm dao động M2 sớm pha so với dao động M1 π/2 Khi khoảng cách M1 M2 cm M1 M2 cách gốc tọa độ lần lƣợt
(49)C 2,14 cm 2,86 cm D 2,86 cm 2,14 cm
Bài 20: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa phƣơng tần số Dao động thứ có phƣơng trình li độ x1 = A1cos(ωt + φ) (cm), dao động thứ hai có phƣơng trình li độ x2 = A2cos(ωt + φ2) (cm) Biết3x12x2212cm2 Khi dao động thứ có li độ cm tốc độ
12 cm/s dao động thứ hai có tốc độ
A 3 cm/s B 4 cm/s C 9 cm/s D 12 cm/s
Bài 21: Dao động chất điểm tổng hợp hai dao động điều hòa phƣơng tần số Dao động thứ có phƣơng trình li độ x1 = A1cos(ωt + φ1) cm, dao động thứ hai có phƣơng trình li độ x2 = A2cos(ωt + φ2) (cm) Biết3x12x2211cm2 Khi dao động thứ có li độ cm tốc
độ 12 cm/s dao động hai có tốc độ
A 3 cm/s B 4cm/s C 9 cm/s D 12 cm/s
Bài 22: Một vật thực đồng thời hai dao động điều hoà phƣơng, tần số có phƣơng trình: x1 = acos(20t + π/6) cm; x2 = 3cos(20t + 5π/6) cm Biết vận tốc cực đại vật 140cm/s Biên độ a có giá trị :
A 6 cm B 8cm C 4 cm D 10 cm
Bài 23: Một vật thực đồng thời hai dao động điều hồ phƣơng, tần số có phƣơng trình: x1 = 4cos(10t + π/4) cm; x2 = A2sin (10t − π/4) cm Biết vận tốc cực đại vật 50 cm/s Biên độ A2 có giá trị
A 3 cm B 8 cm C 4 cm D 9 cm
Bài 24: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà phƣơng, tần số: x1 = 4cos(10t + π/2) cm, x2 = a.cos( 10t − π/6) cm, t tính giây Biết gia tốc cực đại vật (m/s2) Tính a
A 6 cm B 8 cm C 4 cm D 10 cm
Bài 25: Một vật nặng (kg) tham gia đồng thời hai dao động điều hoà phƣơng, tần số có dạng nhƣ sau: x1 = 4cos(5t − π/2) cm, x2 = a.cos(5t + π) cm (t tính giây) Biết dao động vật 0,08 J Hãy xác định a
A 4 cm B 4 2cm C 4 3cm D 8 cm
Bài 26: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hồ phƣơng, tần số có dạng nhƣ sau: x1 = 3cos(π) cm, x2 = a.cos(π + π/2) cm (t đo s) Biết biên độ dao động tổng hợp cm Hãy xác định a
A 2,5 cm B 3 cm C 4 cm D 1 cm
Bài 27: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà phƣơng, tần số có dạng nhƣ sau: x1 = 6.cos(8t + π/4) (cm); x2 = a.cos(8t − π/4) (cm) Biết biên độ dao động tổng hợp 10 cm Giá trị a
A 8 cm B 9 cm C 5 cm D 3 cm
Bài 28: Một lắc lò xo tham gia đồng thời hai dao động phƣơng, tần số góc (rad/s), có độ lệch pha 2π/3 biên độ lần lƣợt A1 = cm A2 Biết độ lớn vận tốc vật thời điểm động vật 20 cm/s Biên độ A2
A 4 cm B 6 cm C 4 cm D cm
Bài 29: Tổng hợp hai dao động điều hoà phƣơng, tần số, biên độ a dao động có biên độ a 2thì dao động thành phần có độ lệch pha là:
A π/2 B π/4 C 0 D π
Bài 30: Tổng hợp hai dao động điều hoà phƣơng, tần số, biên độ a dao động có biên độ a dao động thành phần có độ lệch pha là:
(50)Bài 31: Khi tổng hợp hai dao động điều hồ phƣơng tần số có biên độ thành phần cm cm đƣợc biên độ tổng hợp cm Hai dao động thành phần
A cùng pha. B lệch pha π/3 C lệch pha π/2 D lệch pha π/3
Bài 32: Một vật thực đồng thời hai dao động phƣơng, tần số Hz biên độ cm Khi qua vị trí cân vật đạt tốc độ 16π (cm/s) Độ lệch pha hai dao động thành phần
A π/6 B π/2 C π/3 D 2π/3
Bài 33: Hai dao động điều hoà phƣơng, tần số, có biên độ lần lƣợt a 2a Biên độ
của dao động tổng hợp a Độ lệch pha hai dao động nói
A π/2 B π/4 C π/6 D π/3
Bài 34: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa trục Ox có phƣơng trình: x1 = 4cos(ωt + π/3) cm, x2 = 3cos(ωt + φ2) cm Phƣơng trình dao động tổng hợp x = 5cos(ωt + φ) cm Giá trị cos(φ − φ2)
A 0 B 0,6 C 0,5 D 0,8
Bài 35: Chuyển động vật tổng hợp hai dao động điều hoà phƣơng, tần số Biên độ dao động thứ dao động tổng hợp 10 cm, dao động tổng hợp lệch pha π/3 so với dao động thứ Biên độ dao động thứ hai
A 5cm B 10cm C 10 cm D 10 cm
Bài 36: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa trục Ox có phƣơng trình: x1 = 3cos(ωt + π/6) cm, x2 = A2cos(ωt + φ2) cm Phƣơng trình dao động tổng hợp x = 2cos(ωt + φ) cm Biết φ − φ2 = −π/3 Cặp giá trị A2 φ sau đúng?
A 3 3cm B 1 cm 2π/3 C 1 cm π/3 D 2 3cm
Bài 37: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa trục Ox có phƣơng trinh: x1 = 3sinωt cm, x2 = A2cos(ωt + φ2) cm Phƣơng trình dao động tổng hợp x = 2cos(ωt + φ) cm Biết φ2 − φ = π/3 Cặp giá trị A2 φ2 sau đúng?
A π/6 B − π/6 C π/2 D 0
Bài 39: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà phƣơng: x1 = 2cos(ωt + φ1) (cm); x2 = 2cos(cot + φ2) (cm) với ≤ φ2 – φ1 ≤ π Biết phƣơng trình dao động tổng hợp x = 3cos(ωt + π/6) (cm) Hãy xác định φ1
A π/6 B − π/6 C π/2 D 0
Bài 40: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà phƣơng: x1 = 2cos(ωt + φ1) (cm); x2 = 2cos(ωt + φ2) (cm) với ≤ φ2 – φ1 ≤ π Biết phƣơng trình dao động tổng hợp x = 2 cos(ωt + π/3) (cm) Hãy xác định φ1
A π/6 B − π/6 C π/2 D π/12
Bài 41: Một vật tham gia đồng thời ba dao động điều hoà phƣơng: x1 = 2cosωt (cm), x2 = 2cos(ωt + φ2) (cm) x3 = 2cos(ωt + φ3) (cm) với 3 3, Dao động tổng
hợp x1 x2 nhƣ x1 x3 có biên độ cm Độ lệch pha hai dao động x2 x3
A 3π/2 B π/3 C π/2 D 4π/3
Bài 42: Hai dao động điều hoà phƣơng, tần số có phƣơng trình x1 = A1cos(ωt − π/6) (cm) x2 = A2cos(ωt + π/2) (cm) (t đo giây) Dao động tổng hợp có biên độ 73 cm Để biên độ A1 có giá trị cực đại A2 có giá trị
(51)Bài 43: Hai dao động điều hoà phƣơng, tần số có phƣơng trình x1 = A1cos(ωt − π/6) (cm) x2 = A2cos(ωt − π) (cm) (t đo giây) Dao động tổng hợp có biên độ cm Để biên độ A2 có giá trị cực đại A1 có giá trị
A 9 3cm B 18cm C 5 3cm D 6 cm
Bài 44: Một chất điểm thực đồng thời hai dao động điều hòa phƣơng x1 = acos(ωt + π/3) (cm) x2 = bcos(ωt − π/2) (cm) (t đo giây) Biết phƣơng trình dao động tổng hợp x = 5cos(ωt + φ)(cm) Biên độ dao động b có giá trị cực đại a
A 5 cm B 10 cm C 5 cm D 2,5 2cm
Bài 45: Hai dao động điều hòa phƣơng, tần số, có biên độ A1 = 10 cm, pha ban đầu φ1 = π/6 có biên độ A2, pha ban đầu φ2 = −π/2 Biên độ A2 thay đổi đƣợc.Biên độ dao động tổng hợp A hai dao động có giá trị nhỏ bao nhiêu?
A 5 73 cm B 20 cm C 5 cm D 6 73 cm
Bài 46: Hai dao động điều hồ phƣơng, tần số có phƣơng trình x1 = A1cos(ωt + π/3) (cm) x2 = A2cos(ωt − π/4) (cm) Biết phƣơng trình dao động tổng hợp x = 10cos(ωt + φ) (cm) Khi A2 có giá trị cực đại φ có giá trị
A −π/3 B −π/6 C π/6 D 5π/6
Bài 47: Hai chất điểm dao động điều hoà dọc theo hai đƣờng thẳng song song với trục Ox, cạnh nhau, tần số biên độ chất điểm thứ A/ 3còn chất điểm thứ hai A
Vị trí cân chúng xem nhƣ trùng gốc tọa độ Khi hai chất điểm gặp tọa độ +A/2, chúng chuyển động theo chiều dƣơng Hiệu pha hai dao động giá trị sau đây:
A 2π/3 B π/6 C π D π/2
Bài 48: Có hai vật dao động điều hoà biên độ A, tần số hai đƣờng thẳng song song cạnh song song với trục Ox Vị trí cân chúng xem nhƣ trùng gốc tọa độ Biết chúng gặp chuyển động ngƣợc chiều qua vị trí có li độ 0,5 A Độ
lệch pha hai dao động là:
A π/4 B π/3 C π/6 D 2π/3
Bài 49: Có hai vật dao động điều hồ biên độ A, tần số hai đƣờng thẳng song song cạnh song song với trục Ox Vị trí cân chúng xem nhƣ trùng gốc tọa độ Biết chúng gặp chuyển động ngƣợc chiều qua vị trí có li độ 0,5 2A Độ
lệch pha hai dao động
A π/2 B π/3 C π/6 D 2π/3
Bài 50: Hai chất điểm dao động điều hoà doc theo hai đƣờng thẳng song song với trục Ox, cạnh nhau, với biên độ tần số Vị trí cân chúng xem nhƣ trùng gốc tọa độ Biết ngang qua nhau, hai chất điểm chuyển động ngƣợc chiều có độ lớn li độ nửa biên độ Hiệu pha hai dao động giá trị sau đây:
A π/2 B π/3 C π D 2π/3
Bài 51: Hai lắc đơn treo cạnh có chu kỳ dao động nhỏ 2,4 s 1,8 s Kéo hai lắc lệch góc nhỏ nhƣ đồng thời bng nhẹ hai lắc đồng thời trở lại vị tri sau thời gian ngắn
A 4,8 s B 12/11 s C 7,2 s D 18 s
Bài 52: Hai lắc đơn treo cạnh có chu kỳ dao động nhỏ s 4,8 s Kéo Hai lắc lệch góc nhỏ nhƣ đồng thời bng nhẹ hai lắc đồng thời trở lại vị trí sau thời gian ngắn
(52)Bài 53: Hai lắc đặt cạnh song song với mặt phẳng ngang có chu kỳ dao động lần lƣợt 1,4 s 1,8 s Kéo hai lắc khỏi vị trí cân đoạn nhƣ đồng thời bng nhẹ hai lắc đồng thời trở lại vị trí sau thời gian ngắn
A 8,8 s B 12,6s C 6,248 s D 24 s
Bài 54: Hai lắc đặt gần dao động bé với chu kì lần lƣợt 1,5 (s) (s) mặt phẳng song song Tại thời điểm t hai qua vị trí cân theo chiều Thời gian ngắn để hai tƣợng lặp lại
A 3 (s) B 4 (s) C 12 (s) D 6 (s)
Bài 55: Hai lắc có chiều dài khác đƣợc kéo lệch phía với góc lệch thả nhẹ chúng dao động điều hòa với tần số lần lƣợt f1 = 5/3 Hz f2 = 1,25 Hz Sau thời gian ngắn hai lắc lại vị trí ban đầu
A 3 (s) B 4,8 (s) C 2 (s) D 2,4 (s)
Bài 56: Tại thời điểm ban đầu, hai chất điểm qua gốc O theo chiều dƣơng, thuc dao động điều hịa trục Ox có biên độ nhƣng có chu kỳ lần lƣợt T1 = 1,2 s T2 = 0,8 s Thời điểm hai chất điểm gặp
A t = 0,24s B t = 0,72s C t = 0,48s D t = 0,96s
Bài 57: Tại thời điểm ban đầu, hai chất điểm qua gốc O theo chiều dƣơng, thực dao động điều hịa trục Ox có biên độ nhƣng có chu kỳ lần lƣợt T1 = 1,2 s T2 = 0,8 s Thời điểm lần thứ hai mà hai chất điểm gặp
A t = 0,24 s B t = 0,72 s C t = 0,48s D t= 0,96 s
Bài 58: Tại thời điểm ban đầu, hai chất điểm qua gốc O theo chiều dƣơng, thực dao động điều hòa trục Ox có biên độ nhƣng có chu kỳ lần lƣợt T1 = 0,8 s T2 = 2,4 s Thời điểm hai chất điểm gặp
A t = 0,3s B t = l,2s C t = 0,4s D t = ,5s
Bài 59: Tại thời điểm ban đầu, hai chất điểm qua gốc O theo chiều dƣơng, thực dao động điều hịa trục Ox có biên độ nhƣng với tần số góc lần lƣợt π/6 (rad/s) π/3 (rad/s) Thời điểm hai chất điểm gặp
A t = 0,3s B t = 2s C t = 12s D t = 0,5s
Bài 60: Hai chất điểm thực dao động điều hòa trục Ox (O vị trí cân có biên độ A nhƣng có tần số lƣợt f1 = Hz f2 = Hz Lúc đầu, hai chất điểm qua li độ A/2 theo chiều dƣơng Thời điểm lần thứ chất điểm gặp
A t = 0,24 s B t = 1/9 s C t = 4/27 s D t = 1/3 s
Bài 61: Hai chất điểm thực dao động điều hòa trục Ox (O vị trí cân bằng) có biên độ A nhƣng có tần số lần lƣợt f1 = Hz f2 = Hz Lúc đầu, hai chất điểm qua li độ A/2 nhƣng chất điểm theo chiều âm chất điểm theo chiều dƣơng Thời điểm lần chất điểm gặp
A t = 2/27 s B t = 2/9 s C t = 1/9s D t = l/27s
Bài 62: Hai chất điểm thực dao động điều hịa trục Ox có phƣơng trình lần lƣợt x1 = Acos(πt + π/2) x2 = Acos(πt + π/6) Tìm thời điểm hai chất điểm gặp tính tỉ số vận tốc vật vật
A t = 0,3 s v1/v2 = B t = 2/3s v1/v2 = −1
C t = 0,4 s v1/v2 = −1 D t = 2/3s v1/v2 = −2
Bài 63: Hai chất điếm thực dao động điều hòa trục Ox có phƣơng trình lần lƣợt x1 = Acos(3πt + π/2) x2 = Acos(3πt + π/6) Tìm thời điểm hai chất điểm gặp tính tỉ số vận tốc vật vật
A t = 0,3 s v1/v2 = B t − 2/9 s v1/v2 = −1
(53)Bài 64: Hai chất điểm dao động điều hoà dọc theo hai đƣờng thẳng song song với trục Ox, cạnh nhau, với biên độ nhƣng chu kì lần lƣợt (s) (s) Vị trí cân chúng xem nhƣ trùng gốc tọa độ Khi gặp tỉ số tốc độ chất điếm thứ với tốc độ chất điểm thứ hai
A 3:2 B 2:3 C 1:2 D. 2:l
Bài 65: Hai chất điểm dao động điều hồ đƣờng thẳng, vị trí cân bằng, biên độ, có tan so f1 = Hz f2 = Hz Khi hai chất điểm gặp có tốc độ dao động tƣơng ứng v1 v2, tỉ số v1/v2
A 4 B 2 C.1/4 D 1/2
Bài 66: Hai lắc lị xo nằm ngang có chu kì T1 = T2/2 Kéo lệch vật nặng tới vị trí cách vị trí cân chúng đoạn A nhƣ đồng thời cho chuyển động không vận tốc ban đầu Khi khoảng cách từ vật nặng lắc đến vị trí cân chúng b (0 < b < A) tỉ số số độ lớn vận tốc vật thứ vật thứ hai
A. 2:2 B 2: C 1:2 D 2:l
Bài 67: Hai lắc đơn giống hệt dao động điều hịa với chu kì (s) hai mặt phẳng song song đối diện (vị trí cân hai vật gốc tọa độ) Biên độ lắc thứ lớn gấp đôi lắc thứ hai Biết thời điểm t = (s) hai vật gặp chúng chuyển động ngƣợc chiều Thời điểm hai vật lại gặp
A t = (s) B t = (s) C t = (s) D t = 5(s)
Bài 68: Hai chất điểm dao động điều hòa với chu kỳ T, lệch pha π/3 với biên độ lần lƣợt A 2A, hai trục tọa độ song song chiều, gốc tọa độ nằm đƣờng vng góc chung Khoảng thời gian nhỏ hai lần chúng ngang
A T/2 B T C T/3 D T/4
Bài 69: Hai lắc lò xo giống có khối lƣợng vật nặng m = 10 g, độ cứng lò xo k = π2
N/cm, dao động điều hòa dọc theo hai đƣờng thẳng song song kề liền (vị trí cân hai vật gốc tọa độ) Biên độ lắc thứ hai lớn gấp ba lần biên độ lắc thứ Biết lúc hai vật gặp chúng chuyển động ngƣợc chiều Khoảng thời gian hai lần hai vật nặng gặp liên tiếp
A 0,02 (s) B 0,04 (s) C 0,03 (s) D 0,01 (s)
Bài 70: Hai chất điểm M1 M1 dao động trục Ox, quanh vị trí cân O theo phƣơng trình: x1 = Acos2πft x2 = Acos(2πft + π) Trong chu kì chúng gặp lần
A 5 lần B 10 lần C 20 lần D 40 lần
Bài 71: Hai lắc có chu kì xấp xỉ T1 = 2,1 s T2 = 2,0 s bắt đầu dao động từ thời điểm t = Hỏi sau khoảng thời gian ngắn Δt lắc có chu kì T thực đƣợc n dao động lắc có chu kì T’ thực đƣợc n + dao động?
A 4,2 (s) B 42 (s) C 35 (s) D 40 (s)
Bài 72: Cho lắc đơn A dao động cạnh lắc đồng hồ B có chu kì (s), lắc B dao động nhanh lắc A chút Quan sát cho kết sau khoảng thời gian liên tiếp 34 giây, lắc qua vị trí cân theo chiều dƣơng Hãy tính chu kì dao động lắc A
A 2,8 (s) B 2,125 (s) C 2,7 (s) D 1,889 (s)
Bài 73: Hai lắc có chu ki xấp xỉ T = 2,001 s T’ = 2,002 s bắt đầu dao động từ thời điểm t = Hỏi sau khoảng thời gian ngắn Δt lắc có chu kì T thực đƣợc n + dao động lắc có chu kì T’ thực đƣợc n dao động?
(54)Bài 74: Hai lắc lị xo có chu kì lần lƣợt T1, T2 = 2,9 (s), bắt đầu dao động vào thời điểm t = 0, đến thời điểm t = 87 s lắc thứ thực đƣợc n dao động lắc thứ hai thực đƣợc n + dao động Tính T1
A.2,8 (s) B 3,0 (s) C 2,7 (s) D 3,1 (s)
Bài 75: Một lắc đơn A dao động nhỏ với TA trƣớc mặt lắc đồng hồ gõ giây B với chu ki TB = (s) Con lắc B dao động nhanh lắc A chút (TA > TB) nên có lần hai lắc chuyển động chiều trùng với vị trí cân chúng (gọi lần trùng phùng) Quan sát cho thấy hai lần trùng phùng liên tiếp cách 590 (s) Chu kỳ dao động lắc đơn A
A 2,0606 (s) B 2,1609 (s) C 2,0068 (s) D 2,0079 (s)
Bài 76: Cho Hai lắc lị xo A B dao động điều hồ hai đƣờng thẳng song song với Ban đầu kéo vật nặng hai lắc phía đoạn bng nhẹ lúc Con lắc B dao động chậm lắc A chút sau phút 14 giây ngƣời ta quan sát thây Hai vật nặng lại hùng vị trí ban đầu Nếu chu kì dao động lắc A 0,628 (s) chu kì B
A 0,630 (s) B 0,627 (s) C 0,626 (s) D 0,629 (s)
Bài 77: Hai lắc lò xo giống hệt dao động điều hòa mặt phẳng nằm ngang, dọc theo Hai đƣờng thẳng song song cạnh song song với trục Ox Biên độ lắc A1 = cm, lắc A2 = 3cm Con lắc dao động sớm pha lắc trình dao động khoảng cách lớn hai vật dọc theo trục Ox cm Khi động lắc cực tiểu động lắc thứ
A 1/4 giá trị cực đại B 3/4 giá trị cực đại
C 2/3 giá trị cực đại D 1/2 giá trị cực đại
Bài 78: Hai lắc lò xo giống hệt dao động điều hòa mặt phẳng nằm ngang, dọc theo Hai đƣờng thẳng song song cạnh song song với trục Ox Biên độ lắc A1 = cm, lắc A2 = cm Con lắc dao động sớm pha lắc trình dao động khoảng cách lớn hai vật dọc theo trục Ox cm Khi động lắc bang phần tƣ giá tri cực đại động lắc thứ
A cực tiểu 1/4 giá trị cực đại B cực tiểu 3/4 giá trị cực đại
C cực đại 2/3 giá trị cực đại D cực đại 1/4 giá trị cực đại
Bài 79: Hai chất điểm M N có khối lƣợng, dao động điều hịa tần số dọc theo hai đƣờng thẳng song song kề song song với trục tọa độ Ox Vị trí cân M N đêu đƣờng thẳng qua gốc tọa độ vng góc với Ox Biên độ M N lần lƣợt cm cm Trong trình dao động, khoảng cách lớn M N theo phƣơng Ox cm Mốc vị trí cân Ở thời điểm mà M có động N
A cực đại nửa giá trị cực đại B cực đại 0,75 giá trị cực đại
C bằng giá trị cực đại D bằng 0,75 giá trị cực đại
Bài 80: Hai chất điểm dao động điều hoà dọc theo hai đƣờng thẳng song song với trục Ox, cạnh nhau, tần số biên độ chất điểm thứ cm chất điểm thứ hai 14,928 cm Vị trí cân chúng xem nhƣ trùng gốc tọa độ Khi hai chất điểm gặp tọa độ 3,864 cm, chúng chuyển động ngƣợc chiều Hiệu pha hai dao động giá trị sau đây:
A 2π/3 B π/3 C π D π/2
(55)truyền cho chúng vận tốc hƣớng cho hai lắc dao động điều hịa với biên độ góc, hai mặt phẳng song song với Tìm khoảng thời gian kể từ lúc truyền vận tốc đến lúc hai dây treo song song lần thứ 2014
A 1611,5 s B 14486,4 s C 14486,8 s D 14501,2 s