hình hoïc khoâng gian

Tính theo a theå tích khoái töù dieän IABC vaø khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán maët phaúng (IBC)... Neân khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (IBC) laø AK.[r]

(1)

 Chun đề 5: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN KIẾN THỨC CĂN BẢN

1.QUAN HỆ SONG SONG I ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

 Định nghóa: a // b

 a  b =  a, b  ()  Định lí 1:

 

  a// b a b

        

 ()  () = c song song với a b trùng với a b

II ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG  Định nghĩa: a // ()  a  () = 

 Định lí 2:(Tiêu chuaån song song)

a // ()   

 



 

   

a// b,b a

 Định lí 3:

 

   

   

a//

a  ()  () = b // a

III HAI MẶT PHẲNG SONG SONG  Định nghóa: () // ()  ()  () =   Định lí 4: (tiêu chuẩn song song)

() // ()   

  

 



      



a,b caét a// a ,b// b ,a b

 Định lí 5:

      //

a b



 

   

    

 a // b





a c

b

a b





a b



a b



a' b'



 

a

(2)

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Tốn học –

 Định lí 6: (Định lí Talet không gian) Các mặt phẳng song song

định hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

() // () //   

     

AB BC AC

A B B C A C

AA', BB', CC' // ()

  

     

AB BC AC

A B B C A C

2.QUAN HỆ VNG GĨC I ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG

 Định nghóa: a  ()  a  b, b  ()

 Định lí 1: (Tiêu chuẩn vuông góc) a  () 

    

 



a b a c

b,c cắt

 Định lí 2: (Định lý đường vng góc) a có hình chiếu a' mặt phẳng  chứa b a  b  a'  b

II HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC  Định nghóa: ()  ()

 (  , ) = vuoâng  a  b, b  ()

 Định lí 3: (Tiêu chuẩn vuông góc)

  

  a a



 

   

  Định líù 4:

       

    c

    

   

     

 c  ()

 



C B

C’ B’

A A’

a b

 a

b c



a

b a'

H S

A



 a







(3)

3 KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU I ĐỊNH NGHĨA

AB đoạn vng góc chung a b  A a, B b

AB a, AB b

 



  



II DỰNG ĐOẠN VNG GĨC CHUNG

1 a  b

 Qua b dựng mặt phẳng ()  a A  Trong () dựng qua A, AB  b B AB đoạn vng góc chung a  b

Cách 1:

 Qua b dựng mặt phẳng () // a  Lấy M a, dựng MH   Qua H dựng a' // a cắt b B  Từ B dựng BA // MH cắt a A AB đoạn vng góc chung

Cách 2:

 Lấy O a

 Qua O dựng mặt phẳng  a O  Dựng hình chiếu b' b   Dựng OH  b'

 Từ H dựng đường thẳng // a cắt b B  Qua B dựng đường thẳng // OH cắt a A AB đoạn vng góc chung

III KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

d(a, b) = AB độ dài đường vng góc chung () chứa b () // a

d(a, b) = d(a, ())

 Vấn đề 1: HÌNH CHĨP

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH CHÓP

I ĐỊNH NGHĨA

Hình chóp hình đa diện có mặt đa giác, mặt khác tam giác có chung đỉnh

a b

A B

H

A M

B b

a' a



O

A B

H O

b b'

(4)

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

Chiều cao h khoảng cách từ đỉnh tới đáy Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên

Đỉnh hình chóp có hình chiếu tâm đáy

Hình chóp tam giác cịn gọi tứ diện hình tứ diện

Hình tứ diện hình chóp tam giác có đáy mặt được, đỉnh điểm

Hình tứ diện hình tứ diện có cạnh

II DIỆN TÍCH

Diện tích xung quanh hình chóp đều:

Sxq =

2nad n: số cạnh đáy;

a: độ dài cạnh đáy

d: độ dài trung đoạn

Diện tích tồn phần: Stp = Sxq + B B diện tích đáy III THỂ TÍCH

Thể tích hình chóp: V =

3Bh

Thể tích tứ diện: V = 1dab.sin

6

a, b: độ dài hai cạnh đối

d: độ dài đoạn vng góc chung : góc hai cạnh đối

Tỉ số thể tích hai hình chóp tam giác có chung đỉnh cạnh bên SA B C      

SABC

V SA SB SC

V SA.SB.SC

HÌNH CHÓP CỤT I ĐỊNH NGHĨA

Hình chóp cụt phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy

Hình chóp cụt từ hình chóp gọi hình chóp cụt

A'B'C'D' ∽ ABCD

SHSAA B 

SH SA AB



A

S

H B

C

A A

’

B

C

C’

S

B’

A

D’ A’

D

C

C’ B’

B

H

H’

(5)

II DIEÄN TÍCH

Stp = sxq + B + B'

Diện tích xung quanh hình chóp cụt đều: Sxq =

2(na + na').d

n: số cạnh đáy; a, a': cạnh đáy

d: độ dài đoạn, chiều cao mặt bên III THỂ TÍCH

V = V1– V2 V: thể tích hình chóp cụt

V1: thể tích hình chóp V2: thể tích hình chóp

  



 

3

2

V SH

V SH V =

1

3h(B + B' + BB)

B, B' diện tích đáy h chiều cao

B ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a

Giaûi ª Tính thể tích khối chóp S.BCNM

    

     

SAB ABC

SA ABC

SAC ABC

 

  







  

   

BC// SMN

MN// BC

SMN ABC MN

 



 



  

   

AB BC giả thiết

(SBC),(ABC) SBA 60 SB BC BC (SAB)

 

   



 



 Trong tam giác vuông SBA ta coù SA = AB.tanSBA 2a 3

 Diện tích hình thang BCNM S =    

2

1 BC MN BM 2a a a 3a

2  2  

 VS.BCNM =

2

3 BCNM

1S .SA 3a 2a a 3

3

  

S A

B

C N

M I

(6)

ª Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN.

Dựng mặt phẳng chứa SN song song với AB cách vẽ NI song song với AB cho AMNI hình vng Suy AB // (SNI)

Ta có AB // (SNI)  d(AB,SN) = d(A, (SNI)) Vẽ AH vng góc với SI H

Dễ dàng thấy AH  (SNI)  d(AB,SN) = d(A, (SNI)) = AH

Trong tam giác vuông SAI ta có 12 12 12 12 12 132

AH SA AI 12a a 12a

Suy ra: d(AB, SN) = AH 2a 39

13



Caùch 2:

Bài toán ta sử dụng cách 2 cách xây dựng mặt phẳng (SNI) chứa SN song song với AB, d(AB, SN) = d(A, (SNI))

Cách 3:

Xét hệ trục Oxyz hình vẽ

 A Oy nên xA = zA = 0, coøn yA = BA = 2a  A(0; 2a; 0)

 B  O  B(0; 0; 0)

 C Ox neân yC = zC = 0, coøn xC = BC = 2a  C(2a; 0; 0)

 S (Oyz) neân xS = 0, yS = BA = 2a zS = SA = 2a 3 S(0; 2a; 2a 3)

 M Oy neân xM = zM = 0, coøn yM = BM = a M(0; a; 0)

 N (Oxy) nên zN = 0, xN = BP = a vaø yN = BM = a  N(a; a; 0)

Ta coù: d(AB, SN) = AB,SN BN

AB,SN

 

 

 

 

2a 39 13



Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB =2a

0

SBC 30 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a

Giải

 Vẽ SH vng góc với BC H

Vì (SBC)  (ABC) neân SH  (ABC)

S

A B  O

C N

M

x z

y

(7)

 SH = SB.sin300 = a

 SABC =

2AB.BC = 6a

2

 VS.ABC =

3SH.SABC = 2a 33

 Vẽ HM vng góc với AC M

 BC  (SHM)

Vẽ HK vng góc với SM K  HK  (SAC)  HK = d(H, (SAC))

 BH = SB.cos300 = 3a  HC = a  BC = 4HC

 d(B, (SAC)) = 4d(H, (SAC))

 AC = AB2BC2 5a

 BCA đồng dạng MCH  HM AB

HC AC

AB.HC 3a HM

AC

 

 SAM vng H có HK đường cao nên:

12 12 12 252 12 282

HK HM SH 9a 3a 9a 

3a HK

14



 Vaäy d(B,(SAC)) = 4HK 6a

7

 Caùch 2:

Ta tính: d(B,(SAC)) = SABC SAC

3V S

Ta coù: +) AB  (SBC)  AB  SB  SA SB2AB2 a 21 +)SC SH2HC2 2a

Mà AC = 5a nên SA2 + SC2 = AC2 , suy tam giác SAC vuông S Do đó: SSAC =

2SA.SC =

2 a 21 Vaäy d(B,(SAC)) = SABC

SAC

3V

S =

3

3.2a 6a 7

a 21 

Baøi 3: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB=a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC), góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 300 Gọi M trung điểm cạnh SC Tính thể tích khối chóp S.ABM theo a

300

S

B

A

C H

3a 4a

2a

(8)

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Giải

BC vng góc với mặt phẳng SAB Góc SBA= 300 nên SA =

3 a

d(M,(SAB)) =

2d(C,(SAB)) =

BC a 2

Vậy VS.ABM = VM.SAB =1

3

a a a

 

 

  =

3

a 36 Caùch 2:

VS.ABC = 13SABC.SA=

a 18

ABM ABC

S SM

S  SC 2  VS.ABM =

3

a 36

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a

Giaûi

S(NDCM)=      

 

2

2 a a 5a

a a

2 2 (ñvdt)

 V(S.NDCM)= 

2

1a 35a 5a

3 24 (ñvtt)

 2a2 a

NC a

4

Ta coù tam giác vuông AMD NDC Nên góc NCD = ADM Vậy DM vuông NC Vậy ta có: DC2 HC.NCHC a2  2a

a 5

2

Ta có tam giác SHC vuông H, khoảng cách DM SC chiều cao h vẽ từ H tam giác SHC

Neân 12  12  12  52  12  192  h 2a 19

h HC SH 4a 3a 12a

a H

1

1 N

M

C B A

D

A C

S

M

(9)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn

AC, AHAC

4 Gọi CM là đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung

điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a

Giải

Ta có    

 

2

2 a a 14

SH a

4

 

    

 

2

14a 3a 32a

SC a

16 16 = AC

Vậy SCA cân C nên đường cao hạ từ C xuống SAC trung điểm SA Từ M ta hạ K vng góc với AC, nên MK =

2SH

Ta coù    

 

3

1 a 14 a 14

V(S.ABC) a

3 24 (đvdt)

Nên V(MABC) = V(MSBC) = 1

2V(SABC) =

3

a 14

48 (đvdt)

Bài 6: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Giải

Gọi H trung điểm AB

Ta có tam giác vuông SHC, có góc SCH = 450 nên tam giác vuông cân

Vaäy HC SH  a2a2 a 5

4

1 2a a 5

V a

3 (ñvtt)

S

A

B C

D H

a

B A

D

C S

(10)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB = AD = 2a; CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Giải

(SIB)  (ABCD) vaø (SIC)  (ABCD) Suy SI  (ABCD)

Keû IK  BC (K  BC)  BC  (SIK)  SKI 60 o Diện tích hình thang ABCD: SABCD = 3a2

Tổng diện tích tam giác ABI CDI 3a2

2

Suy SIBC =

2

3a

  

      

  

2 2S IBC 5a

BC AB CD AD a IK

BC

3 15a SI IK.tanSKI

5

Thể tích khối chóp: S.ABCD: V = 1SABCD.SI3 15a3

3 (đvtt)

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N P trung điểm cạnh SA, SB CD Chứng minh đường thẳng MN vng góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP.

Giải

Gọi I trung điểm AB

Ta có: MN // AB // CD SP  CD  MN  SP SIP cân S, SI2 = 2a2a2 7a2

4  SI = SP =

a

Gọi O tâm hình vuông ABCD, ta có SO2 = SI2– OI2 =       

2

7a a 6a

4

 SO = a

2 , H hình chiếu vuông góc P xuống mặt phẳng SAB

Ta có SSIP 1SO.IP1PH.SIPHSO.IP a 6 a a

2 SI a 7

S

D

I A B

(11)

        

 

3 AMN

1 1 a a a a

V S PH ñvtt

3 2 2 48

Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, 

SB a mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN

Giải  Gọi H hình chiếu S lên SA

 SH  (ABCD) SH đường cao hình chóp

 Ta coù: SA2 + SB2 = a2 + 3a2 = AB2 nên SAB vuông S, suy SMABa

2

 SAM cao a  SHa

2  SBMDN1SABCD2a2

2

 Thể tích khối chóp S.BMDN là: V13SH.SBMDNa 333 đvtt  Tính cosin: Kẻ ME // DN (E  AD), suy AEa

2

Đặt  góc hai đường SM DN, ta có SM,ME 

 Theo định lý đường vuông góc, ta có SA  AE Suy ra: SE SA2AE2 a 5,

2  2 

a

ME AM AE

2

Tam giác SME cân E nên SME  gọi I trung điểm SM

 MI = SM a

2 Khi đó:   

a cos

5 a

2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, BAD ABC 90  0, AB = BC = a, AD = 2a, SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M, N trung điểm SA, SD Chứng minh BCNM hình chữ nhật tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a

S

A

D

C N

B M

(12)

Giải

Ta có: MN// AD MN// BC

BC// AD

 

 

MN1AD a BC 

2

Suy ra: BCNM hình bình hành

Mặt khác: BC SA BC (SAB) BC MB

BC AB MB (SAB)

 

   

   

 

 BCNM hình bình hành có góc vng nên BCNM hình chữ nhật Gọi H đường cao AMB

Suy AH MB AH (BCNM)

AH BC (BC (SAB))



  

  



Do M trung điểm SA nên: d A,(BCNM) d S,(BCNM) AHa

2

 

  

S.BCMN BCMN a a

V S AH a.a

3 3 (ñvtt)

Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP

Giải

Chứng minh AM  BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Gọi H trung điểm AD Do ∆SAD nên SH  AD

Do (SAD)  (ABCD) neân SH  (ABCD)  SH  BP (1)

Xét hình vuông ABCD ta coù ∆CDH = ∆BCP

 CH  BP (2) Từ (1) (2) suy BP  (SHC) Vì MN // SC AN // CH nên (AMN) // (SHC) Suy BP  (AMN)  BP  AM Kẻ MK  (ABCD), K  (ABCD) Ta có: VCMNP1MK.SCNP

3

Vì MK1SHa 3, SCNP 1CN.CPa2

2 neân 

3 CMNP 3a

V

96 (ñvtt)

K

P

B N C S

D H

A

M S

M N

A D

C B

(13)

Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC theo a

Giaûi

Gọi P trung điểm SA Ta có MNCP hình bình hành nên MN song song với mặt phẳng (SAC)

Mặt khác, BD  (SAC) neân BD  MN MN // (SAC)

neân d(MN; AC) = d(N; (SAC))

Vaäy d(MN; AC) = 1d(B;(SAC))1BDa

2 4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ABC BAD 90 ,  BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) theo a

Giải

Gọi I trung điểm AD Ta có: IA = ID = IC = a  CD  AC

Mặt khác, CD  SA Suy CD  SC nên tam giác SCD vuông C

Trong tam giác vuông SAB ta có:

   

 

2 2

2 2 2

SH SA SA 2a

SB SB SA AB 2a a

Gọi d1 d2 khoảng cách từ B H đến mặt phẳng (SCD)

   2 1

1

d SH d 2d

d SB 3

Ta coù: 1 B.SCD BCD

SCD SCD

3V SA.S

d

S S

  Maø SBCD1AB.BC1a2

2

vaø SSCD1SC.CD1 SA2AB2BC IC2 2ID2 a 22

2

C M

N S

B

P

A D

E

B H

S

D A

(14)

Suy d1a

2

Vậy khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) là: d2 2d1a

3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N hai trung điểm AD SC I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB

Giải

Xét ABM BCA vuông có AM BA

AB BC

 ABM đồng dạng  BCA  ABM BCA

    

   

o o

AMB BAC BCA BAC 90

AIB 90 MB AC (1)

SA  (ABCD)  SA  MB (2) Từ (1) (2)  MB  (SAC)

 (SMB)  (SAC)

Gọi H trung điểm AC

 NH đường trung bình  SAC

 NHSA a

2 vaø NH // SA nên NH  (ABI)

Do VANIB1NH.SAIB

3

2 2

1 1 AI a 3, BI AB AI

3

AI AB AM    

 BIa 6SABIa 22

3   

2

ANIB a a a

V

3 36 (ñvtt)

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M, N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM

Giải

Thể tích khối chóp A.BCMN Gọi K trung điểm BC

A

B C

D H

S a a

I

M a

(15)

H hình chiếu vuông góc A SK Do BC  AK, BC SA neân BC  AH Do AH  SK, AH  BC neân AH  (SBC) Xét tam giác vuông SAK:

   

2 2

1 1 AH 3a

19

AH SA AK

Xét tam giác vuông SAB:

   

2

SM SA

SA SM.SB

SB SB

Xét tam giác vuông SAC: SA2SN.SCSN SA 22 4

SC SC

Suy ra: SMN   BCMN SBC

SBC

S 16 S S 19a

S 25 25 100

Vậy thể tích khối chóp A.BCMN V1.AH.SBCMN 3 3a3

3 50 (đvtt)

Bài 16:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy  (00 <  < 900) Tính tang góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo  Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 

Giaûi

Ta có góc cạnh bên mặt đáy  Suy SBO = 

SOB coù tan = SO SO = a 2tan

BO

  

   



 

Ve õ OI AB

AB (SIO) Ta coù SO AB

 Goùc (SAB) (ABCD) SIO

tanSIO = SO a tan2 a tan IO

2



  

3

SABCD ABCD a a

V SO.S tan a tan

3

    (ñvtt)

A

B C

D I

S

a

 O

A

B C S

K H

(16)

Bài 17:

Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng  Trên  lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với  AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a

Giaûi

Gọi I trung điểm BC (d) qua I, (d)  (ABC) trục đường trịn ngoại tiếp ABC vng cân A (d)  (DC) = F trung điểm DC (do BF trung tuyến  vuông)

 F tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện:

R = FD = DC a 3

2 (BC = a 2; BD = a)

Ta coù :

           

P Q

BD Q

 



  



 



 



Maø AI  (P)  BD  AI, BC  AI (do ABCD vuông cân)  AI  (BDC)  d(A,(BDC)) = AI = a

2 Cách 2: Chọn hệ trục Axyz cho A(0; 0; 0) B(0; a; 0) D(a; a; 0) C(0; 0; a) I(x; y; z) ycbt  IA = IB = IC = ID = R

 x = y = z = a R IA a

2  

Mặt phẳng (BCD) có VTPT n0; a ; a2 2a 0; 1; 12 

Suy phương trình mặt phẳng (BCD): y + z  a =  d(A, (BCD)) = a

2

Bài 18:

Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a

Gọi M N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng SBC)

B

C

A H

D a

F

I

 d

a

C

D

A B

a z

x

(17)

Giaûi

Gọi SH đường cao hình chóp SABC Ta có H trọng tâm ABC, kẻ AK  MN (AMN)  (SBC)  AK  (SBC)

Gọi I trung điểm BC, ta có: S, K, I thẳng hàng AH = 2HI MN đường trung bình SBC

 K trung điểm SI

 SAI cân A  SA = AI = a

2

Ta coù SH2 = SA2 HA2 = SI2 HI2  SI2 SA24SA21SA2

9    

2

2SA a SI a

3 2

Xét AKI ta có  AK2 = AI2 KI2

 AKa 104 SAMN12AK.MNa 10216 đvdt

Bài 19:

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mp (ABC) AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD)

Giaûi Caùch 1: AD  (ABC)   

 

AD AB AD AC

BC2 = AB2 + AC2  ABC vuông A SABC 6(cm ) S2 BCD2 34(cm )2

Goïi a(A, (BCD) = AK

 

ABCD ABC BCD

V S AD S AK

3   ABCBCD 

S AD 34

AK (cm)

S 17

Cách 2: Kẻ DH  BC  AH  BC (định lý đường vng góc)

Kẻ AK  DH (1)

Ta coù BC  (ADH)  BC  AK (2)

Từ (1), (2)  AK  (DBC)  d (A, (BCD)) = AK

     

2 2 2

1 1 1 17

72

AK AD AH AB AC AD   

2 72 34

AK AK =

17 17 (cm)

A

B

C S

I H

(18)

 Vấn đề 2: HÌNH LĂNG TRỤ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI I ĐỊNH NGHĨA

Hình lăng trụ hình đa diện có mặt song song gọi đáy, cạnh không thuộc đáy song song với

II TÍNH CHẤT

Trong hình lăng trụ:

 Các cạnh bên song song  Các mặt bên, mặt chéo hình bình hành  Hai đáy có cạnh song song

III LĂNG TRỤ ĐỨNG, ĐỀU LĂNG TRỤ XIÊN

Lăng trụ đứng lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác Lăng trụ có mặt bên hình chữ nhật Lăng trụ xiên có cạnh bên khơng vng góc với đáy

IV HÌNH HỘP

Hình hộp hình lăng trụ có đáy hình bình hành  Hình hộp có mặt đối diện hình

bình hành song song

 Các đường chéo hình hộp cắt trung điểm

Hình hộp đứng có cạnh bên vng góc với đáy

Hình hộp xiên có cạnh bên khơng vng góc với đáy

Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Hình hộp chữ nhật có mặt hình chữ nhật

Độ dài cạnh xuất phát từ đỉnh gọi kích thước hình hộp chữ nhật a, b, c

Các đường chéo hình hộp chữ nhật có độ dài: d = a2b2 c2

Hình lập phương hình hộp có mặt hình vng Các cạnh hình lập phương số đo a Các đường chéo hình lập phương có độ dài: d = a

A B

D C E

E'

B' C'

D' A'

A D

B C

A’

C’ D’

B’

a c

(19)

V DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN

Sxq = pl p laø chu vi thiết diện thẳng

l độ dài cạnh bên

 Lăng trụ đứng: Sxq = ph p chu vi đáy

h chiều cao

 Hình hộp chữ nhật: Stp = 2(ab + bc + ca)

a, b, c kích thước hình hộp chữ nhật

VI THỂ TÍCH

 Thể tích hình hộp chữ nhật: V = abc a, b, c kích thước  Thể tích hình lập phương: V = a3 a cạnh

 Thể tích lăng trụ: V = B.h B diện tích đáy

h chiều cao

V = Sl S diện tích thiết diện thẳng

l cạnh bên

 Thể tích lăng trụ tam giác cụt: Lăng trụ tam giác cụt hình đa diện có hai đáy tam giác có cạnh bên song song khơng

V = a b c  S

S diện tích thiết diện thẳng a, b, c độ dài cạnh bên

B ĐỀ THI

Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B

1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a

Giải

Gọi O giao điểm AC BD  A1O  (ABCD) Gọi I trung điểm AD

Ta có: OI  AD ( Vì ABCD hình chữ nhật) A1I  AD [Vì AD  (A1IO)]

Suy ra: Góc hai mặt phẳng (ADDA )

b a

(20)

và (ABCD) A IO1  A IO 601  Ta coù: OI = a

2, A1O = OI.tan60 0 =a

2 SABCD = AB.AD = a 32

Suy ra:



ABCD.A B C D1 1 1

V SABCD A1O =

3 3a

2

Gọi M hình chiếu vuông góc điểm B1 mặt phẳng (ABCD)

Suy ra: B1M // A1O vaø M  IO

Vẽ MH vuông góc BD taïi H, suy ra: MH  (A1BD)

Vì B1M // (A1BD) nên d(B1, (A1BD)) = d(M, (A1BD)) = MH

Gọi J giao điểm OM vaø BC, suy ra: OJ  BC vaø J trung điểm BC Ta có: SOBM = OM.BJ

2 = 1

1A B BC

2 =

1 a 3a. 2 =

2

a

Ta lại có: SOBM =1OB.MH

2 d(B1, (A1BD)) =

2 OBM

a

2S 4 a

MH

OB a

  

Caùch 2:

Ta có: B1C // A1D  B1C // (A1BD)  d(B1, (A1BD)) = d(C, (A1BD)) Vẽ CH vng góc với BD H

 CH  (A1BD)

 d(B1, (A1BD)) = d(C, (A1BD)) = CH Trong tam giác vng DCB ta có hệ thức CH.BD = CD.CB, từ tính CH

Cách 3:

Ta coù: d(B1, (A1BD)) = B A BD1

A BD1

3V

S

 VABD.A B D1 1 1VABCD.A B C D1 1 1 3a3

2

 

 VABD.A B D1 1 1VABCD.A B C D1 1 1 3a3

2

 

 VA ABD1 1SABD.A O1 a3 VD.A B D1 1

3

  

60

A B

C D

O M

A1 B1

C1 D1

H I

J

A B

C D

O

A1 B1

C1 D1

H

A B

C D

O

A1 B1

(21)



3 B A BD1 1 ABD.A B D1 1 A ABD1 D.A B D1 1 a

V V V V

4

   



2

A BD1 1 a

S BD.A O

2

  

 d(B1, (A1BD)) = B A BD1

A BD1

3V a 3

S 

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a, góc đường thẳng BB' mặt phẳng (ABC) 600; tam giác ABC vng C BAC = 600 Hình chiếu vng góc điểm B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác

ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a Giải

Gọi D trung điểm AC G trọng tâm tam giác ABC ta có

B’G  (ABC)  B BG 60  oB’G = B’B sinB BG a

2

vaø BG a BD3a

2

Tam giác ABC có: BCAB 3, ACABCDAB

2

BC2 + CD2 = BD2 3AB2 AB2 9a2

4 16 16

 AB3a 13

13 , 

3a 13 AC

26 ;  

2 ABC 9a

S

104 (ñvdt)

Thể tích khối tứ diện A’ABC: VA ABC VB ABC 1B G.S ABC9a3

3 208 (ñvtt)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA' = 2a, A'C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A'C', I giao điểm AM A'C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)

Giaûi

Hạ IH  AC (H  AC)  IH  (ABC); IH đường cao tứ diện IABC

 IH // AA'   

 

IH CI

AA CA  IH =  

2AA 4a

3

AC = A C 2A A a 5, BC AC2AB2 2a

B’

C’

A’

A D G

(22)

Diện tích tam giác ABC: SABC1.AB.BC a

2

Thể tích khối tứ diện IABC: V1IH.SABC4a3

3

Haï AK  A'B (K ( A'B) Vì BC ( (ABB'A') nên AK ( BC

( AK ( (IBC) Nên khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) AK

SA’BC=

2

1

52 5

2a aa /

/

2 2 2

5

3 IBC 3 A BC 3

IC A CS  S  a

3

3 4 3 2 2 5 3

9 2 5 5 5

 IABC   

IBC

V a a a

AK

S a

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC a 3 hình chiếu vng góc đỉnh A' mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA', B'C'

Giaûi

Gọi H trung điểm BC Suy A'H  (ABC) vaø AH1BC1 a23a2 a

2

Do đó: A'H2 + AH2 = 3a2 A'H = a 3 Vậy: VA ABC 31A H.S ABCa33 đvtt

 Trong tam giác vuông A'B'H ta có:

HB A B 2A H 2a nên B'BH cân B'

 Đặt  góc hai đường thẳng AA' B'C'  B BH

Vaäy    



BI a

cos

BB 2.2a (với I trung điểm BH)

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA a 2  Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C

Giaûi

A C

B H

A’

B’ C’

A’ M C’

B’

I 2a A

a H B

(23)

Thể tích lăng trụ: V S h đ a.a.a 2 2a3

2 (đvtt)

 Gọi N trung ñieåm BB'

 Do B'C // MN  d(B'C, AM) = d(B', (AMN))  Do N trung điểm BB'

 d(B', (ABN)) = d(B, (AMN))

 Gọi H hình chiếu B lên mp(AMN)

 Ta coù: 12 12 12 12

BH BA BM BN

12 42 22 72

a a a a

   

a BH

7

  Vaäy d B C;AM   a

7

Baøi 6:

Cho hình lập phương ABCD, A'B'C'D' Tính số đo góc nhị diện [B, A'C, D]

Giải

Gọi O = AC  BD cạnh hình lập phương a  A'B = A'D = a = BD

Ta có A'CB = A'CD (cạnh  cạnh  cạnh) Nên vẽ BH  A'C

 DH  A'C BH = DH  [B, A'C, D] = BHD 2BHO BHD cân H  HO  BD

Ta coù sin   

a

BO 2

BHO

BH a

3

 BHO = 600 [B, A'C, D] = 1200

Baøi 7:

Cho hình lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc

BAD = 600 Gọi M trung điểm cạnh AA' N trung điểm cạnh CC' Chứng minh bốn điểm B', M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN hình vng

Giải

Tam giác BDC cạnh a, AA' = b Chọn hệ trục hình vẽ

A

B M C

N H

B’ C’

A’

A

B C

D O

A’ B’

C’

D’

(24)

180

Ta có: B(a

2; 0; 0); D( a

2; 0; 0); C(0; a

2 ; 0); B'( a

2; 0; h); D'( a

2, 0; h);

C'(0; a

2 ; h); A'(0;  a

2 ; h); M(0;  a

2 ; h

2); N(0; a

2 ; h 2)

* B', M, D, N đồng phẳng

  

 

a a h

DM ; ;

2 2 ;

 

  

 

a a h

DN ; ;

2 2

DB' = (a; 0; h)

      

 

2

ha a

DB',DN ;0;

2

           

   

2

a h a

DB,DN DM

2 2

 ñpcm

* Ta coù          

 

2

a a h h

B M , , B M a

2 2

Tương tự MD2 DN2B N 2a2h2

4  MD2 DN2B'N2B'M2 (1)

Mặt khác DM.DNa2 3a2 h2

4 4

(1)  B'MDN hình thoi nên B'MDN hình vuông khi: DM.DN 0  h2 2a2 h = a

Bài 8:

Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh a

a/ Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B B1D

b/ Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB1, CD, A1D1 Tính góc hai đường thẳng MP C1N

Giải

Chọn hệ trục Axyz hình vẽ

Ta có A(0; 0; 0) ; B(a; 0; 0) ; C(a; a; 0) ; D(0; a; 0) A1(0; 0; a) ; B1(a; 0; a) ; C1(a; a; a) ; D1(0; a; a)

M(a; 0; a

2) N( a

2; a; 0) P(0; a 2; a)

a/ A B1 a; 0; a B D  1   a; a; a 

A

B C

D O A’ B’ C’ D’ z N M y x A B D N A1

B1 C

(25)

Gọi (P) mặt phẳng qua B1D (P) // A1B  (P) có VTPT n = (1, 2, 1)

 Pt (P): x + 2y + z  2a =  d(A1B, B1D) = d(B, (P) = a

6

b/ MP a; ;a a C N1 a; 0; a

2 2

   

      

   

Ta có MP.C N 1   MP C N 1 Vậy góc MP C1N 900

 Vấn đề 3: HÌNH TRỤ – HÌNH NĨN – HÌNH CẦU A TĨM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI

HÌNH TRỤ I ĐỊNH NGHĨA

Hình trụ hình sinh hình chữ nhật O'OMM' quay xung quanh cạnh OO'

Cạnh OM sinh hình trịn đáy Cạnh MM' sinh mặt nón trịn xoay

MM' gọi đường sinh OO’ trục hình trụ

h = OO' chiều cao R = OM bán kính đáy

II DIỆN TÍCH HÌNH TRỤ

Diện tích xung quanh: Sxq = 2Rh R: bán kính đáy h: chiều cao

Stp = 2Rh + 2R2

III THEÅ TÍCH HÌNH TRỤ

V = R2h R: bán kính đáy h: chiều cao

HÌNH NÓN I ĐỊNH NGHĨA

Hình nón hình sinh tam giác vng OMS quay xung quanh cạnh góc vng OS

Cạnh OM sinh hình trịn đáy Cạnh SM sinh mặt nón trịn xoay

SM gọi đường sinh SO trục hoành, đường cao R = OM bán kính đáy; h = SO chiều cao

II DIỆN TÍCH

Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = Rl

M

M’ O’

O

M O

(26)

R: bán kính đáy l: độ dài đường sinh

Diện tích tồn phần: Stp = Rl + R2 = R(l + R) III THỂ TÍCH

Thể tích hình nón: V =

3R

2h R: bán kính đáy h: chiều cao

HÌNH NÓN CỤT I ĐỊNH NGHĨA

Hình nón cụt phần hình nón đáy thiết diện vng góc với trục Hình nón cụt sinh hình thang vuông OMM'O'quay quanh OO' h = OO' chiều cao MM' = l đường sinh

II DIỆN TÍCH

Diện tích xung quanh: Sxq = (R + R')l

R, R' bán kính đáy l đường sinh

Diện tích tồn phần: Stp = (R + R')l + R2 + R'2 III THỂ TÍCH

Thể tích hình nón cụt: V =

3 (R

2 + R'2 + RR')h

R, R’ bán kính đáy h chiều cao

HÌNH CẦU I ĐỊNH NGHĨA

Hình cầu tâm O, bán kính R tập hợp điểm M không gian thoả mãn điều kiện OM  R

Mặt cầu tâm O bán kính R tập hợp điểm M không gian thoả mãn điều kiện OM = R

Thiết diện qua tâm hình trịn lớn tâm O bán kính R

Thiết diện hình cầu với mặt phẳng hình trịn có tâm H hình chiếu O mặt phẳng bán kính: r1 = R2d2

R bán kính hình cầu; d khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng d = OH

Tiếp diện mặt cầu mặt phẳng có điểm chung với mặt cầu Điều kiện để mặt phẳng () tiếp xúc với mặt cầu là: d(0, ) = R

Tiếp tuyến mặt cầu đường thẳng có điểm chung với mặt cầu Điều kiện để đường thẳng  tiếp tuyến d(0; ) = R

(27)

III THỂ TÍCH MẶT CẦU: V 4 R3

B ĐỀ THI

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AB = a, góc hai mặt phẳng (A'BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A'BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a

Giải

Gọi H trung điểm BC, theo giả thuyết ta coù: Goùc A HA = 600

Ta coù: AH = a

2 , A’H = 2AH = a

vaø AA' = a 3

2 =

3a

Vậy thể tích khối lăng trụ V = a 3a2

4 =

3

3a

Kẻ đường trung trực GA trung điểm M GA mặt phẳng A'AH cắt GI J GJ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC

Ta coù: GM.GA = GJ.GI  R = GJ = GM.GA

GI =

 

2 2

GA GI IA

2GI 2GI =

7a 12

Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O', bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, Trên đường tròn tâm O' lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ điện OO'AB

Giaûi

Kẻ đường sinh AA'

Gọi D điểm đối xứng với A' qua O' H hình chiếu B đường thẳng A'D

Do BH  A'D BH  AA' nên BH  (AOO'A') Suy ra: VOO’AB =

3.BH.SAOO’

Ta coù: A'B = AB2A A a BD A D 2A B a

A

B O

D

A’ O’ H

A’

A

B C

C’

B’

H G

(28)

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – BO'D  BH = a

2 (đvtt)

Vì AOO' tam giác vuông cân cạnh bên a nên: SAOO'1a2

Vậy thể tích khối tứ diện OO'AB là: V1 a a a 33

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	691,45 KB