SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học: 2019 - 2020 Mơn thi: Tốn (chung) – Đề Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên tự nhiên ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút; (Đề thi gồm: 01 trang.) Câu ( 2,0 điểm) P= 1) Tìm điều kiện xác định biểu thức 2) Tìm tất giá trị tham số y = 3x + m + (với m 2019 − x −3 x−9 để đường thẳng y = ( m − 1) x + đường thẳng m ≠ ±1 ) hai đường thẳng song song AB = cm, BC = 10cm ABC A A 3) Cho tam giác vng có Tính độ dài đường cao kẻ từ xuống BC cạnh 9π cm , cm 4) Một hình trụ có diện tích hình trịn đáy độ dài đường sinh Tính thể tích hình trụ a +1 a2 + a a a −1 P = − +4 a÷ ÷: a + ÷ ÷ a +1 a > 0, a ≠ a −1 Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức với P 1) Rút gọn biểu thức a P 2) Tìm giá trị nguyên để nhận giá trị số nguyên Câu (2,5 điểm) x + 2(m − 2) x − m − = m 1) Cho phương trình (với tham số) m = a) Giải phương trình với x1 , x2 m b) Tìm tất giá trị tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt (giả sử x1 < x2 ) thỏa | x1 | − | x2 + 1|= mãn 2) Giải phương trình ( x+4 −2 )( ) − x + = −2 x ABCD ( BD < AC ) ( O) AC Câu (3,0 điểm) Cho hình bình hành Đường trịn đường kính cắt tia · AB, AD H, I A C HCK = ·ADO HI K khác Trên dây lấy điểm cho Tiếp tuyến ( O ) BD E D B, E đường tròn cắt ( nằm ) Chứng minh rằng: 1) 2) ∆CHK # ∆DAO HK = K trung điểm đoạn EI EH + 4OB < AE AO.KC OB HI 3) Câu (1,0 điểm) ( x − y ) + = y − x + xy − y − x + 11 = x3 + ( x + 1) ( y − 1) 1) Giải hệ phương trình x + y + z = 2019 xyz x, y , z 2) Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh x + + 2019 x + y + + 2019 y + z + + 2019 z + + + ≤ 2019.2020 xyz x y z -HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM NAM ĐỊNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Năm học: 2019 - 2020 Mơn thi: Toán (chung) – Đề Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên tự nhiên (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Nội dung P= 1) Tìm điều kiện xác định biểu thức m Câu 1) Điểm 2019 − x −3 x −9 y = ( m2 − 1) x + 2) Tìm tất giá trị tham số để đường thẳng đường y = 3x + m + m ≠ ±1 thẳng (với ) hai đường thẳng song song AB = 6cm, BC = 10cm ABC A 3) Cho tam giác vng có Tính độ dài đường BC A cao kẻ từ xuống cạnh 9π cm , cm 4) Một hình trụ có diện tích hình trịn đáy độ dài đường sinh Tính thể tích khối trụ x ≥ x −3 ≠ x ≠ Biểu thức xác định x ≥ ⇔ x ≠ (2,0đ) 0,25 0,25 Với m ≠ ±1, y = ( m2 − 1) x + ta có đường thẳng 4) Câu 1) y = 3x + m + m − = 7 ≠ m + 2) 3) đường thẳng hai đường thẳng song song m = −2 Tìm (thỏa mãn) AC = 8cm Tính 4,8cm Tính đường cao V = 54π cm3 Thể tích hình trụ a +1 a2 + a a a −1 P = − +4 a÷ ÷: a + ÷ ÷ a +1 a > 0, a ≠ a −1 Cho biểu thức với P 1) Rút gọn biểu thức a P 2) Tìm giá trị nguyên để nhận giá trị số nguyên a +a a = a a a > 0, a ≠ a +1 Với ta có a +1 a −1 − +4 a −1 a +1 ( a= Và = P= Do ) ( a +1 − ) a −1 + a ( )( a −1 ( ) )( a −1 a +1 4a a a −1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 1,5 0,25 0,25 0,25 4a a = a −1 a a a −1 0,25 a − = −4 a − = −2 a − = −1 a − = a − = a − = 2) ) a +1 a Với nguyên P nhận giá trị số nguyên a = −3 a = −1 a = ⇔ a = a = a = 2, a = 3, a = a = Đối chiếu với điều kiện ta có (thỏa mãn) 0,25 0,25 1) Cho phương trình x + 2(m − 2) x − m2 − = a) Giải phương trình với Câu m tham số) m b) Tìm tất giá trị tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x1 < x2 | x1 | − | x2 + 1|= (giả sử ) thỏa mãn ( 1.a) m = (với x+4 −2 )( 2,5 ) − x + = −2 x 2) Giải phương trình m=0 x2 − x − = Với , phương trình trở thành x = −1, x = Phương trình có hai nghiệm ∆ ' = ( m − ) + m2 + > ∀m 0,25 0,5 Ta có 1.b) với nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt m x1.x2 = −m − < 0, x1 < x2 ⇒ x1 < < x2 Mặt khác Khi | x1 | − | x2 + 1|= ⇔ − x1 − x2 − = ⇔ x1 + x2 = −6 ⇔ −2 ( m − ) = −6 ⇔ m = Điều kiện xác định −4 ≤ x ≤ ( 4− x +2+2 ⇔ x = ( tm ) ( 4− x + x+4 +2 ) = −2 x )) x+4 +2 =0 4− x +2+2 ( Vậy phương trình có nghiệm ABCD Câu ( Khi phương trình cho tương đương với ⇔x 0.25 0,25 0,25 x 2) 0,25 ( 0,25 ) x+4 +2 >0 x = ( BD < AC ) 0,25 với −4 ≤ x ≤ ) 0,25 ( O) AC Cho hình bình hành Đường trịn đường kính cắt tia · · AB, AD H, I A HCK = ADO HI K khác Trên dây lấy điểm cho Tiếp ( O ) BD E D B, E C tuyến đường tròn cắt ( nằm ) Chứng minh rằng: AO.KC HK = ∆CHK #∆DAO OB 1) HI K 2) trung điểm đoạn EI EH + 4OB < AE 3) 3,0 đ · · · ∆DAO HCK = ·ADO KHC = DAO , có ∆CHK #∆DAO nên (g-g) HK KC = AO DO Suy AO.KC HK OB = AO.KC ⇒ HK = OB = OD OB Mà suy B , O, D ABCD O AC Từ hình bình hành trung điểm suy thẳng ·AOD + ·AOB = 180o (1) hàng, từ suy · · ·AOD = HKC · ∆CHK #∆DAO IKC + HKC = 180o Mà ( ) kết hợp với (1) ta suy ·AOB = IKC · ·AOB = IKC · , BAO · · = KIC ∆AOB#∆IKC Chứng minh (vì ) AO.KC KI = (2) OB Suy AO.KC HK = OB Từ câu 1, ta có (3) HI HK = IK K Từ (2) (3) suy trung điểm đoạn · · IKC = ·AOB = COE Chứng minh Ta có ·AOB = COE · · · , COE + OEC = 90o · · · · · · · · ⇒ OKC + OEC = OKI + IKC + OEC = OKI + COE + OEC = 180o Xét 1) 2) 3) ∆CHK CKOE Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn · · EK ⊥ OK , IK ⊥ OK OKE = OEC = 90o Suy từ suy kết hợp với 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Nên điểm H, K, I, E thẳng hàng · · · ∆ECI #∆EHC HEC ECI = EHC Chứng minh ( chung, ) Từ suy EI EH = EC = AE − AC 0,25 ⇒ EI EH + AC = AE BD < AC , OB = OD Mà Câu EI EH + 4OB < AE nên (đpcm) ( x − y ) + = y − x + ( x + 1) ( y − 1) xy − y − x + 11 = x3 + 1) Giải hệ phương trình x + y + z = 2019 xyz x, y , z 2) Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh 1,0 x + + 2019 x + y + + 2019 y + z + + 2019 z + + + ≤ 2019.2020 xyz x y z ( x − y ) + = y − x + xy − y − x + 11 =5 x3 + Điều kiện ( x + 1) ( y − 1) (2) 0,25 x > −1 y ≥ (1) ⇔ ( x − y + ) + Phương trình Thế vào phương trình (2) ta có 3x − x + = ⇔ ( (1) ( x +1 − y −1 ( x + 1) ( x − x + 1) )( ) =0⇔ y = x+2 ) x2 − x + − x + x2 − x + + x + = + 37 x = ⇔ x2 − x + = x + ⇔ − 37 x = Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm ( x; y ) 0,25 hệ phương trình + 37 + 37 − 37 − 37 ; ÷ ÷, ; ÷ ÷ 2 Từ giả thiết ta có 1 + + = 2019 xy yz zx 0,25 Bất đẳng thức cho tương đương với 1 1 1 x + + 2019 + + y + + 2019 + + z + + 2019 + ≤ 2020( x + y + z ) x x y y z z ⇔ 1 1 1 + 2019 + + + 2019 + + + 2019 + ≤ 2019( x + y + z ) (1) x x y y z z Theo bất đẳng thức Cô si ta có 1 1 1 VT (1) = + 2019 + + + 2019 + + + 2019 + x x y y z z = 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + + + + + + x xy yz zx x y xy yz zx y z xy yz zx z = 1 1 1 1 1 1 1 + + ÷ + ÷ + + + ÷ + ÷ + + + ÷ + ÷ x z x z y x y x z y y x y z z 1 1 ≤ + + ÷ x y z Ta cần chứng minh 1 1 + + ÷ ≤ 2019( x + y + z ) x y z ⇔ ( xy + yz + zx ) ≤ ( 2019 xyz ) ⇔ ( xy + yz + zx ) ≤ ( x + y + z ) 0,25 ⇔ ≤ ( x − y) + ( y − z ) + ( z − x) 2 Điều phải chứng minh Lưu ý: + Các cách giải khác đáp án đúng, phù hợp với chương trình THCS, ban giám khảo thống cho điểm thành phần tương ứng + Điểm toàn tổng điểm câu khơng làm trịn HẾT ... 1 + + = 201 9 xy yz zx 0,25 Bất đẳng thức cho tương đương với 1 1 1 x + + 201 9 + + y + + 201 9 + + z + + 201 9 + ≤ 202 0( x + y + z ) x x y y z z ⇔ 1 1 1 + 201 9 + + + 201 9 + + + 201 9 + ≤ 201 9( x... 201 9 xyz x, y , z 2) Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh x + + 201 9 x + y + + 201 9 y + z + + 201 9 z + + + ≤ 201 9 .202 0 xyz x y z -HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM NAM. .. 1) Giải hệ phương trình x + y + z = 201 9 xyz x, y , z 2) Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh 1,0 x + + 201 9 x + y + + 201 9 y + z + + 201 9 z + + + ≤ 201 9 .202 0 xyz x y z ( x − y ) + = y − x +