1.Biết vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau; Nắm được các bước chứng minh hai đoạn thẳng hay hai góc bằng nhau; Biết vẽ thêm đường phụ để t[r]
(1)Chuyờn đề: phương pháp tam giác nhau
Mơn: Hình học
Lớp: 7
I Mục tiêu
Sau học xong chuyên đề học sinh có khả năng:
1.Biết vận dụng trường hợp tam giác để chứng minh hai tam giác nhau; Nắm bước chứng minh hai đoạn thẳng hay hai góc nhau; Biết vẽ thêm đường phụ để tạo hai tam giác
2 Hiểu bước phân tích tốn, tìm hướng chứng minh Có kĩ vận dụng kiến thức trang bị để giải toán
II Các tài liệu hỗ trợ:
- Bài tập nâng cao số chun đề tốn -Hình học nâng cao THCS
- Vẽ thêm yếu tố phụ để giải tốn hình học - Bồi dưỡng toán
- Nâng cao phát triển toán - …
III Nội dung
1 Kiến thức cần nhớ
Ta biết hai tam giác suy cặp cạnh tương ứng nhau, cặp góc tương ứng Đó lợi ích việc chứng minh hai tam giác
* Các trường hợp tam giác
a Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh: Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tương ứng tam giác hai tam giác
b Trường hợp cạnh - góc - cạnh: Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác
c Trường hợp góc - cạnh - góc: Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác
* Muốn chứng minh hai đoạn thẳng(hay hai góc) ta thường làm theo bước sau:
- Xét xem hai đoạn thẳng(hay hai góc) hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác
- Chứng minh hai tam giác
- Suy hai cạnh (hay hai góc) tương ứng
* Để tạo hai tam giác nhau, ta phải vẽ thêm đường phụ nhiều cách:
- Nối hai cạnh có sẵn hình để tạo cạnh chung hai tam giác - Trên tia cho trước, đặt đoạn đoạn thẳng khác
(2)Ngồi cịn nhiều cách khác ta tích luỹ kinh nghiệm giải nhiều tốn
2 Các ví dụ:
2.1 Ví dụ 1(BTNC&MSCĐ/123)
Cho góc vng xOy, điểm A tia Ox, điểm B tia Oy Lấy điểm E tia đối tai Ox, điểm F tia Oy cho OE= OB, OF= OA
a Chứng minh AB = EF, AB EF
b Gọi M N trung điểm AB EF Chứng minh tam giác OMN vuông cân
Giải:
GT ·xOy= 900; AOx, BOy
OE = OB, OF= OA M AB: MA = MB
N EF: NE = NF
KL a, AB = EF, AB EF
b VOMN vuông cân Chứng minh
a Xét VAOB VFOE có: OA = OF ( GT)
·
AOB = FOE· = 900 VAOB VFOE(C.G.C) OB = OE (GT)
AB = EF( cạnh tương ứng)
µ
A = Fµ(1) ( góc tương ứng)
Xét VFOE : Oµ= 900 Eµ+Fµ= 900(2)
Từ (1) (2) µE+µA = 900 ·EAH=900 EH HA hay AB EF
b Ta có: BM =
2AB( M trung điểm AB)
EN =
2EF( M trung điểm EF) BM = EN
Mà AB = EF
Mặt khác:VFOE : Oµ= 900 Eµ+Fµ= 900
VOAB : Oµ= 900 µA+µ
1
B = 900 Eµ= µ
1
B
Mà µA = Fµ(cmt)
Xét VBOM vàVEON có : OB = OE (gt)
µ
B = Eµ(cmt) VBOM =VEON (c.g.c)
BM = EN (cmt)
OM = ON (*)
Và O¶1= O¶2
Mà O¶2+O¶3=900 nên O¶1 +O¶3=900 MON· = 900 (**) Từ (*) và(**) VOMN vuông cân
2.2 VD2( BT26/VTYTP/62):
Cho V ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Nối D với E Gọi I trung điểm DE
(3)GT VABC: AB = AC
D AB, E AC: BD=CE
I DE: ID = IE
KL B, I, C thẳng hàng
* Phân tích: B, I, C thẳng hàng BIE· +EIC· = 1800
Cần c/m BID· =·EIC
Mà ·BID+·BIE= 180
Cần tạo điểm F cạnh BC: VEIC = VDIF Chứng minh
Kẻ DF// AC( FBC)DFB· = ·ACB( hai góc đồng vị)
DFB· =·ABC
Mà VABC cân tai A ·ABC= ·ACB(t/c)
VDFB cân tai D DB = DF
Xét VDIF VàVEIC có: ID = IE (gt)
·
FDI= CEI· (SLT, DF// AC) VDIF =VEIC(c.g.c) DF = EC (=BD)
DIF· = EIC· (hai góc tương ứng) (1)
Vì IDE nên DIF· +·FIE= 1800(2)
Từ (1) (2)EIC· +FIE· = 1800hay ·EIC+·EIB= 1800 B, I, C thẳng hàng
2.3 VD 3:(BTNC&MSCD/123)
Cho VABC, µA= 600 Phân giác BD, CE cắt O Chứng minh :
a VDOE cân b BE + CD= BC Giải
VABC, µA=600
BD: Phân giác Bµ(DAC)
GT CE: Phân giác Cµ(EAB)
BD CE = {O}
KL a VDOE cân b BE + CD= BC Chứng minh
Ta có: VABC: Bµ+Cµ=1800 - µA=1800 - 600 = 1200(Định lý tổng ba góc của
một tam giác) Mà µ
1
B = µ
2
B(BDlà phân giácBµ)
µ
C =µ
2
C (CE phân giác Cµ)
Nên µ
B +Cµ1=
µ µ
2
B C =1200
2 = 600
O
1 2
4 A
C
B F
(4)VOBC: BOC· = 1800 - (Bµ1 +Cµ1 )= 1800 - 600=1200((Định lý tổng ba góc tam giác)
Mặt khác:BOC· +O¶1 = 1800( kề bù)
O¶1=O¶2=600 ·
BOC+O¶2 = 1800( kề bù)
Vẽ phân giác OF BOC· (FBC) O¶3=O¶4= ·
2
BOC=600
Do : O¶1=O¶2=O¶3=O¶4=600 Xét VBOE VBOF cú:
ả
B = Bà1(BDl phõn giỏcàB)
BO cnh chung VBOE = VBOF(g.c.g) ả
1
O =O¶4=600
OE = OF (1) ( hai cạnh tương ứng)
Và BE = BF
c/m tương tự VCOD = VCOF(g.c.g)OD =- OF (2) (hai cạnh tương ứng)
và CD = EF
Từ (1 ) (2) OE = OD VDOE cân b Ta có BE = BF
CD = CF (cmt)
BE+CD=BF+FC=BC
Vậy : BE + DC= BC * Nhận xét:
- VD cho ta thêm cách vẽ đường phụ:Vẽ phân giác OF BOC·
Khi OF đoạn thẳng trung gian để so sánh OD với OE
- Ta vẽ thêm đường phụ cách khác: Trên BC lấy điểm F:BF= BE Do cần c/m VBOE = VBOF(g.c.g) VCOD = VCOF(g.c.g)
3 Bài tập
3.1.Bài tập 1:62- BTNC&MSCĐ/117)
Tam giác ABC tam giác A'B'C' có AB=A'B', AC= A'C' Hai góc A A'bù Vẽ trung tuyến AM kéo dài đoạn MD=MA
Chứng minh: a ·ABD=µA'
b AM =
2B'C'
Giải
GT VABC, VA'B'C': AB=A'B', AC= A'C'
µ
A+µA'= 1800
MBC: MB=MC
D AM: MD=MA
KL a ·ABD=µA'
b AM =
2B'C'
Chứng minh
Xét VAMC VDMB có: AM = MD (gt)
B'
A'
C'
A B
C M
(5)·
AMC= DMB· (đối đỉnh) VAMC = VDMB (c.g.c) MC = MB( gt)
AC = BD ( hai cạnh tương ứng)
µ
A = µD( hai góc tương ứng) AC//BD ( có cặp góc SLT nhau) ·BAC+·ABD= 1800(hai góc phía)
Mà BAC· +µA'= 1800(gt)
·ABD=µA'
b Xét VABD VB'A'C' có: AB = A'B'(gt)
·
ABD=µA'(cmt) VABD VB'A'C'(c.g.c) BD = A'C'(=AC)
AD = B'C' ( hai cạnh tương ứng)
Mà AM =
2AD (gt)
AM =
2B'C'
* Nhận xét: Hai tam giác có hai cặp cạnh cặp góc xen chúng bù trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác nửa cạnh thứ ba tam giác
3.2 BT2:63- BTNC&MSCĐ/117)
Cho tam giác ABC vẽ tam giác tam giác vuông cân A ABE ACF
Chứng minh: a BF = CE BF CE
b Gọi M trung điểm BC CMR: AM =
2EF
Giải
VABC
VABE: µA= 900, AB = AE
GTVACF: µA= 900, AC = AF
MBC: MB=MC
KL a.BF = CE BF CE
b.AM =1
2EF
Chứng minh
a Ta có: EAC· = EAB· +BAC· = 900+ BAC·
·
BAF= BAC· + CAF· = 900+ BAC·
E
A
F
B M C
(6)EAC· =BAF·
Xét VABF VAEC có: AB = AE(gt)
·
BAF=EAC· (cmt) VABF = VAEC(c.g.c) AF = AC (cmt)
BF = CE ( hai cạnh tương ứng)
vàµ
B = Eµ1( hai góc tương ứng) (1)
Gọi O I giao điểm CE với BF AB Xét VAEI vng A có µE1+Iµ1= 900(2)
Và µI1=Iµ2 (đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2) (3) Bµ1+Iµ2 =900BOI· = 900BF CE b Ta có:EAB· +BAC· +CAF· +FAE· = 3600
BAC· +FAE· = 3600- (EAB· +CAF· ) =3600-(900+900)=1800
Ta thấy: VABC VEAF có hai cặp cạnh cặp góc xen chúng bù nên trung tuyến AM =
2EF 3.3 BT3(HHNC/56):
Cho VABC vẽ tam giác tam giác vuông cân A ABE ACF Vẽ AH vng góc với BC Đường thẳng AH giao EF O
CMR: O trung điểm EF Giải
VABC
VABE: µA= 900, AB = AE
GT VACF: µA= 900, AC = AF
AH BC ( HBC)
AHEF ={O}
KL O trung điểm EF Chứng minh
Kẻ EI AH, FKAH (I, K AH)
Xét VAEI VABH có:
I
$= Hµ= 900
AE = AB (gt)
·
EAI= BAH· ( cặp góc có cạnh tương ứng vng góc nhọn)
VAEI = VABH (cạnh huyền- góc nhọn)
EI = AH ( hai cạnh tương ứng)
E
A
F
B C
K I O
(7)Tương tự:VAFK = VCAH (cạnh huyền- góc nhọn)
FK = AH ( hai cạnh tương ứng)
Xét VOEI VOFK có:
I
$= Kµ= 900
EI = FK (=AH) VOEI = VOFK(g.c.g) ·
KFO=IEO· (SLT, EI//FK)
OE = OF ( hai cạnh tương ứng)
Mà OEF(gt)
O trung điểm EF
3.4 BT4( 88/ BDT7/101)
Cho VABC có µA = 600 Dựng ngồi tam giác tam giác ABM
và CAN
a CMR: Ba điểm A, M, N thẳng hàng b c/m BN = CM
c Gọi O giao điểm BN CM Tính BOC·
Giải
GT VABC : µA = 600
VABM: AB= BM=MA VCAN: AC=CN=NA
BN CM = {O}
Kl a A,M,N thẳng hàng b BN=CM
c BOC· =?
Chứng minh
a VABM, VCAN ·BAM = CAN· =600
Vậy MAN· =·BAM +BAC· +CAN· = 600+600+600=1800M,A,N thẳng hàng
b.Xét VABN VACM có: AB = AM (gt)
·
BAN=CAM· (=1200) VABN = VACM(c.g.c)
AN=AC(gt)
BN = CM ( hai cạnh tương ứng)
V Cà1=Nả1( hai gúc tng ng) c.BOCÃ l gúc ngồi VOCN
BOC· =OCN· +ONC· =Cµ1+·ACN+ONC· Mà µ
1
C =¶N1(cmt)
M A N
B C
O 1
(8)BOC· =¶N1+·ACN+ONC· = ·ACN+·ANC=600+600=1200
3.5.BT5(35/NC&PT/37)
Chứng minh rằng: Nếu hai cạnh trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác hai cạnh trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác hai tam giác
Giải
GT VABC, VA'B'C': AB = A'B', AC= A'C' MBC: MB=MC
M'B'C': M'B'=M'C'
AM=A'M'
KL VABC=VA'B'C'
Chứng minh
Lấy DAM: MD=MA
Lấy D'A'M': M'D'=M'A'
Xét VABM VDMC có: MB=MC(gt)
·
AMB=CMD· (đối dỉnh) VABM VDMC(c.g.c) AM = MD(cách lấy điểm D)
CD= AB( hai cạnh tương ứng)
Và ¶A2=D¶1(1)( hai góc tương ứng) C/m tương tự ; C'D'=A'B'; ¶
2
'
A =¶D'1(2) Xét VACD VA'C'D' có:
AC = A'C'(gt)
AD=A'D'(vì AM=A'M') VACD = VA'C'D'(c.g.c) CD=C'D'(=AB)
àA1=ảA'1vDả1=Dả'1(3)
T (1), (2),(3) ảA2=ảA'2m Aà1=ảA'1 BACÃ =B A CÃ' ' ' Vy VABC=VA'B'C'(c.g.c)
* cách 2:
VAMC VA'M'C' có: AM=A'M'(gt)
à
A =ảA'1(cmt) VAMC = VA'M'C'(c.g.c) AC= A'C'(gt)
MC = M'C'( hai cạnh tương ứng)
Mà MC =
2BC; M'C' =
2B'C'(gt) Do đó: BC=B'C'
Vậy VABC=VA'B'C'(c.c.c)
4 Chốt lại phần lý thuyết lưu ý vận dụng chuyên đề:Khi cần phải chứng minh hai đoạn thẳng hay hai góc
5.Bài tập nhà:
A
B C
D
A'
C'
D' M'
M B'
2
(9)Cho tam giác ABC cân đáy BC ·BAC =200 Trên cạnh AB lấy điểm E
choBCE· =500 Trên cạnh AC lấy điểm D choCBD· =600 Qua D kẻ đường thẳng
song song với BC,nó cắt AB F Gọi O giao điểm BD CF a C/m VAFC=VADB
b C/m VOFD VOBC tam giác c Tính số đo góc EOB