Tải Các trường hợp bằng nhau của tam giác - Bài tập Hình học lớp 7

1.Biết vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau; Nắm được các bước chứng minh hai đoạn thẳng hay hai góc bằng nhau; Biết vẽ thêm đường phụ để t[r]

Chuyờn đề: phương pháp tam giác nhau

Mơn: Hình học

Lớp: 7

I Mục tiêu

Sau học xong chuyên đề học sinh có khả năng:

1.Biết vận dụng trường hợp tam giác để chứng minh hai tam giác nhau; Nắm bước chứng minh hai đoạn thẳng hay hai góc nhau; Biết vẽ thêm đường phụ để tạo hai tam giác

2 Hiểu bước phân tích tốn, tìm hướng chứng minh Có kĩ vận dụng kiến thức trang bị để giải toán

II Các tài liệu hỗ trợ:

- Bài tập nâng cao số chun đề tốn -Hình học nâng cao THCS

- Vẽ thêm yếu tố phụ để giải tốn hình học - Bồi dưỡng toán

- Nâng cao phát triển toán - …

III Nội dung

1 Kiến thức cần nhớ

Ta biết hai tam giác suy cặp cạnh tương ứng nhau, cặp góc tương ứng Đó lợi ích việc chứng minh hai tam giác

* Các trường hợp tam giác

a Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh: Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tương ứng tam giác hai tam giác

b Trường hợp cạnh - góc - cạnh: Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác

c Trường hợp góc - cạnh - góc: Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác

* Muốn chứng minh hai đoạn thẳng(hay hai góc) ta thường làm theo bước sau:

- Xét xem hai đoạn thẳng(hay hai góc) hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác

- Chứng minh hai tam giác

- Suy hai cạnh (hay hai góc) tương ứng

* Để tạo hai tam giác nhau, ta phải vẽ thêm đường phụ nhiều cách:

- Nối hai cạnh có sẵn hình để tạo cạnh chung hai tam giác - Trên tia cho trước, đặt đoạn đoạn thẳng khác

Ngồi cịn nhiều cách khác ta tích luỹ kinh nghiệm giải nhiều tốn

2 Các ví dụ:

2.1 Ví dụ 1(BTNC&MSCĐ/123)

Cho góc vng xOy, điểm A tia Ox, điểm B tia Oy Lấy điểm E tia đối tai Ox, điểm F tia Oy cho OE= OB, OF= OA

a Chứng minh AB = EF, AB  EF

b Gọi M N trung điểm AB EF Chứng minh tam giác OMN vuông cân

Giải:

GT ·xOy= 900; AOx, BOy

OE = OB, OF= OA M AB: MA = MB

N  EF: NE = NF

KL a, AB = EF, AB  EF

b VOMN vuông cân Chứng minh

a Xét VAOB VFOE có: OA = OF ( GT)

·

AOB = FOE· = 900 VAOB VFOE(C.G.C) OB = OE (GT)

AB = EF( cạnh tương ứng)

µ

A = Fµ(1) ( góc tương ứng)

Xét VFOE : Oµ= 900  Eµ+Fµ= 900(2)

Từ (1) (2)  µE+µA = 900  ·EAH=900 EH HA hay AB  EF

b Ta có: BM =

2AB( M trung điểm AB)

EN =

2EF( M trung điểm EF)  BM = EN

Mà AB = EF

Mặt khác:VFOE : Oµ= 900  Eµ+Fµ= 900

VOAB : Oµ= 900  µA+µ

1

B = 900  Eµ= µ

1

B

Mà µA = Fµ(cmt)

Xét VBOM vàVEON có : OB = OE (gt)

µ

B = Eµ(cmt) VBOM =VEON (c.g.c)

BM = EN (cmt)

OM = ON (*)

Và O¶1= O¶2

Mà O¶2+O¶3=900 nên O¶1 +O¶3=900 MON· = 900 (**) Từ (*) và(**) VOMN vuông cân

2.2 VD2( BT26/VTYTP/62):

Cho V ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Nối D với E Gọi I trung điểm DE

GT VABC: AB = AC

D  AB, E AC: BD=CE

I DE: ID = IE

KL B, I, C thẳng hàng

* Phân tích: B, I, C thẳng hàng  BIE· +EIC· = 1800

Cần c/m BID· =·EIC

Mà ·BID+·BIE= 180

 Cần tạo điểm F cạnh BC: VEIC = VDIF Chứng minh

Kẻ DF// AC( FBC)DFB· = ·ACB( hai góc đồng vị)

DFB· =·ABC

Mà VABC cân tai A  ·ABC= ·ACB(t/c)

VDFB cân tai D  DB = DF

Xét VDIF VàVEIC có: ID = IE (gt)

·

FDI= CEI· (SLT, DF// AC)  VDIF =VEIC(c.g.c) DF = EC (=BD)

 DIF· = EIC· (hai góc tương ứng) (1)

Vì IDE nên DIF· +·FIE= 1800(2)

Từ (1) (2)EIC· +FIE· = 1800hay ·EIC+·EIB= 1800 B, I, C thẳng hàng

2.3 VD 3:(BTNC&MSCD/123)

Cho VABC, µA= 600 Phân giác BD, CE cắt O Chứng minh :

a VDOE cân b BE + CD= BC Giải

VABC, µA=600

BD: Phân giác Bµ(DAC)

GT CE: Phân giác Cµ(EAB)

BD CE = {O}

KL a VDOE cân b BE + CD= BC Chứng minh

Ta có: VABC: Bµ+Cµ=1800 - µA=1800 - 600 = 1200(Định lý tổng ba góc của

một tam giác) Mà µ

1

B = µ

2

B(BDlà phân giácBµ)

µ

C =µ

2

C (CE phân giác Cµ)

Nên µ

B +Cµ1=

µ µ

2

B C =1200

2 = 600

O

1 2

4 A

C

B F

VOBC: BOC· = 1800 - (Bµ1 +Cµ1 )= 1800 - 600=1200((Định lý tổng ba góc tam giác)

Mặt khác:BOC· +O¶1 = 1800( kề bù)

O¶1=O¶2=600 ·

BOC+O¶2 = 1800( kề bù)

Vẽ phân giác OF BOC· (FBC) O¶3=O¶4= ·

2

BOC=600

Do : O¶1=O¶2=O¶3=O¶4=600 Xét VBOE VBOF cú:

ả

B = Bà1(BDl phõn giỏcàB)

BO cnh chung VBOE = VBOF(g.c.g) ả

1

O =O¶4=600

OE = OF (1) ( hai cạnh tương ứng)

Và BE = BF

c/m tương tự VCOD = VCOF(g.c.g)OD =- OF (2) (hai cạnh tương ứng)

và CD = EF

Từ (1 ) (2)  OE = OD VDOE cân b Ta có BE = BF

CD = CF (cmt)

BE+CD=BF+FC=BC

Vậy : BE + DC= BC * Nhận xét:

- VD cho ta thêm cách vẽ đường phụ:Vẽ phân giác OF BOC·

Khi OF đoạn thẳng trung gian để so sánh OD với OE

- Ta vẽ thêm đường phụ cách khác: Trên BC lấy điểm F:BF= BE Do cần c/m VBOE = VBOF(g.c.g) VCOD = VCOF(g.c.g)

3 Bài tập

3.1.Bài tập 1:62- BTNC&MSCĐ/117)

Tam giác ABC tam giác A'B'C' có AB=A'B', AC= A'C' Hai góc A A'bù Vẽ trung tuyến AM kéo dài đoạn MD=MA

Chứng minh: a ·ABD=µA'

b AM =

2B'C'

Giải

GT VABC, VA'B'C': AB=A'B', AC= A'C'

µ

A+µA'= 1800

MBC: MB=MC

D AM: MD=MA

KL a ·ABD=µA'

b AM =

2B'C'

Chứng minh

Xét VAMC VDMB có: AM = MD (gt)

B'

A'

C'

A B

C M

·

AMC= DMB· (đối đỉnh)  VAMC = VDMB (c.g.c) MC = MB( gt)

 AC = BD ( hai cạnh tương ứng)

µ

A = µD( hai góc tương ứng)  AC//BD ( có cặp góc SLT nhau)  ·BAC+·ABD= 1800(hai góc phía)

Mà BAC· +µA'= 1800(gt)

 ·ABD=µA'

b Xét VABD VB'A'C' có: AB = A'B'(gt)

·

ABD=µA'(cmt) VABD VB'A'C'(c.g.c) BD = A'C'(=AC)

AD = B'C' ( hai cạnh tương ứng)

Mà AM =

2AD (gt)

AM =

2B'C'

* Nhận xét: Hai tam giác có hai cặp cạnh cặp góc xen chúng bù trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác nửa cạnh thứ ba tam giác

3.2 BT2:63- BTNC&MSCĐ/117)

Cho tam giác ABC vẽ tam giác tam giác vuông cân A ABE ACF

Chứng minh: a BF = CE BF  CE

b Gọi M trung điểm BC CMR: AM =

2EF

Giải

VABC

VABE: µA= 900, AB = AE

GTVACF: µA= 900, AC = AF

MBC: MB=MC

KL a.BF = CE BF  CE

b.AM =1

2EF

Chứng minh

a Ta có: EAC· = EAB· +BAC· = 900+ BAC·

·

BAF= BAC· + CAF· = 900+ BAC·

E

A

F

B M C

EAC· =BAF·

Xét VABF VAEC có: AB = AE(gt)

·

BAF=EAC· (cmt) VABF = VAEC(c.g.c) AF = AC (cmt)

BF = CE ( hai cạnh tương ứng)

vàµ

B = Eµ1( hai góc tương ứng) (1)

Gọi O I giao điểm CE với BF AB Xét VAEI vng A có µE1+Iµ1= 900(2)

Và µI1=Iµ2 (đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2) (3) Bµ1+Iµ2 =900BOI· = 900BF  CE b Ta có:EAB· +BAC· +CAF· +FAE· = 3600

BAC· +FAE· = 3600- (EAB· +CAF· ) =3600-(900+900)=1800

Ta thấy: VABC VEAF có hai cặp cạnh cặp góc xen chúng bù nên trung tuyến AM =

2EF 3.3 BT3(HHNC/56):

Cho VABC vẽ tam giác tam giác vuông cân A ABE ACF Vẽ AH vng góc với BC Đường thẳng AH giao EF O

CMR: O trung điểm EF Giải

VABC

VABE: µA= 900, AB = AE

GT VACF: µA= 900, AC = AF

AH BC ( HBC)

AHEF ={O}

KL O trung điểm EF Chứng minh

Kẻ EI AH, FKAH (I, K AH)

Xét VAEI VABH có:

I

$= Hµ= 900

AE = AB (gt) 

·

EAI= BAH· ( cặp góc có cạnh tương ứng vng góc nhọn)

VAEI = VABH (cạnh huyền- góc nhọn)

EI = AH ( hai cạnh tương ứng)

E

A

F

B C

K I O

Tương tự:VAFK = VCAH (cạnh huyền- góc nhọn)

FK = AH ( hai cạnh tương ứng)

Xét VOEI VOFK có:

I

$= Kµ= 900

EI = FK (=AH)  VOEI = VOFK(g.c.g) ·

KFO=IEO· (SLT, EI//FK)

OE = OF ( hai cạnh tương ứng)

Mà OEF(gt)

O trung điểm EF

3.4 BT4( 88/ BDT7/101)

Cho VABC có µA = 600 Dựng ngồi tam giác tam giác ABM

và CAN

a CMR: Ba điểm A, M, N thẳng hàng b c/m BN = CM

c Gọi O giao điểm BN CM Tính BOC·

Giải

GT VABC : µA = 600

VABM: AB= BM=MA VCAN: AC=CN=NA

BN  CM = {O}

Kl a A,M,N thẳng hàng b BN=CM

c BOC· =?

Chứng minh

a VABM, VCAN  ·BAM = CAN· =600

Vậy MAN· =·BAM +BAC· +CAN· = 600+600+600=1800M,A,N thẳng hàng

b.Xét VABN VACM có: AB = AM (gt)

·

BAN=CAM· (=1200)  VABN = VACM(c.g.c)

AN=AC(gt)

BN = CM ( hai cạnh tương ứng)

V Cà1=Nả1( hai gúc tng ng) c.BOCÃ l gúc ngồi VOCN

BOC· =OCN· +ONC· =Cµ1+·ACN+ONC· Mà µ

1

C =¶N1(cmt)

M A N

B C

O 1

BOC· =¶N1+·ACN+ONC· = ·ACN+·ANC=600+600=1200

3.5.BT5(35/NC&PT/37)

Chứng minh rằng: Nếu hai cạnh trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác hai cạnh trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác hai tam giác

Giải

GT VABC, VA'B'C': AB = A'B', AC= A'C' MBC: MB=MC

M'B'C': M'B'=M'C'

AM=A'M'

KL VABC=VA'B'C'

Chứng minh

Lấy DAM: MD=MA

Lấy D'A'M': M'D'=M'A'

Xét VABM VDMC có: MB=MC(gt)

·

AMB=CMD· (đối dỉnh) VABM VDMC(c.g.c) AM = MD(cách lấy điểm D)

CD= AB( hai cạnh tương ứng)

Và ¶A2=D¶1(1)( hai góc tương ứng) C/m tương tự ; C'D'=A'B'; ¶

2

'

A =¶D'1(2) Xét VACD VA'C'D' có:

AC = A'C'(gt)

AD=A'D'(vì AM=A'M') VACD = VA'C'D'(c.g.c) CD=C'D'(=AB)

àA1=ảA'1vDả1=Dả'1(3)

T (1), (2),(3) ảA2=ảA'2m Aà1=ảA'1 BACÃ =B A CÃ' ' ' Vy VABC=VA'B'C'(c.g.c)

* cách 2:

VAMC VA'M'C' có: AM=A'M'(gt)

à

A =ảA'1(cmt) VAMC = VA'M'C'(c.g.c) AC= A'C'(gt)

MC = M'C'( hai cạnh tương ứng)

Mà MC =

2BC; M'C' =

2B'C'(gt) Do đó: BC=B'C'

Vậy VABC=VA'B'C'(c.c.c)

4 Chốt lại phần lý thuyết lưu ý vận dụng chuyên đề:Khi cần phải chứng minh hai đoạn thẳng hay hai góc

5.Bài tập nhà:

A

B C

D

A'

C'

D' M'

M B'

2

Cho tam giác ABC cân đáy BC ·BAC =200 Trên cạnh AB lấy điểm E

choBCE· =500 Trên cạnh AC lấy điểm D choCBD· =600 Qua D kẻ đường thẳng

song song với BC,nó cắt AB F Gọi O giao điểm BD CF a C/m VAFC=VADB

b C/m VOFD VOBC tam giác c Tính số đo góc EOB