Phương trình, bất phương trình lượng giác và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỒN THỊ CÚC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Hà Nội – Năm 2013 Mục lục Mở đầu Phương trình lượng giác 1.1 Phương trình 1.2 Phương trình đưa dạng đa thức 1.3 Phương trình đưa dạng tích 1.4 Phương trình lượng giác giải phương 4 13 18 Bất phương trình lượng giác 2.1 Bất phương trình lượng giác 2.2 Sử dụng tính tuần hồn giải bất phương trình lượng giác 29 29 33 Ứng dụng phương trình bất phương trình lượng giác 3.1 Ứng dụng đại số 3.2 Ứng dụng chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 3.3 Ứng dụng hình học 37 37 58 70 Kết luận 86 Tài liệu tham khảo 87 pháp so sánh Mở đầu Chuyên đề lượng giác nội dung quan trọng chương trình tốn bậc Trung học phổ thơng Các tốn "Phương trình, bất phương trình lượng giác" thường xuất kỳ thi Đại học, Cao đẳng kỳ thi học sinh giỏi Việc nâng cao kiến thức giúp học sinh giải tốt tốn động lực để tơi nghiên cứu đề tài Bản luận văn chia làm chương Chương Phương trình lượng giác Trong chương này, số kiến thức nhắc lại Luận văn trình bày số phương pháp giải phương trình lượng giác Chương Bất phương trình lượng giác Ở chương luận văn đề cập đến phương pháp giải bất phương trình lượng giác Chương Ứng dụng phương trình bất phương trình Luận văn trình bày hai ứng dụng quan trọng phương trình, bất phương trình lượng giác đại số hình học Mặc dù thân cố gắng nghiêm túc học tập nghiên cứu khoa học thời gian có hạn, kiến thức thân cịn hạn chế nên q trình thực luận văn không tránh khỏi sơ suất Rất mong nhận góp ý thầy bạn Tơi xin chân thành cảm ơn Học viên Đồn thị Cúc Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lịng kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn tơi suốt q trình tơi thực đề tài Tôi xin gửi tới thầy cô Khoa Toán-Cơ -Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tham gia giảng dạy khóa cao học 2011-2013 tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình ln động viên tơi suốt trình học tập làm luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2013 Học viên Đoàn Thị Cúc Chương Phương trình lượng giác Phương trình lượng giác kiến thức quan trọng chương trình tốn học phổ thông Không tồn phương pháp chung để giải tất tốn phương trình lượng giác Người ta chia phương trình lượng giác (theo cách giải) thành hai loại: Loại Phương trình lượng giác giải túy biến đổi lượng giác Loại Phương trình lượng giác giải phương pháp đại số, giải tích Để giải phương trình lượng giác nhìn chung ta thường biến đổi phương trình cần giải hay số phương trình lượng giác đơn giản có cách giải 1.1 Phương trình Giả sử u,v biểu thức theo x: u = u(x),v = v(x) Khi ta có sin u = sin v ⇔ u = v + k2π (k ∈ Z) u = π − v + k2π cos u = cos v ⇔ tan u = tan v ⇔ u = v + k2π u = −v + k2π π + kπ u = v + lπ u= (k ∈ Z) (k, l ∈ Z) cot u = cot v ⇔ u = kπ u = v + lπ (k, l ∈ Z) Bài toán 1.1 Giải phương trình sin 7x− Lời giải Ta có 5π + cos 2x + π (1.1) = 5π π = − cos 2x + 5π π ⇔ sin 7x− = sin 2x − 6  2π k2π π x= = 2x − + k2π +  15  ⇔ 7π 2π k2π = − 2x + k2π + x= 9 (1.1) ⇔ sin 7x−   ⇔  7x − 5π 5π 7x − (k ∈ Z) Vậy nghiệm phương trình x= 2π k2π 2π k2π + ; x= + (k ∈ Z) 15 9 Bài tốn 1.2 Giải phương trình tan x = cos2 2x + 5π 12 + sin2 x + 5π 12 Lời giải Điều kiện xác định cos x = ⇔ x = + sin x sin 3x + 5π (1.2) π + lπ (l ∈ Z) Ta có sin (a + b) sin (a − b) = sin2 a cos2 b − cos2 a sin2 b = − cos2 a − sin2 b − cos2 a sin2 b Suy cos2 a + sin2 b + sin (a + b) sin (a − b) = (∗) Áp dụng (∗) ta có cos2 2x + 5π 12 + sin2 x + 5π 12 + sin x sin 3x + Do (1.2) ⇔ tan x = ⇔ x = Vậy nghiệm phương trình x = 5π = π + kπ (k ∈ Z) π + kπ (k ∈ Z) Bài tốn 1.3 Giải phương trình √ 2 + cos 3x.cos3 x − sin 3x.sin3 x = (1.3) Giải Ta có √ 2+3 2 (1.3) ⇔ cos x(cos 4x + cos 2x) − sin x(cos 2x − cos 4x) = 2 √ 2+3 2 2 ⇔ cos x cos 4x + cos x cos 2x − sin x cos 2x + sin x cos 4x = √ 2+3 2 2 ⇔ cos 4x(cos x + sin x) + cos 2x(cos x − sin x) = √ 2 + ⇔ cos 4x + cos2 2x = √ ⇔ cos 4x + 2(1 + cos 4x) = + √ ⇔ cos 4x =  π kπ x= + 16 ⇔ −π kπ (k ∈ Z) + x= 16 Vậy nghiệm phương trình x= π kπ −π kπ + ; x= + (k ∈ Z) 16 16 Nhận xét 1.1 Việc khéo léo sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng giúp ta tránh việc sử dụng công thức lượng giác góc nhân ba Bài tốn 1.4 Giải biện luận phương trình (m − 1) sin x + − m = Lời giải *) Với m = phương trình cho trở thành sin x + = ⇔ sin x = −1 (phương trình vơ nghiệm) m−2 m−1 m−2 ⊕ > ⇔ (m − 2)2 > (m − 1)2 ⇔ m2 − 4m + > m2 − 2m + m−1 ⇔ m < phương trình vơ nghiệm m−2 ⊕ ≤ ⇔ (m − 2)2 ≤ (m − 1)2 ⇔ m2 − 4m + ≤ m2 − 2m + m−1 m−2 −π π ⇔ m ≥ đặt = sin α α ∈ , m−1 2 *) Với m = (1.4) ⇔ sin x = x = α + k2π Khi (1.4) ⇔ sin x = sin α ⇔ x = π − α + k2π Kết luận (k ∈ Z) (1.4) phương trình (1.4) vơ nghiệm Với m ≥ phương trình (1.4) có nghiệm dạng Với m < x = α + k2π x = π − α + k2π 1.2 k ∈ Z, α ∈ −π π m−2 , ; sin α = 2 m−1 Phương trình đưa dạng đa thức Bài tốn 1.5 Giải phương trình sin 4x + 16 sin3 x cos x + cos 2x = (1.5) Lời giải Ta có (1.5) ⇔ sin 4x + sin2 x sin 2x + cos 2x = ⇔ sin 4x + (1 − cos 2x) sin 2x + cos 2x = ⇔ sin 4x + sin 2x − sin 4x + cos 2x = ⇔ cos 2x + sin 2x = ⇔ cos 2x + sin 2x = 5 Đặt     = cos α α ∈ 0,    = sin α π Khi ta có phương trình cos α cos 2x + sin α sin 2x = ⇔ cos (2x − α) = α ⇔ 2x − α = k2π ⇔ x = + kπ (k ∈ Z) Vậy nghiệm phương trình x= α + kπ (k ∈ Z) Bài tốn 1.6 Giải phương trình sin 4x sin x − sin 3x sin 2x = √ cos 3x + + cos x Lời giải Ta có √ cos 3x + + cos x √ ⇔ sin 4x sin x − sin 3x sin 2x = cos 3x + + cos x (1.6) ⇔ sin 4x sin x − sin 3x sin 2x = (1.6) √ ⇔ − cos x = + cos x − cos x ≥ ⇔  cos x = (1 + cos x) ⇔  cos x ≤  cos2 x − cos x − = ⇔ cos x = − √  cos x = ± ⇔ x = ±arccos − ⇔  cos x ≤ √ √ + k2π (k ∈ Z) Vậy nghiệm phương trình x = ±arccos − √ + k2π (k ∈ Z) Bài tốn 1.7 Giải phương trình cos2 √ π − 2x + cos 4x = cos2 x − (1.7) Lời giải Ta có √ π − 4x + cos 4x = cos2 x − (1.7) ⇔ + cos √ ⇔ sin 4x + cos 4x = 2 cos2 x − √ ⇔ sin 4x + cos 4x = cos 2x √ cos 4x = cos 2x ⇔ sin 4x + π π ⇔ sin sin 4x + cos cos 4x = cos 2x 6 π ⇔ cos 4x − = cos 2x   π π + kπ x= 4x − = 2x + k2π 12   ⇔ ⇔ (k ∈ Z) π π kπ 4x − = −2x + k2π x= + 36 Vậy nghiệm phương trình x= π π kπ + kπ; x = + (k ∈ Z) 12 36 Bài tốn 1.8 Giải phương trình (2 cos 3x + cos x + 1)3 = 162 cos x − 27 Lời giải √ Đặt t = cos x, |t| ≤ Ta có t3 + = 3 3t − (1.8) Đặt u = √ 3t − 1.Ta có hệ phương trình t3 = 3u − ⇔ u3 = 3t − ⇔ t3 − u3 = 3(u − t) t3 = 3u − (t − u)(t2 + tu + u2 + 3) = ⇔ t3 = 3u − t=u t3 = 3t − Vậy cos3 x − cos x + = ⇔ cos 3x + = −1 ⇔ cos3x = 2π k2π ⇔x=± + (k ∈ Z) Vậy nghiệm phương trình x = ± 2π k2π + (k ∈ Z) 9 ... cập đến phương pháp giải bất phương trình lượng giác Chương Ứng dụng phương trình bất phương trình Luận văn trình bày hai ứng dụng quan trọng phương trình, bất phương trình lượng giác đại số hình... phương trình lượng giác 2.1 Bất phương trình lượng giác 2.2 Sử dụng tính tuần hồn giải bất phương trình lượng giác 29 29 33 Ứng dụng phương trình bất phương trình lượng giác. .. bày cách hệ thống phương pháp giải phương trình bất phương trình lượng giác Đưa ứng dụng phương trình bất phương trình lượng giác đại số, hình học, việc chứng minh đẳng thức bất đẳng thức Đưa