P 2 : Dùng đạo hàm chúng ta có thể xét được tính đồng biến và nghịch biến của một hàm số trên một miền nào đó, vì vậy có thể ứng dụng để chứng minh khá nhiều bất đẳng thức... Trong các [r]
(1)CHỦ ĐỀ 1: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Bài toán: Xét biến thiên hàm số y = f(x)P2: Ta cần thực bước sau: B1: Tìm miền xác định hàm số
B2: Tính đạo hàm f ’(x), giải phương trình f ‘(x) = B3: Lập bảng biến thiên hàm số
B4: Kết luận
Bài tập ôn luyện: Khảo sát chiều biến thiên hàm số
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số 1 y = + 4x –x2
2 y = 2x2 -3x -1 3 y = x2(4 – x2)
4 y = x4 – 2x3 + 2x +1 5 y = 1
3
3x x x 6
2 x y
x
7
2
x x
y
x
8 2
x y
x
9 2
4
y
x x
10
2
3
2
x x
y
x x
11
2
y x x
12
2
y x x
13 y = 3x2 – 8x3 14 y = x3 – 6x2 + 9x 15 y = 16x + 2x2 – 16
3 x 3 – x4 16 y = x4 + 8x2 +
17 2 x y
x x
18 y x x( 1), (x0) 19
7 x y
x
20 22 x y
x
21
2
1
x x
y
x
22
5
2
x x
y x
23
25
y x
24
100
x y
x
25
5
y x x x 26 3
2 11
4
y x x x x 27
8
yx x
28 7
9 12
6 y x x x 29 1
2
y
x
30
x y
x
31 23
x y
x
32
2
y x x
CHỦ ĐỀ 2: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT MIỀN
Bài toán: Xác định m để hàm số y = f(x, m) đồng biến (hay nghịch biến) khoảng I P2: Ta cần thực bước sau:B1: Tìm miền xác định hàm số B2: Tính đạo hàm f ‘(x)
B3: Lập luận cho trường hợp (tương tự cho tính nghịch biến) sau:
Hàm số đồng biến R àm
'( ) ,
H
f x x
số xác định với x
dấu đẳng thức xảy hữu hạn điểm
Hàm số đồng biến [a, +) àm
'( ) ,
H
f x x a
số xác định với x [a,+ )
dấu đẳng thức xảy hữu hạn điểm
Hàm số đồng biến (-, b] àm ( , ]
'( ) ,
H b
f x x b
số xác định với x
dấu đẳng thức xảy hữu hạn điểm
Hàm số đồng biến (a, b) àm ( , )
'( ) ( , ),
H a b
f x x a b
số xác định với x
dấu đẳng thức xảy hữu hạn điểm (a,b)
(2)
Để giải biểu thức điều kiện y ‘ phương pháp sử dụng phườngổ biến phương pháp tam thức bậc 2, nhiên trường hợp riêng biệt sử dụng phương pháp hàm số để giải, cụ thể như:
f ‘(x) với '(x) x D
x D f
f ‘(x) với max '(x) x D
x D f
Chú ý: Ta cần nhớ với y’= g(x) = ax2
+ bx + c (a 0) thì:
Hàm số đồng biến Hàm số nghịch biến
1 ( ) x
0
a g x
0 ( ) x
0
a g x
2.g x( ) 0 x > (hay x ( ; + )) hai trường hợp xảy ra:
TH1: Nếu 0, điều kiện a > Tóm lại:
0
a
TH2: Nếu 0, điều kiện a > phương trình g(x) = có hai nghiệm thoả mãn
1 x x
0 ( )
2 a ag
S
2 g x( ) 0 x > (hay x ( ; + )) hai trường hợp xảy ra:
TH1: Nếu 0, điều kiện a < Tóm lại:
0
a
TH2: Nếu 0, điều kiện a < phương trình g(x) = có hai nghiệm thoả mãn
1 x x
0 ( )
2 a ag
S
3 g x( ) 0 x < (hay x (- ; )) hai trường hợp xảy ra:
TH1: Nếu 0, điều kiện a > Tóm lại:
0
a
TH2: Nếu 0, điều kiện a > phương trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x1 x2
0 ( )
a a g S
3 g x( ) 0 x < (hay x (- ; )) hai trường hợp xảy ra:
TH1: Nếu 0, điều kiện a < Tóm lại:
0
a
TH2: Nếu 0, điều kiện a < phương trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x1 x2
0 ( )
a a g
S
4 g x( ) 0 x ( ; ) hai trường hợp sau xảy ra:
TH1: Nếu 0, điều kiện a > Tóm lại:
0
a
TH2: Nếu 0, xét hai khả sau:
o Nếu a > điều kiện phương trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt thoả:
4 g x( ) 0 x ( ; ) hai trường hợp sau xảy ra:
TH1: Nếu 0, điều kiện a < Tóm lại:
0
a
TH2: Nếu 0, xét hai khả sau:
(3)1 2
x x
x x
( )
2
( )
2
a g S a g
S
o Nếu a < điều kiện phương trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt thoả:
1
( ) ( )
a g
x x
a g
1 2
x x
x x
( )
2
( )
2
a g S a g
S
o Nếu a > điều kiện phương trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt thoả:
1
( ) ( )
a g
x x
a g
Bài tập ôn luyện – nâng cao
Bài 1: Tìm m sau cho hàm số:
1 y = mx3 – (2m – 1)x2 + (m – 2)x – đồng biến
2 y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến (-1; 1) Đs: m 10 3 y = (m2 + 5m)x3 + 6mx2 + 6x – đơn điệu R
4 y = x3 – 3(m – 1)x2 + 3m(m-2)x + hàm số đồng biến R 5 y = x4 – 2mx2 + 2m + m4 đồng biến
6 y = 1 3x
3
– 2x2 + 3x, hàm số nghịch biến khoảng (-2; 0) 7 y =
3 m
x3 + mx2 + (3m – 2)x đồng biến 8 y = -1
3x
3 + (m – 1)x2 + (m + 3)x đồng biến (0; 3)
9 y = x3 – 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + đồng biến khoảng (2; +) 10 y = x3 – (m+1)x2 – (2m2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1) đồng biến x2 11 y = x2(m – x) – m Tìm m để hàm số:
a Đồng biến với x b Đồng biến (1; 2) 12 y = 1
3mx
– (m – 1)x2 + 3(m - 2)x + 13 Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (m - 1)x + m + a Tìm m để hàm số đồng biến với x
b Tìm m để hàm số đồng biến khoảng ( ; 1] (2; +) 14 Cho hàm y =
3
2
( 1) ( 3)
3
x
m x m
a Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (0; 3) b Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (3; +) 15 Cho hàm số
( 3)
3
y m x x mx a Tìm m để hàm số ln đồng biến b Tìm m để hàm số ln nghịch biến
16 Cho hàm số y = x2(m – x) – mx + Tìm m để hàm số ln nghịch biến 17 Cho hs
3
y mx mx x nghịch biến
18 Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + m – Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (-; 0) 19 Cho hs y = mx3 – (2m – 1)x2 + (m – 2) – Tìm m để hàm số ln đồng biến
(4)21 Cho hs
y x x x m Luôn nghịch biến x R 22 Cho hs
(2 1)
3
y x mx m x m Tìm m để hs nghịch biến khoảng (-2; 0) 23 Cho hs y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến đoạn có độ dài (đs: m = 9/4) 24 Cho hs y = -1
3x
3 + 2x2 + (2m + 1)x -3m + 2, nghịch biến R Đs: 25 Cho hs y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m, nghịch biến (-1; 1)
26: Cho hs 2
( 1) (2 3)
3
y x m x m a Đồng biến khoảng (1; +)
b Đồng biến R
27 Cho hs y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1, đồng biến R 28 Cho hs
3 ( 1)
(3 2)
3
m x
y mx m x, đồng biến R
29 Cho hs y = (m – x)x2 + m, đồng biến (1; 2) Đs: m3 30 Cho hs
( 1) ( 3)
3
y x m x m x
a Luôn giảm Đs: Khơng có giá trị m b Ln tăng (0; 3) Đs: 12
7 m
31 Cho hs 2
2( 1) ( )
3
yx m x m m x , nghịch biến (-1; 1).Đs:
8 52 76
3
m
m
32 Cho hs y = x3 – mx2 + 3x – 1, đồng biến Đs: 3 m 33 y = 2x + mcosx, tăng R Đs: 2 m
34 y = 2x3 + 3x2 + 6(m + 1)x + m2 , nghịch biến (-2; 0) Đs: m 3
35 3
(sin cos ) sin
3
y x m m x x m, đồng biến ( ; )
36 y = x3 + (m - 1)x2 – (2m2 + 3m + 2)x, đồng biến (2;) Đs:
2 m
37 y = x + msinx, đồng biến R Đs: 1 m 38 y = (m – 3)x – (2m + 1)cosx, nghịch biến R Đs:
3
m
39 y = x3 + 2mx2 + m – 2, nghịch biến (1; 3) Đs:
4 m 40
( 1) 2( 1)
3
y x m x m x , tăng R Đs: 1 m Bài 2: Tìm m cho hàm số:
1
3 mx y
x m
nghịch biến
2
2
x mx m
y
x m
đồng biến với x >
3
2
mx x m
y
mx
đồng biến khoảng (0; +)
4
2( 1)
1
x m
y
x
(5)5
2
2
1
x mx m
y
x m
đồng biến (1; +)
6
2
2
x m x m
y
x
đồng biến miền xác định
7
2
(m 1)x 2mx (m m 2)
y
x m
nghịch biến miền xác định
8
2
( 2) 2
1
mx m x m m
y
x
nghịch biến miền xác định
9
2
2
2
x m m
y
m x
nghịch biến (1; +)
10
2
2x (1 m x) m y
x m
đồng biến (1; +) Đs: m 3 2
11
2
2x (1 m x) m y
x m
nghịch biến (2;+)
12 Cho hàm số
2
2
2
x x m
y
x
Tìm m để hàm số nghịch biến
1
( ; )
2
13 Cho hs
2
2
2
x m m
y
x m
Tìm m để hs đồng biến (1;+)
14 Cho hs
1
x mx
y
x
đồng biến (-; -1) (1; +)
15 Cho hs
2
6
2
mx x
y
x
nghịch biến [1; +) Đs:
14 m 16 Cho hs
2
( 1) 4
( 1)
x m x m m
y
x m
nghịch biến (0; +) Đs:
2
1
3 m
17 Cho hs
2
2x (1 m x) m
y
x m
nghịch biến (2; +) Đs: m 5
18 Cho hs
2
2
1
x x m
y
x
, đồng biến (3; +)
19 Cho hs y x x m
,
a Luôn đồng biến khoảng xác định Đs: m < b Luôn đồng biến (-1; +) Đs: m < -1 20 Cho hs y mx
x m
,
a Đồng biến (3; +) Đs: m > b nghịch biến (;1) Đs: 2 m
CHỦ ĐỀ 3: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Bài toán: Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số để chứng minh bất đảng thức
P2: Dùng đạo hàm xét tính đồng biến nghịch biến hàm số miền đó, ứng dụng để chứng minh nhiều bất đẳng thức
Cụ thể: Xét hàm số f(x) đoạn [a; b],
- Nếu f ‘(x) 0, x [a; b]hàm số f(x) đồng biến [a; b] f x( ) f a( ) f x( ) f b( ) - Nếu f ‘(x) 0, x [a; b]hàm số f(x) đồng biến [a; b] f x( ) f a( ) f x( ) f b( )
(6)Bài Cho 0
2 x
Chứng minh rằng:
a sinx < x b tanx > x
Bài Giải a Xét hàm số f(x) = sinx – x với
2
x
Đạo hàm: f ‘(x) = cosx – < với
2 x
hàm số f(x) nghịch biến (0; )
Do đó: f(x) < f(0) với
2 x
sinx – x < với
2 x
sinx < x với
2 x
(đpcm) b Xét hàm số f(x) = tanx – x với
2
x
Đạo hàm: f ‘(x) = 12
cos x – = tan
2x > với
2 x
hàm số f(x) đồng biến (0; )
Do đó: f(x) > f(0) với
2 x
tanx – x > với
2 x
tanx > x với
2 x
(đpcm) Bài 2: Chứng minh rằng: sin
6
x
x x với x > Bài Giải: Xét hàm số f(x) =
3 sin
x
x x với x > Đạo hàm: f ‘(x) =
2
1 cos
2
x
x
; f ‘’(x) = -x + sinx; f ‘’’(x) = -1 + cosx < với x > f ‘’(x) nghịch biến với x >
f ‘’(x) < f ‘’(0) với x > f ‘’(x) < với x > f ‘(x) nghịch biến với x > f ‘(x) < f ‘(0) với x > f ‘(x) < với x > f(x) nghịch biến với x > f(x) < f(0) với x >
3
sin
6
x
x x với x >
sin
x
x xvới x >
Lưu ý: Đôi khẳng định f ‘(x) 0, x [a; b] f ‘(x) 0, x [a; b] Trong trường hợp vậy, thủ thuật thông thường áp dụng chúng ta liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thức ẩn x
Bài 3: Chứng minh rằng: sin200 > 1
Bài Giải Áp dụng công thức: sin3x = 3sinx – 4sin3x
Ta có: sin600 = 3sin200 -4sin3200
Do sin200 nghiệm phương trình 3
3
2 x x Xét hàm số f(x) = 3x – 4x3
Đạo hàm: f ‘(x) = – 12x2 Bảng biến thiên:
x -
2 + y’ - + -
y + - Ta có: sin200
-
1 ( ; )
2
(7)Nên: sin200 > 1
0 23
(s in20 ) ( ) 27 46 2187 2116
3 27
f f
Lưu ý: Một số toán bất đẳng thức đưa xét hàm số cần quan tâm tới cực trị
BÀI TẬP TỔNG HỢP
BÀI TẬP TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1y
x
6
2
y
8
x
1
3 yx24x14 y 3x25x1
5 y 2x21
6 yx32x2 x
7 yx32x2 x
8
1
2
1
3
y
x
x
9
1
2
3
1
3
y
x
x
x
10 y x3 3x29x111 yx3x2 8x1
12 yx3x2 8x1
13 yx33x2 3x1
14
1
2
4
1
3
y
x
x
x
151
3
2
3
3
2
y
x
x
x
16
4
2
3
3
y
x
x
x
17 y2x33x2118 yx32x2 x
19 yx4x2 1
20 y2x44x2 5
21 yx4x21
22
1
4
y
x
x
233
2
1
x
y
x
24
y
x
4
x
25 yx42x25
26
2
2
x
y
x
27
2
2
3
1
x
x
y
x
28 yx36x217x4
29 yx3 x cosx4
30
1
2
4
5
3
y
x
x
x
314
6
9
2
3
3
y
x
x
x
322
8
9
5
x
x
y
x
33
2
1
1
y
x
x
34
2
2
3
2
1
x
x
y
x
35 y x2 2x3
36
f x
( )
1
x
2 nghịch biến trên
0;137:y 4x2
38: y 2xx2
39:
2
5
10
7
3
3
y
x
x
x
Câu 39: Chứng minh hàm số y x x2 8nghịch biến Câu 40:Tìm m hàm số:
2
yx mx x đồng biến ĐS: 6 m Câu 41:Tìm m hàm số:
3
yx mx đồng biến ĐS: m0 Câu 42:Tìm a hàm số:
1
yx ax x nghịch biến khoảng
1; ĐS: 13a
Câu 43:Tìm m hàm số:
( 2)
1
x m x m
y
x
đồng biến khoảng xác định Câu 44:Tìm m hàm số:
2 mx y
x m
nghịch biến khoảng xác định
Câu 45:Tìm m hàm số:
2
2
1
x x m
y
x
đồng biến khoảng xác định Câu 46:Tìm m hàm số:
1 m y x
x
đồng biến khoảng xác định
Câu 47:Tìm m hàm số:
( ) 6
y m m x mx x đơn điệu R Câu 48:Tìm
a
hàm số: 2 (2 1)3
y x x a x a nghịch biến ĐS:
(8)
Câu 49:Tìm m hàm số:
3(2 1) (12 5)
yx m x m x đồng biến
2;
ĐS: 12 m câu 50: Cho hàm số 2( 1) ( 2) (2 1)
yx m x m m x m m Tìm m để hàm số đồng biến
x ĐS: 2 m
Cau 51: Cho hàm số yx33x2(m1)x4m Tìm m để hs nghịch biến
( 1;1)
ĐS: m 10 Câu 52: Cho3 mx y
x m
Tìm m để hs ln nghịch biến miền xác định ĐS: 1 m
Câu 53: Cho
2
( 2) 2
1
mx m x m m
y
x
Tìm m để hs ln đồng biến TXĐ nó.đs: 0 m Câu 54: Tìm m để hàm số đồng biến trong(0;):
1)
2( 1)
1
x m x
y
x
ĐS m0 2)
2
mx x m
y
mx
ĐS: 0 m Câu 55: Tìm m hàm số sau đồng biến (1;):
1)
2
x mx m
y
x m
ĐS:
3 17
4
m 17
4
m
2)
2
2
1
x mx m
y
x m
ĐS:m2 22
Câu 56 Chứng minh với x > ta có:
2
1
2
x
x
e
x
HD:xét hàm số :2
( )
2
x x
f x e x (đồng biến x > 0)
Câu 57 Chứng minh với: 0
2 x
chứng minh tgxx HD:xét hàm số : f x( )tgxx; f x'( )tg x2 Câu 58.:Chứng minh với: 0
2 x
chứng minh 2sinx2tgx2x1
HD:Dùng bđt côsi: xét hàm số : f x( )tgxsinx Câu 59 Chứng minh với x > ta có:
1) 2
2
x x
e
x x
2) ln( 1) x
x x
x
1)HD:xét hàm số: f x( )exx; f x( )ln(x 1) x; ( ) ln( 1)
x
f x x
x
Câu 60 (Gk)Chứng minh bất đẳng thức sau: a)
sin x
x
với
x
0
,sin x
x
với
x
0
b)2
cos
1
2
x
x
vớix
0
c)3
sin
6
x
x
x
vớix
0
, d3
sin
6
x
x
x
vớix
0
Câu 61 (Gk)Chứng minh rằng: