1. Trang chủ
  2. » Văn bán pháp quy

Bài tập tính đơn điệu của hàm số

8 7 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 8
Dung lượng 648,23 KB

Nội dung

P 2 : Dùng đạo hàm chúng ta có thể xét được tính đồng biến và nghịch biến của một hàm số trên một miền nào đó, vì vậy có thể ứng dụng để chứng minh khá nhiều bất đẳng thức... Trong các [r]

(1)

CHỦ ĐỀ 1: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Bài toán: Xét biến thiên hàm số y = f(x)

P2: Ta cần thực bước sau: B1: Tìm miền xác định hàm số

B2: Tính đạo hàm f ’(x), giải phương trình f ‘(x) = B3: Lập bảng biến thiên hàm số

B4: Kết luận

Bài tập ôn luyện: Khảo sát chiều biến thiên hàm số

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số 1 y = + 4x –x2

2 y = 2x2 -3x -1 3 y = x2(4 – x2)

4 y = x4 – 2x3 + 2x +1 5 y = 1

3

3xxx6

2 x y

x

 

7

2

x x

y

x

  

8 2

x y

x

 

9 2

4

y

x x

 

10

2

3

2

x x

y

x x

  

 

11

2

y  x x

12

2

y  x x

13 y = 3x2 – 8x3 14 y = x3 – 6x2 + 9x 15 y = 16x + 2x2 – 16

3 x 3 – x4 16 y = x4 + 8x2 +

17 2 x y

x x

 

 

18 yx x( 1), (x0) 19

7 x y

x

 

20 22 x y

x

 

21

2

1

x x

y

x

  

22

5

2

x x

y x

  

23

25

y x

24

100

x y

x

 

25

5

yxx  x 26 3

2 11

4

yxxxx27

8

yxx

28 7

9 12

6 yxxx29 1

2

y

x

  

30

x y

x

 

31 23

x y

x

 

32

2

yxx

CHỦ ĐỀ 2: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT MIỀN Bài toán: Xác định m để hàm số y = f(x, m) đồng biến (hay nghịch biến) khoảng I P2: Ta cần thực bước sau:

B1: Tìm miền xác định hàm số B2: Tính đạo hàm f ‘(x)

B3: Lập luận cho trường hợp (tương tự cho tính nghịch biến) sau:

 Hàm số đồng biến R àm

'( ) ,

H

f x x

   

số xác định với x

dấu đẳng thức xảy hữu hạn điểm

 Hàm số đồng biến [a, +) àm

'( ) ,

H

f x x a

 

     

số xác định với x [a,+ )

dấu đẳng thức xảy hữu hạn điểm

 Hàm số đồng biến (-, b] àm ( , ]

'( ) ,

H b

f x x b

  

     

số xác định với x

dấu đẳng thức xảy hữu hạn điểm

 Hàm số đồng biến (a, b) àm ( , )

'( ) ( , ),

H a b

f x x a b

 

    

số xác định với x

dấu đẳng thức xảy hữu hạn điểm (a,b)

(2)

Để giải biểu thức điều kiện y ‘ phương pháp sử dụng phườngổ biến phương pháp tam thức bậc 2, nhiên trường hợp riêng biệt sử dụng phương pháp hàm số để giải, cụ thể như:

 f ‘(x)  với '(x) x D

x D f

   

 f ‘(x)  với max '(x) x D

x D f

   

Chú ý: Ta cần nhớ với y’= g(x) = ax2

+ bx + c (a  0) thì:

Hàm số đồng biến Hàm số nghịch biến

1 ( ) x

0

a g x     

 

0 ( ) x

0

a g x     

  

2.g x( ) 0 x > (hay x ( ; + ))    hai trường hợp xảy ra:

 TH1: Nếu  0, điều kiện a > Tóm lại:

0

a

   

 TH2: Nếu  0, điều kiện a > phương trình g(x) = có hai nghiệm thoả mãn

1 xx 

0 ( )

2 a ag

S

   

 

   

2 g x( ) 0 x > (hay x ( ; + ))    hai trường hợp xảy ra:

 TH1: Nếu  0, điều kiện a < Tóm lại:

0

a

   

 TH2: Nếu  0, điều kiện a < phương trình g(x) = có hai nghiệm thoả mãn

1 xx 

0 ( )

2 a ag

S

   

 

   

3 g x( ) 0 x < (hay x (- ; ))   hai trường hợp xảy ra:

 TH1: Nếu  0, điều kiện a > Tóm lại:

0

a

   

 TH2: Nếu  0, điều kiện a > phương trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt thoả mãn  x1 x2

0 ( )

a a g S

 

   

 

   

3 g x( ) 0 x < (hay x (- ; ))   hai trường hợp xảy ra:

 TH1: Nếu  0, điều kiện a < Tóm lại:

0

a

   

 TH2: Nếu  0, điều kiện a < phương trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt thoả mãn  x1 x2

0 ( )

a a g

S

   

 

   

4 g x( )  0 x ( ; )  hai trường hợp sau xảy ra:

 TH1: Nếu  0, điều kiện a > Tóm lại:

0

a

   

 TH2: Nếu  0, xét hai khả sau:

o Nếu a > điều kiện phương trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt thoả:

4 g x( )  0 x ( ; )  hai trường hợp sau xảy ra:

 TH1: Nếu  0, điều kiện a < Tóm lại:

0

a

   

 TH2: Nếu  0, xét hai khả sau:

(3)

1 2

x x

x x

 

     

    

( )

2

( )

2

a g S a g

S

     

    

   

   

o Nếu a < điều kiện phương trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt thoả:

1

( ) ( )

a g

x x

a g

  

  

    

1 2

x x

x x

 

     

    

( )

2

( )

2

a g S a g

S

     

    

   

   

o Nếu a > điều kiện phương trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt thoả:

1

( ) ( )

a g

x x

a g

  

  

    

Bài tập ôn luyện – nâng cao

Bài 1: Tìm m sau cho hàm số:

1 y = mx3 – (2m – 1)x2 + (m – 2)x – đồng biến

2 y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến (-1; 1) Đs: m 10 3 y = (m2 + 5m)x3 + 6mx2 + 6x – đơn điệu R

4 y = x3 – 3(m – 1)x2 + 3m(m-2)x + hàm số đồng biến R 5 y = x4 – 2mx2 + 2m + m4 đồng biến

6 y = 1 3x

3

– 2x2 + 3x, hàm số nghịch biến khoảng (-2; 0) 7 y =

3 m

x3 + mx2 + (3m – 2)x đồng biến 8 y = -1

3x

3 + (m – 1)x2 + (m + 3)x đồng biến (0; 3)

9 y = x3 – 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + đồng biến khoảng (2; +) 10 y = x3 – (m+1)x2 – (2m2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1) đồng biến x2 11 y = x2(m – x) – m Tìm m để hàm số:

a Đồng biến với x b Đồng biến (1; 2) 12 y = 1

3mx

– (m – 1)x2 + 3(m - 2)x + 13 Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (m - 1)x + m + a Tìm m để hàm số đồng biến với x

b Tìm m để hàm số đồng biến khoảng ( ; 1] (2; +) 14 Cho hàm y =

3

2

( 1) ( 3)

3

x

m x m

     

a Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (0; 3) b Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (3; +) 15 Cho hàm số

( 3)

3

ymxxmx a Tìm m để hàm số ln đồng biến b Tìm m để hàm số ln nghịch biến

16 Cho hàm số y = x2(m – x) – mx + Tìm m để hàm số ln nghịch biến 17 Cho hs

3

y  mxmxx nghịch biến

18 Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + m – Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (-; 0) 19 Cho hs y = mx3 – (2m – 1)x2 + (m – 2) – Tìm m để hàm số ln đồng biến

(4)

21 Cho hs

y x x  x m Luôn nghịch biến  x R 22 Cho hs

(2 1)

3

y  xmxmx m  Tìm m để hs nghịch biến khoảng (-2; 0) 23 Cho hs y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến đoạn có độ dài (đs: m = 9/4) 24 Cho hs y = -1

3x

3 + 2x2 + (2m + 1)x -3m + 2, nghịch biến R Đs: 25 Cho hs y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m, nghịch biến (-1; 1)

26: Cho hs 2

( 1) (2 3)

3

yxmxm  a Đồng biến khoảng (1; +)

b Đồng biến R

27 Cho hs y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1, đồng biến R 28 Cho hs

3 ( 1)

(3 2)

3

m x

y  mxmx, đồng biến R

29 Cho hs y = (m – x)x2 + m, đồng biến (1; 2) Đs: m3 30 Cho hs

( 1) ( 3)

3

y  xmxmx

a Luôn giảm Đs: Khơng có giá trị m b Ln tăng (0; 3) Đs: 12

7 m

31 Cho hs 2

2( 1) ( )

3

yxmxmmx , nghịch biến (-1; 1).Đs:

8 52 76

3

m

m

 

   

   

32 Cho hs y = x3 – mx2 + 3x – 1, đồng biến Đs:   3 m 33 y = 2x + mcosx, tăng R Đs:   2 m

34 y = 2x3 + 3x2 + 6(m + 1)x + m2 , nghịch biến (-2; 0) Đs: m 3

35 3

(sin cos ) sin

3

yxmm xx m, đồng biến ( ; )

36 y = x3 + (m - 1)x2 – (2m2 + 3m + 2)x, đồng biến (2;) Đs:

2 m

  

37 y = x + msinx, đồng biến R Đs:   1 m 38 y = (m – 3)x – (2m + 1)cosx, nghịch biến R Đs:

3

m

   39 y = x3 + 2mx2 + m – 2, nghịch biến (1; 3) Đs:

4 m  40

( 1) 2( 1)

3

yxmxmx , tăng R Đs: 1 m Bài 2: Tìm m cho hàm số:

1

3 mx y

x m

 

  nghịch biến

2

2

x mx m

y

x m

  

 đồng biến với x >

3

2

mx x m

y

mx

  

 đồng biến khoảng (0; +)

4

2( 1)

1

x m

y

x

  

(5)

5

2

2

1

x mx m

y

x m

   

  đồng biến (1; +)

6

2

2

x m x m

y

x

  

 đồng biến miền xác định

7

2

(m 1)x 2mx (m m 2)

y

x m

    

 nghịch biến miền xác định

8

2

( 2) 2

1

mx m x m m

y

x

    

 nghịch biến miền xác định

9

2

2

2

x m m

y

m x

  

 nghịch biến (1; +)

10

2

2x (1 m x) m y

x m

    

 đồng biến (1; +) Đs: m 3 2

11

2

2x (1 m x) m y

x m

    

  nghịch biến (2;+)

12 Cho hàm số

2

2

2

x x m

y

x

  

 Tìm m để hàm số nghịch biến

1

( ; )

2

 

13 Cho hs

2

2

2

x m m

y

x m

  

 Tìm m để hs đồng biến (1;+)

14 Cho hs

1

x mx

y

x

  

 đồng biến (-; -1) (1; +)

15 Cho hs

2

6

2

mx x

y

x

  

 nghịch biến [1; +) Đs:

14 m  16 Cho hs

2

( 1) 4

( 1)

x m x m m

y

x m

    

  nghịch biến (0; +) Đs:

2

1

3 m

  

17 Cho hs

2

2x (1 m x) m

y

x m

   

  nghịch biến (2; +) Đs: m 5

18 Cho hs

2

2

1

x x m

y

x

  

 , đồng biến (3; +)

19 Cho hs y x x m

 ,

a Luôn đồng biến khoảng xác định Đs: m < b Luôn đồng biến (-1; +) Đs: m < -1 20 Cho hs y mx

x m

 

 ,

a Đồng biến (3; +) Đs: m > b nghịch biến (;1) Đs:    2 m

CHỦ ĐỀ 3: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Bài toán: Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số để chứng minh bất đảng thức

P2: Dùng đạo hàm xét tính đồng biến nghịch biến hàm số miền đó, ứng dụng để chứng minh nhiều bất đẳng thức

Cụ thể: Xét hàm số f(x) đoạn [a; b],

- Nếu f ‘(x)   0, x [a; b]hàm số f(x) đồng biến [a; b]  f x( ) f a( ) f x( ) f b( ) - Nếu f ‘(x)   0, x [a; b]hàm số f(x) đồng biến [a; b]  f x( ) f a( ) f x( ) f b( )

(6)

Bài Cho 0

2 x

  Chứng minh rằng:

a sinx < x b tanx > x

Bài Giải a Xét hàm số f(x) = sinx – x với

2

x

  Đạo hàm: f ‘(x) = cosx – < với

2 x

   hàm số f(x) nghịch biến (0; )

Do đó: f(x) < f(0) với

2 x

   sinx – x < với

2 x

   sinx < x với

2 x

  (đpcm) b Xét hàm số f(x) = tanx – x với

2

x

  Đạo hàm: f ‘(x) = 12

cos x – = tan

2x > với

2 x

   hàm số f(x) đồng biến (0; )

Do đó: f(x) > f(0) với

2 x

   tanx – x > với

2 x

   tanx > x với

2 x

  (đpcm) Bài 2: Chứng minh rằng: sin

6

x

x  x với x > Bài Giải: Xét hàm số f(x) =

3 sin

x

x  x với x > Đạo hàm: f ‘(x) =

2

1 cos

2

x

x

  ; f ‘’(x) = -x + sinx; f ‘’’(x) = -1 + cosx < với x >  f ‘’(x) nghịch biến với x >

 f ‘’(x) < f ‘’(0) với x >  f ‘’(x) < với x >  f ‘(x) nghịch biến với x >  f ‘(x) < f ‘(0) với x >  f ‘(x) < với x >  f(x) nghịch biến với x >  f(x) < f(0) với x > 

3

sin

6

x

x  x với x > 

sin

x

x  xvới x >

Lưu ý: Đôi khẳng định f ‘(x)   0, x [a; b] f ‘(x)   0, x [a; b] Trong trường hợp vậy, thủ thuật thông thường áp dụng chúng ta liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thức ẩn x

Bài 3: Chứng minh rằng: sin200 > 1

Bài Giải Áp dụng công thức: sin3x = 3sinx – 4sin3x

Ta có: sin600 = 3sin200 -4sin3200

Do sin200 nghiệm phương trình 3

3

2  xx Xét hàm số f(x) = 3x – 4x3

Đạo hàm: f ‘(x) = – 12x2 Bảng biến thiên:

x -

2 + y’ - + -

y + - Ta có: sin200

-

1 ( ; )

2

(7)

Nên: sin200 > 1

0 23

(s in20 ) ( ) 27 46 2187 2116

3 27

f f

       

Lưu ý: Một số toán bất đẳng thức đưa xét hàm số cần quan tâm tới cực trị

BÀI TẬP TỔNG HỢP

BÀI TẬP TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1 y x 6

2 y  8x 1 3 yx24x1

4 y 3x25x1

5 y 2x21

6 yx32x2 x

7 yx32x2  x

8 1 2 1 3

yxx

9 1 2 3 1 3

y  xxx10 y  x3 3x29x1

11 yx3x2 8x1

12 yx3x2 8x1

13 yx33x2 3x1

14 1 2 4 1 3

yxxx15 1 3 2 3

3 2

yxxx

16 4 2 3 3

yxx  x 17 y2x33x21

18 yx32x2 x

19 yx4x2 1

20 y2x44x2 5

21 yx4x21

22 1 4

yxx 23 3

2 1 x y

x  

24 y x 4 x  

25 yx42x25

26 2

2 x y

x  

27

2 2 3

1

x x

y

x

  

28 yx36x217x4

29 yx3 x cosx4

30 1 2 4 5 3

yxxx31 4 6 9 2

3 3

y  xxx32

2 8 9

5

x x

y

x

 

33 2 1 1

y x

x   

34

2

2 3

2 1

x x

y

x  

35 yx2 2x3

36 f x( ) 1x2 nghịch biến trên 0;1

37:y 4x2

38: y 2xx2

39: 2 5 10 7

3 3

yxxx

Câu 39: Chứng minh hàm số y  x x2 8nghịch biến Câu 40:Tìm m hàm số:

2

yxmxx đồng biến ĐS:  6 m Câu 41:Tìm m hàm số:

3

yxmx đồng biến ĐS: m0 Câu 42:Tìm a hàm số:

1

yxax  x nghịch biến khoảng  1; ĐS: 13

a

Câu 43:Tìm m hàm số:

( 2)

1

x m x m

y

x

   

 đồng biến khoảng xác định Câu 44:Tìm m hàm số:

2 mx y

x m

 

  nghịch biến khoảng xác định

Câu 45:Tìm m hàm số:

2

2

1

x x m

y

x

  

 đồng biến khoảng xác định Câu 46:Tìm m hàm số:

1 m y x

x

  

 đồng biến khoảng xác định

Câu 47:Tìm m hàm số:

( ) 6

y  mm xmxx đơn điệu R Câu 48:Tìm a hàm số: 2 (2 1)

3

y  xxaxa nghịch biến ĐS:

(8)

Câu 49:Tìm m hàm số:

3(2 1) (12 5)

yxmxmx đồng biến 2; ĐS: 12 mcâu 50: Cho hàm số 2

( 1) ( 2) (2 1)

yxmxmmxm m Tìm m để hàm số đồng biến

x ĐS:   2 m

Cau 51: Cho hàm số yx33x2(m1)x4m Tìm m để hs nghịch biến ( 1;1) ĐS: m 10 Câu 52: Cho

3 mx y

x m

 

  Tìm m để hs ln nghịch biến miền xác định ĐS: 1 m

Câu 53: Cho

2

( 2) 2

1

mx m x m m

y

x

    

 Tìm m để hs ln đồng biến TXĐ nó.đs: 0 m Câu 54: Tìm m để hàm số đồng biến trong(0;):

1)

2( 1)

1

x m x

y

x

  

 ĐS m0 2)

2

mx x m

y

mx

  

 ĐS: 0 m Câu 55: Tìm m hàm số sau đồng biến (1;):

1)

2

x mx m

y

x m

  

 ĐS:

3 17

4

m  17

4

m 

2)

2

2

1

x mx m

y

x m

   

  ĐS:m2 22

Câu 56 Chứng minh với x > ta có:

2

1

2

x x

e   x HD:xét hàm số :

2

( )

2

x x

f xe   x (đồng biến x > 0)

Câu 57 Chứng minh với: 0

2 x

  chứng minh tgxx HD:xét hàm số : f x( )tgxx; f x'( )tg x2 Câu 58.:Chứng minh với: 0

2 x

  chứng minh 2sinx2tgx2x1

HD:Dùng bđt côsi: xét hàm số : f x( )tgxsinx Câu 59 Chứng minh với x > ta có:

1) 2

2

x x

e

x x

  2) ln( 1) x

x x

x   

1)HD:xét hàm số: f x( )exx; f x( )ln(x 1) x; ( ) ln( 1)

x

f x x

x

  

Câu 60 (Gk)Chứng minh bất đẳng thức sau: a) sin xx với  x 0, sin xx với  x 0 b)

2

cos 1 2 x

x  với x0 c)

3

sin

6 x

x x với x0, d

3

sin

6 x

x x với x0

Câu 61 (Gk)Chứng minh rằng: sinxtanx2x với 0; 2 x  

Ngày đăng: 04/02/2021, 22:08

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w