Tóm tắt kiến thức Toán lớp 9 (đầy đủ cả đại và hình)

+ Ñònh lí thuaän: Baát cöù ñieåm naøo naèm treân ñöôøng faân giaùc cuûa moät goùc thì cuõng caùch ñeàu 2 caïnh goùc ñoù. + Ñònh lí ñaûo: Ñieåm naøo caùch ñeàu 2 caïnh cuûa moät goùc th[r]

TĨM TẮT CƠNG THỨC TỐN LỚP 1) Phương trình: ax2 + bx + c = (a¹ )  

- Phương trình  có nghiệm phân biệt   0 - Phương trình  có nghiệm trái dấu

0 P        - Phương trình  có nghiệm dấu

0 P        - Phương trình  có nghiệm dương

0 0 P S         

- Phương trình  có nghiệm âm

0 0 P S         

- Phương trình  có nghiệm đối

0 0 P S         

Ví dụ: Cho phương trình: 2x2 – 5x – m + = 

a Tìm điều kiện để phương trình  có nghiệm trái dấu:

2

4 ( 5) 4.2( 3) 25 24

b ac m m m

           

- Giả sử phương trình có nghiệm x1, x2

- Theo định lí Viet, ta có: 2 2, b S x x

a c m P x x

a                

- Phương trình  có nghiệm trái dấu  

1

0

3

3

0

3 m m m m m P m m                               

- Vậy m>3 phương trình  có nghiệm trái dấu b Tìm điều kiện để phương trình  có nghiệm âm:

- Phương trình  có nghiệm âm

1 0

3 0

2, 0( ) m m P sai S                    

- Vậy khơng có giá trị m để phương trình có nghiệm âm 2) Hệ phương trình: 



ax + by = c

a'x + b'x = c' - Hệ phương trình có nghiệm ' '

a b

a b

 

- Hệ phương trình vô nghiệm

' ' '

a b c

a b c

   - Hệ phương trình có vôâ số nghieäm

' ' '

a b c

a b c

  

3) Hằng đẳng thức

 2

(a b ) a 2ab b

 2

(a b ) a 2ab b

 3 2

(a b ) a  b 3a b3ab

 3 2

 2

( )( )

a b  a b a b 

 2 2

( ) ( )

a b  a b  ab a b  ab

 3 2

( )( )

a b  a b a ab b

 3 2

( )( )

a b  a b a ab b

 2 2

(a b c  ) a b  c 2ab2ac2bc

 2 2

(a b c  ) a b  c 2ab2ac2bc

4) Tỉ số lượng giác: sin đối

huyền cos kề huyền đối tag = kề kề cotag = đối

Cung 0o 15o 30o 45o 60o 75o 90o 105o 120o 135o 150o

Sin

4  2

 1

4  2 2

Cos

4  2 2

 0

4

 

2  2  

Tag 2 3

3 2

   2 3  3 -1

3



Cotag  



3

3 2  2

3

 -1 

5) Giải phương trình: ax2 + bx + c = (a 0) 

a Dùng cơng thức nghiệm: [Phương trình ax2 + bx + c = 0với a c trái dấu ln có nghiệm phân

biệt] ; 2 b b a a b a                   2

= b -4ac

* > Phương trình co ù2 nghiệm phân biệt : x x

* = Phương trình co ùnghiệm kép : x x * < Phương trình vo ânghiệm

b Dùng công thức nghiệm thu gọn ' ' ; '

2 ' ' ' ; ' ' b

b b b

b b a a b a                      2

= b' -ac

* > Phương trình co ù2 nghiệm phân biệt : x x

* = Phương trình co ùnghiệm kép : x x * < Phương trình vo ânghiệm

c Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 2 * 0 b S x x

a

x x

c P x x

a

c

a b c x x

a c

a b c x x

a                       

Biết :

* Biết : = * Biết : = -1và

6) Tam giác vuông cân

- ABCvuông cân A; AB = AC = a

- ABC đồng dạng với ABH đồng dạng với ACH   - BAC  AHC AHB90o

- BAH   ABH ACH CAH45o

- BCAB 2 AC 2; aHB 2HC AH

- AH đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến, tia phân giác ABC

- 2 2 ( ) ( ) ( )

2 2

BC BH CH BH AH CH AH

a BH CH AH      

- 2

2

ABC

AH BC AH AH

S   

Chứng minh tam giác vuông cân:

 

 

2 2

2

45 45

o o

ABC A

BC AB

BC AC

BC AB

ABC A

BC AC

AB AC

ABC ABC

ABC ACB

 

 

 

 

  

 

 

 



   

 

  

 

  

 

  

 

 

  

  

vuôngtại

vuông cântại

7) Tam giác

- ABC ; AB = AC = BC = a

- AH đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực tia phân giác -

2

a

CH HB ;

2

a

AH  ;

2

3

ABC

a

S 

Chứng minh tam giác đều:   

60 60 60

o o o

ABC

ABC

 

 

 

   

 

  

caân ABC

đều ACB

CAB 8) Nửa tam giác

- ACH ABH nửa tam giác

- 3 3

2

AB AC

AH   BH CH

-

2

AB AC AH

CH BH    - 2

3

AH

ABAC CH  BH 

A

B C

H

Chứng minh nửa tam giác đều:   ( , ) 60

3

o

AHC

ACH CAH

AHC

AH HC

AC HC

 

  

 

  

 

  

 vuoâng

AHC

la ønửa tam giác đều

9) Góc đường trịn - AOB : góc tâm chắn AB - ACB : góc nội tiếp chắn AB

- EAB : góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn AB

-   1

2

ACBEAB AOB - sñHDG = 1sñHG -sñJI 

2 - sñADG = 1sñAG -sñJA 

2 -    

1

sñEDF = sñAmF -sñAnF

-   1  

2

JKCBKG sñJC+ sđBG

10) Một vài cơng thức cần nhớ (Hình học): - Độ dài đường tròn:C = R

- Độ dài cung tròn: l =Rnoo 180

- Diện tích hình tròn: S = R 2

- Diện tích hình quạt tròn: S =R n2 oo 360

Ghi chú: + : số pi + C: độ dài đường trịn + R: bán kính

+ l: độ dài cung + no: số đo độ cung

- - Diện tích xung quanh hình trụ: S = R.hxq 

- Diện tích tồn phần hình trụ:   2 tp

S = R.h + R

- Thể tích hình trụ: V = Sh + R h 2

- Diện tích xung quanh hình nón : S = Rlxq 

- Diện tích tồn phần hình nón:   2 tp

S = Rl + R

- Thể tích hình nón: V =1R h2

3

Ghi chú: + h: chiều cao + l: đường sinh -

11) Một vài công thức cần nhớ (Đại số):

1 Với a0;b0 a+ b  a + b (dấu “=” xảy  a = b = 0)

2 Với a b 0 a- b  a - b (dấu “=” xảy  a = b = 0)

3 Công thức phức tạp: A ± B = A + A - B2 ± A- A - B2

2 2 A > ; B > ; A

2 > B

4 Bất đẳng thức Cơ-si: với a 0,b 0  thì: a + b ab

2  (dấu “=” xảy  a = b)

Vài dạng khác bất đẳng thức Cô-si:

A

B

C O D

E

F G

H

I

J

m n

- Dạng có chứa dấu căn:  a + b  ab với a0;b0

 1 2

a + b  a + b với a > ; b >

- Dạng dấu  (a + b)2 ab

2 

 (a+ b) 4ab2

 a + b 2ab2 2 

5 A B A (hay B 0)

A = B

 



  

 6

B

A B

A = B     

 7

B

| A | = B

A = B hay A = -B 

   

8 2 2

X A  X A hay X A ; X A    A X A

9 f x( ) g x( )h x( )

- Đặt điều kiện: f x( )0, ( )g x 0, ( )h x 0 - Chuyển vế (2 vế phải không âm)

- Bình phương vế

10 2

;

MinX   m m Max  m X  m

11 Điều kiện để biểu thức có nghĩa: - Biểu thức có dạng A có nghĩa -A0- Biều thức có dạng A

Bcó nghĩa B0 - Biểu thức có dạng AB có nghĩa B0 12) Đường thẳng song song đường thẳng cắt Hệ số góc đường thẳng

1 Cho đường thẳng: (d1) : y = ax + b (a0) (d2) : y = a’x + b’ (a’0)  (d1) // (d2)  a a' ;bb'

 (d1) (d2)  a a' ;bb'

 (d1) caét (d2)  a a'  (d1)  (d2) a a ' 1

2 Khi a > gốc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox góc nhọn Khi a < gốc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox góc tù

3 Nếu (d1) cắt (d2) hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình ax + b = a’x + b’

4 Gọi  góc tạo đường thẳng y = ax + b với trục Ox Nếu a > tg= a

13) Các dạng phương trình đặc biệt:

1 Phương trình bậc 3: ax3 + bx2 + cx + d = (a  0) []

Nếu biết nghiệm x = x0 [] đưa phương trình tích: (x – x0)(ax2 + mx + n) =

2 Phương trình hệ đối xứng bậc 4: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = (a  0) [] a) Phương pháp giải:

- Nhaän xét x = nghiệm []

- Chia vế [] cho x2 nhóm số hạng cách số hạng đầu cuối thành nhóm

phương trình [] - Đặt ẩn phụ t x

x

  [] 2

2

1

t x

x

    vào phương trình [] - Giải phương trình trung gian để tìm t, giá trị t vào [] để tìm x b) Về nghiệm số phương trình:

- Nếu x0 nghiệm phương trình []

0

1

x nghiệm

c) Phương trình hệ đối xứng bậc 5: ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = (a  0) []

có nghiệm x = -1 (vì tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ) Vì [] biến đổi thành:

       

1

3 Phương trình hồi quy: ax4 + bx3 + cx2 + mx + n = (a  0) n m

a b

      [] a) Phương pháp giải:

- Nhận xét x = nghiệm []

- Chia vế [] cho x2 nhóm số hạng cách số hạng đầu cuối thành nhóm

phương trình [] - Đặt ẩn phụ t x m

bx

  [] 2

2

2m m

t x

b b x

    vào phương trình [] - Giải phương trình trung gian để tìm t, giá trị t vào [] để tìm x

4 Phương trình a + d = b + c: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m []

Phương pháp giải:

- Viết lại [] dười dạng: [(x + a)(x + d)][(x + b)(x + c)] – m = [] - Khai triển tích đặt ẩn phụ t biểu thức vừa khai triển - Thế ẩn phụ vào phương trình [], giải phương trình, tìm giá trị t - Thế giá trị t vào biểu thức chứa ẩn phụ để tìm x

5 Phương trình đó: (x + a)4 + (x + b)4 = c Phương pháp giải:

- Đối với phương trình dạng này, ta đặt ẩn phụ trung bình cộng (x + a) (x + b): - Đặt

2 a b t x 

14) Một số kiền thức hình học cấp 2:

1 Trung tuyến tam giác: Trung tuyến tam giác

đoạn thẳng, đầu nối đỉnh tam giác, đầu nối trung tuyến cạnh đối diện với đỉnh

Ta có tam giác ABC có AM trung tuyến  MC = MB

- Áp dụng vào tam giác vuông:

+ Định lí thuận: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền + Định lí đảo: Trong tam giác, đường trung tuyến nửa cạnh đối diện tam giác vng

2 Tia phân giác:

- Tia phân giác góc tia nằm góc chia góc làm hai góc - Phân giác tam giác đoàn thẳng có mơt đầu

đỉnh tam giác, đầu giao điểm tia fân giác xuất phát từ đỉnh đến cạnh đối diện

- Trong tam giác, đường phân giác chia cạnh đối diện thành đoạn tỉ lệvới hai cạnh kề

Ta có tam giác ABC có AM đường phân giác BM AB

CM AC

 

3 Đường trung trực:

- Định nghĩa: Đường thẳng trung trực đoạn thẳng đường thẳng vng góc với đoạn trung điểm

- Định lí 1: Nếu điểm M nằ đường trung trực đoạn thẳng AB đường trung trực đoạn AB

- Định lí 2:Tập hợp điểm cách đầu đoạn thẳng AB đường thẳng trung trực đoạn AB

Ta có tam giác ABC có AH vừa đường cao, vừa trung tuyến, vừa phân giác, vừa trung trực (tam giác ABC cân)

4 Đường trung bình tam giác:

A

B C

M

A

B C

M A

C B

- - - Định lí 1: Trong tam giác, đường thẳng qua trung điểm cạnh song song với canh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba

- Định lí 2: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh thứ ba

- Định lí 3: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác gọi đường trung bình tam giác

5 Tính chất ba đường trung tuyến:

- Trong tam giác, ba đường trung tuyến cắt điểm Điểm gọi trọng tâm tam

giaùc

- Khoảng cách từ đỉnh đến trọng tâm

3 trung tuyến

6 Tính chất đường phân giác:

a) Tính chất đường phân giác: Định lí phân giác góc:

+ Định lí thuận: Bất điểm nằm đường fân giác góc cách cạnh góc + Định lí đảo: Điểm cách cạnh góc nằm fân giác góc

b) Tính chất phân giác tam giác: tam giác, đường fân giác cắt điểm Điểm cách cạnh tam giác Điểm gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác

c) Tính chất đường phân giác tam giác: tam giác, đường fân giác chia cạnh đối diên thành đoạn tỉ lệ với cạnh kề

7 Tính chất đường trung trực tam giác:

Trong tam giác, ba đường trung trực cắt điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác Điểm gọi tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác

8 Tính chất đường cao tam giác:

Trong tam giác, ba đường cao cắt một điểm Điểm gọi lảtrực tâm tam giác

9 Tiên đề ƠCLIT: Từ điểm nằm đường thẳng ta vẽ đường thẳng

song song với đường thẳng cho trước

B C

+ Hệ 1: cho hai đường thẳng song song, đường thẳng cắt đường thẳng thứ cắt đường thẳng thứ hai

+ Hệ 2: hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với

10 Định lí Thales tam giác:

+ Định lí 1: đường thẳng song song với cạnh tam giác chắn hai cạnh thành đoạn tương ứng tỉ lệ

+ Định lí 2: đường thẳng chắn hai cạnh tam giác thành đoạn tương ứng tỉ lệ song song với cạnh thứ ba

+Hệ quả: đường thẳng song song với cạnh tam giác, hợp với hai cạnh tạo thành tam giác có cạnh tỉ lệ với cạnh tam giác cho