Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 giáo án, bài giảng

Trang 1

TRƯỜNG THPT THỦ KHOA NGHĨA CHÂU ĐÓC - AN GIANG

TOM TAT KIEN THUC

TOAN LOP 11

Trang 2

CONG THUC LUQNG GIAC

1; Giá trị các Hàm sô lượng giác của góc đặc biệt Góc 0° 30° 45° 60° | 90° | 180° | 270° | 360° 0 Mã x 1 x T 3m 2m HSLG s ri 5 ) 5 sin 1 V2 3 0 2 2 | a DI 0 -1 | 0 cos 3 J2 1 1], |; |; |9 | 2] eft tan v3 0 3 1 3 | 0 | 0 cot v3 I|J3|[! |; |?®|I 0 ||Ị 2 ; Các hệ thức cơ bản a; cos’x + sin’x = 1 b; tanx = we cy cotx = — cos x sin x 2 e; 1+cot x= cos x sin x 3; GTLG của góc liên quan đặc biệt ( Công thức quy gọn góc ) a; Góc đối nhau -a va a 2 d; 1+tan x= 5 fi tanx.cotx = 1

° cos(—a) = cosa ° sin(—a) = — sina ° tan(—a) = — tana ° cot(—a) = — cotga b; Géc bunhau a va t-a

Trang 3

d; Góc hơn kém nhau 74: a va 74+z ° cos(%+a) = — cosa ° sin(1t+4) = — sỉn a ° tan(m%+a) = tana ° cot(m+a) cota , Š ở ` e; Góc hơn kém nhau 5 : Ta va a 1 1

* cos(— +a) = — sina ° sin( +a) = cosa

° tan(~ +a) = —cota T1 ° cot +a) =—tana TL

f; Téng quat

° cos(a+k.2n) = cosa ° sin(a+k.2n) = sina

° tan (a+km) = tana ° cot(at+tkm) = cota

4; Công thức cộng

a; sin(atb) = sinacosb + cosasinb bị cos(a+b) = cosacosb + sinasinb tana +tanb œ fan(a&b)=——————— 1 = tana.tanb 5; Công thức nhân 4; cos2a = cosa—sina = 2cos’a—1 = 1 -2sin’a 1

b; sin2a = 2sina.cosa (Sina.cosa = „sn24)

Cc; cos3a = 4cos*a —3cosa d; sin3a =3sina— Asin? a

6; Công thức hạ bậc

1+cos2a 1-cos2a 1-cos2a

â; cos°a=———— ; b;sina=————; ¢; tan’a = ————_

2 2 1+cos2a

7; Công thức biến đổi tích thành tổng

a; coa.cosb 3 [ cos(a—b) + cos(a + b) ]

Trang 4

c; sina.cosb = 2 [sin(a —b) + sim(a + b) ]

8; Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a-b a; cosa + cosb = 2c0§——€0§—— 2 2 atb a-b b; cosa —cosb = —2sin —— sin—— 2 2 : atb a-b c; sina + sinb = 2sin—— cos—— 2 2 a-b : atb d; sina—sinb = 2cos—— sin—— 2 2 9; Công thức bỗ sung a; cosa + sina = Leos a + 5 } Jan(5 + a) 1

b; sina + cosa = J2sa “4 10; Hệ thức lượng trong tam giác

b”+c”-a” 2bc ar? a@ =b’ +c’ —2be.cosA ° cosA =

b; Dinh liHamsé Sin 4 =? = © Jor

Trang 5

y = tanx y =cotx TXD 9=R\{£+kn;keZ} Là hàm số lẻ Hàm sơ tn hồn, chu kỳ 7 Tập giá trị 7= Hàm số đồng biến trong (_—‡+km:‡+km) (keZ) Có các đường tiệm cận x= S+kmô ;keZ TXD 9=R\{kn; keZ} La ham số lẻ

Hàm s6 tuan hoan, chu ky 2 Tap gia tri T=R Hàm số nghịch biến trong (km: x+km) (keZ) Có các đường tiệm cận x= kn;keZ 1; Tìm tập xác định của hàm số P() Q(x a) y= P(x) Q(x) c) y= (x) b) y=P(x) xác định khi P(x)>0 xác định khi Ø(x) # 0 xác định khi Ø(x) > 0

d) y=sin f(x); y=cosf (x) xdc định khi f(x) xác định

e) y=tan ƒ(x) xác định khi /ƒ@)#Š+im (keZ)

f) y=cot f(x) xdcdinhkhi f(x) # kn (keZ) f(x) #a+kn g) fan ƒ(x) #tana © r(x) +E sn f(x) #a+kn Sf (x) # kn 2; Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

a) Ap dung các tính chât của bât đăng thức và với V+x ta có :

—l<sinx <l; —-l<cosx <1; O<sin?x <1; 0<cos*x <1

Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y=2sin x—3

Vxe R ta có: —1 < sinx <1 &@ -2 < 2sin x < 2 ©—5 < 2sin x—3 < —1

Trang 6

Vậy GTLN của hàm số bằng — 5 ; GTNN của hàm số bằng - 1

b) Tìm giá trị lớn nhât, nhỏ nhat cua ham s6 y=asinx+bcosx+c

Vxe R ta có: —\a? +bŸ < asinx+bcosx < \a?+b?

[2,72 : [21,2

ca t+b* < asinx+bcosx+c<c+ Ja +b Vậy GTLN của hàm số bằng eta’ +b" ;

GTNN cua ham sé bing c—,/a?+b?

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIAC

1; Phương trình lượng giác cơ bản a; Phương trình sizx = 7m

® - Điều kiện có nghiệm: |m| <1

® Tìmgóc asao cho sina =m (spar: a=sin 1 m) Tadugc sinx = sina và áp dụng : u =y+ k2n Sinw = siny jue —v+k2n (keZ) _ 0 ; Hay nen nêu trong pt có cho độ w=1800 y+k3600

e Trường hợp đặc biệt sinu = 0 @u=kn

sinu =1e9 =" +k2n h sinu = 1 eu=—* +k2n

®_ Nếu không phải là giá trị đặc biệt có thể sử dụng u = arcsinm +k2n u = —arcsinm +k2n (T7 1 ® —SInŒ = sin(—c.) 5 COSU = sa(5~*)} —cosu =sin(u — 2 b; Phương trình cøsx = m © - Điều kiện có nghiệm: |m| <1 : 4, TỰ : TU

snu=m & [vs —5 sarin

e Tim gdcasaocho cosa = m (spur: a=cos 'm)

Trang 7

Tađược cosx=cosa va ap dung u=v+k20 COSU=COSV & i =-v+k2n (keZ) 0 =v+k360 ‘ Hay my nêu trong pt có cho độ u=—v+k360°

e Trườnghợpđặcbiệt cosu =0 ust tin

cosu=l@u=k2n cosu=-l @u=n+k20

e Néu m khong phai la gid tri dic biét cé thể sử dụng

u = arccosm +k27t

cosu=m & ( với 0< arccosm Sr ) u=—arccosm +k2n

T T

® —cosŒ = cos(t—Œ) ; sinœ = co 5 —Œ } —sinœ = co 5 +a

c; Phuong trinh tanx =m (x # 24k)

e Tim gdcasao cho tana = m (spar : a=tan™' m)

e Tadugc tanx = tana vaapdung tanu = tan © #= v + k7

Hay u=v+k1809 néu trong pt có cho độ

e Đặc biệt tan = 0 © w=Ät ; tang =‡| ©w=+ 7 + ÂN © - Nếu m không phải là giá trị đặc biệt có thể sử dụng

tanu=m © u=arctanmt+kn [ + < arctanm< x 2 7U ® -tana = tan(—a); cota = an ¬g } —cotŒ = tn Nia +a e Tim géc a saocho cota=m [spur: a=tan 1 (=) m d; Phuong trinh cotx = m (x # kt)

Trang 8

Hay u=v+k180° nếu trong pt có cho độ

e Dac biét cotgu=0 ua" +kn ; cotgu=theru=4" thn

¢ Néum khong phai la gid tri dic biệt có thể sử dụng

cotu=m €u=arccotm+kn (Với 0< arecotzn<®)

T T

® = cota =cot(-a); tana = co 5 —Œ } —tana = oo(§ + «|

e; Chú ý : Không viết công thức nghiệm dạng x=a°+k2n hay x=œ + k360° 2; Phương trình bậc cao chỉ chứa 1 hàm số lượng giác a; Dạng phương trình 1 agsin"x+aisin"~Ìx + + a„_ ¡sinx+a„= 0 2 agcos"x+a,cos"~!x + +a,_,cosxt+a,= 0 3 agtan"x+a,tan"'x + +a,_,tanx+a,= 0

4 agcot”x+acot"~!x + +a, _,cotx+a,= 0

b; Phương pháp Dat t = sinx (hay cosx ; tanx ; cotx) v6i t = sinx hay t = cosx phai c6 diéu kién | t| < 1 ta dugc phuong trình

aot” + at" 1+ +.4,_\t+ a„=0

giải lấy nghiệm t thích hợp và áp dụng phương trình co bản

Chú ý: cos2x=2cos”x—l=l-2sin?x;

sin? x=l—cos”x; cos”x= I—sin? x

ce; Ví dụ Giải phương trình

€ị; cos2x — 3cosx—4 = 0 @ 2cosx—3cosx—5 = 0 (1)

Đặt £= cosx ( điều kiện |¿| < 1 ) ta được (1) @ 2—3t—5 =0

©¡/=-—l hay I=3 (loai)

Với t= -ltacó cosx=-Í @ x=n+k20 2; fan x— tan "x— 3tanx + 3 = 0

Đặt = /anx ta được f—f—3f+ 3 = 0

3; Phương trình bậc nhất đối với sinx ; cosx a; Dạng phương trình : zsix + bcosx = c

Trang 9

b; Điều kién c6 nghiém: a? +b? >c? c; Cách giải : Chia 2 về của phương trình cho 2| a?+ð? Ta được phương trình 4 sinx + b cosx = < Đặt cosœ = 4 > sina = b ja’ +b? Ja +b? Ta được c c sin xcosa + cosxsina = ————— © sin(x+a ) = Ja’ +b* Ja? +b? d; Ví dụ Giải phương trình J3sinx +cosx=1 (1) Cách 1: Vì a” + b = 3 + 1= 4> c=1.Tacó 3 1 1 1U ¬.: (1) €©——sinx +—co0sx =— ©>sin xcos—+cos xsin— =— 2 2 2 6 6 2 xt st hon x =k20 © sin xt =sin” 6 6 eS on (ke Z) 6 6 x+—=—+k2m 14 _ 5 x=—+k2n 3 2 £ 8 6

4; Phương trình đắng cap doi véi sin , cosx a; Dang phuong trinh

agsin"x + a,sin"~'x.cosx + + a,cos"x=0 (1)

b; Cach giai

* Khicosx= 0 (taxét a,)

của phương trình

sin” x+eos?x = 1 )

Trang 10

® Vớipt

asin? x+bsinxcosx+ccos” x+d =0 ta thay d=a(sin? x+cos” x)

ce; Vidu Giai phuong trinh

3sin’x + (3 3 )sinxcosx — V3cos’x = 0 (1)

e Khicosx=0 (1) © sinx = 0 (V6li vi sin’ x+cos’x =1 )

¢ Khicosx #0 Tacé (1) 3tan’x+(3- 43 )tanx — 43 =0 5; Phương trình lượng giác khác

Để giải một phương trình lượng giác chưa phải là dạng quen thuộc ta có thể kết hợp nhiều dạng khác nhau , có thể phân tích phương trình đã cho thành tích các thừa số , hoặc áp dụng tính chất bất đăng thức đưa về hệ phương trình để giải

6; Nhận dạng tam giác Phương pháp

Từ điều kiện đã cho lập phương trình hay hệ phương trình và áp dụng công thức quy gọn góc ( chú ý góc bù hay phụ nhau ) dé tim các ẩn số là các góc A, B,C của tam giác Lưu ý điều kiện của các góc thuộc

(0:z)

ĐẠI SÓ TỎ HỢP

1; Phép đếm

a; QUI TAC CONG „

Giả sử đê hoán thành một hành động (H) ta có thê thực hiện qua các

trường hợp A hoặc B hoặc C (mỗi trường hợp đều hồn thành cơng việc)

Nếu A có m cách ; B có n cách ; C có p cách thì (H) có m +n +p cách |

b; QUI TÁC NHÂN

Trang 11

a; Hoan vi : Cho A có n- phan tử , mỗi cách sắp thứ tự n- phần tr cua A gọi là một hoán vị b; Số hoán vị: Pạ = n! Ví dụ: Từ các chữ số 1, 2, 3 , 4 có thé lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau Giải : Mỗi cách lập một số là một hoán vị của 4 phần tử Vậy có Pa = 4l = 24 số 4; Chỉnh hợp

a; Chinh hợp : Cho tập A có n phần tử mỗi bộ sắp thứ tự gồm k phan tử

của A (keRÑ; 0< k<n) gọi là một chỉnh hợp chập k của n

b; Số chỉnh hợp chập k của n :

!

AF =— “— =(@—k+l)(n—k+2) n (n—k)!- W~X+1É„—K+2) ự,

Ví dụ: Một nhóm học sinh có 10 người , có bao nhiêu cách chọn 3 người đê làm 3 công việc khác nhau

Giải : Môi cách chọn là một chỉnh hợp chập 3 của 10 ! ! ! 101 _ 10 8.9.10 _'.9.10 = 720 (0-3)! 7! 7! k thừa số Vậy có Aj = 5; Tổ hợp Ộ - -

a; Tô hợp : Cho tập A có n phân tử môi tập hợp gôm k phân tử của A (keÑ; 0 <k<”n) gọi là một tô hợp chập k của n

n

k!{n—k)!

Ví dụ: Một nhóm học sinh có 10 người , có bao nhiêu cách chọn 3 người đê làm 3 công việc giông nhau

Giải : Môi cách chọn là một tô hợp chập 3 của 10

! ! !

10! _ 101 _ 71.8.2.10 =120

3110-3)! 317! 1.2437!

c; Tính chất C? =C" =1 ck=cr*® ck4+ch=ck

6; Cách phân biệt tổ hợp và chính hợp : Chỉnh hợp đi hỏi thứ tự còn tô hợp không cân thứ tự tức là khi thay đôi thứ tự các phân tử mà kêt quả thay đôi thì là chỉnh hợp còn kêt quả không thay đối thì là tổ hợp

b; Số tổ hợp chập kcủan: C! =

Trang 12

NHI THUC NIUTON 1; Khai triển nhị thức Niuton

(a+b)" =Coa" +Cla™'b+C2a"?b? + + Cn ab"! +C"b"

Số hạng tổng quát thứ k + 1 của khai trién: T,,, = Cka"*b*

Trang 13

Vậy có 360 + 900 = 1260 số c; Các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau Gọi số cần tìm là ABCBA A có 6 cách chọn ; B có 7 cách chọn ; C có 7 cách chọn Vậy có 6.7⁄7 = 294 số 2; Từ các chữ số 1,2 3 ,4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau Tính tổng các số đó Mỗi cách lập một số là một chỉnh hợp chập 4 của 6 Vậy có A‡ = 6.5.4.3 = 360 số Trong các số đã lập với mỗi số x thì tồn tại một số y sao cho x+y=7777 Vậy tổng các số đó là (360: 2) 7777 = 1399860 3; Cho đa giác có n cạnh Đa giác có n cạnh thì có n đỉnh a; Qua 2 đỉnh lập được 1 đoạn thắng ( gồm cạnh và đường chéo ) 2 = MD _ =” = 3" guang chéo 2 2

b; Lập được bao nhiêu tam giác

Vậy có C?—n

e _ Qua một đỉnh hợp với 2 cạnh kề nó lập được một tam giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác nên có _n tam giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác

e _ Qua một cạnh hợp với một đỉnh không kề cạnh đó của đa giác lập

được một tam giác chỉ có một cạnh là cạnh của tam giác nên có n(n—4) tam giác chỉ có một cạnh là cạnh của tam giác

e Vậy có CÌ—n—-n(n-4) = Cỷ —nˆ+3n tam giác không chứa

cạnh nào của tam giác

x?

a; Tim số hạng chính giữa của khai triển ˆ

b; Tìm sô hạng không chứa x của khai triên „

Trang 14

a; Số hang chính giữa cua khai trién 14 7, =2°C},x° = 8064x° b; T.„ ¡ là số hạng không chứax «> 30 — 5k =0 © k =6 Vậy số hạng không chứa x là 7„ = 2“C§ = 13440 5; Chứng minh một đẳng thức a; Từ khai triển của (l+x}'” = C? +C]x+C?x?+ +C7"!y""! +C"x" đâ Chox=ltac C? +C)+C?+ +C?"'+C? =2" đâ Chox=-ltac C? —CÌ+C?— +(—1)”C? =0 e Cho x =a tadugc

C}? +aC}+a?C? + +a""!C?"!+a"C? = (I+a)” b; Từ khai triển của

(I+x)”” = C, +C},x+C?,x? + + C? "ly?! + C?n y2"

Cho x =- l ta được C? —C, ,x+C? x”— —Cÿ""'y?""!+ C7"x” =0 © C?,+C?,+C2,+ +C?? =C?,+C2,+C7, + +C”

c; Vì Cj¡=C7”*“, VkeNÑ,k<2n+1 nêntacó

Cont Cont + Cont + 4 C5 =Œ„.¡ + 2n+1 +C?,, +C7a + +O 2n+1

6; Giải phương trình

Để giải phương trình ta cần đặt điều kiện cho ân số và áp dụng công thức tô hợp , chỉnh hợp đưa về phương trình đại số để giải

- _ XÁC SUÁT

1 Tập hợp Q tât cả các kêt quả có thê xảy ra của phép thử được gọi là không gian mầu

a) Gieo n con súc sắc thì |o| =6"

b) Gieo n đồng tiền thì |O| = 2"

c) Lấy k viên bi trong thùng có n viên thì |O| =

d) Thùng 1 có m viên, thùng 2 có n viên Lấy k viên ở thùng 1 và h

viên ở thùng 2 thì |O| = Cyc)

Trang 15

2 Một biến cố A liên quan tới phép thử T là ©„ c © Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T thộc ©.„ Mỗi phần tử của ©, gọi là kết

quả thuận lợi cho A ¬ -

3 Hai biên cô A, B gọi là xung khắc nêu A, B không đông thời xảy ra

4 Hai biến có A, B gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia

6 Ai,A, A, là các biến cố đôi một xung khắc th?

P(A,UA;U UA, ) =P(Ai)+P(A;)+ +P(A,)

7 A là biến có đối của biến cố A thì P(A)=1- P(A)

5 Xác suất của A là P(A) = [2a] | ( |x| là số phần tử của tap X )

8 A,,A,, 4, là các biến có độc lập thì

PÍA 4; A,) =P(A)P(A;) P(A,)

9 X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {› ¬ a Kỳ vọng của Xlà £(x)=)x,7, với p=P(X=x,) (¡=12.3 n) i=l b Phương sai của Xlà v(x)=)°(x,-)’ p, hay V(X)= Ÿ s‡p, - i=1 i=l trong đó p,=P(X=x,), (i=l,2.3 n) và =E(X) c Độ lệch chuẩn 6(X) = JE(X) DĂY SÓ - CÁP SỐ DAY SO U/- Tính đơn điệu của dăy số

1/- Định nghĩa : Cho dãy sé (Un) nếu với Vne ÑÏta có :

a; Un < Un+1 thi day số (uy) 1a day số tăng b; uạ >un¿ 1 thi day số (uạ) là dăy số giảm

c; Mét day sé tăng (hay giảm) gọi là day so don diéu 2/- Cách xét tính đơn điệu của dăy sô

Phương pháp : Để xét tính đơn điệu của dăy số ta có thề áp dụng tính

chất bất đăng thức đề Suy ra trực tiếp Hoặc xét hiệu M =uạ„¡ —un

Trang 16

b, Nếu un;¡ -uạ < 0, VøeNÑÏ thi (u,) 1a day sé gidm

c, Ngoai 2 trường hợp trên thi (uy) là dăy số không tăng, không giảm & “.LÄ vác U, Nêu „>0 Vn ta có thê xét —” u n+l eo vn 51 thi (u,) 1a day số giảm n+] ° ha <1 thi (uy) là dăy số tăng n+l 3/- Ví dụ : Xét tính đơn điệu của dăy số sau : aru, =n +1

Cach1: VneN tacd 1 <n<n+1 en <(n+1)

& +l<(n+1 +1 © 3; un < uạ„¡ nên (uạ) là dãy số tăng Cách 2: VøeNÑÏ tacóun¿¡—uạ =(n+ 1) “+1—[n” + 1] =(n+I-n=2n+l >0 VneÑÏ nên (uạ) là dăy số tăng 1 b;un= —————— n-5n+7 * „ 1 1 VneÑÏ tacóun+i—Un Z————z————————a (n+1) -5(n+1)+7 m —5n+7 n —5n—(n+1) +5(n4+1) 4-2n

-[ (nt) Sen4) +7 [nể =5a+7] © [art )? -5(n+)+7 |(0?-5n+7)

Vì n-5n+7 >0 VøeÑÏ và 4—-2n >0 khi n<2;4-2n<0khi

n>2 Vậy (uạ) là dăy số không tăng , không giảm

C3 u, =(-1)"n Ta có u¡= -l; uạ=2; uạ= -3 Vậy (u,) là dăy sô không tăng, không giảm

H/- Tính bi chặn của dăy sô 1/- Định nghĩa

Cho day số (uạ) nếu với VneÑ” ta có:

a; JM saocho u, <M thi day số (uạ) bị chặn trên b; dmsaocho u, 2m _ thi day $6 (Un) bi chặn dưới

c; Day số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy số bị chặn

Trang 17

2n—3 n+l 2/-Vídụ Xéttính bịchặn của dăysố u, = Tacó uạ = 2 _ > V VneÑÏ” tacó l<n+l n+1 eS _—— <S oe ~5< <0 -3<2 <2 n+l n+l n+l Vậy (uy) là đăy số bị chặn CAP SO CONG 1/- Dinh nghia

(u,) là một cấp số cộng nếu VneNÑ ,3d sao cho Hi = + d

d: công sai ; w là số hạng tổng quát thứ n Ví dụ ° 1,3, 5,7, là cấp số cộng có công sai d=2 ° 2, 1,0,—I ;-2., là câp sô cộng có công sai d = —I 2/- Tinh chat a; Số hạng tổng quát thứ n: u, = u,t(n—-1)d b; (uy) là cap số cộng thì uạ_ 1+Un+1 = =2un Hay 3 số a; b; c lập thành cấp số cộng = atc = 2b 3/- Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng _ nu tu,) _ n[2+(n—1)4] S, 2 2 Bai tap Van đề 1 Chứng minh một dăy số là cấp số cộng Phương pháp

Cách 1: Chứng minh uạ;¡ —-uạ = d dlà 1 số không đổi Vøe Ñ”

Cách 2: Chứng minh unạ_¡ +un¿¡ = 2u, Vïe N’,n>1

Vidu `

1/- Cho (uạ) với uạ= 1-3n Ching minh rang (u,) 1a cap so cộng

Tacó ua¿¡—uạ =l—3(n+1)—(1—-3n) = -3 VueNÏ Vậy (uạ) là cấp số cộng có công sai d=~3 "

2; Chứng minh răng 3 sô đương a; b; c lập thành câp sô cộng khi và

, 1

chỉ khi

Trang 18

boot tt 1 2

Toxle Verda’ Jardb ~ Jasob’ Jove Ja+ve

2(Va+Ve)(Va+vb) + (Va+Ve)(Vb+ve) = 2(Va+vb)(vb + Ve)

a+2Vab +2Vbe +2Vea +c =2Vab +2Vbc +2Vca +2b © a+c = 2b a,b,c lap thanh cAp sé cong Van dé 2 Xác định cấp số cộng - Phương pháp đê xác định I câp sô cộng từ điêu kiện đă cho áp dụng n{ 2u, +(n-1)d | dua vé hé 2 công thức ua=u¡ +(n— 1).d và S, =

phương trình ân số u¡ và d

Vídụ 1/- Xác định u¡ và d cua cap sô cộng biệt T

u, —u, tu, = TÔ u,+u, =17 —u,+u,=10 +d—(u,+2d)+u,+4d = 10 Ta có Ma isis eS 4 (4 )+t u,+u, =17 u,+u,+5d =17 u,+3d =10 u,=1 © © 2u,+5d =17 d=3

2/- Gitta 2 số a ; b hãy đặt thêm k số nữa đề được cấp số cộng Ta có cấp số cộng có k + 2 số hạng nên uị =a; uy ;a =b

©ui+(k+1)d =b ©@ a+(k+1)d =bed=T— n

Trang 19

, b Theo định lí Viet ta có XI +X;+Xa= —C œ 38; = _° maz a a a X2 1a nghiém cua p trinh nén thay x2 vao p trinh ta tim duge gid tri tham so „ ¬ Thử lại : Thay giá trị tham sô vào phương trình và giải đê kiêm tra ,chú b ý phương trình có 1 nghiệm 1a x2 = “3a a Ví dụ : Tìm m để phương trình: xÌ- 3x”+2mx +m—1 =0 (1) c6

3 nghiệm phân biệt lập thành câp sô cộng Gia sử phương tính (I) có 3 nghiệm x¡; x¿; x: lập thành câp sô cộng

=> x; + X3 = 2x) Theo dinh li Viet tacd xj +x2+x3= _° =3 a >> 3x2 =36 x2 = 1 X) = | langhiém của phương trình (1) © 1-3+2m+m-—1 = 0 ©em=l Khi m= 1 tacó (1) © xÌ—-3x”+2x = 0 © x(Œ&“-3x+2) =0 x=0 x=0 > >> x?-3x+2=0 x=lv x=2 Ta có (1) có 3 nghiệm 0; 1 ; 2 lập thành cấp số cộng Vậy m= 1 2/- Phuong trinh ax*+bx? +c =0 c6 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Đặt t=x” (>0) ta được a +bt+c = 0 (2)

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt phương trình (2) có 2

Trang 20

CAP SO NHAN

1/- Dinh nghia

Day sé (u,) được gọi là cấp số nhân nếu 3 q sao cho

ua¿i=u„q VøeN*.q được gọi là công bội của cấp số nhân

Nếu u¡ =0thì CSN 0;0;0;0; q tuỳ ý

Nêu q =OthiCSN u;;0;0;0; Nêu q=1thì CSN u¡;u¡;u¡;

2/- Tính chất

a; Số hạng tổng quát uạ = u¡.q"”

b; Up-1.Une1 = (un)? (voi n >1) hay CSNa;b;c © ac =b

Trang 21

2 2 2

J, ~—“—+_—”—=^ œb(b~e)+b(b~a)=(b—a)(b~ 2 baa b' bac © baa bach OO FPO M=O—ayb—c)

& b’—be+b’-ab =b’—be-ab+ac @& be=ac © “a;b;c

Vấn đề2_ Xác định cấp số nhân

Phương pháp

2 , o£ VÀ QIA ae , nay

Dé xac dinh | cap so nhan tir diéu kién da cho ap dung S, = u, 4 ; q-

va Un = u.q"~' lap hệ phương tính ấn số là u¡ và q Ví dụ 1/- Tm u¡ và q của câp sô nhân biệt : Mị MA +us S65 uy q +uy.q" =65 ° uy (1-4 +ạ! ) =65 eS MỊ TH =325 uị +4 =325 uy (144°) (1-4? +q*) =325 ° 1+4” =5 ¿I2 +2 1 (I—4°+4*) = 65 u, =5 2/- Cho 2 số a; b dương, giữa 2 số a ; b đặt thêm k số nữa để được một cap so nhan „ GIAI: Câp sô nhân có k+ 2 sô hạng _ = u =a Taco ff ogg b Mạ =b [wght=b |g =— a

Tim q va 4p dung u, = uj.q"~ | tim dugce cac số còn lại

GIGI HAN CUA DAY SO

1/- Dinh nghia

a; limu,=0@ Vn,

ý kế từ một số hang nao đó trở đi

b; limu, =Le R & lim(u,-L)=0

c; limu, = to @& Vu, 1é6n hon mot số dương cho trước kể từ một số

hạng nào đó trở đi

Trang 22

d; limu, = -c © Vu, nhỏ hơn một số âm cho trước kề từ một số

hạng nào đó trở đi

2/- Tính chất

a; lim(u, tv, ) = limu, + limv, b; lim(u, v, ) = limu, limy,

c; lim(k„, ) = k.limu, d;im “2=, (my x0) v„ limw,

e; Nếu limw„ =elR=: limlf„ =ŸÏL, lim.Íu„ =VÝL (nếu L>0) u„|<v„ ,VnelR f | n => limu, =0 limv, =0 3/- Một số giới hạn cơ bản 1 og , |0 la| <1 a; lim— =0 b;limn® =+0 (MEN) c;limg"= nh too g >1 d; lim Ị 0; e lim~L =0 Vn Vn Vấn đề 1 Chứng minh lim = 7 Phương pháp CM: lim(u,—L) =0 ĐếCM_ lim, =0 tacó thể sử dụng tính chất < „ VnelR bn << |i, =0 limyv„ =0 Vídụ Chứngminhrằng tim!) sin3"+2n _ 2 3n 3 —1)" sin3n +2n 2 3.(-1 ” sin3n Xe ¬ — —~ —1)” sin3n +2

Mà = lima, =0 Vay tim THÊ 1 2

Trang 23

Vấn đề2 Tìm giới hạn

1/- Tìm giới hạn bằng cách trong tử số và mẫu số đặt luỹ thừa bậc cao

nhất làm thừa số chung đơn giản thừa số chung hay chia cả tử và mẫu

cho luỹ thừa bậc cao nhất của n và áp dụng k 2 =—L (m>k) và tim =0 (ae nN’) n n n 2/- Khi trong giới hạn có chứa căn thức ta có thể nhân chia cho biéu thức liên hợp dạn" tan" + a,n? + 44, 3/ lim bạn" +bịn"'+b,n"?+ +b,, (k,me N’) x A a ¿ Nêu k<m chia cả tử và mẫu cho n” ( Đáp số = 0 nêu k< m, = néu k= 0 an‘ +an*"+a,n + 44, m m-1 m—-2 bn" +bn"~ +bn" ~~ + +b,, ® Khik > m lim ay t+ + & =lim n-™ n n b+ gt lm n n +00 kni © >0 - 0 —œ_ khi “9 <0 bọ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Kiến thức cần nhớ 1) lữm[w+v]= lữmu + limv xa xa xa 2) lim(w.v) = limu.lim v xa xa xa u limu

3) "hi xoa[ limy (1imv #0) \x>az

Trang 24

4) lim = flimu tim u20 | xa xa xa 5 Nếu g(x) S$ f(x) <A(x) và limg(x) = lim h(x) =L xa xa thì lim f (x) =L xa 1 6/- Nêu lim|ƒ(x)|E=E+œ = lim =0 lim| | xa f(x) 7I- Các quy tắc Nêu lim ƒ(x)=‡© va lim g(x) =L40 = lim[f(x).g(x)] xa bằng + hy —œ tùy theo tích 2 dấu của lim ƒ(+) và L xa

8/- Hàm số y = f(x) liên tục tại a © lim ƒ(x) = f (a)

9/- Hàm số y=f(x) liên tục trong (a;b) và f(a).fb) < 0 thì

phương tính f(x) = 0 có nghiệm trong (a ; b) 10/ Giới hạn một bên

a lim f(x) © x>a; lim ƒ(x) © x<a

Trang 25

Phuong phap Tim im 2) ma f(a) = g(a) = 0

xa 8 (x )

Phân tích tử số và mẫu số thành các thừa số trong đó có chứa ( x — a)

sau đó đơn giản cho ( x — a)

Chú ư : Phương tinh ax” + bx + c = 0 có nghiệm xọ thì

ax’ +bx +c= (x-x, ==]

Xo

Hoặc có thé thuc hién phép chia da thitc cho ( x — Xo)

Trang 26

( Đáp số = 0 néun<m, -% néun=m)

by

dax"+ax""L+a,x"?+ +a

eKhin >m lim OX TUX FONG

Trang 27

_xh_-3+2 _h_3+2 tim T32 — XI ee xi I = lim = lm =— xo-e 2—3Y xe 2-3x ¬ 2 3 Dạng3 Dạng vơ định œ — œ Phương pháp Thực hiện phép biến đổi đưa về dạng 5 hay =~ Vidu 1/- im|-———L— *1|x-l x”+x-2 | 1| x-L (x-1)(x+2) | 9! (x-1)(x+2) |=ñm|—L - ! = lim 2271 1 1 =lim——— =— xaix+2 3 2 2 2/~ lim (ÉÈt-+-x}> im Jim, ar ‡25“#X -lịm_— oe Pg —X<# x +2x-44+x x 142-4 +x xX x 2-4 = lim xX —=l +->+œ 142-4 +1 Vox x Dang 4 Dang vé định 0 0

Phương pháp Thực hiện phép biến đổi đưa về dạng h v= HAM SO LIEN TUC

1/- Xét tính liên tuc cia y = f(x) tai x

Tinh f(x,) (néu f(Xo) không tổn tại thì hàm số không liên tục ) Tìm lim ƒ(x) Khi cần có thể tìm giới hạn một bên

So sánh f(xo) và lim ƒ(+x) để kết luận XX

Trang 28

x?-3x+2 L yal x2 Khi x #2 tai x = 2 1 Khi x =2 Tacó f(2) = 1 x? -3x+2 (x-1)(x-2) lim—————— = lim———————ˆ = lim(x-1) = 1= 2 x2 x-l x32 x-l lim ( ) ⁄( ) Vậy hàm số liên tục tại x = 2 2 x12 Khi x>1 2 y= mm tai x=1 2x+ 1 Khi x <1 Tacó f(1) = 3 ?— —1)(x-2 lim 23% #2 _ jim 0-2) = lim(x-2)=-1 # f(1) xt x-l xoI" x-l xoIf lim f(x) = lim (2x+1)=3 = f() xo xl

Vậy hàm số không liên tục tại x = 1

2/- Tim m dé ham so y = f(x) lién tuc tai diém da chỉ ra Phương pháp Tính f(a) và tim lim f(x)

Hàm số liên tục tại x=a lim ƒ(x) = ƒ (a) từ điều kiện này tim m Khi cần có thể tìm giới hạn một bên

Ví dụ

x+l

hàm số liên tục tai x = —l

1/- Ham sé y = chưa liên tục tai x =-1 Dinh f(-1) dé

Trang 29

3x+1-2 khi x>1 f(x) = x-—1 mx khi x<1 a; Lién tuc tai x= 1 b; Liên tục trên R Giải a; Tacó f(l) = m lim ƒ(+) = lim mx = m xl xl 3x+1-2 - lim f(x) = lim Ý?* stim 1 mm 3 -3 sor wr xo xl (x-1)(/3x414+2) or J/3x+l+2 4 Hàm số liên tục tai x= 1 & lim f (x)=lim f (x)= f(l) em = xo xT b; Ham sé da lién tuc tai Vx#1 nén hàm số liên tục trên R © hàm số os 3 lién tuctai x =1 maa 2x°—3x?+4x+9 x+l Định f(- 1) để hàm số liên tục trên R Hàm số liên tục trênR Ham số liên tục tại x=— 1 © f(-1) = lim f(x) 3/- Chứng minh phương trình có nghiệm Phương pháp

Đặt f(x) là vê trái của phương trình f(x) liên tục trong D

Tìm 2 số a;b e D sao cho f(a).f(b) <0 thì p trình có nghiệm x thuộc (a; b) Vidu 1/- Chứng minh rằng phương trình xÌ— 3x + 1 =0 có 3 nghiệm phân biệt Dat f(x) =x°-3x+1 liên tục trên IR Taco: f(-2)=-1; f(-1) =3 ; f(1) =-1; f(2) =3 Vi: f(-2).fCD = fC1)f(1) = f(1)#(2) =-3< 0

Nên phương trình có 3 nghiệm phân biệt trên [—2 ; 2 ]

2/- Chứng minh rằng phương trình 3sin2x +x +2 = 0 có nghiệm Đặt f(x) = 3sin2x+x+2_ liên tục trên R

Ta có f(0) = 2 và ƒ(-x)= 2-1

Trang 30

Ý_ ƒ(0).ƒ(-x) =2(2-x#) <0 nên phương trình có nghiệm 3/- Đôi khi ta cần sử dụng giới hạn

Ví dụ : Chứng minh răng phương trình x2008 _11y?0?? —2006 =0 có ít nhất 2 nghiệm Đặt f(x) = x78 — 11,7007 9006 liên tục trên R Tacó f0) = ~2006 tim (2) = tim Ích | =+ Nên 3dz<0: ƒ(a)>0; 35 >0: ƒ()>0 Vì f(a).f(0) < 0 và f(0).fb) < 0 nên phương trình có ít nhất 2 nghiệm ĐẠO HAM CUA HAM SO Ham so y = f(x) Hàm số hợp y = f(u) ; u = g(x) (C)y=0 C: hang so y =y ư X u X (x)’ =1 7 7 Jx]Ì=——= Ju) = Wr) =F Wu) = 1Ị_._ 1 BA x x u u?

(x) =u." (u*) Sonu’

(sin x) =COS X (sin u) =u cosu

(cos x) =—sin x (cos u) =—u'sinu

(tan x) = = vẽ 1+tan” x (tanw) = = 7

7 —

(cot) ~ sin? x (cotu) ~ sin? u

_ CAC QUI TAC TINH DAO HAM

Cho các hàm sô u ; v ; w lân lượt co dao ham w’ ; v’ ; w’ Taco: 1; (u+v—-w) =uv+v-w 2; (u.v)’ =uwv +uv’

Trang 31

H6 qua: (C.v )’ =C.v’ (C: hang số ) Mo rong : (uvw )’ = u’vw + uv’w + uvw’ 3; (4) = u'y — uv' v v

4; u= u(x) co dao ham theo x lau’, y = f(u) có đạo hàm theou la y’,

Thi ham sé y = f[u(x)] có đạo hàm theo x la y’x = y’u.u’x

(v #0)

DAO HAM CAP CAO

1 Dinh nghia

Dao ham cia y’ goi la dao hàm cấp 2, kí hiéu y” Dao ham cua y” goi là đạo hàm cấp 3, kí hiệu y” () Đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) gọi là đạo hàm cấp n, kí hiệu y 2 Chứng minh đẳng thức về đạo hàm _ - Tim dao ham dén cap cao nhât có trong đăng thức thê vào và chứng minh đăng thức đúng TIEP TUYEN CUA DUONG CONG (C): y=ƒ(+) - „ Lí thuyết Phuong trinh tiép tuyén cua ( C ) tai M(Xo ; yo) : y —yo =ƒ(%ạ)(% — *ạ)

Vấn đề 1 : Lập phương tính tiếp tuyến của ( C ) tai M( X93 No) Phương pháp : Áp dụng công thức y — Yo = f (Xx — Xo)

Nếu chưa cho Yo thi tính yọ = f(xọ)

Nếu chưa cho Xo thi Xo 1a nghiệm của phương trình f(x) = = Yo

Vi du Lap phương trình tiếp tuyến của đô thị hàm số :

y= f(x) = x° — 3x + 2 tai: |

a; Diém M co hoanh d6 xm=0 b; Giao điêm của ( C ) với trục hoành

b; Phương trình trục Ox : y=0 Ta có xÌ—3x+2=_ 0

x= -2 phương trình tiếp tuyến y=f(— 2)(x + 2)

Trang 32

Vấn đề 2 Lập phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

Phương pháp „

Phương trình tiếp tuyến y— yọ = k( x— xạ )

Lưu ý Cho (đ): y = a.x + bnếu :

(d¡) song song với (d) th (dị) có hệ sô góc k = a , 1 (d;) vuông góc với (d) th (d¡) có hệ sô góc k=—— hay a.k= —Ï a Vidu Cho (C) : y = f(x) = xÌ ~ 2x + 2 lap phuong trinh tiép tuyén cita (C ) biệt

1; Tiếp tuyến song song với (d): y=x + l 2; Tiêp tuyên vuông góc với (d)

SIAL,

1; Gọi M(xo; yọ) là tiêp điêm Tiêp tuyên song song với (d) nên có hệ

2; Vì tiếp tuyến vuông góc với (d) nên có hé sé gock =-1

Vấn đề 3 : Lập phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A( x3y,) Phuong phap

Goi M(Xo ; 3 Yo) la tiép điểm.Tính Yo = f(Xo) va f’ (Xo) theo Xo Phuong

trinh tiếp tuyến của (C) tại M là : y— yọ =f(xo)(x— xo) (1) Vì tiếp tuyến đi qua A nên

yi — Yo =f’ (X0)( X 1 — Xo) giải phương trình tìm x o thay vào (1)

Ví dụ Lập phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x? — 3x + 2 biết rằng tiếp tuyến đi qua A(2 ;-4)

Goi M(xXo ; yo) là tiép diém Ta có Yo =X — 3x9 +2 va f’(Xo) = 3xg —3 Phương trình tiêp tuyên của (C) tại M là

Vì tiếp tuyến đi qua A(2;-4) nên —4=(3xo”—3).2— 2xg” +2

Xọ =0 phương trình tiếp tuyến là y= -3x+2 Xo = 3 phương trình tiếp tuyến là y = 24x — 52

Trang 33

HiINHHOC | Chương I : PHEP BIEN HiNH

DANG 1: VE ANH CUA MOT HINH QUA PHEP BIEN HINH

Phuong phap: 1 Vẽ ảnh của một điểm:

£ £ _ >

a Qua phép tinh tién : Lay M’ saocho MM’=a

b Qua phép Đối xứng Trục d: Lấy M' sao cho d là đường trung trực cua MM’.(Qua M dung dt Al d cắt d tai H, lây M' sao cho H là trung điểm của MM') c Qua phép đôi xứng Tâm O : Lay M’ sao cho O 1a trung diém của MM’ d Qua W ork) Trên đường thắng OM lấy M' sao cho đoạn OM’ =|k|.0M va:

M,M' cùng phía đối với O nếu k > 0 M,M' khác phía đối với O nếu k <0

e Qua phép quay % 0):

Vé cung tron tam O, ban kinh OM

Trên cung tròn lay diém M’ sao cho (oM.OM') =ọ (MoM” = le|)

« MM ngược chiều kin đồng hô nếu @>0 « _MM' cùng chiều kim đồng hônếu 9 <0

2 Vẽ ảnh của Tam giác : Lần lượt vẽ ảnh của các đỉnh

3 Vẽ ánh cúa đường thẳng (d) : Trên (d) lấy 2 điểm A, B Vẽ ảnh A’, B' của A, B, ảnh là đường thắng A'B'

4 Vẽ ảnh của một Đường tròn :

a Vẽ T là ảnh của tâm I qua phép biến hình

b Vẽ đường tron anh cé tam I’ va bán kính bằng R ( Nếu là phép Tịnh

Trang 34

Vi tu Vi9,,))- Hoae lấy điểm M trên đường tròn , vẽ ảnh M' sau đó vẽ

Trang 35

A Phép Vị tự Tâm O, tỷ số k o M M co Cc k<0 k>0 A B DẠNG 2 : TÌM PHƯƠNG TRINH ANH Phương pháp : 1 Phương pháp chung :

Cho hình H có phương trình F(x; y) =0 Viết phương trình H' là anh

của H qua phép biến hình f có biểu thức tọa độ

l = u(x)

y =uy)

GIẢI: Gọi M(x:y): Mf(x:y)= ƒ(M)

- § =⁄Œ) tính x theo x’, y theo y’ y =v(y)

Mt; y)€ H & F(x:y) =0 thay x, y vào ta được phương trình

Trang 36

2 Anh của đường tròn (I,R) qua phép Tịnh tiên, đôi xứng trục, đôi xứng tâm, vị tự : Tìm tọa độ ảnh Ï, sau đó viêt phương trình đường tròn tam I’, ban kinh R ( hodc R’= k| R nêu là phép vị tự) theo công thức (x-x)}+(y-yŸ =K? * Đường tròn (C): x?+y?+mx+ny+p=0 2 2 có tâm I|— “;—” |, bán kính R=,| ^^ |+| “| -p 2”2 2 2 3 VÍDỤ ;

1 Việt phương trình ảnh của đường thăng (d) : 3x - 2y + =0

a Qua phép tinh tiến theo v=(2;-1) b Qua phép đối xứng trục Oy c Qua phép đôi xứng tâm I(2; 3) d Qua phép vị tự V(1,2) Giải : a Goi Moxy) M'(x:y/) =7; (M) © f x42 fp -2 y=y-lI |y=y+l M (xsy)e (4) ©3x-2y+I=0 eS 3(x-2)-2(/+1)+l1 =0 © 3x -2y-7=0

Vậy phương trình ảnh của (A) la: 3x-2y-7 = 0

Vậy phương trìn ảnh của (A) Ja: 3x+2y-1=0

Trang 37

cM (aiy') = (a) fee ETS oo EE y+y=6 y=6-y

Vậy phương trình ảnh của (A) /a: 3x-2y-1=0

da M{x:y/)= V,„j(M) © IM'=2IM x~2 =2(x-2) feaeae a) = ey, = y3 =2(y-3) y =2y-6+3 y=? +3 M{x:y)e(4) œ 3x—~2y+1= 0 = { eS "h =0 © 3x⁄/-2y+2=0 2

Vậy phương trình ảnh của (A) là: 3x—~2y—1 = 0

2 Viết Phương trình ảnh của đường tròn (C) : x*+y”—13x+9y—5 =0 qua phép đối xứng trục Ox Gọi MŒx; y) ¬ x =x x=x M{(%:y)= Đạ,(M) =| , y=-y =| y=-y , M(zx:y)e (C) @ x? +y?-13x+9y-5 =0 œ x2+y2-13x—9y—5 =0

Vậy phương trình đường tròn ảnh là x?+y?—13x—9y—5 = 0

3 Viết Phương trình (C’) 1a ảnh của đường tròn

(C):x”+y”~4x+6y~3 =0

a Qua phép tịnh tiến theo v=(2;-1) b Qua phép đối xứng tâm O(0; 0)

c Qua phép đôi xứng tâm A(4; 3)

d Qua phép vị tự V(A,~2)

Trang 38

a Đường tròn có tâm /(2;—3), bán kinh R=4 Gọi /(x:y)=7-(1 x=2+2 x=4 Ha Ql (x y) ~ ( ) 2 [hs 41° y=-4 > 1'(4; 4) (C’) c6 tam 1’(4;—4) va ban kinh R = 4 Vay (C): (x-4} +(y+4}” =16 x=-2 b I(x:y) = Đọ (1) © | © /(-2:3) y=3 (C’) có tâm 1’(-2;3) và bán kính R = 4 Vậy (C): (x+2) +(y-3) =l6 , x+2=8 x=6 ` =| y—3 =6 (C ) có tâm 7(6;9) và bán kính R = 4 y=9 Vậy (C): (x-6) +(y-9) = 16 d U'(x3y’) = Yao (1) @ AT’ = -2.AT x—4=-2.(2- 4) {rns (33 = 1(8;15) va ban S ey, 1, y-3=-2(-3 -3) y =124+3 y=15 kính R’= -2|.R=2.4=8 (C?) có tâm I’(10;-15) và bán kinh R’ = 8 Vậy (C): (x-10} +(y+15}” =64

Dạng 3 : Vẽ tâm vị tự của 2 đường tòn (¡,&) và (I,Ñ')

1 Nếu Itrùng F và ### thì tâm vị tự là L = 2 Nếu Itrùng I và = Kí thì có vô số tâm vị tự với tỉ số k= 1 3 Nếu I không trùng I’: trên (1, R) lấy điểm A, trên đường tròn (',R') lấy đường kính BC // [A Tâm vị tự là giao điểm của II với AB hoặc

Trang 39

7 AC, kat ( nếu R =R' chỉ có một tâm vi tự là trung điểm của II' và k=-1) DANG 4 CHUNG MINH, QUY TiCH Phương pháp chung :

Từ điều kiện đã cho xác định cho được 2 đôi tượng liên hệ là ảnh của nhau qua phép biên hình nào? Đê suy ra điêu cân chứng minh hoặc quỹ tích

Nếu M biến thanh M’ ma : l MM’ =a laT,

2 O la trung điểm của MM' là phép đối xứng tâm O

3 d là đường trung trực của MM" là phép đôi xứng trục d

4 OM=OM' và (OM.OM')=@ (không đổi) là phép quay Qio) Š- OM=k.OM (Hor là V OM (0%)

_— Chuwong IT DUONG THANG VA MAT PHANG Van dé 1 Tim giao tuyên của hai mặt phăng

Phuong phap „ - -

Cach 1 : Dé tim giao tuyên cua hai mat phang (P) ; (Q) ta tim hai diém

chung phan biét A ; B giao tuyén 1a duong thang AB

e Ae(P);Ae(Q) =A la diém chung thit nhat ¢ Be(P);Be(Q)=>B la diém chung thir hai

Vay (P)M(Q) = AB

Cách 2 : ( Khi đã học chương song song )

Tìm một điêm chung S của (P) và (Q) > (P)N(Q)= Sx

Trang 40

Phương pháp Để tìm giao điểm của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P) Cách 1: * Tìm một mặt phẳng phụ (Q) chứa (d) Tìm giao tuyến a của (P) và (Q) Trong mặt phẳng (Q) tìm M =a (}dđ = M =đf1(P) Cách 2 : Tìm trong mặt phẳng (P) đường thắng a mà _ ø (] đ = M Mea;ac(P)> Me (P) Med Vấn đề 3 : Chứng mình nhiều điểm thẳng hàng

Phương pháp Đê chứng minh nhiêu điêm thăng hàng ta chứng minh các điêm đó là diém chung của hai mặt phăng phân biệt nào đó Ae (P); Ae (Q) Be(P); Be(Q)‡ © A ;B ; C thắng hàng Ce (P);Ce(0) Van dé 4 Tìm thiết diện Phương pháp

Dé tìm thiệt diện tạo bởi một khôi đa diện với một mặt phăng ta tìm các

giao điệm của mặt phăng đó với các cạnh của khôi đa diện (nêu có).Các giao điêm đó là Các đỉnh của đa giác thiệt diện Hoặc tìm các đoạn giao

tuyên của mặt phăng đó với các mặt của đa diện -

Ví dụ 1/- Cho tứ diện ABCD M, P lân lượt là trung điêm của AB, CD

N la diém trén canh AD sao cho AN = 2ND a; Tim giao điêm E của MN với (BCD) b; Tìm giao tuyên của (MNP) với (BCD) c; Tìm giao điêm Q của BC với (MNP)

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	11,42 MB