Đề thi ĐH môn Toán năm 2010

[r]

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn : TOÁN - Khối : D

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số yx4 x26

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

1

y x

Câu II (2,0 điểm)

1 Giải phương trình sin 2x cos 2x3sinx cosx1 0 Giải phương trình

3

2 2 4

4 x x 2x  x 2x  x (x )

    

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân

3

2 ln

e

I x xdx

x

 

   

 



Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình

chiếu vuông góc của đỉnh S mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,

AC AH 

Gọi CM là

đường cao của tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo

a.

Câu V (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x24x21  x23x10 PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một hai phần (phần A hoặc B) A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm là H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0) Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương

2 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z  = và (Q): x  y + z  = Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) cho khoảng cách từ O đến (R) bằng

Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thoả mãn z  và z2 là số thuần ảo.

B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và  là đường thẳng qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A  Viết phương trình đường thẳng , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH

2 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:

3

x t

y t z t

   

   

 và 2:

2

2

x y z

 

Xác định toạ độ điểm M thuộc 1 cho khoảng cách từ M đến 2 bằng

Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

2

4

( , ) 2log ( 2) log

x x y

x y

x y

    



 

  

 

BÀI GIẢI GỢI Y PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I: y x4  x2 6 ( )C 1/ Khảo sát, vẽ (C)

TXĐ : D = R;

3

' ; ' (2 1) 0;

y  x  x y    x x    x y

" 12

y  x    hàm số lồi R limx limx

y y

    

  

x - + y' + 

y

- -

Hàm số đồng biến khoảng (-;0), nghịch biến khoảng (0;+) y đạt cực đại tại x = 0, yCĐ =

(C)  Ox : A ( 2;0) 2/ Tiếp tuyến  vuông góc d :

1

y x

 Pt () : y =  6x + b

 tiếp xúc (C)  hệ sau có nghiệm :

4

6

10

4

x x x b x

b

x x

      





 



  

 

 Vậy  : y =  6x + 10

Câu II:

1/ Giải phương trình : sin 2x cos 2x3sinx cosx1 0

2

2sin cos 2sin 3sin cos cos(2sin 1) 2sin 3sin cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 2) (2sin 1)(cos sin 2)

x x x x x

x x x

x x x x

x x x

      

     

     

    

1

sin 6

2

5

cos sin 2( ) ( )

6

x k

x

x x VN x k k Z

 

  

 

 

  

  

     



 2/

3

2 2 4

4 x x 2x 4  x 2x  x

(*); đk : x  

2 4 4

4  x (2 x 1) (2x x 1)

     (24x4 1)(42 x2 ) 0x3   24x4  1 4x 0  x1

 24 2 x2 2x3  x3 2 x 2

3 8 2( 2 2)

x   x  

2 2( 2)

( 2)( 4)

2

x

x x x

x



   

 

2

2

2

2

2

x x

x x

x

    

   

 

VT = x2 2x 4 (x1)2 3 VP =

2

1 2

Câu III :

1

1 1

3

2 ln ln ln

e e e

I I

I x xdx x xdx x dx

x x

 

     

 







         

1

ln e

I 



x xdx

; Đặt ln

dx

u x du

x

  

;

2

x

dv xdx  v

2 2

1

1

1

1 1

ln

2 2 2

e e e

x e x e

I  x  xdx     

 



 

Tính I2 : Đặt t = lnx 

dx dt

x



x = 1; t = 0; x = e ; t =

1

1

2

0 0

1

2

t I  tdt  

 



Vậy

2 2

e

I  

Câu IV:

Ta có

2

2 14

4

a a

SH  a    

 

2

2

14 32

2

16 16

a a a

SC    a

  = AC

Vậy SCA cân tại C nên đường cao hạ từ C xuống SAC chính là trung điểm của SA

Từ M ta hạ K vuông góc với AC, nên MK = 2SH

Ta có

3

1 14 14

( )

3 24

a a

V S ABC   a  

 

Nên V(MABC) = V(MSBC) =

2 V(SABC) =

3 14 48

a

Câu V:

2

2 49

( 2) 25

2

y  x    x  

  ; đk : 2

4 21

2

2

3 10

x x x

x x

x x

      



    

 

  

   

 



2 2

3

2

2( 2) 2

'

2 ( 2) 25 3 49 3 49 ( 2) 25

2

2 4

x x

x x

y

x x

x x

   

      

      

   

         

        

   

2

3 49

' ( 2) 25 ( 2)

2

y   x   x   x x  

   

2

2

3

( 2)

3 49

( 2) 25 ( 2)

2

x x

x x x x

 

  

 



 

  

 

   

           

     

     

2

2

2

3

10 7( 2)

2

3 49

25 ( 2)

2

10 7( 2)

2

x x

x x

x x

x x



  

 

  



  

    

 

 

       

     

  

   

 

 

3

2

1

( )

10 15 14 3

10 15 14 17 29 29

( ) 17

x x

x nhan

x x x

x x x

x loai



  

 

 

       

 

   

 

       

 



x 2 1/3 y'  +

y y(1/

3)

min

2;

3

y   y 

 

Cách khác: có thể không cần bảng biến thiên, chỉ cần so sánh y(-2), y(1/3) và y(5) PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một hai phần (phần A hoặc B) A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a:

1/ * C1: Nối dài AH cắt đường tròn (C) tâm I tại điểm H'  BC qua trung điểm HH'

Phương trình AH : x =

Đường tròn (C) có pt : (x2)2 y2 74 H' là giao điểm của AH và đường tròn (C)  H' (3; 7)

Đường thẳng BC có phương trình : y = cắt đường tròn (C) tại điểm C có hoành độ là nghiệm phương trình : (x 2)232 74

 x  65 2 (lấy hoành độ dương); y = Vậy C ( 65 2 ; 3)

* C2: Gọi (C) là đường tròn tâm I(2;0), bán kính R = IA  74

Pt đường tròn (C) : (x2)2y2 74

Gọi AA1 là đường kính  BHCA1 là hình bình hành

 HA1 qua M trung điểm BC

Ta có IM là đường trung bình của A1AH

Nên :

2

( 2;3)

2

M M

x

IM AH M

y

 

    

   

                         

Pt BC qua M và vuông góc AH : y  =

Toạ độ C thoả hệ phương trình :

2

( 2) 74

2 65

3

x y

x y

y x

   

  

 

  

 

    

 Vậy C ( 65 2 ; 3)

2/ PVT n P (1;1;1)



; PVT m  Q (1; 1;1)



; PVT kR n m(2;0; 2) 2(1;0; 1)  

Phương trình (R) có dạng : x  z + D = Ta có : d (0;(R)) =

2 2

2

D

D

   

Phương trình (R) : x z 2 0 hay x z  2 0 Câu VII.a: Đặt z a bi   z2 a2 b22abi

Ta có hệ phương trình

2 2

2 2

0

2

a b a

a b b

              

  Vậy :

1

3

1 ,

1 ,

z i z i

z i z i

   

   

B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b:

1/ * C1 : Gọi H(x0; y0) là hình chiếu của A xuống 

Ta có : AH ( ;x y0 0 2),OH ( ; )x y0

 

Do gt :

2 2

0 0 0 0 0

2

2

0

0 0

( 2) 2 0

( , ) ( 2) 4

x y y x y y

AH OH

AH d H Ox x y y x y

                                                          2

0 0

2

0 0 0

2

1

8

2

4 4

8 0( )

y x

y y y

x y x y y

x loai                                               





0

4

4 8;

1 x H y              

 Phương trình  : ( 1) x 8 y0 * C2 :

   Oy  H  A : không thoả AH = d(H, Ox)    Ox  H  O : không thoả AH = d(H, Ox)  Pt  : y = kx (k  0)

1

AH

y x

AH qua A k

  

  

 

Toạ độ H =   AH thoả hệ

2 2 2 2 2 ; 1 2 k x y kx k k k H k k

y x k

y k k                             

2 2 2

4

2 2

2

2

2 2

( ; )

1 1

1

2

2

1

0 ( )

k k k

AH d H Ox k k

k k k

k k k loai                                      

Vậy  :

2

y  x

2/ M  1  M(3+t; t; t)

2

2 (2;1;0)

1 (2;1; 2)

qua A co VTCP a

       

Ta có : AM  (1 ;t t1; )t 

2

[ ,a AM] (2 t; 2;t 3)

                   ; d(M; 

2

2

(2 ) ( 3) 4

1 (4;1;1)

2 10 17 10

4 (7; 4; 4)

t t

t M

t t t t

t M

   

 

 

  

         

  

Câu VII.b:

2 2

4 (1)

2log ( 2) log (2)

x x y

x y

    

 

  



 ; đk: x > 2, y > 0

(2)

2 2

( 2)

2

y x

x y

y x

  

    

  

*

2 ( )

2 (1) 2

3

x loai

y x x x x

x

 

        

 

*

2

4 2

2 (1) 1( )

5

4

x x x

y x x loai

x x

x

     



     

   

 

 

 x = 3; y = 1