1 điểm Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD với điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC.. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức..[r]
(1)ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn Toán; Khối A và khối A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề x +2 y= (C ) x- Câu (2 điểm) Cho hàm số (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b) Tìm các điểm M thuộc (C ) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y =- x Câu (1 điểm) Giải phương trình sin x + cos x = + sin x Câu (1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x - x + và đường thẳng y = x +1 Câu (1 điểm) a Cho số phức z thỏa mãn z + (2 + i ) z = + 5i Tìm phần thực và phần ảo số phức z b Từ hộp chứa 16 thẻ đánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ chọn đánh số chẵn Câu (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x + y - z - = x- y z +3 = = - 3 Tìm tọa độ giao điểm (d ) và ( P ) Viết phương và đường thẳng trình mặt phẳng chứa (d ) và vuông góc với ( P ) (d ) : SD = 3a , hình Câu (1 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , chiếu vuông góc S trên mặt phẳng ( ABCD) là trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD) Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD với điểm M là trung điểm đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD , biết M (1; 2) và N (2; - 1) ìï x 12 - y + y (12 - x ) =12 ï í ïï x - x - = y - Câu (1 điểm) Giải hệ phương trình ïî với x, y Î ¡ 2 Câu (1 điểm) Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức (2) P= x2 y +z + yz + x + xy + x +1 x + y + z +1 - Hết - (3) LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu a/ Xét hàm số y ¢= Ta có y= x +2 x - Điều kiện xác định D = ¡ \{1} - <0 ( x - 1) với x Î D Tiệm cận đứng x = , tiệm cận ngang y =1 Bảng biến thiên x y¢ y - ¥ +¥ - +¥ - +¥ - ¥ - ¥ Đồ thị hàm số y x æ x0 + ö ÷ ÷ Mç x0 ; ç ÷ ç ÷ x è ø M Î ( C ) b/ Xét điểm và với x0 ¹ Phương trình đường thẳng đã cho là ( d ) : y =- x Û x + y = (4) x0 + Khoảng cách từ M đến (d ) là x0 + x0 - 12 +12 = x02 + 2 x0 - 1 x02 + = 2 x + = x0 - x0 - Điều kiện đã cho trở thành , suy , x0 + > với x0 ¹ Ta xét các trường hợp: 2 - Nếu x0 - ³ , ta có x0 + = 2( x0 - 1) Û x0 - x0 + = , vô nghiệm D ¢=- < éx = x02 + =- 2( x0 - 1) Û x02 + x0 = Û ê êx0 =- ë - Nếu x0 - < , ta có Cả nghiệm này thỏa Vậy có điểm M thỏa mãn đề bài là M (0; - 2), M (- 2;0) Câu Xét phương trình lượng giác sin x + cos x = + sin x Ta biến đổi sau sin x + cos x = + 2sin x cos x Û sin x(1- cos x) - 2(1- cos x) = é1- cos x = Û (1- cos x)(sin x - 2) = Û ê ê ësin x - = sin x £ với x Î ¡ p 1- cos x = Û cos x = Û x = ± + k 2p Do đó, ta có với k Î ¢ Phương trình thứ hai vô nghiệm éx = x - x + = x +1 Û x - 3x + = Û ê ê ëx = Câu Phương trình hoành độ giao điểm (5) Diện tích hình phẳng cần tính là S = ò x - x + dx = ò 1 S= 2 æ 3x x2 ö ÷ ÷ (3 x - - x )dx = ç = ç - 2x ÷ ÷ ç 3ø è2 (đơn vị diện tích) Vậy diện tích cần tìm là Câu a/ Đặt z = x + yi với x, y Î ¡ Ta có x + iy + (2 + i )( x - iy ) = + 5i Û x + y + (- y + x)i = + 5i Û x + y - + ( x - y - 5)i = ìï 3x + y - = Û ïí ïïî x - y - = Giải hệ này, ta x = 2, y =- Do đó z = - 3i Vậy phần thực số phức cần tìm là , phần ảo là - b/ Số cách chọn thẻ 16 thẻ là C16 cách Số các số chẵn từ đến 16 là 8, bao gồm 2, 4, 6,8,10,12,14,16 Chọn số số này, có C8 cách C84 70 = = Vậy xác suất cần tính là C16 1820 26 Câu Gọi A = (d ) Ç ( P) Tọa độ A là nghiệm hệ phương trình (6) ìï x - y z +3 ïï = = - Û í ïï ïî x + y - z - = ìï x + y = ï ïí x - z = ïï ïîï x + y - z - = x = , y =- 3, z = 2 Giải hệ này, ta æ 3ö Aç ; - 3; ÷ ÷ ç ÷ ç è ø 2 A Do đó, tọa độ là Gọi Q là mặt phẳng chứa (d ) và vuông góc với ( P) Khi đó, ta có M ( 2; 0; - 3) Î ( d ) (Q) qua (Q) có phương trình pháp tuyến là (1; - 2;3) ´ (2;1; - 2) = (1;8;5) Vậy phương trình (Q) là x + y + z +13 = Câu a) Tính thể tích S ABCD Gọi M là trung điểm AB , dễ thấy SM ^ ( ABCD ) æö a÷ 5a 2 MD = MA2 + AD = ç + a = ÷ ç ÷ ç è2 ø Theo định lý Pythagore thì Lại có tam giác SMD vuông M , SM ^ ( ABCD ) nên suy æ 3a ö 5a 2 ÷ SM = SD - MD = ç ÷ ç ÷ = a Þ SM = a ç è2 ø 2 (7) 1 VS ABCD = ×SM ×S ABCD = a 3 (đơn vị thể tích) Do đó, ta b) Tính khoảng cách từ A đến ( SBD) a3 VA.SBD = VS , ABD = VS ABCD = Ta có Kẻ MK ^ BD với K Î BD , mà BD ^ SM nên ta có BD ^ ( SMK ) , suy BD ^ SK Mặt khác, tam giác MBK vuông cân K , suy MK = a 3a SK = nên 1 3a 3a S SBD = ×SK ×BD = × ×a = 2 4 Do đó, d ( A, ( SBD )) = Vậy khoảng cách cần tìm là 3VA.SBD æ a3 ö æ 3a ö 2a ÷ ç ÷ ÷ =ç 3× ÷ : = ç ç ÷ ÷ ç ÷è ÷ ç4 ø S SBD è 6ø Câu Gọi I (a, b) là tâm hình vuông đã cho thì N là trung điểm IC 3 3 AN = AC = AB = AM = x 4 2 Đặt AM = x , ta có · Tam giác AMN có MAN = 45° nên theo định lý cosin thì æ 2x ö x 5x2 ÷ ç ÷ MN = AM + AN - AM ×AN ×cos 45°= x +ç × x × × = ÷ ç ÷ ç 2 è ø 2 2 5x2 = 10 Û x = 2 2 Ta có MN = (2 - 1) + (- 1- 2) = 10 nên (8) Theo giả thiết thì ïìï IM = Û í ïï IN = î 2 ì ïíï (a - 1) + (b - 2) = ïï (a - 2) + (b +1) = î Trừ vế hai phương trình, ta a = 3b +1 , thay vào phương trình đầu hệ, ta có éb = ê (3b - 1) + (b +1) = Û 2b(5b - 2) = Û ê êb = ê ë 2 Ta có trường hợp: - Nếu b = , ta có a = , dẫn đến I (1;0) , suy C (3; - 2) Phương trình đường thẳng CD tương ứng là y + = æ ö æ 11 ÷ - 12 ö 11 ÷ Iç ; ÷ Cç ; ÷ a= ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø 5 5 , ta có , dẫn đến - Nếu , suy Phương trình đường thẳng CD tương ứng là 3x - y - 15 = b= Vậy có phương trình CD thỏa mãn là y + = và 3x - y - 15 = ìï x 12 - y + y (12 - x ) = 12 ïï í ïï x - x - = y - Câu Xét hệ phương trình ïî ìï 12 - y ³ 0, y - ³ ìï £ y £ 12 ïí Û ïí ïîï y (12 - x ) ³ ïï - £ x £ î Điều kiện xác định y(12 - x ) =12 - x 12 - y Phương trình thứ tương đương với Bình phương vế phương trình này, ta y (12 - x ) =144 - 24 x 12 - y + x (12 - y ) Û 12 y - 144 + 24 x 12 - y - 12 x = Đặt t = 12 - y ³ thì y = 12 - t , ta đưa 12(12 - t ) - 144 + 24 xt - 12 x = Û - 12t - 12 x + 24 xt = Û x =t Do đó ta x = 12 - y Û y = 12 - x , thay vào phương trình hệ, ta x3 - x - = 10 - x (9) Ta thấy hệ có nghiệm là x = , ta sử dụng phương pháp lượng liên hợp sau x3 - 8x - = ( ) 10 - x - Û ( x - 3)( x + x +1) = 2(9 - x ) 10 - x +1 æ2 ö 2( x + 3) ÷ ÷ Û ( x - 3) ç x + x + + ç ÷= ç ç è ø 10 - x +1÷ éx - = ê Û ê2 2( x + 3) êx + x +1 + =0 ê 10 - x +1 ë Phương trình thứ có nghiệm là x = , tương ứng ta có y = 3, thỏa mãn điều kiện Chú ý trên, ta có x = t ³ nên phương trình thứ hai vô nghiệm Vậy hệ đã cho có nghiệm là ( x; y ) = (3;3) (10) 10 (11) 11 (12) 12 (13) 13 (14) 14 (15) 15 (16)