Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Đề số: 020 BẤT ĐẲNG THỨC COSI Bài 1: Chứng minh (a2+b2)(b2+c2)(c2+a2)≥8 a2b2c2 ∀ a , b , c
-Bài 2: Chứng minh a+b¿
2
√a+√b¿8≥ 64 ab¿ ¿
∀ a , b ≥0
-Bài 3: Chứng minh (1+a+b)(a+b+ab)≥ ab ∀ a , b ≥0
-Bài 4: Chứng minh 3 a3+6 b3≥ ab2 ∀ a , b ≥0
-Bài 5: Chứng minh (a+b)(1+ab)≥ ab ∀ a , b ≥0
-Bài 6: Chứng minh
a+ b≥
4 a+b
-Bài 7: Chứng minh a+b +c ≥√ab+√bc+√ca ∀ a , b , c≥ 0
-Bài 8: Chứng minh a2b2+b2c2+c2a2≥ abc (a+b +c) ∀ a , b , c
-Bài 9: Chứng minh (a+1)(b+1)(a+c)(b+c )≥ 16 abc ∀ a , b , c≥ 0
-Bài 10: Chứng minh a+b +c ≤1
2(a
2b+b2c +c2a+1 a+
1 b+
1
c) ∀ a , b , c>0 -Bài 11: Chứng minh a
4 b +
b4 c +
c4
a ≥ abc ∀ a , b , c>0
-Bài 12: Chứng minh a(a
2+ bc)+b(
b 2+
1 ca)+c(
c 2+
1 ab)≥
9
2 ∀ a , b , c>0 -Bài 13: Chứng minh rằng a3
+b3+c3≥ a2b+b2c +c2a ∀ a , b , c>0 Hướng dẫn: a3+a3+b3≥3 a2b Tương tự cộng vế
-Bài 14: Chứng minh rằng a3b3+b3c3+c3a3≥ abc(ab2+bc2+ca2) ∀ a , b , c>0
-Bài 15: Chứng minh rằng a
3 b3+
b3 c3+
c3 a3≥
a2 bc+
b2 ac+
c2
ab ∀ a , b , c>0
-Bài 16: Chứng minh rằng a
5 b2+
b5 c2+
c5 a2≥ a
3
+b3+c3 ∀ a , b , c>0
-Bài 17: Chứng minh rằng a
4 b2c+
b4 c2a+
c4
a2b≥ a+b+c ∀ a , b , c>0
-Bài 18: Chứng minh rằng a
5 bc2+
b5 ca2+
c5 ab2 ≥ a
2
+b2+c2 ∀ a , b , c>0
(2)
Bài 19: Chứng minh rằng a a+b+
b4 b+c+
c4 c +a≥
ab2+bc2+ca2
2 ∀ a , b , c>0 -
Bài 20: Chứng minh rằng a
6 b2c+
b6 c2a+
c6 a2b≥ a
2
b+b2c+c2a ∀ a , b , c>0
(3)
HƯỚNG DẪN Bài 1: Chứng minh (a2+b2)(b2
+c2)(c2+a2)≥8 a2b2c2 ∀ a , b , c Hướng dẫn: a2
+b2≥ 2√a2b2=2|ab|;❑❑b2+c2≥ 2√b2c2=2|bc|;❑❑c2+a2≥ 2√c2a2=2|ca|
-Bài 2: Chứng minh a+b¿
2
√a+√b¿8≥ 64 ab¿ ¿
∀ a , b ≥0
Hướng dẫn:
√a+√b¿2 ¿ ¿ a+b¿2
¿
√a+√b¿8=¿ ¿
-Bài 3: Chứng minh (1+a+b)(a+b+ab)≥ ab ∀ a , b ≥0
Hướng dẫn: (1+a+b)(a+b+ab)≥ 3√3a b√3a b ab=9 ab
-Bài 4: Chứng minh 3 a3+6 b3≥ ab2 ∀ a , b ≥0
Hướng dẫn: 3 a3+6 b3=3 a3+3 b3
+3 b3≥ 3√33 a33 b33 c3=9 ab2
-Bài 5: Chứng minh (a+b)(1+ab)≥ ab ∀ a , b ≥0
Hướng dẫn: Cô si cho ngoặc nhân vế
-Bài 6: Chứng minh
a+ b≥
4 a+b Hướng dẫn: Cô si cho VT mẫu thức VP
-Bài 7: Chứng minh a+b +c ≥√ab+√bc+√ca ∀ a , b , c ≥ 0
Hướng dẫn: a+b ≥ 2√ab ;b+c ≥2√bc ; c+a ≥2√ca cộng vế
-Bài 8: Chứng minh a2b2+b2c2+c2a2≥ abc (a+b +c) ∀ a , b , c
Hướng dẫn: a2b2+b2c2≥ ab2c ;b2c2+c2a2≥2 abc2;c2a2+a2b2≥2 a2bc Cộng vế
-Bài 9: Chứng minh (a+1)(b+1)(a+c)(b+c )≥ 16 abc ∀ a , b , c≥ 0 Hướng dẫn: Cô si cho ngoặc nhân vế
-Bài 10: Chứng minh a+b +c ≤1
2(a
b+b2c +c2a+1 a+
1 b+
1
c) ∀ a , b , c>0 Hướng dẫn: a2b+1
b≤2 a ; b
c +1
c≤2 b ; c
a+1
a≤ c cộng vế -Bài 11: Chứng minh a
4 b +
b4 c +
c4
a ≥ abc ∀ a , b , c>0 Hướng dẫn: Áp dụng Cô si với vế trái
-Bài 12: Chứng minh a(a
2+ bc)+b(
b 2+
1 ca)+c(
c 2+
1 ab)≥
9
2 ∀ a , b , c>0
(4)Hướng dẫn: VT=a 2+ a bc+ b2 + b ca+ c2 2+ c ab=(
a2 +
c ab+
b ca)+(
b2 2+
c 2ab+
a bc)+(
c2 2+
a bc+
b ca)≥
9
-Bài 13: Chứng minh rằng a3+b3+c3≥ a2b+b2c +c2a ∀ a , b , c>0
Hướng dẫn: a3
+a3+b3≥3 a2b Tương tự cộng vế
-Bài 14: Chứng minh rằng a3b3+b3c3+c3a3≥ abc(ab2+bc2+ca2) ∀ a , b , c>0 Hướng dẫn: Chia hai vế cho a3b3c3>0 , có:
a3+ b3+
1 b3≥
1 a2b+
1 b2c+
1
c2a , tương tự 13
-Bài 15: Chứng minh rằng a b3+
b3 c3+
c3 a3≥
a2 bc+
b2 ac+
c2
ab ∀ a , b , c>0 Hướng dẫn: a
3 b3+
a3 b3+
b3 c3≥ 3
a2
bc Tương tự cộng vế
-Bài 16: Chứng minh rằng a
5 b2+
b5 c2+
c5 a2≥ a
3
+b3+c3 ∀ a , b , c>0 Hướng dẫn: a
5 b2+b
2
a≥ a3 , Tương tự cộng vế Sử dụng thêm kết 13
-Bài 17: Chứng minh rằng a
4 b2c+
b4 c2a+
c4
a2b≥ a+b+c ∀ a , b , c>0 Hướng dẫn: a
4
b2c+b+b+c ≥ a Tương tự cộng vế
-Bài 18: Chứng minh rằng a
5 bc2+
b5 ca2+
c5 ab2 ≥ a
2
+b2+c2 ∀ a , b , c>0 Hướng dẫn: a
5 bc2+c
2
+ba ≥ a2 Tương tự cộng vế Sử dụng thêm a2+b2+c2≥ ab+bc+ca
-Bài 19: Chứng minh rằng a4
a+b+ b4 b+c+
c4 c +a≥
ab2
+bc2+ca2
2 ∀ a , b , c>0
Hướng dẫn: a4
a+b+(a+b)a
2≥ a3 Tương tự cộng vế Sử dụng thêm
a3
+b3+c3≥ ab2+bc2+ca2
-
Bài 20: Chứng minh rằng a
6 b2c+
b6 c2a+
c6 a2b≥ a
2b+b2c+c2a ∀ a , b , c>0
Hướng dẫn: a b2c+b
2
c ≥ a3 Tương tự cộng vế Sử dụng thêm a3+b3+c3≥ ab2+bc2+ca2