Giải pháp riemann phi cổ điển cho một mô hình hyperbolic của dòng lưu chất van der waals đẳng entropy

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA: KHOA HỌC ỨNG DỤNG W™X NGUYỄN HỮU HIỆP ĐỀ TÀI: Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số ngành : 604636 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP.HỒ CHÍ MINH, Tháng năm 2011 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ™ Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS Mai Đức Thành ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………… ™ Cán chấm nhận xét 1: ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………… ™ Cán chấm nhận xét 2: ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………… Luận văn thạc sĩ bảo vệ HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày……tháng…… năm 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc -oOo Tp HCM, ngày 18 tháng năm 2011 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: NGUYỄN HỮU HIỆP Giới tính: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 21/10/1984 Nơi sinh: Quảng Ngãi Chuyên ngành : Toán ứng dụng Khoá (Năm trúng tuyển) : 2009 1- TÊN ĐỀ TÀI: GIẢI PHÁP RIEMANN PHI CỔ ĐIỂN CHO MỘT MƠ HÌNH HYPERBOLIC CỦA DỊNG LƯU CHẤT VAN DER WAALS ĐẲNG ENTROPY 2- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS.TS Mai Đức Thành 3- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ PHẢN BIỆN 1: TS Nguyễn Bá Thi 4- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ PHẢN BIỆN 2: PGS.TSKH Bùi Tá Long Nội dung đề cương Luận văn thạc sĩ Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Họ tên chữ ký) PGS.TS Mai Đức Thành CHỦ NHIỆM BỘ MÔN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH (Họ tên chữ ký) PGS.TS Nguyễn Đình Huy Mục lục LỜI CẢM ƠN DANH MỤC KÝ HIỆU LỜI GIỚI THIỆU i Tình hình nghiên cứu ii Mục tiêu luận văn iii Đối tượng nội dung nghiên cứu iv Những đóng góp luận văn KIẾN THỨC TỔNG QUAN Tính hyperbolic Nghiệm yếu định luật bảo toàn 2.2 Nghiệm yếu hệ thức Rankine-Hugoniot Sự không tồn nghiệm trơn Khái niệm entropy toán học 2.1 Khái niệm entropy toán học nghiệm entropy 3.2 Tính khơng nghiệm yếu 3.1 Sóng giãn sóng sốc 10 13 15 12 12 10 15 16 20 4.1 Sóng giãn 4.2 Sóng sốc 20 23 GIẢI PHÁP RIEMANN ƠN HỊA CHO ĐỊNH LUẬT BẢO TỒN VƠ HƯỚNG ĐỐI VỚI HÀM THƠNG LƯỢNG LõMLỒI VÀ LỒI-LõM 24 Sóng sốc cổ điển phi cổ điển định luật bảo tồn vơ hướng 25 Khảo sát điều kiện entropy 2.1 Hàm tiếp tuyến 2.2 Điều kiện entropy cho sóng sốc Xây dựng giải pháp Riemann ơn hịa 3.1 3.2 28 28 29 31 Giải pháp Riemann ơn hịa hàm thơng lượng lõm - lồi 31 Giải pháp Riemann ơn hịa hàm thơng lượng lồilõm 35 ĐIỀU KIỆN ENTROPY CHO MƠ HÌNH LƯU CHẤT VAN DER WAALS ĐẳNG ENTROPY 43 Hàm tiếp tuyến Hàm phân tán entropy điều kiện entropy cho sóng sốc 43 46 GIẢI PHÁP RIEMANN PHI CỔ ĐIỂN CHO MƠ HÌNH LƯU CHẤT VAN DER WAALS ĐẳNG ENTROPY Giải pháp Riemann cổ điển 55 55 1.1 Điều kiện Liu-Entropy sóng sốc cổ điển cho định luật bảo toàn 56 1.2 Đường cong sóng sở 57 1.3 Giải pháp Riemann cổ điển Giải pháp Riemann phi cổ điển 2.1 Đường cong sóng sốc phi cổ điển 2.2 Hàm động lực học 2.3 Giải pháp Riemann phi cổ điển 59 62 63 65 KẾT LUẬN 87 Kết đạt Hạn chế 61 Hướng phát triển đề tài 87 88 88 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy hướng dẫn tôi: PGS.TS Mai Đức Thành, tận tình hướng dẫn, động viên tơi suốt trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy, cô phản biện đọc cho ý kiến nhận xét để luận văn tơi chỉnh sửa, hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào Tạo Sau Đại Học, đặc biệt thầy Bộ mơn Tốn Ứng Dụng – Khoa Khoa Học Ứng Dụng - Trường Đại Học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn đến gia đình, người thân người bạn thân động viên, giúp đỡ tơi nhiều để luận văn hồn thành Nguyễn Hữu Hiệp DANH MỤC KÝ HIỆU A(u): đạo hàm hàm véc tơ f 10 λk (u), rk (u): trị riêng véc tơ riêng bên phải tương ứng A(u) 11 c(v) = −p (v) 11 Ω, Ω+ , Ω− : miền IR 14 U, F: cặp entropy lồi 16 (v): hàm theo v 17 x ξ = : ẩn trung gian 20 t R1 : đường cong sóng 1-giãn hệ định luật bảo toàn 22 H(u− ): đường cong Hugoniot 26 E(u− , u+ ): hàm phân tán entropy 26 ϕ , ϕ− : hàm tiếp tuyến 28 ϕ∞ : hàm nghiệm hàm phân tán entropy E 29 ϕc : hàm giao điểm 30 T1 (u− ): đường cong sóng sốc cho hàm thơng lượng lõm-lồi 31 ϕ : hàm động lực học 32 S1 (u− ): đường cong sóng sốc cổ điển 33 ϕ , ϕ− , ψ , ψ − : hàm tiếp tuyến hàm áp suất 43 s: vận tốc sốc 45 M (v0 , v1 ), N (v0 , v1 ): hàm số 46 F (v0 ), G(v0 ): hàm cực đại cực tiểu E 48 e, f e , f : nghiệm F G 49 g: giao điểm đồ thị ϕ ψ 64 LỜI GIỚI THIỆU i Tình hình nghiên cứu Lý thuyết nghiệm phi cổ điển hệ hyperbolic định luật bảo toàn giáo sư LeFloch khởi xướng mở rộng nghiên cứu nhiều năm [16-20] Sốc phi cổ điển xuất hệ tính phi tuyến thật Hơn nữa, sóng sốc phi cổ điển vi phạm tiêu chuẩn Entropy-Oleinik định luật bảo tồn vơ hướng vi phạm điều kiện Liu-Entropy hệ hyperbolic định luật bảo tồn Để chọn sóng sốc phi cổ điển, ta thực theo chiến lược đề xuất Abeyaratne-Knowles[1,2] LeFloch Hayes [11,12,13,14] để mơ tả tồn nghiệm phi cổ điển sau sử dụng hệ thức động lực học để xác định nghiệm vật lý tương ứng ii Mục tiêu luận văn Xây dựng giải pháp Riemann phi cổ điển ơn hịa cho hệ phương trình đạo hàm riêng hyperbolic iii Đối tượng nội dung nghiên cứu Trong luận văn này, giải nội dung ứng với định luật bảo tồn vô hướng hệ hyperbolic đẳng entropy lưu chất Van der Waals: Thứ nhất, xây dựng giải pháp Riemann ơn hịa cho định luật bảo tồn vơ hướng: ∂t u + ∂x f (u) = 0, x ∈ IR , t > 0, (0.1) u = u(x, t) ẩn hàm cần tìm Điều kiện đầu ul x < 0, ur x > 0, u(x, 0) = (0.2) với ul ur số cho trước Hàm thông lượng f xem xét trường hợp: • Trường hợp lõm-lồi u.f (u) > 0, ∀u = 0, f (0) = 0, lim f (u) = +∞ (0.3) u.f (u) < 0, ∀u = 0, f (0) = 0, lim f (u) = +∞ (0.4) |u|→+∞ • Trường hợp lồi-lõm |u|→+∞ Giải pháp Riemann phi cổ điển cho định luật bảo tồn vơ hướng (0.1) thông lượng lõm-lồi lồi-lõm xây dựng Hayes-LeFloch [13], mà đó, sốc phi cổ điển triệt để ưu tiên lựa chọn Thứ hai, chúng tơi xây dựng nghiệm mơ hình lưu chất Van der Waals đẳng entropy: ∂t u + ∂x p(v) = 0, (0.5) ∂t v − ∂x u = 0, v > dung tích riêng, u vận tốc lưu chất ẩn hàm cần tìm hàm trơn p = p(v) áp suất Điều kiện đầu xem xét (u, v)(x, 0) = (ul , vl ), x < 0, (ur , vr ), x > 0, (0.6) Nếu vm ∈ [a, ψ (vl )) nghiệm kết hợp sóng sốc cổ điển từ vl đến ψ (vl ) sóng giãn từ ψ (vl ) đến vm Nếu vm ∈ (ϕ− (ψ (vl )), a) nghiệm kết hợp sóng: sóng sốc cổ điển từ vl đến ψ (vl ), sóng giãn từ ψ (vl ) to ϕ (vm ) sóng sốc cổ điển từ ϕ (vm ) to vm 79 Trường hợp 5: vl ∈ (a− , +∞) Nếu vm < vl nghiệm sóng sốc cổ điển Nếu vm > vl nghiệm sóng giãn Kết xây dựng hồn tồn tương tự cho đường cong 2-sóng W2 (ul , vl ) Ngoài ra, cách khác để xây dựng giải pháp Riemann phi cổ điển ta dùng hàm động lực học tương ứng với điểm uốn thứ 2, b Trong trường hợp xây dựng hàm động lực học, ta có sóng sốc phi cổ điển tương ứng với điểm uốn 80 Trong trường hợp này, ta cần phải có quy ước ưu tiên nhận sóng trước Lúc này, cấu trúc nghiệm phức tạp nhiều Tuy nhiên, mặt vật lý, điểm uốn a tương ứng với thời điểm đầu chuyển pha điểm uốn b tương ứng với q trình cuối chuyển pha Do đó, ta quan tâm đến trình xây dựng hàm động lực học cho q trình Cuối cùng, kết luận văn tóm tắt định lý sau: Định lý 4.7 Cho hàm áp suất p thỏa điều kiện (0.7) (4.4) toán Riemann (0.5)-(0.6) tồn nghiệm trơn khúc kết hợp từ hữu hạn sóng giãn sóng sốc, mối quan hệ động lực học (4.5)(cho sóng sốc phi cổ điển) điều kiện (P) Hơn nữa, nghiệm Riemann phụ thuộc liên tục vào điều kiện đầu L1loc Chứng minh Việc tồn rõ từ định lý Bây giờ, ta chứng tỏ phụ thuộc cách liên tục nghiệm vào điều kiện đầu Ta cần kiểm đường cong 1-sóng W1 (ul , vl ) có cấu trúc liên tục, đơn điệu tăng (um , vm ) → (−∞, 0) (um , vm ) → (+∞, +∞) a) Tính liên tục: Nếu vm đủ lớn sóng nối từ (ul , vl ) đến (um , vm ) sóng giãn Từ cơng thức đường cong tích phân ứng với trường vec tơ r1 (v) quy ước (4.4), ta suy ra: um → +∞ vm → +∞ Nếu vm đủ bé sóng nối từ (ul , vl ) đến (um , vm ) sóng sốc cổ điển Từ cơng thức đường cong Hugoniot đặc tính hàm áp suất p (0.3), ta suy ra: um → +∞ vm → Cuối cùng, hàm −¯ c(vl , vm ) hàm liên tục theo biến (vl , vm ) nên cấu trúc nghiệm Riemann phụ thuộc cách liên tục vào kiện đầu L1loc 81 b) Đơn điệu tăng: Trong thành phần sóng cổ điển, rõ ràng nghiệm đơn điệu tăng Trong cấu trúc nghiệm định lý (4.6) so với cấu trúc nghiệm cổ điển, ta cần phần biệt trường hợp sau: (i) Một sóng giãn sóng sốc phi cổ điển vl ∈ (0, g) vm ∈ (a, ϕ (g)) (ii) Một sóng sốc cổ điển sóng sốc phi cổ điển vl ∈ (g, ϕ (ϕ (g))) vm ∈ (ϕ (vl ), ϕ (g)) (iii) Một sóng sốc cổ điển sóng sốc phi cổ điển thỏa (3.4) sóng sốc cổ điển vl ∈ [a, b) vm ∈ [ϕ− (vl ), b− ) Ta xem xét trường hợp (iii) trước: Cho vl ∈ [a, b), tập vm ∈ [ϕ− (vl ), b− ) thỏa mãn điều kiện (4.8) tập mở, thỏa trường hợp hợp đếm khoảng mở Trong khoảng con, ta xét trường hợp (ii) cấu trúc cổ điển Do đó, ta cần xem xét trường hợp (i) (ii) Dựa vào cấu trúc nghiệm, xem dạng đặc biệt trường hợp này, trường hợp khác tương tự Ta xét lại: −p (v) c(v) = c¯(v0 , v1 ) = − p(v1 ) − p(v0 ) v1 − v0 Trong trường hợp (i), nghiệm kết hợp sóng giãn sóng sốc phi cổ điển Ta ý rằng: um (vm ) − um (ϕ− (vm )) = c¯(ϕ− (vm ), vm )(vm − ϕ− (vm )), − ϕ− (vm ) um (ϕ (vm )) − ul = (4.9) c(z)dz vl Cho vm ∈ (a, ϕ (g)), ta rút gọn (4.9) thành dum θ dϕ− (vm ) = − c(ϕ− (vm )) − c¯(ϕ− (vm ), vm ) − dvm 2dvm c¯(ϕ (vm ), vm ) +c (vm ) + c¯2 (ϕ− (vm ), vm ) > 82 (4.10) Điều dẫn đến tính chất đơn điệu đường cong sóng Ta xem xét trường hợp (ii) Nghiệm kết hợp sóng sốc cổ điển từ vl đến ϕ− (vm ) sóng sốc phi cổ điển từ ϕ− (vm ) đến vm Từ cơng thức đường cong sóng giãn đường cong sóng sốc cổ điển, ta rút gọn thành: um (vm ) − um (ϕ− (vm )) = c¯(ϕ− (vm ), vm )(vm − ϕ− (vm )), um (ϕ− (vm )) − ul = c¯(vl , ϕ− (vm ))(ϕ− (vm ) − vl ) (4.11) Điều dẫn đến dϕ− (vm ) dum =− c¯(ϕ− (vm ), vl ) − c¯(ϕ− (vm ), vm ) vm 2dvm c2 (vm ) + c2 (ϕ− (vm )) × − + c¯(ϕ− (vm ), vl ).¯ c(ϕ− (vm ), vm ) 2¯ c(ϕ− (vm ), vm ) Vì hàm p lồi khoảng (0, a) có: (vl , ϕ− (vm )) vl > ϕ− (vm ), nên ta p(ϕ− (vm )) − p(vl ) > p (ϕ− (vm )) − ϕ (vm ) − vl Do đó, có được: c(ϕ− (vm )) > c¯(ϕ− (vm ), vl ) > c¯(ϕ− (vm ), vm ), (4.12) Từ bất phương trình sau (4.12) cho ta thấy rằng: tốc độ sóng sốc tăng sóng sốc cổ điển tiếp nối sóng sốc phi cổ điển Từ bất phương trình (4.12) (4.12) dẫn đến: dum > 0, vm Điều tính đơn điệu đường cong sóng tăng Định lý chứng minh ✷ 83 Ví dụ 4.1 Cho định luật bảo tồn    ut + p(u)x = 0,   v − u = t x Thỏa điều kiện đầu: u(x, 0) =    (0, 3/2), x < 0,   (1, 1/2), x > Với f (v) = 27 − 3v (3v + 1)2 Bài giải Ta có: 162 + , 3v (3v + 1)3 16 1458 f (v) = − 3v (3v + 1)4 f (v) = − Xét dấu f (v) ta được: ∀v ∈ (0, a) ∪ (b, +∞), a = , b f (v) < 0, ∀v ∈ (a, b), f (a) = f (b) = 0, f (a) = f (v) > 0, 1, 545, Vậy hàm áp suất f thỏa điều kiện (0.7) Giả sử hàm động lực học chọn: ϕ∞ (v) + ϕ− (v) ϕ (v) = Bây để tìm nghiệm tốn ứng với trường véc tơ r1 vận tốc s < 0, ta thực bước sau: Đầu tiên, ta thấy vl = ta cần tính ∈ (a, b) Để xác định vr thuộc trường hợp nào, ϕ− (vl ) + ϕ∞ (vl ) ϕ (vl ) = 84 Ta có ϕ− (vl ) 0.38 E(vl , v) = −s(v, vl )( (v) − (vl ) + (p(v) + p(vl ))(v − vl ) ) Giải phương trình E(v, vl ) = ta suy ϕ∞ (vl ) 0.428 0.38 + 0.428 Như ϕ (vl ) = 0.404 ⇒ vr = 0.5 ∈ (ϕ (vl ), a), điều kiện đầu thuộc trường hợp 3-4 định lý (4.6) Ta có kết nghiệm kết hợp sóng: sóng giãn từ vl đến v ∗ sóng sốc phi cổ điển từ v ∗ đến vr , với vr = ϕ (v ∗ ) Dựa vào hàm tiếp tuyến p hàm E(v, vr ) ta tính được: v∗ 0.89 Ta xem xét sóng sốc phi cổ điển trước Nhắc lại, vận tốc sốc tính theo cơng thức: p(vr ) − p(v ∗ ) s(v , vr ) = − − −0.236, vr − v ∗ ur − u∗ s(v ∗ , vr ) = − = −0.236 vr − v ∗ ⇒ u∗ = ur + s(vr − v ∗ ) 1.092 ∗ Vận tốc sóng giãn (ul , vl ): s1 = − −p (vl ) −0.46 Vận tốc sóng giãn (u∗ , v ∗ ): s2 = − −p (v ∗ ) −0.3 x Gọi w(x, t) = w(ξ), ξ = sóng giãn nối (ul , vl ) đến (ur , vr ) Trong đó, t w = (u, v)T nghiệm hệ phương trình vi phân sau: w =  r1 (v), w(ξ− = (u− , v− ))  u = −p (v),     v = 1, ⇔  u(ξ− ) = u− ,     v(ξ ) = v − − Trong đó, ξ− = λ(v− ) Lúc này, nghiệm xác định là: 85 u(x, t) =   (ul , vl ),     w(x, t),      x < s1 t, s1 t ≤ x ≤ s2 t, (u∗ , v ∗ ), s2 t < x < st, (ur , vr ), x > st Minh họa hình vẽ: 86 KẾT LUẬN Kết đạt Luận văn thiết lập nghiệm Riemann định luật bảo tồn vơ hướng hệ định luật bảo tồn mơ hình lưu chất Van der Waals đẳng entropy Đối với định luật bảo toàn vô hướng, sử dụng giải pháp ôn hịa để thành lập nghiệm - đó, hàm động lực học hạn chế đoạn chứa điểm uốn không định nghĩa IR giải pháp Riemann phi cổ điển thường thấy Chúng tơi cịn giải định luật bảo tồn vơ hướng trường hợp: hàm thông lượng f lồi-lõm lõm-lồi Cấu trúc nghiệm thiết lập tường minh có ví dụ cụ thể để minh họa Đối với hệ định luật bảo tồn mơ hình lưu chất Van der Waals, đầu tiên, giới thiệu giải pháp Riemann cổ điển: cấu trúc nghiệm kết hợp sóng giãn (nghiệm liên tục) sóng sốc cổ điển (nghiệm yếu thỏa mãn điều kiện Liu-entropy) Tiếp theo, thành lập cấu trúc nghiệm Riemann phi cổ điển kết hợp từ sóng giãn, sóng sốc cổ điển sóng sốc phi cổ điển (sóng sốc thỏa bất phương trình entropy khơng thỏa điều kiện Liu) Ngồi ra, luận văn chứng minh phụ thuộc liên tục nghiệm vào điều kiện đầu Cuối cùng, chúng tơi đưa ví dụ cụ thể, trình bày bước thiết lập nghiệm tương ứng với giả thiết Hạn chế Luận văn chưa giải hệ định luật bảo tồn dịng lưu chất Van der Waals trường hợp hệ tính hyperbolic hàm áp suất phụ thuộc vào entropy Luận văn dừng lại phạm vi lý thuyết, chưa tìm mối quan hệ mật thiết mơ hình thực tế toán ý nghĩa vật lý biểu thức Luận văn dừng lại ví dụ minh họa cho lý thuyết đạt được, chưa nghiên cứu đến phương pháp số để tìm nghiệm cụ thể Hướng phát triển đề tài Trong luận văn này, giải hệ định luật bảo tồn hyperbolic dịng lưu chất lưu chất Van der Waals đẳng entropy Ở đây, giả thiết hạn chế hàm áp suất p giảm (thỏa tính chất hyperbolic) phụ thuộc vào thể tích v Từ giới hạn trên, ta phát triển luận văn theo hướng sau: Hướng thứ 1: Giả thiết hàm áp suất p không ln giảm IR + , đơn điệu khoảng Ứng với trường hợp này, ma trận DF (U ) khơng cịn ln có trị riêng thực mà có trị riêng thực phần p giảm (mơ hình hyperbolic) trị riêng ảo phần p tăng (mơ hình eliptic) Trong trường hợp này, tốn gọi mơ hình hyperbolic-eliptic dịng lưu chất Van der Waals đẳng entropy Hướng thứ 2: Giả thiết hàm áp suất p không đẳng entropy Trường hợp tổng quát này, hàm áp suất p = p(v, S) khơng phụ thuộc vào thể tích v mà cịn phụ thuộc vào đại lượng entropy S Khi đó, hệ định luật bảo tồn khơng có định luật bảo tồn động lượng khối lượng nữa, mà cịn thêm phương trình định luật bảo tồn lượng Et +(p.u)x = Mơ hình mơ hình tổng quát dòng lưu chất Van der Waals Ngồi ra, tính chất ưu điểm giải pháp ơn hịa, ta phát triển theo hướng giải pháp ơn hịa cho mơ hình 88 Xây dựng lược đồ số cho mơ hình toán 89 Tài liệu tham khảo [1] Abeyaratne R and Knowles J.K on the dissipative response due to discontinuous strains in bars of unstable elasticmaterials, Int J Solids structures 24 (1988), 1021-1044 [2] Abeyaratne R and knowles J.K., kinetic relations and the propagation of phase boundaries in solids, Arch rational Mach, Anal 114 (1991), 119-154 [3] N Bedjaoui and P.G LeFloch, Diffusive-dispersive traveling waves and kinetic relations I Non-convex hyperbolic conservation laws J Diff Eqs., 178:574–607, 2002 [4] N Bedjaoui and P.G LeFloch, Diffusive-dispersive traveling waves and kinetic relations II A hyperbolic-elliptic model of phase-transition dynamics Proc Roy Soc Edinburgh, 132 A:545–565, 2002 [5] N Bedjaoui and P.G LeFloch, Diffusive-dispersive traveling waves and kinetic relations III An hyperbolic model from nonlinear elastodynamics Ann Univ Ferra Sc Mat., 47:117–144, 2001 [6] Fan H.T., Avanishing viscosity approach on the dynamics of phase transitrions in Van der Waals fluids, J.Differential Equations 103 (1993), 179204 [7] Fan H.T.One-phase Riemann problem and wave interactions insystems of conservation laws of mixed type, SIAM J Math Anal 24 (1993), 840-865 [8] Fan H.T and slemrod M., the Riemann problem for systems of conservation laws of mixed type, in "Shock induces transitions anh phase structures in general media", R Fosdick, E.Dunn, and H Slemrod ed., IMA Vol Math Appl 52, Springer-Verlag, 1993, pp 61-91 90 [9] Hattori H., The Riemann problem for a van der Waals fluid with entropy rate admissibility criterion: isothermal case, Arch Rational Mech Anal 92 (1986), 246-263 [10] Hattori H., The Riemann problem for a van der Waals fluid with entropy rate admissibility criterion: Non-isothermal case, J Differential Equations 65 (1986), 158-174 [11] Hayes B.T and LeFloch P.G., nonclassical shocks and kinetic relation: Scalar consevation laws, Arch Rationnal Mech Anal 139 (1997),1-56 [12] Hayes B.T and LeFloch P.G., nonclassical shocks and kinetic relations: Finite difference schemes, SIAM J.numer Anal 35 (1998), 2169-2194 [13] B.T Hayes and P.G LeFloch, Non-classical shocks and kinetic relations: Scalar conservation laws, Arch Ration Mech Anal., 139 (1997) 1–56 [14] B.T Hayes and P.G LeFloch, Nonclassical shocks and kinetic relations: strictly hyperbolic systems SIAM J Math Anal., 31 (2000) 941–991 [15] P.D Lax, Shock waves and entropy, in: E.H Zarantonello, Ed., Contributions to Nonlinear Functional Analysis, pages 603–634, 1971 [16] P.G LeFloch, Hyperbolic systems of conservation laws The theory of classical and nonclassical shock waves, Lectures in Mathematics, ETH Ză urich, Birkhăauser, 2002 [17] P.G LeFloch and M.D Thanh, Nonclassical Riemann solvers and kinetic relations III A nonconvex hyperbolic model for van der Waals fluids, Electron J Differential Equations, No 72 (2000), 19 pp [18] P.G LeFloch and M.D Thanh, Nonclassical Riemann solvers and kinetic relations I An hyperbolic model of elastodynamics, Z Angew Math Phys., 52 (2001) 597–619 [19] P.G LeFloch and M.D Thanh, Nonclassical Riemann solvers and kinetic relations II An hyperbolic-elliptic model of phase transition dynamics, Proc Roy Soc Edinburgh Sect., 132 A (2002) 181–219 [20] P.G LeFloch and M.D Thanh, Properties of Rankine-Hugoniot curves for Van der Waals fluid flows, Japan J Indus and Appl Math., 20 (2003) 211–238 91 [21] O.A Oleinik, Construction of a generalized solution of the cauchy problem for a quasi-linear equation of first order by the introduction of vanishing viscosity Amer Math Soc Transl Ser 2, 33:277–283, 1963 [22] M.D Thanh, Traveling waves of an elliptic-hyperbolic model of phase transitions via varying viscosity-capillarity, J Differential Equations, 251 (2011) 439-456 [23] M.D Thanh, Global existence of traveling wave for general flux functions, Nonlinear Anal.: T.M.A., 72 (2010) 231–239 [24] M.D Thanh, Attractor and traveling waves of a fluid with nonlinear diffusion and dispersion, Nonlinear Anal.: T.M.A., 72 (2010) 3136–3149 92 CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập - Tự - Hạnh phúc LÝ LỊCH TRÍCH NGANG I SƠ LƯỢC LÝ LỊCH Họ tên : Nguyễn Hữu Hiệp Phái:Nam Ngày tháng năm sinh : 21-10-1984 Tại : quảng ngãi Mã số học viên : 09240482 Khoa : Khoa học ứng dụng Ngành học : Toán ứng dụng Địa thường trú : xã Pơng Drang – Huyện Krơng Buk – Tỉnh Đăk Lăk II Q TRÌNH ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC: Chế độ học : Chính quy Nơi học Thời gian học: Từ 09/2003 đến 07/2007 : Trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh Ngành học : Toán SAU ĐẠI HỌC: Ngành toán ứng dụng trường Đại Học Bách Khoa TP HCM (2009 – 2011) Ngày 23 tháng 07 năm 2011 Người Khai Nguyễn Hữu Hiệp ... ENTROPY CHO MƠ HÌNH LƯU CHẤT VAN DER WAALS ĐẳNG ENTROPY 43 Hàm tiếp tuyến Hàm phân tán entropy điều kiện entropy cho sóng sốc 43 46 GIẢI PHÁP RIEMANN PHI CỔ ĐIỂN CHO MƠ HÌNH LƯU... sóng sở 57 1.3 Giải pháp Riemann cổ điển Giải pháp Riemann phi cổ điển 2.1 Đường cong sóng sốc phi cổ điển 2.2 Hàm động lực học 2.3 Giải pháp Riemann phi cổ điển ... dụng Khoá (Năm trúng tuyển) : 2009 1- TÊN ĐỀ TÀI: GIẢI PHÁP RIEMANN PHI CỔ ĐIỂN CHO MỘT MƠ HÌNH HYPERBOLIC CỦA DỊNG LƯU CHẤT VAN DER WAALS ĐẲNG ENTROPY 2- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS.TS Mai