Bài 1 Cho A(1;1), B(2 ;4 ), C(10 ; 2 ) a CMR : ABC vuông tại A (1 ; 3), (9 ; 3 ) . = 0 ABC vuông tại A b Tọa độ trực tâm ABC ABC vuông tại A A là trực tâm A(1;1) c Tính và cos B, tính và cos C
TÍCH VƠ HƯỚNG – LỚP 10 Bài Cho A(1;1), B(2 ;4 ), C(10 ;- ) a/ CMR : ABC vuông A uuur uuu r uuu r uuur AB (1 ; 3), AC (9 ; - ) AB AC = ABC vuông A b/ Tọa độ trực tâm ABC ABC vuông A A trực tâm A(1;1) uuur uuu r uuu r uuu r BC BA CACB c/ Tính uuur cos B, tính uuur uuurvà cos C uuu r * BC 8; 6 ; BA 1; 3 � BC.BA 8 18 10 uuur uuu r BC.BA 10 10 � cosB BC.BA 10 10 10 uuu r uuu r uuu r uuu r * CA 9;3 ;CB 8;6 � CACB 72 18 90 uuu r uuu r CACB 90 10 cosC CACB 10 90.10 d/ Tính độ dài trung tuyến BN : AC 90 � AN 90 130 130 ; AB2 10 � BN AN AB2 � BN 4 Bài Cho A(1;1), B(6 ;8 ) Tìm tọa độ điểm M cho MAB vuông cân M uuuu r uuur AM ( x ; y 1); BM (x 6; y 8) Gọi M(x;y) MAB vuông cân M uuuu r uuur � � (x 1)(x 6) (y 1)(y 8) � (x 1)(x 6) (y 1)(y 8) �AM BM �� �� � � 2 2 2 (x 1) (y 1) (x 6) (y 8) � �2x 1 2y 1 12x 36 16y 64 �AM BM �2 �x2 7x y2 9y 14 �x 7x y 9y 14 (1) �� � � 49 5x 10x 14y 98 (2) � �y � Tha y (2) vào (1) �49 5x � �49 5x � 2 x 7x � � 9� � 14 � 49x 343x 2401 490x 25x 3087 315x 686 � � � � � M 0;7 � x � � � 74x 1074x � 537 � � �537 872 � � x= M � ; � � � 37 � �37 259 � B 3; 1 Bài Cho A(0;2), Tìm tọa độ trực tâm tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác OAB a/ Gọi H(x;y) trực tâm tamuugiác OBC uuur uuu r ur uuu r AH x; y 2 ,OB( 3; 1), BH (x 3; y 1),OA(0;2) uuur uuu r � � �AH OB � �x 3x y � � �uuur uuu �� �� �H r �y 1 �BH OA �y 1 3; 1 b/ Gọi I(x;y) tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác OBC �x y 2 x y 2 � � 4y �AI OI � � �� � � � � 2 2 �AI BI � �x y 2 x y 1 �2 3x 2y 4y � �x �� � I 3;1 �y 12 3x 2y 4y uuuur uuur Bài Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi M trung điểm cạnh BC Tính MH MA theo BC biết BC = a uuuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuu r uuur MH MA HM.AM HB HC AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r uuur uuu r uuur uuur HB.AB HB.AC HC.AB HC.AC r uuur uuu r uuur uuur uuur uuu � HB AC CB HC AB BC � � 4� uuur uuu r uuu r uruuruuuur � HB.AC HB.CB HC.AB HC.BC � � 4� u u u r u u u r u ur u 1 a BC HC HB BC 4 ruuu ruuu � 300 AB , AD = 1, BAD Bài Cho hìnhuuubình hành ABCD có r uuu r uuu r uuur AD.AB BA.BC a/ Tính 3 3.1 � 2 BAD AD.AB.cos = = uuu r uuur � � 3 BA.BC BA.BC.cos1500 3.1.� � � � � 1500 � � ABD uuur uuu r AD.AB b/ Tính độ dài đường chéo AC BD uuur uuu r uuur uuu r AC BC BA BC 2BC.BA BA2 1 � AC uuur uuu r uuur uuu r BD2 AD AB AD2 2AD.AB BA2 1 1� BD uuur uuur cos AC.BD c/ Tính uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r AC.BD AB AD BA AD AD AB AD AB AD2 AB2 1 2 uuur uuur uuur uuur AC.BD cos AC.BD AC.BD Bài Cho ABC có AB = 2, BC = 4, AC = uuur uuu r AC AB / Tính a uuur uuu r AC AB2 BC 4 16 3 AC.AB 2 uur uuur AJ AC b/ Gọi I trung điểm AB, J điểm thỏa Tính độ dài IJ uur uur uuu r uuur uuu r uuur 9 AI AJ AB AC AB.AC 2 uur uur uur uur �9 � 47 � � 2 IJ �AI AJ � AI 2AI AJ AJ 1 � � �2 � � � � IJ 94 Bài Cho hình thang vng ABCD có đường caouuAB = 3a, AD = 2a, BC = 4.5a ur uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r AC; BD AC AB ; AC AD ; AC BD a/ Tính Suy góc 81 13a a 2 117a 81a 9a2 uuur uuu r AC AB2 BC 9a2 AC.AB 2 uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uur u 9a AC.AD AB BC AD AB.AD BC.AD BC.AD 2a 9a2 uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur AC BA AD AC.BA AC.AD AC.AB AC.AD 9a2 9a2 � AC BD AC.BD = uuur uuu r � BM BD suy cos MBD / Gọi M trung điểm AC Tính b AC AB2 BC 9a2 BD AB2 AD2 9a2 4a2 13a uuur uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r � BM BD BA AM BD BA.BD M BD BA A.BD.cos ABD BA.BD AB BA.AB 3a.3a 9a2 BD ABC vng A có BM trung tuyến uuur uuu r BM BD � cos MBD BM BD � BM 9a2 a 13 3a 13 13a AC 12 13 Bài Cho hình thang vng ABCD có đường cao AB, cạnh đáy AD = a, BC = 2a, I trung điểm cạnh AB Hãy tính AB trường hợp sau : uuur uuu r AC AB a2 a/ AB AC uuu r uuu r AB AC.AB a2 � AC.AB.cos A a2 � AC.AB a2 � AB a AC uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuuruuu r uuur uur u b / AC.BD a2 � AB BC BA AD a2 � AB2 AB.AD BC.BA BC.AD a2 AC AB2 BC AB2 4a2 ; cos A � AB2 2aa a2 � AB a uur uur c/ IC.ID a uur uur uur uuur uur uuur uur uur uur uuur uuur uur uuur uuur IC.ID a2 � IA AD IB BC a2 � IA.IB IA.BC AD.IB AD.BC a2 r uuu r r uuur uuu r uuur uuur uur u uuu uuu � AB AB AB.BC AB.AD AD.BC a2 2 2 � AB2 a.2a a2 � AB2 4a2 � AB 2a Bài Cho ABCcó AB = c, BC = a, AC = b uuu r uuur AB.AC b2 c2 a2 a/ CMR : uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur BC AC AB AC 2AB.AC AB2 � AB.AC b2 c2 a2 uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r AB.AC BA.BC CACB b2 c2 a2 b/ CMR : uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r AB.AC b2 c2 a2 BA.BC a2 c2 b2 CACB a2 b2 c2 2 Tương tự câu a: ; ; Bài 10 Cho ABC có A(3; -1), B( - ; ), C( ; 5) a/ Tính chu vi diện tích ABC uuu r uuur uuur AB 6;3 ; AC 0;6 ; BC 6;3 � AB BC 5; AC � C AB AC BC ABCcân B uur SABC BI AC 18 Gọi I trung điểm AC I(3 ; 2) BI (6 ; 0) BI = � xG (3 3 3) � � � �y (1 5) G b/ * Trọng tâm G : � G(1 ; 2) uuur uuur uuur uuur BC AH BH * Trực tâm H : (x - ; y + 1); ( ; ); ( x + ; y – ); AC (0 ; ) uuur uuur � � 6(x 3) 3(y 1) �x �3 � �AH BC � �� � � � H � ;2� �uuur uuur �2 � �BH AC �y �y � * Tâm đường tròn ngọai tiếp I : � �AI BI � (x 3)2 (y 1)2 (x 3)2 (y 2)2 6x 2y 10 6x 4y 13 � � � � � � 6x 2y 10 6x 10y 34 (x 3)2 (y 1)2 (x 3)2 (y 5)2 � �AI CI � � � 12x 6y 3 �x �3 � �� � � � I � ;2� 12y 24 �4 � � �y � uuur � uur �uur � � uuur GH � ;0� ; IG � ;0� � GH & IG � � � � * phương H, G, I thẳng hàng ( Đường thẳng Euler ) Bài 11 Cho ABC có A(1 ; 2), B(- ; 1), C( ; - ) uuu r uuur uuu r uuur a / AB 2; 1 ; AC 4; 3 � AB.AC 8 5 uuu r uuur AB.AC 5 5 b / cos A ; sin A 1 cos2 A 1 AB.AC 5 5.5 c/ Tọa độ chân đườnguuucao r K (x ; yuu)ur uuur AK (x - ; y - 2); BC ( ; -2 ); BK ( x + ; y – ) uuur uuur � 6(x 1) 2(y 2) � 6x 2y �1 � �AK BC � �� � x y � K � ; � uuur � � �uuur 2(x 1) 6(y 1) 2x 6y �2 � � � �BK k.BC d/ Trực u tâm H: uuur uuur uur uuur AH (x - ; y - 2); BC ( ; -2 ); BH ( x + ; y – ) ; AC ( 4; - ) uuur uuur � �x 6(x 1) 2(y 2) � 6x 2y �AH BC � �� �� �� � H 2;5 �uuur uuur 4(x 1) 3(y 1) 4x 3y 7 �y � �BH AC � � xG (1 1 5) � � 3 � G �5; � � � � �3 � �y 1(2 1 1) G e/ Trọng tâm G : � f/ Tâm đường tròn ngọai tiếp I: � �AI BI � (x 1)2 (y 2)2 (x 1)2 (y 1)2 2x 4y 2x 2y � �� � � � 2 2 (x 1) (y 2) (x 5) (y 1) � �AI CI �2x 4y 10x 2y 26 � x � � 4x 2y �3 3� � �� �� �I�; � 8x 6y 21 � 3 �2 � � y � uuur � uuur uur 13�uur � 13 � 13 GH � ; � ; IG � ; � � � GH & IG 3� � 6 � 3 13 � * phương H, G, I thẳng hàng ( Đường thẳng Euler ) ... : � �AI BI � (x 3)2 (y 1)2 (x 3)2 (y 2)2 6x 2y 10 6x 4y 13 � � � � � � 6x 2y 10 6x 10y 34 (x 3)2 (y 1)2 (x 3)2 (y 5)2 � �AI CI � � � 12x... a2 b2 c2 2 Tương tự câu a: ; ; Bài 10 Cho ABC có A(3; -1), B( - ; ), C( ; 5) a/ Tính chu vi diện tích ABC uuu r uuur uuur AB 6;3 ; AC 0;6 ; BC 6;3 � AB... 4y 2x 2y � �� � � � 2 2 (x 1) (y 2) (x 5) (y 1) � �AI CI �2x 4y 10x 2y 26 � x � � 4x 2y �3 3� � �� �� �I�; � 8x 6y 21 � 3 �2 � � y � uuur � uuur