Tài liệu tham khảo Toán học cấp 2

Phương pháp trên không phải là vạn năng, nó chỉ giúp các học sinh giải được một số phương trình bậc ba, trong đó có những phương trình bậc ba khó tìm nghiệm chính xác bằng máy tính điện [r]

Bài viết cho học sinh lớp ôn thi vào 10, học sinh THPT ôn thi vào đại học

Hiện nay, nhiều tài liệu giới thiệu kinh nghiệm sử dụng máy tính để giải phương trình Bài viết giới thiệu số phương trình bậc ba khó tìm nghiệm xác máy tính điện tử Kiến thức chuẩn bị để đọc viết là:

- Hằng đẳng thức đáng nhớ - Căn bậc ba số thực

Trong viết này, tác giả xếp thứ tự từ dễ đến khó để học sinh lớp học lực trung bình theo dõi

Bài Tìm nghiệm thực phương trình x3 3x2 3x 0

3 3 3 1 0

x  x  x   x3 3x2 3x 1  

3

1

x

  

3

1

x

    x3 1.

Bài Tìm nghiệm thực phương trình x3  3x2 3x 0

3 3 3 3 0

x  x  x   x3 3x2 3x 2  

3

1

x

  

3

1

x

    x3 1.

Bài Tìm nghiệm thực phương trình x3 6x2 12x 0 6 12 1 0

x  x  x   x33 2x2  x 239 x 23

   x 2 9

    x3 2.

Bài Tìm nghiệm thực phương trình x3  6x2 12x 0 6 12 1 0

x  x  x   x3 3 2x2  x  23 7  

2

x

  

3

2

x

     x 3 2.

Bài Tìm nghiệm thực phương trình x3 9x2 27x 0 9 27 1 0

x  x  x   x3 3 3 3x2  x 33 28 x 33 28

   x 3 28

    x3 28 3.

Bài Tìm nghiệm thực phương trình x3  9x2 27x 0 9 27 1 0

x  x  x   x3 3 3x2  x  33 26 x 33 26

    x 3 26  x 3 26 3.

Bài Tìm nghiệm thực phương trình 8x312x2 6x 0

3

8x 12x 6x 0      

3

2x 2x 2x

      2x13 2

2x

  

3 2 1

x 

Bài Tìm nghiệm thực phương trình 8x3 12x2 6x 0

3

8x  12x 6x 0      

3

2x 2x 2x

      2x 13 2

2x

  

3 2 1

x 

 

Bài Tìm nghiệm thực phương trình 8x360x2 150x 0

3

8x 60x 150x 0      

3 2 3

2x 2x 5x 127

    

2x 53 127

   2x 5 3127

  

3127 5

x 

 

Bài 10 Tìm nghiệm thực phương trình 8x3  60x2 150x 0

3

8x  60x 150x 0      

3 2 3

2x 2x 5x 123

    

2x 53 123

    2x 5 3 123

3 123 5

x  

 

Bài 11 Tìm nghiệm thực phương trình 5x3 3x23x 1

3

5x 3x 3x 1  x33x2 3x 1 4x3  

3 3 x x    x x      

1 x

   

1

1

x 

 

 

Bài 12 Tìm nghiệm thực phương trình 6x3  3x2 3x 0

3

6x  3x 3x 0  x3 3x2 3x 15x3  

3 3 x x    x x

     1 5x1

1

x

 

 

Bài 13 Tìm nghiệm thực phương trình 10x36x2 12x 8

3

10x 6x 12x 8 0 x33 2x2  x 23 9x3 x 23 9x3

    x  2 9x  1 9x2

1

x 

 

  Bài 14 Tìm nghiệm thực phương trình 10x3 60x2 150x 125 0

3

10x  60x 150x 125 0      

3 2 3 3

2x 2x 5x 2x

    

2x 53 2x3

   2x 5 2x

     

3

2 x

   

5

2

x

 

  Bài 15 Tìm nghiệm thực phương trình 4x3+6x2+3x- 0.=

3

4x +6x +3x- 0= Û 8x3+12x2+6x- 4=0

3

8 12

Û x + x + x+ =  2x13 5 2x 1 5   

3 5 1

x 

 

Bài 16 Tìm nghiệm thực phương trình 5x3 x2 3x  ;3

3

5x x 3x 3 0 45x3 9x2 27x27 0 9 27 27 44

x x x x

      

3 3

3 44

x x

   x 3 44x

1 44x 3

   

3

1 44

x 

 

 

Bài 15 16 khó so với 14 trước

Bài 15 trường hợp riêng phương trình tổng quát

   

3

3 3

0

c b

ax b c ax b c x a

a



       

Bài 16 trường hợp riêng phương trình tổng quát

 3 3  

3

b

ax b cx ax b cx x a c

a c



       



Khó khăn đây: Làm để biến đổi xuất lập phương nhị thức bậc a.x+b? Có thể mị mẫm dự đốn số a, b không?

Chúng ta quan sát đại lượng không thay đổi biến đổi ngược hai dạng phương trình nói

ax b 3 c

3 3 3

a x a bx ab x b c

     Hệ số bậc 2, bậc không đổi

3 3 2 3 0

a x a bx ab x b c

      Hệ số bậc 2, bậc không đổi

2

3

2

3b 3b b c

x x x

a a a



     Tỉ số Hệ số bậc 2/bậc không đổi

2

2

:

b b b a a

a a a b b

Tỉ lệ bậc hai/bậc

2 2

2

:

bx b x bx a ax

a a  a b x b

ax b 3 cx3

3 3 3 3

a x a bx ab x b cx

     Hệ số bậc 2, bậc không đổi

a3 c x 3a bx2 3ab x b2 0

      Hệ số bậc 2, bậc không đổi

2

3

3 3

3 a b ab b

x x x

a c a c a c

    

  

Tỉ số Hệ số bậc 2/bậc không đổi

2 2

3 : 3

a b ab a b a c a

a c a c a c ab b



 

  

Tỉ lệ bậc hai/bậc

2 2

3 : 3

bx b x bx a c ax

a c a c a c b x b



 

  

Tỉ lệ bậc hai/bậc ax/b

Như vậy, hai dạng phương trình tài liệu này, có đặc điểm chung như sau

Nếu tỉ lệ bậc hai/bậc ax/b ta biến đổi để xuất lập phương của ax+b

Bài 15 Tìm nghiệm thực phương trình 4x3+6x2+3x- 0.= Tỉ lệ bậc hai/bậc

2

6

3

x x

x  Biến đổi để xuất lập phương 2x+1,

nếu nhân hai vế với có biểu thức lập phương 2x+1 Bài 16 Tìm nghiệm thực phương trình 5x3 x2 3x  ;3

Tỉ lệ bậc hai/bậc

3

x x

x  Biến đổi để xuất lập phương x+3, nếu

nhân hai vế với có biểu thức lập phương x+3 Bài 17 Tìm nghiệm thực phương trình

3

11x - 12x - 18x- 9=0 Tỉ lệ bậc hai/bậc

2

12

18

x x

x





 Biến đổi để xuất lập phương của 2x 3, nhân hai vế với có biểu thức lập phương 2x 3.

2x33 8x336x2 54x27 Lời giải

3

11x - 12x - 18x- 9=0

3

33 36 54 27

Û x - x - x- =

3

41x 8x 36x 54x 27

    

 3

3

41x 2x

3 41x 2x 3

  

3 41

x

 



Bài 18 Tìm nghiệm thực phương trình

3

4x - 27x - 36x- 16=0 Tỉ lệ bậc hai/bậc

2

27

36

x x

x





 Biến đổi để xuất lập phương của 3x 4, nhân hai vế với có biểu thức lập phương 3x 4.

3x43 27x3 108x2 144x64 Lời giải

3

4x - 27x - 36x- 16=0 16x3 108x2 144x 64 0

    

3

43x 27x 108x 144x 64

      

3

43x 3x

  

3 43x 3x 4

  

4 43

x

 



Bài 19 Tìm nghiệm thực phương trình x312x2 42x49 0 Tỉ lệ bậc hai/bậc

2

12

42

x x

x 

  Biến đổi để xuất lập phương của 2x  7, nhân hai vế với có biểu thức lập phương 2x  7. 2x 73 8x3 84x2294x 343

Lời giải

3 12 42 49 0

x  x  x   7x384x2  294x343 0

3

15x 8x 84x 294x 343

      

3

15x 2x

    315x2x 7

7 15

x 

 



Bài 20 Tìm nghiệm thực phương trình 10x375x2  30x 4 Tỉ lệ bậc hai/bậc

2

75

30

x x

x 

  Biến đổi để xuất lập phương của 5x  2, nhân hai vế với có biểu thức lập phương 5x  2. 5x 23 125x3 150x2 60x 8

    

Lời giải

3

10x 75x  30x 4 0 20x3 150x2  60x 8

3

145x 125x 150x 60x

      

3

145x 5x

    3145x5x 2

2 145

x 

 