Qua thực tế nghiên cứu và giảng dạy môn toán và giảng dạy về các bài toán “Dãy số viết theo quy luật” trong trường THCS, bằng những kinh nghiệm của bản thân và đồng nghiệm với mục đính[r]
(1)M C L C:Ụ Ụ
PHẦN THỨ NHẤT – ĐẶT VẤN ĐỀ 2
PHẦN THỨ HAI – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3
1)CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ 3
2)THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 3
3) BIỆN PHÁP, GIẢI PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: 4
4) HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN 14
PHẦN THỨ BA – KẾT LUẬN 14
(2)PHẦN THỨ NHẤT – ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học môn học khoa học tự nhiên Trong các
môn học trường THCS, mơn Tốn có vị trí quan trọng Các kiến thức, kỹ mơn Tốn THCS ứng dụng nhiều sống môn học khác
Chuyên đề dãy số, dãy phân số viết theo quy luật phận chương trình mơn Tốn cấp THCS Thơng qua hoạt động dạy học toán tạo hội phát triển lực trừu tượng hoá, khái quát hoá học Toán; đồng thời tiếp tục phát triển khả diễn đạt học sinh theo mục tiêu mơn Tốn THCS
(3)PHẦN THỨ HAI – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1)CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
Muốn nâng cao chất lợng dạy bồi dỡng học sinh giỏi tốn trớc hết phải xây dựng đợc nội dung hợp lý, khoa học phơng pháp giảng dạy phù hợp, phát triển đợc khả t linh hoạt, sáng tạo học sinh
Qua thực tế tham gia dạy bồi dỡng học sinh lớp trờng thấy đợc thực trạng việc dạy học giải toán nâng cao giáo viên học sinh nhiều vấn đề phải quan tâm Đó là: Nội dung dạy bồi dỡng học sinh giỏi cha đảm bảo logic, giáo viên nghiên cứu tài liệu tham khảo thấy hay chọn để dạy cho học sinh cha phân đợc dạng, loại mạch kiến thức Về phơng pháp dạy giải tốn nâng cao cha hợp lí, có phơng pháp giải cha phù hợp với đặc điểm tâm lý khả tiếp thu học sinh; phía chun mơn cha có tài liệu đạo cụ thể nội dung phơng pháp dạy bồi d-ỡng học sinh giỏi Tốn để giáo viên lấy làm sở Học sinh cha có ph-ơng pháp t logic để giải dạng tập tập dãy số, dóy phõn số viết theo quy luật Chính vậy, chất lợng dạy bồi dỡng học sinh giỏi cha cao
Để bớc nâng cao chất lợng bồi dỡng học sinh giỏi, chọn đề tài :” Một số kinh nghiệm giỳp học sinh khỏ, giỏi nắm vững số dạng
toán dãy số, dãy phân số viết theo quy luật“
2)THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
Ngay từ đầu tháng tiến hành khảo sát học sinh chất lượng mơn tốn
để chọn số học sinh giỏi đủ tiêu chuẩn cho em vào đội tuyển bồi dưỡng học sinh giỏi
Tổng số học sinh: 80 học sinh Kết đạt được:
Điểm giỏi: 20 học sinh chiếm 25% Điểm khá: 30 em chiếm 37,5% Điểm trung bình: 20 em chiếm 25% Điểm yếu, kém: 10 em chiếm 12,5% Kết trung bình là: 87,5 %
Căn vào kết khảo sát học sinh tình hình thực tế tơi nhận thấy có thuận lợi khó khăn sau
Thuận lợi:
Cơ sở vật chất đồ dùng dạy học nhà trường đầy đủ Học sinh có đầy đủ sách giáo khoa đồ dùng học tập
(4)Tập thể giáo viên đoàn kết có tinh thần tương trợ lẫn Đa số học sinh có ý thức học tập tích cực
Phụ huynh học sinh quan tâm ủng hộ việc học tập em
Khó khăn
Do ảnh hưởng môi trường xã hội nên số học sinh cịn mải chơi chưa chịu khó học tập, gặp dạng khó em dễ bị nản, dễ có tâm lý lười suy nghĩ, lười vận động
3) BIỆN PHÁP, GIẢI PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: Bước 1: Tiến hành khảo sát.
Bước 2: Đưa kiến thức vận dụng Bước 3: Phân loại dạng toán.
Hướng dẫn phương pháp giải
Xác định sai lầm thường gặp Đưa lời giải
Khai thác toán dạng khác Tổng qt hóa tốn
Kiến thức vận dụng
1 Quy đồng mẫu số nhiều phân số:
- Tìm mẫu số chung (tìm BCNN mẫu)
- Tìm thừa số phụ mẫu
- Nhân tử mẫu phân số với thừa số phụ tương ứng
2 Các phép tính phân số:
a Cộng, trừ phân số mẫu: A
M+ B M=
A +B
M (M 0)
A M−
B M=
A − B
M (M 0, A B)
b Cộng, trừ phân số không mẫu: - Quy đồng mẫu phân số
- Cộng tử phân số quy đồng giữ nguyên mẫu chung c Nhân phân số: AB.C
D= A C
B D (B, D 0) d Chia phân số: AB:C
D= A D
B C (B, C, D 0)
3 Tính chất phép cộng nhân phân số:
a Tính chất giao hoán: - Phép cộng: ab+c
d= c d+
a
b (b, d 0) - Phép nhân: ab.c
d= c d
a
(5)b Tính chất kết hợp : - Phép cộng : (ab+c
d)+ m
n= a b+(
c d+
m
n) (b, d, n 0) - Phép nhân: (ab.c
d) m
n= a b.(
c d
m
n) (b, d, n 0)
c Tính chất phân phối phép nhân phép công (trừ): (ab+c
d) m
n= a b
m n +
c d
m
n (b, d, n 0)
4 Bất đẳng thức: Bất đẳng thức có dạng a > b, a < b
Tính chất:
- Tính chất bắc cầu: Nếu a > b, b > c a > c - Tính chất đơn điệu phép cộng:
Nếu a > b a + c > b + c
- Tính chất đơn điệu phép nhân: Nếu a > b a c > b c (c > 0)
- Cộng vế bất đẳng thức chiều: Nếu a > b, c > d a + c > b + d
Một số tính chất bất đẳng thức:
a
¿
1 n( n+1)
¿
n2
1 n( n+1)
¿
b k2<
1 k (k −1)=
1 k −1−
1 k c n+1n < n
n −1
d n+2n <n −1 n
Dạng 1: Tính tổng dãy số viết theo quy luật.
Ví dụ 1: Tính tổng S100=1+2+3+4 +5+6+ +100
Hướng dẫn:
Ta thấy số đầu cộng số cuối = 101 tương tự ta có số thứ cộng số cuối 101 Mà từ đến 100 có 100 số có 50 cặp có tổng 101
S100=101 2=5050
(6)Ví dụ 2: Tính tổng S100=2+4 +6+8+ +100
Sai lầm thường gặp: S100=100 (100+2)
2 =5100
Lời giải đúng:
Ta thấy tổng có (100 − 2)2 +1=50 số hạng
Ta thấy số đầu cộng số cuối = 102 tương tự ta có số thứ cộng số cuối 102 Mà từ đến 100 có 50 số có 25 cặp có tổng 102
S100=102 25=2550
Ví dụ 3: Tính tổng S99=1+3+5+7 + +99
Làm tương tự ví dụ ta có S❑99=100 25=2500
Dạng 2: Dạng tốn tính tổng tích, tổng lũy thừa
Ví dụ 1:Tính tổng:
¿
A=1 2+2 3+3 + + 98 99 B=1 3+2 4+ +48 49 50
C=1 3+2 4+ +98 100 D=12
+22+32+ + 982
E=1 99+2 98+ +98 2+99 1 ¿
HDG:
3 A=1 3+2 3+3 3+ +98 99 3
¿1 (3− 0)+2 (4 − 1)+3 (5 − 2)+ .+98 99 (100 − 97) ¿1 3+2 + +98 99 100 −(1 3+2 + +97 98 99)
¿98 99 100
3 A=98 99 100
A=33 98 100
Tõ kÕt qu¶ toán ta khai thác dới dạng khác nh sau: Bi 1: Tớnh tng
D=12+22+32+ + 982 1+2 2+3 3+ +98 98 1(2 −1)+2(3 −1)+ +98(99− 1)
1 2+2 3+3 + + 98 99 −(1+2+ 3+ + 98)
33 98 100 −46 99
D=3393401
B=1 3+2 + +48 49 50 4 B=1 +2 4+ .+48 49 50 4
4 B=1 (4 −0)+2 (5 −1)+ +48 49 50 (51 −47 )
¿1 4+2 5+ +48 49 50 51 −(1 4+2 5+ +47 48 49 50)
4 B=48 49 50 51 B=12 49 50 51
(7)Bài 2: Tính tổng
A=13+23+33+ +1003 Hướng dẫn giải
Sử dụng (n-1)n(n+1)= n3−n
⇒n3
=n+¿ (n-1)n(n+1)
⇒ A=1+2+1 3+3+2 4+ +99 100 101 ¿(1+2+3+ +100)+(1 3+2 4+ .+99 100 101)
¿5050+101989800=101994850 C=1 3+2 + +98 100
¿1 (2+1 )+2 (3+1)+ +98 (99+1) ¿1 2+2 3+ .+98 99+1+2+ .+98
¿33 98 100+46 99
C=3402799
Ví dụ 2:Tính tổng:
A=1.3+.3.5+5.7+ +97.99 Hướng dẫn giải:
6A=1.3.6+3.5.6+5.7.6+…+97.98.6
=1.3.(5+1)+3.5(7-1)+5.7.(9-3)+ +97.99.(101-95) =3+1.3.5+3.5.7-1.3.5+3.5.7-5.7.9+ +97.99.101 =3+97.99.101
A=161651
Tõ kÕt qu¶ cđa ví dụ ta cã thĨ khai thác dới dạng khác nh sau: Bi 1: Tính tổng: A= 1.3.5+3.5.7+5.7.9+ +95.97.99
8A= 1.3.5.8+3.5.7.8+5.7.9.8+ +95.97.99.8
=1.3.5(7+1)+3.5.7(9-1)+5.7.9(11-3)+ +95.97.99(101-93) A=11517600
Từ kết toán ta khai thác dới dạng khác nh sau: Bài 2: Tính tổng: A= 13+33+53+ +993
Sử dụng (n-2)n(n+2)=n ❑3− n⇒n3=(n −2) n (n+2)+4 n A=1+1.3.5+4.3+3.5.7+4.5+… +97.99.101+4.99 =1+(1.3.5+3.5.7+…+97.99.101)+4(3+5+7+….+99) =12497500
Ví dụ 3:Tính tổng:
TÝnh tæng: G= + 32 + 33 + 34 +32008
Lêi gi¶i:
3G = 32 + 33 + 34 +35 +32009
2G = 3G – G = (32 + 33 + 34 +35 +32009) – (3 + 32 + 33 + 34 +32008)
(8)⇒ G=
2009
−3
Ta cã thĨ tỉng qu¸t toán thành toán sau: Tính tổng:
G= a + a2 + a3 + a4+…+an (với a n số nguyên dơng a 1)
Lêi gi¶i:
aG = a2 + a3 + a4 +a5+ +an
(a-1)G = aG – G = (a2 + a3 + a4 +a5+ +an+1) –( a + a2 + a3 + a4+ +an)
= an+1 – a
⇒ G= an+1− a a −1
Tõ kÕt qu¶ cđa Ví dụ ta cã thĨ khai thác dới dạng khác nh sau: Bi : Tính tổng
B= 2100-299+298-297+… +22
Suy 2B = 2101-2100+299-298+…+23-22suy
2B+B= 2101-2
3B = 2( 2100-1)
(9)Dạng 3: Dạng toán khử liên tiếp Ví dụ 1:
Tính tổng
a) A =
1 2+ 3+
1
3 4+ + 99 100 .
Ta cã:
1 2= 1−
1 ;
1 3=
1 2−
1 ;
1 4=
1 3−
1
4 ; …; 99 100=
1 99−
1 100
VËy A = 1+ (−1
2 + 2)+(
− 1 +
1
3)+ +( − 1 99 +
1 99)−
1 100=1 −
1 100=
99 100 Tõ kÕt qu¶ cđa Vớ d 1:ta khai thác dới dạng kh¸c nh sau:
Tính tổng
¿
F=
1 3+ 4+
1
3 5+ .+ 37 38 39
¿
Sai lầm thường gặp:
1 3= 1 2−
1 Lời giải
1 3=
1 2(
1 2−
1 3)
¿
F=
1 3+ 4+
1
3 5+ + 37 38 39 2 F=
1 2− 3+
1 3−
1
3 4+ .+ 37 38 −
1 38 39 2 F=1
2− 38 39 F=¿
Bài tốn tương tự Tính tổng:
G=
1 4+
2 5+ +
1 27 28 29 30
Tõ kÕt qu¶ cđa ví dụ ta cã thĨ khai th¸c díi mét dạng khác nh sau:
Bi 1: CMR: 123
.22+ 2232+
7
32 42+ + 19
92.102<1
HDG: VT= 2122−1
.22+ 32−22
22 32 + .+
102− 92 92.102 =1 −
1 22+
1 22−
1 32+
1 92−
1 102=1 −
1 102<1
Bài 2: cho biểu thức A=
1 2+ 4+ .+
1 99 100 CM
(10)HDG:
A= 1 2+
1 4+ .+
1
99 100 = 1− 2+ 3− 4+ +
1 99 − 100=(1− 2+ 3)−(
1 4−
1
5)− − 100< 1− 2+ 3− 4+ +
1 99−
1
100=(1 − 2+
1 3−
1 4)+
1
5 6+ + 99 100=
7 12+
1
5 6+ + 99 100>
7 12
Ví dụ 2:TÝnh tæng
H = 15+1 52+
1
53+ .+ 52008 Ta tính tổng H theo tốn cách đặt
5=a th×
H = a + a2 + a3 + a4+…+a2008
Tuy vËy ta có cách khác phù hợp hơn: 5.H = 1+15+
52+
1
53+ +
1 52007
4H=5H –H = ( 1+1 5+
1 52+
1
53+ +
1
52007 ) –(
1 5+
1 52+
1
53+ .+
1 52008 )
= 1- 52008 =
52008− 1 52008
⇒ H =
2008
− 1 52008
Ta cã thể tổng quát toán thành toán sau: TÝnh tæng
H = 1a+ a2+
1
a3+ .+
aa (với a n số nguyên dơng a 1) Bài giải:
a.H= 1+1 a+
1 a2+
1
a3+ + aa −1 (a-1)H = aH – H = ( 1+1
a+ a2+
1
a3+ +
aa −1 ) – ( a+
1 a2+
1
a3+ .+ aa ) =1-
an =
an− 1 an ⇒ H = an−1
(a −1)an
Tõ kÕt toán ta khai thác dới dạng khác nh sau: Vớ d : Tính tổng
B= 2100-299+298-297+… +22
(11)2B+B= 2101-2
3B = 2( 2100-1)
Suy B = 2(2100-1)/3
Dạng 4: Tính giá trị biểu thức tử mẫu có chứa dãy viết theo quy luật Ví dụ 1: Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
A=
1 1
1
1 2 3 2006
B = 1+
2(1+2)+
3(1+2+3)+
4(1+2+3+4)+ +
20(1+2+3+ .+20) Hướng dẫn giải
A =
1 1
1
(1 2).2 (1 3).3 (1 2006)2006
2 2
=
2 2007.2006 10 18 2007.2006
3 10 2006.2007 12 20 2006.2007
(1)
Mµ: 2007.2006 - = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008
= 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã:
A =
4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004
2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007)2006.3 3009
b) A = 1+
2(
2 )+ 3(
3 )+
1 4(
4
2 )+ + 20(
20 21 ) =
= 1+
2+ 2+ .+
21 =
1
2(2+3+ 4+ +21)=¿
=
2( 21 22
2 − 1) = 115.
Ví dụ 2:: Tính giá trị biểu thức:
a)
1 1
1
3 97 99
1 1 1
1.99 3.97 5.99 97.3 99.1 A b)
1 1 1
2 99 100
99 98 97
1 99
B Hướng dẫn:
a) Biến đổi số bị chia:
1 1 1 1 100 100 100 100
(1 ) ( ) ( ) ( )
99 97 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51
(12)Biểu thức gấp 50 lần số chia Vậy A = 50
b) Biến đổi số chia:
100 100 100 100 99
1 99
100 100 100 100 99
1 99 99
1 1 1 1
100 100 99 100
2 99 99 100
Biểu thức 100 lần số bị chia Vậy 100 B
Dạng 5: Chứng minh tổng dãy viết theo quy luật chia hết cho số
Ví dụ 1:Tổng: a 501 +
51+ +
99 phân số a/b cmr a chia hết cho 149
b cho A=(1 1+
1 2+
1 3+ +
1
98)2 98
CM A chia hết cho 99 c C=1
1+ 2+
1 3+ +
1
96 Bằng phân số a/b CMR a chia hết cho 97
HDG: a
B= 50+
1
51+ + 99=(
1 50+
1
99)+ .+( 74 +
1 75)
¿149
50 99+ .+ 149 74 75 K=50 51 99
K mẫu chung thừa số phụ mẫu k1, k2 k25 a
b=
149(k1, k2 k25) 50 51 99
Tử chia hết cho số ngun tố 149 cịn mẫu khơng chứa thừa số nguyên tố 149 rút gọn phân số đến tối giản a chia hết cho 149
4) HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN
(13)Tổng số học sinh tham gia khảo sát: 20 học sinh Đạt 20 học sinh
PHẦN THỨ BA – KẾT LUẬN
Qua thực tế nghiên cứu giảng dạy mơn tốn giảng dạy tốn “Dãy số viết theo quy luật” trường THCS, kinh nghiệm thân đồng nghiệm với mục đính xây dựng phương pháp giảng dạy, tơi thể vấn đề qua đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khá, giỏi nắm vững số dạng toán dãy số, dãy phân số viết theo quy luật” nhằm thể phương pháp giảng dạy cho giáo viên nâng cao chất lượng học tập nhận thức học sinh
Trong nội dung đề tài đưa dạng toán “Dãy số, dãy phân số viết theo quy luật”, phương pháp tìm lời giảng toán để đưa cách giải cụ thể cho để có tốn tổng qt cho dạng Qua đề tài muốn đưa đến cho học sinh thói quen suy nghĩ tìm tịi lời giải toán sở kiến thức học Đề tài nhằm nối lý thuyết với thực hành toán học
Mỗi toán tơi đưa ra: - Phương pháp tìm lời giải - Các sai lầm thường gặp - Cách giải
- Bài toán tổng quát
Từ cách đưa này, giáo viên, học sinh nhận dạng tốn thật dễ dàng nhanh đọc đáp số với toán thuộc quy luật
(14)TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa toán 6, 7, 8, - Nhà Xuất Giáo
(15)(16)