Câu Đáp án Điểm Gọi I là tâm của đường tròn (C) cần viết phương trình.[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn: TỐN; Khối D
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
Câu Đáp án Điểm
a) (1,0 điểm)
Khi m=1, hàm số trở thành
3
y= x −x − x+ • Tập xác định: D= \
• Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y′=2x2−2x−4;y′= ⇔ = −10 x x=
0,25
Các khoảng đồng biến: (−∞ − ); (2;+∞ khoảng nghịch biến ); ( 1;2)− - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x= − y1, CĐ = đạt cực tiểu 3, x= y2, CT = − - Giới hạn: lim , lim ,
x→− ∞y= −∞ x→+ ∞y= +∞
0,25 - Bảng biến thiên:
0,25
• Đồ thị:
0,25
b) (1,0 điểm)
Ta có y′ =2x2−2mx−2(3m2−1) 0,25
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phương trình y′= có hai nghiệm phân biệt
2
13m
⇔ − > 13
13 m
⇔ > 13 13
m< − 0,25
Ta có: x1+x2= m x x1 2= − m 1 2, x x1 2+2(x1+x2) 1= ⇔ −1 3m2+2m= 0,25 1
(2,0 điểm)
0 m
⇔ =
m= Kiểm tra điều kiện ta
m= 0,25
−∞
+∞
–6 y
'
y + – + x −∞ –1 +∞
x –1 O
– y
Trang 1/4
(2)Câu Đáp án Điểm Phương trình cho tương đương với: (2sinx+2cosx− 2)cos 2x= 0,25
π π
cos ( )
4
k
x x k
• = ⇔ = + ∈] 0,25
2sinx 2cosx
• + − = cos( )π
4
x
⇔ − = 0,25
2 (1,0 điểm) 7π 2π 12 x k
⇔ = + π 2π ( )
12
x= − +k k∈] Vậy nghiệm phương trình cho là:
π π
,
4
k
x= + 7π 2π,
12
x= +k π 2π ( )
12
x= − +k k∈]
0,25
Hệ cho tương đương với: 02 (1) (2)
(2 1)( )
xy x
x y x y
+ − = ⎧⎪
⎨
− + − =
⎪⎩ 0,25
2x y y 2x
• − + = ⇔ = +1 Thay vào (1) ta 1 0 5.
2 x + − = ⇔ =x x − ± Do ta nghiệm ( ; ) 5;
2
x y = ⎜⎛⎜− + ⎞⎟⎟
⎝ ⎠
1
( ; ) ;
2
x y =⎛⎜⎜− − − ⎞⎟⎟
⎝ ⎠
0,25
2 0 2.
x y y
• − = ⇔ = x Thay vào (1) ta 2 0 ( 1)( 2) 0
x + − = ⇔x x− x + +x = 0,25 3
(1,0 điểm)
1 x
⇔ = Do ta nghiệm ( ; ) (1; 1).x y = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là:
( ; ) (1; 1),x y = ( ; ) 5;
x y = ⎜⎛⎜− + ⎞⎟⎟
⎝ ⎠,
1
( ; ) ;
2
x y =⎛⎜⎜− − − ⎞⎟⎟
⎝ ⎠
0,25
π π π π π
4 4 4
0 0 0
π
d sin d sin d sin
2 32
x
I =∫x x+∫x x x= +∫x x x= +∫x x xd 0,25
Đặt u=x v;d =sin d ,x x suy d d ; 1cos 2
u= x v= − x 0,25
Khi π π π 4 0
1 1
sin d cos cos d cos d
2 2
π
x x x= − x x + x x= x x
∫ ∫ ∫ 0,25
4 (1,0 điểm) π 1
sin
4 x
= = Do
2
π
32
I= + 0,25
Tam giác A AC′ vuông cân A A C a′ = nên A A′ =AC
2 a
= Do
2 a
AB=B C′ ′= 0,25
3 '
1
' ' ' ' '
3
ABB C ABB
a
V ′ ′= B C S∆ = B C AB BB =
48 0,25 Gọi H chân đường cao kẻ từ A ∆A AB′ Ta có
'
AH⊥A B AH ⊥BC nên AH ⊥( 'A BC), nghĩa AH ⊥(BCD '). Do AH =d A BCD( ,( '))
0,25 5
(1,0 điểm)
Ta có 12 12 12
'
AH AB AA a
= + =
Do ( ,( '))
6 a d A BCD =AH =
0,25
A B
C D
' A
'
D C'
' B
H
Trang 2/4
(3)Câu Đáp án Điểm Ta có (x−4)2+(y−4)2+2xy≤32⇔(x+y)2−8(x+y) 0≤ ⇔ ≤ + ≤ x y 0,25
3
( ) 3( ) 6
A= x+y − x+y − xy+ ( )3 3( )2 3( )
x y x y x y
≥ + − + − + +
Xét hàm số: ( ) 3
f t = −t t − + đoạn [0t ; 8] Ta có f t′ =( ) 3t2 − −3t 3, ( )
2
f t′ = ⇔ =t +
t= − (loại)
0,25
Ta có (0) 6, 17 5, (8) 398
2
f = f⎛⎜⎜ + ⎞⎟⎟= − f
⎝ ⎠ = Suy
17 5
A≥ − 0,25
6 (1,0 điểm)
Khi
4
x= =y + dấu xảy Vậy giá trị nhỏ A 17 5 −
0,25
Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ
x y
x y
+ =
⎧
⎨ − + =
⎩ ⇒A( 3;1).− 0,25 Gọi N điểm thuộc AC cho MN//AD Suy MN có
phương trình
x− + = Vì N thuộc AC, nên tọa y độ điểm N thỏa mãn hệ
4
0
1;
3
3
x y
N
x y
⎧ − + =
⎪ ⇒ ⎛− ⎞
⎨ ⎜⎝ ⎟⎠
⎪ + = ⎩
0,25
Đường trung trực ∆ MN qua trung điểm MN và vng góc với AD, nên có phương trình x+ =y Gọi I K giao điểm ∆ với AC AD Suy tọa độ điểm I thỏa mãn hệ ⎧⎨
3
x y
x y
+ = ,
+ =
⎩ và tọa độ điểm K thỏa mãn hệ
4 x y
x y + = ⎧
⎨ − + = ⎩
Do I(0; 0) K(−2;2)
0,25 7.a
(1,0 điểm)
2 (3; 1); AC= AI⇒C − JJJG JJG
2 ( 1;3);
AD= AK⇒ −D JJJG JJJG (1; 3)
BC AD= ⇒B −
JJJG JJJG 0,25
Gọi H hình chiếu vng góc I (P) Suy H tâm đường tròn giao tuyến
của mặt phẳng (P) mặt cầu (S) cần viết phương trình 0,25
Ta có IH =d I P( ;( )) 3.= 0,25
Bán kính mặt cầu (S) là: R= 32+42 = 0,25 8.a
(1,0 điểm)
Phương trình mặt cầu (S) là: (x−2)2+(y−1)2+ −(z 3)2 =25 0,25 Ta có: (2 ) 2(1 ) (2 )
1 i
i z i i z i
i +
+ + = + ⇔ + = +
+ 0,25
3
z i
⇔ = + 0,25
Do w= +4 i 0,25
9.a (1,0 điểm)
Môđun w 42+32 = 0,25
I N
M
D C
B A
K
Trang 3/4
(4)Câu Đáp án Điểm Gọi I tâm đường trịn (C) cần viết phương trình
DoI∈d nên tọa độ I có dạng I t t( ;2 3).+ 0,25 ( , ) ( , )
AB=CD⇔d I Ox =d I Oy ⇔ =| | | 2t t+ ⇔ = − | t t=− 0,25 • Với t= −1 ta đượcI( 1;1),− nên d I Ox( ; ) 1.= Suy ra, bán kính (C) 12+ =2
Do ( ): (C x+1)2+(y−1)2=
0,25 7.b
(1,0 điểm)
• Với t= −3 ta đượcI( 3; 3),− − nên d I Ox( ; ) 3.= Suy ra, bán kính (C) 12+ =2 10 Do ( ): (C x+3)2+(y+3)2=10
0,25 Do M d∈ nên tọa độ điểm M có dạng (1 ; ; ).M + t − −t t 0,25 Ta có JJJJGAM =(2 ; ;t − −t t 2),BMJJJJG= − +( ; ; ).t −t t
Tam giác AMB vuông M ⇔AM BM =0
JJJJG JJJJG 0,25
2
2 ( )t t t t t( 2) 6t 4t
⇔ − + + + − = ⇔ − = 0,25
8.b (1,0 điểm)
0 t
⇔ =
t= Do M(1; 1;0− ) 7; 2; 3 M⎛⎜ − ⎞⎟
⎝ ⎠ 0,25
Phương trình bậc hai z2+3(1 )+i z+ =5 0i có biệt thức ∆ = − 2 i 0,25
2
(1 i)
= − 0,25
Do nghiệm phương trình 3(1 ) (1 ) 2
i i
z= − + + − = − − i 0,25
9.b (1,0 điểm)
hoặc 3(1 ) (1 )
i i
z=− + − − = − − i 0,25
- HẾT -
Trang 4/4
dethivn.com