Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM.[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Mơn: TỐN; Khối D
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
Câu Đáp án Điểm
a (1,0 điểm)
Khi m = ta có y=2x3−3x2+ • Tập xác định: D= \
• Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y' 6= x2−6 ; ' 0x y = ⇔ =x x=
0,25
Các khoảng đồng biến: (−∞; 0) (1;+ ∞ khoảng nghịch biến: (0; 1) ); - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu x = 1, yCT = 0; đạt cực đại x = 0, yCĐ =
- Giới hạn: lim ; lim
x→−∞y= −∞ x→+∞y= +∞
0,25
- Bảng biến thiên:
Trang 1/4
0,25
• Đồ thị:
0,25
b (1,0 điểm)
Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số (1) với đường thẳng y= − +x
3
2x −3mx +(m−1)x+ = − + x 0,25
2
2 (*
x
x mx m =
⎡
⇔ ⎢⎣ − + = ).
Yêu cầu toán ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác
0,25
2
9
0
m m
m
− > ⎧
⇔ ⎨ ≠ ⎩
0
0,25 1
(2,0 điểm)
x ' y y
− ∞ + ∞
0
+ + −
+ ∞
− ∞
1
1 O
y
x
0 m
⇔ <
m> 0,25
(2)Trang 2/4
Câu Đáp án Điểm
Phương trình cho tương đương với 2cos sinx x+cos 2x= 0,25 cos (2sinx x 1)
⇔ + = 0,25
π π
cos ( )
4
x x k k
• = ⇔ = + ∈] 0,25
2 (1,0 điểm)
π 2π
2sin ( )
7π 2π
x k
x k
x k
⎡ = − + ⎢
• + = ⇔⎢ ∈
⎢ = +
⎢⎣
]
Vậy nghiệm phương trình cho π π
4
x= +k , π 2π,
x= − +k 7π 2π ( )
6
x= +k k∈]
0,25
Điều kiện: 0 x< <1 Phương trình cho tương đương với 2
x
x x
x = − +
− 0,25
2
2 2
(1 ) 1
x x x x
x x x x
⎛ ⎞⎛ ⎞
⇔ = + ⇔⎜ + ⎟⎜ − ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
− − − − = 0,25
2
x x
⇔ −
− = (do
x x >
− ) 0,25
3 (1,0 điểm)
4 x
⇔ = −
Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm phương trình cho x= −4
0,25
Ta có
1 1
2
0 0
2
1 d d
1
x x
I x x
x x
⎛ ⎞
= ⎜⎝ + ⎟⎠ = +
+ +
∫ ∫ ∫ d x 0,25
1
0
dx x
• ∫ = = 0,25
1
1
2
0
d ln( 1) ln
x
x x
x
• = + =
+
∫ 0,25
4 (1,0 điểm)
Do I= +1 ln 0,25
n 120o n 60o
BAD= ⇒ABC= ⇒ ΔABCđều
2 a AM
⇒ =
2
ABCD
a S
⇒ = 0,25
SAM
Δ vuông A có nSMA=45o⇒ ΔSAM
vng cân A
2 a SA AM
⇒ = =
Do .
3
S ABCD ABCD
a
V = SA S =
0,25
Do AD||BC nên d D SBC( ,( ))=d A SBC( ,( )) Gọi H hình chiếu vng góc A SM Ta có AM ⊥BC SA BC⊥ ⇒ BC⊥(SAM)
( ) ( ,( ))
BC AH AH SBC d A SBC AH
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =
0,25 5
(1,0 điểm)
Ta có 6,
2
AM a
AH= =
S
H
suy ( ,( )) a d D SBC =
0,25 A
B M C
D
(3)Trang 3/4
Câu Đáp án Điểm
Do x>0,y>0, xy≤ − nên y
2
2
1 1 1 1
0
4
x y
y y y y y
− ⎛ ⎞
< ≤ = − = −⎜ − ⎟ ≤
⎝ ⎠ 0,25
Đặt t x, suy y
=
4 t
< ≤ Khi
2
1
6( 1)
t t
P
t t t
+ −
= −
+ − +
Xét
2
1
( ) ,
6( 1)
t t
f t
t t t
+ −
= −
+
− + với
1
0
4
t≤ Ta có 2
2
7
'( )
2( 1)
2 ( 3)
t f t
t t t
−
= −
+ − +
< Với
4 t
< ≤ ta có t2− + = − + <t ( 1) 3; 6t t − >t t+ > 1 Do
2
7
6 3
2 ( 3)
t t
t t
− > − >
− +
1
2( 1)t
1 − > −
+ Suy
1
'( )
2
f t > − >
0,25
Do ( )
4 30
P= f t ≤ f⎛ ⎞⎜ ⎟= +
⎝ ⎠ 0,25
6 (1,0 điểm)
Khi
x= y=2,ta có 30
P= + Vậy giá trị lớn P
3 +30 0,25
7 ; 2 IM = −⎛⎜
⎝ ⎠⎞⎟ JJJG
Ta có M AB∈ AB IM⊥ nên đường thẳng AB có phương trình 7x y− + = 33
0,25
( ;7 33)
A AB∈ ⇒A a a+ Do M trung điểm AB nên ( 9; 30)
B − − − −a a Ta có HA⊥HB⇒HA HB =0 JJJG JJJG
2 9 20 0 4
a a a
⇒ + + = ⇒ = − a= −
0,25
• Với a= − ⇒ ( 4;5), ( 5; 2).4 A − B − − Ta có BH⊥ACnên đường thẳng AC có phương trình x+2y− = Do
(6 ; )
C − c c Từ IC = IA suy (7 Do
đó c
2
2 )c (c 1) 25
− + − =
1
= c= Do C khác A, suy 5 C(4;1)
0,25 7.a
(1,0 điểm)
A M
B
C H
I
• Với a= − ⇒ ( 5; 2), ( 4;5).5 A − − B − Ta có BH⊥ACnên đường thẳng AC có phương trình 2x y− + = Do
( ;2 8)
C t t+ Từ IC = IA suy ( 1)t+ 2+(2 7)t+ 2=25 Do
t= − t= − Do C khác A, suy 5 C( 1;6).−
0,25
Gọi H hình chiếu vng góc A (P) Suy ( ; ; 2H − + − + − + t t t) 0,25
( ) ( ) ( ) ( )
3
H∈ P ⇔ − + + − + + − + − = ⇔ = Do t t t t 2; ; 3 H ⎛⎜ − ⎞⎟
⎝ ⎠ 0,25
Gọi (Q) mặt phẳng cần viết phương trình Ta có JJJGAB=(1;2;3)và vectơ pháp tuyến (P) Do (Q) có vectơ pháp tuyến
(1;1;1) n = JG
' ( 1;2; 1) n = − −
JG 0,25
8.a (1,0 điểm)
Phương trình mặt phẳng (Q) là: x−2y z+ + = 0,25 Điều kiện toán tương đương với (3 )+i z= − + 3i 0,25
z i
⇔ = 0,25
Suy w= − +1 i 0,25
9.a (1,0 điểm)
0,25 Do mơđun w 10
(4)Trang 4/4
Câu Đáp án Điểm
Ta có tâm (C) Đường thẳng IM vng góc với Δ nên có phương trình
(1;1) I
1
x= Do (1; ).M a 0,25
Do M∈( )C nên (a−1)2= Suy a= − a=3
Mà M∉Δ nên ta (1; 1).M − 0,25
( ;3)
N∈Δ ⇒N b Trung điểm MN thuộc (C)
( )
2
2
1 1 =4 ⇒ =b
b+
⎛ ⎞
⇒⎜ − ⎟ + −
⎝ ⎠ b= −3
Do N(5;3) N( 3;3).−
0,25 7.b
(1,0 điểm)
( ;3) P∈Δ ⇒P c
- Khi N(5;3), từ MP⊥IN JJJG JJG
suy c= − Do đó1 P( 1;3).− I
M
- Khi ( 3;3),N − từ MP IN⊥ JJJG JJG
suy c= Do đó3 P(3;3)
0,25
2 2
|( 1) 2.3 2( 2) 5| ( ,( ))
1 ( 2) ( 2) d A P = − − − − +
+ − + − 0,25
= 0,25
Vectơ pháp tuyến (P) n = − −(1; 2; 2) JG
0,25 8.b
P N
(1,0 điểm)
Phương trình mặt phẳng cần tìm x−2y−2z+ = 0,25 Ta có ( )f x xác định liên tục đoạn [0;2];
2
2
'( )
( 1)
x x
f x x
+ −
=
+ 0,25
Với x∈[0; 2] ta có f x'( ) 0= ⇔ =x 0,25
9.b (1,0 điểm)
Ta có (0) 3; (1) 1; (2)
f = f = f = 0,25
Giá trị nhỏ f(x) đoạn [0; 2] 1; giá trị lớn f(x) đoạn [0; 2] 0,25 - Hết -