Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)1 Bộ giáo dục đào tạo Đáp án - Thang điểm
đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004
Đề thức Môn: Toán, Khối D (Đáp án - thang điểm có trang)
Câu ý Néi dung §iĨm
I 2,0
1 Khảo sát hàm số (1,0 ®iÓm)
1
2⇒ = − + +
= y x x x
m
a) Tập xác định: R b) Sự biến thiên:
y ' 3x= 2−12x 3(x+ = −4x 3)+ ; y' 0= ⇔ =x 1, x 3= 0,25 yC§ = y(1) = , yCT = y(3) =1 y'' = 6x 12− = ⇔ x = y = Đồ thị hàm
số lồi khoảng (; 2), lõm khoảng (2;+) có điểm uốn
) ; (
U 0,25
Bảng biến thiên:
x −∞ + ∞
y' + − +
y + ∞
−∞
0,25
c) Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm (0; 1)
0,25 2 Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số (1,0 điểm)
y = x3 − 3mx2 + 9x + (1); y' = 3x2 − 6mx + 9; y'' = 6x − 6m
y"= ⇔ x = m ⇒ y = −2m3 + 9m + 0,25 y" đổi dấu từ âm sang d−ơng qua x = m, nên điểm uốn đồ thị hàm số
(1) lµ I( m; −2m3 + 9m +1) 0,25
I thuộc đờng thẳng y = x + ⇔ −2m3 + 9m + = m + 0,25 ⇔ 2m(4 − m2 ) = ⇔ m = hc m=±2
0,25
(2)2
II 2,0
1 Giải phơng trình (1,0 điểm)
( 2cosx 1) (2sinx + cosx) = sin2x − sinx
⇔ ( 2cosx −1) (sinx + cosx) = 0,25
• 2cosx − 1= ⇔ cosx =1 x k2 , k
2
π
⇔ = ± + π ∈Z
0,25 • sinx + cosx = ⇔ tgx = −1 ⇔ x k , k
4 π
= − + π Z
0,25 Vậy phơng trình có nghiƯm lµ: x k2
3 π
= ± + π vµ x k , k
π
= − + π ∈Z
0,25 2 Tìm m để hệ ph−ơng trình có nghiệm (1,0 điểm)
Đặt: u = x , v= y, u 0, v 0.≥ ≥ Hệ cho trở thành: u v 13 3 u v 3m
+ = ⎧ ⎨
+ = −
⎩ (*) 0,25
u v uv m + = ⎧ ⇔ ⎨
=
⎩ ⇔ u, v hai nghiệm phơng trình: t
t + m = (**)
0,25 Hệ cho có nghiệm (x; y) ⇔ Hệ (*) có nghiệm u ≥ 0, v ≥ ⇔ Ph−ơng trỡnh
(**) có hai nghiệm t không âm 0,25
⇔
1 4m
1
S 0 m
4 P m
∆ = − ≥ ⎧
⎪ = ≥ ⇔ ≤ ≤
⎨
⎪ = ≥
⎩ 0,25
III 3,0
1 Tính toạ độ trọng tâm G tam giác ABC tìm m (1,0 điểm) Trọng tâm G tam giác ABC có tọa độ:
xG xA xB xC 1; yG yA yB yC m
3 3
+ + + +
= = = = VËy G(1; m
3 ) 0,25
Tam gi¸c ABC vuông góc G GA.GB 0JJJG JJJG= 0,25
m m
GA( 2; ), GB(3; )
3
− − −
JJJG JJJG
0,25 GA.GB 0JJJG JJJG= m2
9
⇔ − + = ⇔ = ±m 6
0,25 2 TÝnh kho¶ng cách B1C AC1, (1,0 điểm)
a) Tõ gi¶ thiÕt suy ra:
1
C (0; 1; b), B C (a; 1; b)JJJJG= −
1
AC = −( a; 1; b), AB = −( 2a;0; b)
JJJJG JJJJG
0,25
(3)3
( ) 1
1 2 2
1
B C, AC AB ab d B C, AC
a b B C, AC
⎡ ⎤
⎣ ⎦
= =
⎡ ⎤ +
⎣ ⎦
JJJJG JJJJG JJJJG
JJJJG JJJJG
0,25 b) áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có:
1 2 2
ab ab 1 a b
d(B C; AC ) ab
2
2ab 2
a b
+
= ≤ = ≤ =
+ 0,25
Dấu "=" xảy a = b =
Vậy khoảng cách B1C vµ AC1 lín nhÊt b»ng a = b = 0,25 3 Viết phơng trình mặt cầu (1,0 điểm)
I(x; y; z) tâm mặt cầu cần tìm I (P) IA = IB = IC
Ta cã: IA2 = (x −2)2 + y2 + ( z − 1)2 ; IB2 = (x − 1)2 + y2 + z2 ; IC2 = (x − 1)2 + (y − 1)2 + ( z − 1)2
0,25 Suy hệ phơng trình:
⎪ ⎨ ⎧ = = = − + + 2 2 IC IB IB IA z y x ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = + + ⇔ 2 z y z x z y x 0,25 ⇔x=z=1; y=0 0,25
= =IA
R Phơng trình mặt cầu ( x 1)2 + y2 + ( z −1)2 =1 0,25
IV 2,0
1 Tính tích phân (1,0 điểm)
I =
2
ln(x −x) dx
∫ Đặt
2
2 2x
du dx
u ln(x x)
x x
dv dx v x
− ⎧ ⎧ = − ⎪ = ⇒ − ⎨ ⎨ = ⎩ ⎪ =⎩ 0,25 3 2 2
2x 1
I x ln(x x) dx 3ln 2ln 2 dx
x x
− ⎛ ⎞
= − − = − − ⎜ + ⎟
− ⎝ − ⎠
∫ ∫
0,25
( )3
2 3ln 2ln 2x ln x
= − − + −
0,25 I = 3ln6 − 2ln2 − − ln2 = 3ln3 − 0,25 2 Tìm số hạng không chứa x (1, ®iĨm)
Ta cã: ( )
7 7 k
7 k k 3 4 k 1 1
x C x
x x − = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ∑ ⎝ ⎠ 0,25
7 k k 28 7k
7
k 3 4 k 12
7
k k
C x x C x
− − −
= =
= =
0,25 Số hạng không chứa x số hạng tơng ứng với k (kZ, k 7)≤ ≤ tho¶ m·n: 12 28 = ⇔ =
− k k
0,25 Số hạng không chứa x cần tìm C74 =35 0,25
(4)4 V Chứng minh phơng trình có nghiệm 1,0
x5 − x2 − 2x − = (1)
(1) ⇔ x5 = ( x + 1)2≥ ⇒ x ≥ ⇒ (x + 1) 2≥ ⇒ x5≥ ⇒ x ≥ 0,25 Với x ≥ 1: Xét hàm số f (x) x= 5−x2−2x 1− Khi f(x) hàm số liên tục
víi mäi x ≥ Ta cã:
f(1) = − < 0, f(2) = 23 > Suy f(x) = cã nghiÖm thuéc ( 1; 2) (2) 0,25 f '( x) = 5x4−2x (2x− = 4−2x) (2x+ 4− + 2) x4
=2x(x3− +1) 2(x4− +1) x4 > ∀ ≥ 0, x 0,25 Suy f(x) đồng biến [ 1; +∞) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ph−ơng trình cho có nghiệm 0,25