Giả sử điều cần chứng minh là sai, Từ đó ta tm cách suy ra mâu thuẩn với giả thiết phản chứng huặc mâu thuẩn với một chân lý có trước. Chứng minh rằng ab và a b nguyên tố cùng nhau[r]
(1)Chøng minh nguyªn tè cïng nhau Chøng minh nguyªn tè cïng nhau
I. Phương pháp:
Thông thường để chứng minh hai số nguyên tố nhau, ta thuờng dùng hai phương pháp sau:
1) Phương pháp 1: Đặt ƯCLN chúng d => số chia hết cho d,
sau ta tm cách chứng minh d =
Ví dụ: Chứng minh hai số lẻ liên tếp hai số nguyên tố nhau
Giải: Gọi hai số lẻ liªn tếp 2n 2n nn N) Ta đặt n2n 1, 2n ) = d
Suy 2n d; 2n d Vậy n2n ) – n 2n 1) d hay d, suy d { ; } Nhưng d d ước số lẻ Vậy d = 1, điều chứng tỏ 2n 2n hai số nguyên tố
2) Phương pháp : Ta dïng phương pháp phản chứng
Giả sử điều cần chứng minh sai, Từ ta tm cách suy mâu thuẩn với giả thiết phản chứng huặc mâu thuẩn với chân lý có trước
Ví dụ: Cho na, b) = Chứng minh ab a b nguyên tố nhau.
Giải: Giả sử a b ab không nguyên tố Do a b ab phải có ước số chung nguyên tố d:
a b d n1) ab d n2)
Vì d số nguyên tố nên từ n2), ta có: a d b d
Nếu a d Từ n1) b d
Như a b có ước số chung nguyên tố d, trái với giả thiết Nếu b d Từ n1) a d
Như a b có ước số chung nguyên tố d, trái với giả thiết Vậy, na,b) = ab a b nguyên tố
II. Bài t pậ
Bài 1: ch ng minh r ng hai s t nhiên ứ ằ ố ự liªn ti p hai s nguyên t ế ố ố
Gi i: G i hai s tả ọ ố ù nhiên liªn ti p n n + 1(n N ) ế
(2)Đ t (n, n + 1) = d n d; n + d Do (n + 1) – n d hay d suy d = 1.ặ
v y n n + hai s nguyên t nhau.ậ ố ố
Bài 2: Cho a s t nhiên l , b m t s t nhiên ch ng minh r ng ố ự ẻ ộ ố ự ứ ằ
s a ab + nguyên t nhau.ố ố
Gi i: Gi s a ab + chia h t cho m t s t nhiên d( d ).ả ả ế ộ ố ự
Như ab chia hết cho d, hiệu nab 4) – ab = 4cũng chia hết cho d Suy d 1, hay Nhưng a không chia hết cho a lẻ Vậy d nên số a ab nguyên tố
Bài 3:Cho a, b nguyên tố Chứng minh an
bn
ab nguyªn tè cïng
Giải: Giả sử an
bn
ab không nguyên tố Ta suy an
bn
ab t ph i cã m t ắ ả ộ c s chungớ ố nguyên tố d : an
bn
d n1) ab d n2)
Vì ab d, d nguyên tố nên ta có: a d b d
NÕu a d an d
Ta l¹i cã an
bn
d suy bn
d V× bn
d, d nguyªn tè, nªn b d
Nh vËy a vµ b sÏ cã mét íc sè chu ng nguyên tố d, mâu thuẫn giả thiết NÕu b d: T¬ng tù
VËy: an
bb
= an
bn
ab nguyên tố
III. Bài tập t ơng tự
1) Cho a,b,c nguyªn tè cïng Chøng minh r»ng : ab + bc + ca , a + b + c, abc nguyªn tè cïng
2) Cho (a,b) = Chứng minh 5a +3b 13a + 8b nguyên tè cïng
3) Cho a,b nguyªn tè cïng Chứng minh an b nguyên tố cïng
nhau