Lý Thuyết Và Bài Tập Vận Dụng Chuyên Đề Hai Mặt Phẳng Song Song Lớp 11

- Để chứng minh các đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng ta chứng minh các đường thẳng đó cùng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng. - Để chứng minh 4 điểm đồng phẳng ta [r]

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA Định nghĩa Hai mặt phẳng gọi song song chúng khơng có điểm chung, kí hiệu     Vậy                Định lý tính chất  Nếu mặt phẳng    chứa hai đường thẳng cắt a , b hai đường thẳng song song với mặt phẳng       M  a     , b      Vậy a  b  M   a  , b       α   a b β  Qua điểm nằm mặt phẳng có mặt phẳng song song với mặt phẳng cho Hệ       có đường thẳng song song với d mặt phẳng song song với    Nếu d qua d có Hệ Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba chúng song song Hệ Cho điểm không nằm mặt phẳng    Mọi đường thẳng qua A song song với    nằn mặt phẳng qua A song song với     A     , A     A  d  d   Vậy  d            a A α β  Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với        Vậy          b a     a       Hệ Hai mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến song song đoạn Định lí Ta-lét (Thales) Ba mặt phẳng đơi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ           A1 B1 A2 B2  d1      A1 , d1      B1 , d1      C1  B C B C 1 2  d2      A2 , d2      B2 , d2      C2 Định lí Ta-lét( Thales) đảo d1 Cho hai đường thẳng d1 , d2 chéo A2 A1 γ điểm A1 , B1 , C1 d1 , điểm A2 , B2 , C2 d2 cho d2 A1 B1 A2 B2  B1C1 B2C2 B1 β B2 Lúc đường thẳng A1 A2 , B1B2 , C1C2 song song với mặt phăng α C1 C2 Hình lăng trụ hình chóp cụt 4.1 Hình lăng trụ Cho hai mặt phẳng song song      '  A4 Trên    cho đa giác A1 A2 An Qua đỉnh A5 A3 A1 α A2 A1 , A2 , , An vẽ đường thẳng song song với cắt   '  A1' , A2' , , An' Hình gồm hai đa giác A1 A2 An , A1' A2' An' hình bình hành A1 A1' A2' A2 , A2 A2' A3' A3 , , An An' A1' A1 A'4 A'5 α' A'3 A'2 A'1 gọi hình lăng trụ A1 A2 An A1' A2' An' Lăng trụ có đáy hình bình hành gọi hình hộp 4.2.Hình chóp cụt Cho hình chóp S.A1 A2 An S Một mặt phẳng không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy hình chóp cắt cạnh bên α SA1 , SA2 , , SAn A1' , A2' , An' Hình tạo A'4 A'1 A'5 A'3 A'2 thiết diện A1' A2' An' đáy A1 A2 An với tứ giác A1' A2' A2 A1 , A2' A3' A3 A2 , , An' A1' A1 An gọi hình chóp cụt A1' A2' An' A1 A2 An A5 A4 A1 A2 B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP A3 Bài toán 01: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Phương pháp: Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta thực theo hai hướng sau: - Chứng minh mặt phẳng có hai đường thẳng cắt song song với mặt phẳng a     , b      a  b  I        a    b     a α b β - Chứng minh hai mặt phẳng song song với măt mặt phẳng thứ ba                       α β γ Các ví dụ Ví dụ Cho hìh chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O , gọi M , N trung điểm SA, SD Chứng minh OMN  / / SBC  Lời giải: Ta có M , O trung điểm S SA, AC nên OM đường trung bình tam giác SAC ứng với cạnh SC M OM SC N  OM SC  OM Vậy   SC   SBC  SBC  1 A B O D C Tương tự, Ta có N , O trung điểm SD, BD nên ON đường trung bình tam giác SBD ứng với cạnh SB OM / /SB  ON SB  OM Vậy  SB  SBC     SBC    Từ 1   ta có OM  SBC   ON  SBC    OMN  OM  ON  O  SBC  Ví dụ Cho hai hình vng ABCD ABEF hai mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC BF lấy điểm M , N cho AM  BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M , N cắt AD AF M ' N ' Chứng minh: a)  ADF   BCE b)  DEF   MM ' N ' N  Lời giải:   AD BC a) Ta có   AD BC  BCE      BCE   AF BE  AF Tương tự  BE  BCE       AD   ADF  Mà    ADF  AF  ADF     F  BCE N'  BCE B M' b) Vì ABCD  ABEF  hìnhvng nên AC  BF NN ' AB  AM ' AM  AD AC AN ' BN  AF BF Từ  1 ,     ta  DF N A D Ta có MM ' CD  E M C 1 2  3 AM ' AN '   M ' N ' DF AD AF  MM ' N ' N  Lại có NN ' AB  NN ' EF  EF   DF Vậy    EF  MM ' N ' N   MM ' N ' N    DEF   MM ' N ' N   MM ' N ' N  Bài toán 02: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA    VỚI HÌNH CHÓP KHI BIẾT    VỚI MỘT MẶT PHẲNG    CHO TRƯỚC Phương pháp: - Để xác định thiết diện trường hợp ta sử dụng tính chất sau - Khi        song song với tất đường thẳng   ta chuyển dạng thiết diện song song với đường thẳng (§3)              Sử dụng           d ' d, M  d '     d      M          - Tìm đường thẳng d mằn    xét mặt phẳng có hình chóp mà chứa d ,    d nên cắt mặt phẳng chứa d ( có) theo giao tuyến song song với d Các ví dụ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M , N trung điểm AB, CD Xác định thiết diện hình chóp cắt    qua MN song song với mặt phẳng  SAD  Thiết diện hình gì? A.Tam giác B.Hình thang C.Hình bình hành D.Tứ giác Lời giải:   M   SAB      Ta có    SAB    SAD   SA S  SAB      MK SA, K  SB K  N   SCD       Tương tự     SAD    SCD    SAD   SD H A M  SCD       NH SD, H  SC Dễ thấy HK      SBC  Thiết diện tứ giác MNHK Ba mặt phẳng  ABCD  , SBC     đôi cắt theo giao tuyến MN , HK , BC , mà MN BC  MN HK Vậy thiết diện hình D N C B thang Ví dụ Cho hìh chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O có AC  a, BD  b Tam giác SBD tam giác Một mặt phẳng    di động song song với mặt phẳng  SBD  qua điểm I đoạn AC AI  x 0  x  a a) thiết diện hình chóp cắt    hình gi? A.Tam giác B.Tứ giác C.Hình thang D.Hình bình hành b) Tính diện tích thiết diện theo a , b x Lời giải: a) Trường hợp Xét I thuộc đoạn OA  I       ABD   Ta có     SBD    ABD    SBD   BD S       ABD   MN BD, I  MN P  N       SAD   Tương tự     SBD    SAD    SBD   SD  SAD       NP SD, P  SN K A I N O D L B M H I C Thiết diện tam giác MNP     SBD   Do  SAB    SBD   SB  MP SB Hai tam giác MNP BDS có cặp cạnh tương   SAB       MP ứng song song nên chúng đồng dạng, mà BDS nên tam giác MNP Trường hợp Điểm I thuộc đoạn OC , tương tự trường hợp ta thiết diện tam giác HKL  hv  b) Trường hợp I thuộc đoạn OA Ta có SBCD BD2 b2 SMNP  MN  ,    4 SBCD  BD  Do MN BD  A P MN AI x   BD AO a M  SMNP  2x  b2 x    SBCD  a2  a  C B N Q Trường hợp I thuộc đoạn OC , tính tương tự ta có  a  x b b a  x  HL  SMNP   SBCD  [ ]   a a2  BD  2 2 D  b2 x ; I  (OA)   a2 Vậy Std   2  b a  x ; I   OC   a2 Bài tốn 03: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ THALES Phương pháp: Định lí Thales thừng ứng dụng nhiều toán tỉ số hay toán chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng cố định Các ví dụ Ví dụ Cho tứ diện ABCD M , N điểm thay cạnh AB, CD cho AM CN  MB ND a) Chứng minh MN luôn song song với mặt phẳng cố định b) Cho AM CN   P điểm cạnh AC thiết diện hình chóp cắt MB ND  MNP  hình gì? A.Tam giác B.Tứ giác C.Hình thang D.Hình bình hành c) Tính theo k tỉ số diện tích tam giác MNP diện tích thiết diện A k k 1 B 2k k 1 C k D k 1 Lời giải: a) Do AM CN nên theo định lí Thales đường thẳng MN , AC , BD song  MB ND song với mặt phẳng    Gọi    mặt phẳng qua AC song song với BD    cố định     suy MN song song với    cố định b) Xét trường hợp AP  k , lúc MP BC nên BC PC  MNP  Ta có :  N   MNP    BCD      BCD    MNP   NQ BC , Q  BD  BC  MNP     BC   BCD  ... hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với        Vậy          b a     a       Hệ Hai mặt phẳng song song chắn hai. .. BÀI TẬP A3 Bài toán 01: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Phương pháp: Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta thực theo hai hướng sau: - Chứng minh mặt phẳng có hai đường thẳng cắt song song... định lí Thales đường thẳng MN , AC , BD song  MB ND song với mặt phẳng    Gọi    mặt phẳng qua AC song song với BD    cố định     suy MN song song với    cố định b) Xét trường