Lý thuyết và bài tập về Khái niệm đạo hàm Toán 11

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh , nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo vi[r]

Trang | LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TOÁN 11

1 Đạo hàm hàm số điểm

Cho hàm số y f x  xác định  a b; điểm x0 a b;

Định nghĩa: Hàm số y f x  gọi có đạo hàm xx0, kí hiệu f x0 giới hạn

     

0

0

0

0

lim lim

x x x

f x f x y

f x

x x x

  

  

 

  tồn hữu hạn

Ở đó,   x x x0 số gia biến số điểm x0

   0    0

y f x f x f x x f x

       số gia hàm số

Ta thường hay sử dụng công thức  y f x 0  x f x 0 để tính số gia hàm số ứng với số gia x

tại điểm x0

Ví dụ: Tính số gia hàm số yx2 ứng với số gia x biến số điểm x0  2

Ta có:      2 2  2  2

0 0 0 0

y f x x f x x x x x x x x x x x x

                  

Vậy x0  2   y  x 22 x0   x  x 2    2 2 x  x 2 4 x

2 Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm hàm số điểm

Quy tắc tính đạo hàm định nghĩa:

- Bước 1: Tính f x  f x 0

- Bước 2: Tìm giới hạn    

0

0

0

lim

x x

f x f x

x x







Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số

yx điểm x0  2 - Bước 1: Ta có: f x  f   2 x2  2 x24 - Bước 2:

Tính    

   

0

2

0

2 2

0

4

lim lim lim lim 2

2

x x x x x

f x f x x x

x

x x x x

   

           

   

Vậy f    2

Nếu hàm số y f x  có đạo hàm điểm x0 liên tục điểm x0

Ngược lại, hàm số y f x  liên tục x0 chưa có đạo hàm x0

Trang |

Tính:    

0

0

0

0

lim lim

0

x x x

f x f x x

x x x

 

 



  limx

x x





Ta có:

0

lim lim 1;

x x

x x

x x

 

    xlim0 xlim0

x x

x x

 

     xlim0 xlim0

x x

x x

 

 

 

Vậy không tồn

0

lim

x x x



Do khơng tồn đạo hàm hàm số x =

3 Bài tập

Câu 1: Tìm a b, để hàm số  

2

1

0

0

x

khi x

f x x

ax b x

  



 

  



có đạo hàm điểm x0

A

11 11

a b

    

 B

10 10

a b

    

 C

12 12

a b

    

 D

1

a b

    



Hướng dẫn giải Chọn D

Trước tiên hàm số phải liên tục x0

0

lim ( ) (0), lim ( )

x x

f x f f x b b

 

      

Xét

0

( ) (0)

lim lim

1

x x

f x f x

x x

 

 

 

  



0

( ) (0)

lim lim

x x

f x f

a a

x

 

 

  

Hàm số có đạo hàm x   0 a

Câu 2: Tìm a b, để hàm số

2

1 ( )

s in cos

ax bx

f x

a x b x

  

 

 

0

khi x khi x



 có đạo hàm điểm x0 0

A a1;b1 B a 1;b1 C a 1;b 1 D a0;b1

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có: f(0) 1

2

0

0

lim ( ) lim ( 1) lim ( ) lim ( s in cos )

x x

x x

f x ax bx

f x a x b x b

 

 

 

 

   

  

Trang |

0

2

0

0 0

1

(0 ) lim

2 sin cos sin

s inx cos 2 2 2

(0 ) lim lim

sin sin

2

lim lim cos lim lim sin

2

2

x

x x

x x x x

ax x

f

x

x x x

a

a b x

f

x x

x x

x x

a a

x x



 

   

 



 

   

  

  



 

  

 

   

 

Để tồn (0)f  f(0 )  f(0 )  a Giới hạn lượng giác ( )

s inx s inf(x)

lim lim

( )

x x   f x f x 

Câu 3: Cho hàm số ( )f x x x( 1)(x2) (x1000) Tính f(0)

A 10000! B 1000! C 1100! D 1110!

Hướng dẫn giải Chọn B

0 0

( ) (0) ( 1)( 2) ( 1000)

( ) lim lim lim( 1)( 2) ( 1000)

0

( 1)( 2) ( 1000) 1000!

x x x

f x f x x x x

f x x x x

x x

  

    

      



    

Câu 4: Cho hàm số

3 2

4 8

( )

x x

f x x

   

    

0

0

khi x khi x

 

.Giá trị f(0) bằng:

A

1

3 B

5



C

4

3 D Không tồn

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có:

   

 

3 2 2

2

0 0

2

2 2 2

0 2 3 2

3

0 8 4 2

lim lim lim

1

lim

3

2

4 8

x x x

x

f x f x x x x

x x x

x x

x x

x x

  



          

 

 

      

 

     

 

Câu 5: Với hàm số ( ) sin

x

f x x



    

0

0

khi x khi x

 

Trang |

1

( ) sin

f x x x

x 

 

2.Khix0 x 0 nên f x( )  0 f x( )0 3.Do

0

lim ( ) lim ( ) (0)

x x

f x f x f

 

     nên hàm số liên tục tạix0 4.Từ f x( ) liên tục tạix 0 f x( ) có đạo hàm tạix0

Lập luận sai bước:

A Bước B Bước C Bước D Bước Hướng dẫn giải

Chọn D

Một hàm số liên tục x0 chưa có đạo hàm điểm đó,

   0 sin

f x f

x x







 khơng có

giới hạn x0

Câu 6: Cho hàm số

1 sin ( )

0

x

f x x

    

0

0

khi x khi x

 

(1) Hàm số ( )f x liên tục điểm x0

(2) Hàm số ( )f x khơng có đạo hàm điểm x0

Trong mệnh đề trên:

A Chỉ (1) B Chỉ (2) C Cả (1), (2) D Cả (1), (2) sai

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có:

1 sin

x x x

x

  

  2  

0 0

1

lim lim sin lim lim sin 0

x x x x x x x x x x f

       

Vậy hàm số liên tục x0 Xét

   

2

0

lim lim sin

0

x

f x f

x x



  

  

  

Lấy dãy (xn):

1 2

n x

n

 

 

Trang |  

1

lim lim lim lim sin

2

2

n n

n n n

x f x n

n                   

Lấy dãy  : 1

2 n n x x n       

, tương tự ta có:

     

2

0

0

1

lim lim lim sin lim lim sin

6

n n

n n n x x

f x f

x f x n

x x                     

  không tồn

Câu 7: Cho hàm số

2 ( ) ax bx f x x       1 khi x khi x 

 Tìm ,a b để hàm số có đạo hàm tạix1

A a 1,b0 B a 1,b1 C a1,b0 D a1,b1

Hướng dẫn giải Chọn C Ta có:         1 lim 1

lim lim 1

x

x x

f x a b f

a b

f x x

                 

       

1 1

1

lim lim lim

1

x x x

f x f ax bx a b

a x b a b

x x                   

     

1 1

1 2 1

lim lim lim

1 1

x x x

f x f x a b x

x x x

  

  

     

  

  

Ta có hệ:

1

2

a b a

a b b

  

 

    

 

Câu 8: Đạo hàm hàm số  

2

1

1

x x khi x

f x

x khi x

   

  

  

 là:

A

  1

1

2

x khi x

f x khi x x         

 B

  11

1

x khi x

f x khi x x            C

  11

1

2

x khi x

f x khi x x          

 D

  11

1

2

x khi x

f x khi x x           

Trang |

Với x1: f x 2x1 Với

 

1:

2

x f x

x



 



Với x1, ta có    

1

1

lim lim

1

x x

f x f x

x x

 

 

 

  

  nên khơng có đạo hàm x1

Vậy

  11

1

2

x khi x

f x

khi x x

 

 

  



 



Câu 9: Cho hàm số  

2

2

1

0

0

x x

khi x

f x x

x ax b x

   



 

   



Tìm a, b để hàm số f x  có đạo hàm

A a0, b11 B a10, b11 C a20, b21 D a0, b1

Hướng dẫn giải Chọn D

Với x0 hàm số ln có đạo hàm

Để hàm số có đạo hàm hàm số phải có đạo hàm x0

 

lim

x

f x 

  ,  

lim

x

f x b b



   

Để hàm số liên tục x  0 b Xét    

2

0

1

0 1

lim lim

0

x x

x x

f x f x

x x

 

 

  

 

 

 ;

   

0

0

lim lim

0

x x

f x f x ax b

a

x x

 

 

     



0

a

Trang |

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng

xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

các môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia