Hệ Phương Trình

MỘT SỐ KIẾN THỨC *Phương trình đường tròn : ( ) ( ) 2 22 Rbyax =−+− Hay : 0cby2ax2yx 22 =+−−+ Cótâm là: ( ) b;aI và bán kính : cbaR 22 −+= ≥ 0 *Phương trình những điểm trong đường tròn và trên đường tròn là: ( ) ( ) 2 22 Rbyax ≤−+− ( là miền gạch hình 2) *Phương trình những điểm ngoài đường tròn và trên đường tròn là: ( ) ( ) 2 22 Rbyax ≥−+− (là miền gạch hình 3) *Đường thẳng : ax + by + c = 0 chia mặt phẳng tọa độ thành 2 phần ax + by + c ≥ 0 và ax + by + c ≤ 0 để biết phần nào lớn hơn 0 hay nhỏ hơn 0, thông thường ta lấy 1 điểm trên miền thế vào. Nếu không thoả ta lấy miền ngược lại . Xét đường thẳng : -x + y – 2 ≤ 0 (như hình vẽ).Ta lấy điểm (0;0) thế vào (-x + y – 2) ta được -2 ≤ 0 . Nên ta lấy miền chứa (0;0) đó chính là miền gạch như trên hình vẽ * cho hàm số : y = f(x) có mxđ là D , gtnn = m ,gtln = M ta nói: Hàm số y = f(x) có nghiệm khi : m ≤ y ≤ M trong mxđ f(x) α ≥ có nghiệm khi M α ≥ trong mxđ f(x) α ≥ đúng ∀ x khi m α ≥ trong mxđ f(x) ≤ α có nghiệm khi m α ≤ trong mxđ f(x) ≤ α đúng ∀ x khi M α ≤ trong mxđ *Cho A(x 0 , y 0 ) và đường thẳng ( ∆ ) có phương trình : ax + by + c = 0 , khoảng cách từ A đến đường thẳng là : d(A; ∆ ) = 22 00 ba cbyax + ++ *Công thức đổi trục : [ gs I(a;b) ] Đổi trục oxy → IXY    += += bYy aXx phần1 GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm. ( ) * my2cosx2cos 2 1 ysinxsin      =+ =+ Giải : Đặt u = sinx , v = siny Bài toán trơ ûthành tìm m để hệ sau có nghiệm : (*) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )          ≤ ≤ − =+ =+ 41 31 2 2 2 1 2 1 22 v u m vu vu Các điểm thỏa (3)(4) là những điểm nằm trên và trong hình vuông ABCD như hình vẽ , (2) là phương trình đường tròn tâm I(0,0) bán kính R = 2 m2 − , do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có nghiệm đường tròn phải cắt đường thẳng u + v = 2 1 nằm trong hình vuông. Dễ thấy M(1 ; - 2 1 ) và OM = ON OM = 4 5 , OH = 2 2 1 − = 8 1 , suy ra ycbt là 8 1 ≤ 2 m2 − ≤ 4 5 ⇔ - 2 1 ≤ m ≤ 4 7 Cho hệ phương trình.    =−+ =−+ 0xyx 0aayx 22 (*) a) tìm tất cả các giá trò của a để hệ có 2 nghiệm phân biệt. b)gọi (x 1 ; y 1 ) , (x 2 ; y 2 ) là 2 nghiệm của hệ ,chứng minh rằng . (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 ≤ 1 Giải : a) Hệ đã cho có thể viết lại : (*) ⇔      =+− =−+ )2( 4 1 y) 2 1 x( )1(0)1y(ax 22 Ta nhận thấy (1) là phương trình đường thẳng ,luôn qua điểm cố đònh (0;1) . (2) là phương trình đường tròn có tâm I( 2 1 ;0) bán kính R = 2 1 . Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm khi : D(I ;d) = 2 m1 m0.m 2 1 + −+ < 2 1 ⇔ 0 <m < 3 4 b) ta có AB = 2 12 2 12 )yy()xx( −+− ≤ 2R (x 2 –x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 ≤ 4R =1 (đpcm) Dấu (=) xảy ra khi đường thẳng qua tâm : Hay : 2 1 - a = 0 ⇔ a = 2 1 Cho hệ phương trình.      =−++++ <+− 02aax)1a2(x 04x5x 22 24 (*) Tìm a sao cho hệ sau đây có nghiệm. Giải : Hệ đã cho có thể viết lại : ( ) ⇔ *         −<<− << =++−+ )3(1x2 )2(2x1 )1(0)2ax)(1ax( Các điểm M(x;y) thỏa(1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như hình vẽ Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên 2 miền gạch Ta có A(-2;0) , B(-2;3) , C(-1;2) , D(1;0) , E(2;-1) , F(-1;-1) , K(1;-3) , M(2;-4) . Vậy từ đồ thò hệ có nghiệm khi : -4<a<-3 , -1<a<0 , 2<a<3. Cho hệ phưong trình.      =+ =++−+ 222 2 myx 02)yx(3)yx( (*) Tìm m sao cho hệ sau đây có 3 nghiệm . Giải : Hệ đã cho có thể viết lại : (*) ⇔    =+ =−+−+ )2(myx )1(0)1yx)(2yx( 222 Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như hình vẽ Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên đường tròn tâm I(0;0) bán kính R = m , do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 3 nghiệm thì : R = ON , mà ON = 2 2 = 2 (áp dụng đktx) do đó : m = 2 ⇔     −= = 2m 2m Biện luận theo a về số nghiệm của phương trình.    =−− =+ 0)ay)(a2x( 2y2x Giải : Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận: Đổi trục oxy → 0XY    = = Y2y Xx Hệ đã cho có thể viết lại : ( ) ( )    =−− =+ 20)a2Y)(a2X( 12YX Ta nhận thấy các điểm M(x;y) thoả mãn (1) là hình vuông A,B,C,D trong đó A(-2;0) , B(0;2) , C(2;0) , D(0;-2) .Các điểm thỏa mãn (2) nằm trên 2 đường: X = 2a ,Y= 2a , mà giao điểm I của chúng luôn luôn di động trên Y = X , dễ thấy điểm I / (1;1) như hình vẽ , do số giao điểm của 2 đường thẳng và hình vuông ABCD chính là số nghiệm . nên ta có : Nếu    −< > 2a2 2a2 ⇔    −< > 1a 1a hệ vô nghiệm. Nếu    −= = 2a2 2a2 ⇔    −= = 1a 1a hệ có 2 nghiệm. Nếu      −≠ ≠ <<− 1a2 1a2 2a22 ⇔          −≠ ≠ <<− 2 1 a 2 1 a 1a1 hệ có 4 nghiệm. Nếu    −= = 1a2 1a2 ⇔      −= = 2 1 a 2 1 a hệ có 3 nghiệm. Tìm a để phương trình sau có 2 nghiệm . xaxx 2 −=− (*) Giải : Với điều kiện x – x 2 ≥ 0 , đặt y = 2 xx − ≥ 0 (*) trở thành ( ) ( ) ( )      ≥ =−+ =+ 30y 20xxy 1axy 22 ⇔ ( ) ( ) ( )      ≥ =+− =+ 30y 2 4 1 y) 2 1 x( 1axy 22 (2) và (3) là phương trình nửa đường tròn lấy phần dương như hình vẽ , có tâm I( 2 1 ;0) bán kính R = 2 1 . (1) là phương trình đường thẳng x +y = a , do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm thì đường thẳng x +y = a phải lớn hơn hoặc bằng x + y = 1 và nhỏ hơn tiếp xúc trên , mà tiếp xúc trên bằng .        > = − 1a 2 1 2 a 2 1 ⇔       − = + = )l( 2 21 a )n( 2 21 a hay 1 ≤ a < 2 21 + đònh a để phương trình sau có 4 nghiệm . 2 ax5x4x5x 22 +−=+− (*) Giải : Đặt 4 9 4 9 2 5 x4x5xt 2 2 −≥−       −=+−= (*) ⇔ tt24aa4tt2 −=−⇔+−= ( ) ( )    ≥=− <−=− ⇔ 0t,2t4a 0t,1t34a Nhận xét ∀ t 4 9 −> thì ta được 2 nghiệm x , theo ycbt ta cần có 2 nghiệm t 4 9 −> Dễ thấy A( 4 27 ; 4 9 − ) (1) là phương trình y = -3t để thoả bài toán thì ( 0t 4 9 <<− ) (2) là phương trình đường thẳng y = t , t ∀ ≥ 0 Vậy đểâ phương trình có 4 nghiệm x hay có 2 nghiệm t thì: 4 27 4a0 <−< ⇔ 4 43 a4 << Cho hệ bất phưong trình. ( ) ( ) ( ) ( )      ≤++ ≤++ 2ay1x 1a1yx 2 2 2 2 (*) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất . Giải : Bất phương trình (1) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm O 2 (0;-1) bán kính R 2 = a . (như hình vẽ) Bất phương trình (2) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm O 1 (-1;0) bán kính R 1 = a . Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi : R 1 + R 2 = O 1 O 2 Hay : 2 a = ( ) ( ) 22 0110 +−++ 2 1 =⇔ a Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất. ( )    ≥−+− ≤+− * 0)m6(mx6x 02x3x 2 2 Giải : Hệ (*) cho có thể viết lại . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    ≥−+− ≤≤ * 206mxmx 12x1 Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxa. Từ hình vẽ có thể thấy các điểm M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) là miền gạch chéo nằm trên và trong hình thang ABCD .Vậy hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất khi : a = 1 hoặc a = 5 Tìm m để hệ phương trình có 8 nghiệm.    =−+− =−+− 222 m)1y()1x( 11y1x Giải : Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận. Đổi trục oxy → 0XY Hệ đã cho có thể viết lại . ( ) ( )    =+ =+ 2mYX 11YX 222    += += 1Yy 1Xx [...]... x + x ) b) tìm m để phương trình có nghiệm Cho hệ  x 2 (5a + 2) x + 4a 2 + 2a < 0  x2 + a2 = 0  ( *) tìm a để hệ có nghiệm x Tìm m để bất phương trình sau đúng ∀ : −4 ≤ x ≤6 ( 4 + x )(6 − x ) ≤ x 2 − 2 x + m Cho hệ (m − x 2 )(m + x − 2) < 0  x2 ≤ 1  tìm m để hệ vô nghiệm ( *) Cho hệ log x 2 + y2 ( x + y) ≥ 1  x + 2y = m  ( *) tìm m để hệ có nghiệm Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm loga+x(x(a-x))... để hệ phương trình có nghiệm đường thẳng y =a phải cắt miền gạch sọc Vậy theo ycbt thì a) hệ có nghiệm khi - 2 ≤ a ≤ 2 b) hệ có nghiệm duy nhất khi a = - 2 hoặc a = Cho hệ :  2 x 2 + 3x − 2 ≤ 0  2 3  x − m (m + 1) x + m ≤ 0 ( *) a) tìm m để hệ có nghiệm b) tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Giải : Hệ đã cho có thể viết lại như sau 1  (1) − 2≤ x≤  (*) ⇔  2  ( x − m 2 )( x − m) ≤ 0 ( 2)  Xét hệ. .. là phương trình đường tròn tâm O(0;0) bán kímh R = m Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm Vậy để hệ phương trình có 8 nghiệm khi : OH < R < OB Mà : OH = 1 ( áp dụng đktx) , OB = 1 2  2  < m . ≤ m <2 phương trình có 2 nghiệm. Nếu m = 2 hoặc -1 ≤ m <1 phương trình có 1 ngiệm. Nếu m > 2 hoặc m<-1 phương trình vô nghiệm. Cho hệ : ( ). để phương trình có nghiệm mxcos1xsin1 =+++ Cho phương trình . mx)x9(xx9 =−−+− a) tìm gtln và gtnn )xx9( +− b) tìm m để phương trình có nghiệm . Cho hệ