He phuong trinh mu logarit

www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit Hệ phơng trình mũ lôgarit A Phơng pháp biến đổi tơng đơng Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện cho biểu thức hệ có nghĩa Bớc 2: Dùng phép biến đổi để nhận đợc phơng trình ẩn Bớc 3: Giải phơng trình ẩn nhận đợc từ hệ Bớc 4: Kết luận Bài tập: Giải hệ sau: Bài x + y = (1) ( y + 1) x +x + = Giải Điều kiện y > x + y = x + y = x = y + = (1) y +1 > y = y = x + x + = Bài x x + x = x 2( x x ) (1) x x + y = y x y ( Đ K : x , y > 0) x y = y = x ( 2) x = x = x = (1) x = (loại ) 2 x + x = 2( x x ) + 3x = Thay x = vào (2) ta có cặp nghiệm (1,1) Bài x + y = x + 21 x = 2 x 3.2 x + = x + y = y = x y = x www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit x = x = x y =1 = x = y = x y = Bài 2(4 x + y ) = x + y = Bài x x + y = y x y (1) x y = Điều kiện: x, y > x x + x = x 2(9 x x ) x x + y = y x y (1) y = x y = x x = x = ( 2) x = 1/ 2 x + x = ( x x ) Thay vào (3) ta đợc cặp nghiệm: (1,1); (1/3,9) (2) (3) Bài log (2 x y ) = log 12 x y = 12 x + y log = + log x y x log + y = + log 3 = 18 log (3 x y ) = log 18 Giải hệ phơng pháp định thức ta có cặp nghiêm: (2,1) Bài (HVNH 99) x + y = 2 x (2 x 2) = 2 x = + x + y = x x y y x y = 2 = 2 = 2 y = + x = log (1 + ) y = log (1 + ) www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit Bài (ĐHSP II 98) x +1 + y = 3.2 y +3 x x + + xy = x + (1) ( 2) x = x + x x ( 2) 3x + + xy = x + x(3x + y 1) = y = 3x Với x = thay vào (1) ta có cặp nghiệm: (0, log ) 11 x , thay vào (1) ta có: Với y = x x +1 + 13 x = 3.2 (13 x )+31 Giải ta đợc cặp nghiệm: ( [log (3 + ) 1, log (3 + )) Bài (ĐHKTQD 99) x 5( y ) x y+4 x = y (1) x = y ( 2) Điều kiện: x, y > Từ (2) ta có: y = x 3, vào (1) ta đợc: x x = 15( x ) x = x + x x =x x x = x + x = 15( x ) Thay vào (2) ta đợc cặp nghiệm: (1, 1) (2, 1/8) 10.Bài 10 (ĐHQG 95) x y = ( x y )( xy + 2) (1) x + y = ( 2) Tháy (2) vào (1) ta đợc: x y = ( x y )( x + y + xy) x y = x y x x = y y Nhân xét: x = y thoả mãn phơng trình Nếu x > y có: x + x > y + y 3 www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit Nếu x < y có: x + x < y + y Nh vậy, từ phơng trình ta có x = y x = y = Thay vào (2) ta có x = y = 11.Bài 11 x + y = 17 x + y = 17 x + y xy log x + log y = log ( x y ) = Giải ta đợc cặp nghiệm (1, 4); (4, 1) = 17 =4 12.Bài 12 x = y (1) x log log = x y y Điều kiện: x > 0, < y log x = log y log x = log y (1) log y log x log x log y = log y log y = log y log y x =1 log x = log y log x = log y y =1 y = x = 16 log 22 y log y = y=4 y = 13.Bài 13 x y = (1) log (2 x + y ) log (2 x y ) = Điều kiện: 2x+y > 0, 2x y > log (2 x + y ) + log (2 x y ) = (1) log (2 x + y ) log (2 x y ) = log (2 x + y ) = 2 x + y = x = / x y = y = 1/ 2 log (2 x y ) = www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit 14.Bài 14 (ĐHMĐC 99) log ( x + y ) log (2 x) + = log ( x + y ) 4 (1) x log ( xy + ) log ( y + y x + ) = log 4 y Điều kiện: x > x + y > (*) xy + > y + y x + > y > 4( x + y ) 4( x + y ) = log ( x + y ) = x + 3y log 2x 2x (1) xy + xy + x x log = log = y + y 2x + 4 y 4y y + y 2x + x = y x = y x 3xy + y = ( x y )( x y ) = x = y x = ( x y )( x 2) = x xy + y x = x = y = Kiểm tra lại điều kiện (*) ta có nghiệm: x = y R x = y = 15.Bài 15 (ĐHQG Khối D 95) x+ y y x = 32 log ( x y ) = log ( x + y ) 3 Điều kiện: x y > x + y > xy www.mathvn.com (1) www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit x y x y ( x y )(2 y x) = 2( y + x ) = 2( + ) = (1) y x x y = log ( x y ) = 2 x y = x = y y = x = y = y = x (Vô nghiệm) y = (do (*)) 16.Bài 16 (ĐHBK 94) x + log y = (1) (2 y y + 12).3 x = 81y Điều kiện: y > x = log3 y + x = log3 y + (1) (2 y y + 12).27 y = 81y y + y 12 = x = log y + x = y = y = y = < (loại ) 17.Bài 17 (ĐHTL 2000) 3x x log + log y = y + log 2 x log + log x = y + log y 3 (1) Điều kiện: x, y > x 3x y y.3 x = 3x.2 y y.3 x = 3x.2 y y.3 = 2 (1) y x y y.3 = 3x.2 x y = y x x.2 x = y www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit x y.3 x = 3x.2 y x = = y =1 x y = x = y 18.Bài 18 (ĐHTCKT 2000) x log8 y + y log8 x = log x log y = (1) Điều kiện: x, y > x log8 y + y log8 x = x log8 y + y log8 x = (1) x log = x = y y x = x log8 x = log x = log x x = y x = y y = ( x = không nghiệm) 19.Bài 19 x x x x x 1 x y = =9 x x = y y = y x y x+3 y 2x = x y = x x = (1 x ) = x x x x y y x y 20.Bài 20 (ĐHXD 94) Giải biện luận hệ phơng trình: (1) x+2 y=a y=a x y=a x y=a x x y x 2y x a x x a x =1 + 2 =1 ( ) + =1 + =1 + Đặt t = x , t > thay vào (2) ta có: t t + a = (3) =1 4.2 a Nếu < 4.2 a < a > : Phơng trình(3) vô nghiêm hệ vô nghiệm www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit Nếu = 4.2 a = a = : Phơng trình (3) có nghiệm t = 1/2, suy x = 1, y= 1/2 Nếu > 4.2 a > a > : Phơng trình (3) có nghiệm: a t= x a + 2 x t= 1 4.2 = a 1+ 4.2 = a a x = log 2 a x = log 1+ 4.2 Thay vào (1) ta tính đợc y 21.Bài 21 (ĐHMĐC 2000) Giải biện luận hệ phơng trình: x + y + a = y = a x a x + y xy ( x +1 a x x ( a x )) a = =2 y = a x ( x +1 a x x ( a x )) = a (1) (2) 22.Bài 22 (Đề 135) Cho hệ phơng trình: log x log y = (1) x + y my = a) Giải hệ với m = b) Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm x Điều kiện: (*) y > log x = log y (2) x = y (1) 2 x + y my = f ( y ) = y + y m = ( (*)) ( ) a) Với m = 2, giải ta có cặp nghiệm (1, 1); (1, 1) b) (1) có nghiệm (3) có nghiệm y > Do (3) có b/a= nên (3) có nghiệm dơng f(0) < m < m > www.mathvn.com www.MATHVN.com 23.Bài 23 H phng trỡnh m v logarit log x (3x + ky) = log y (3 y + kx) = (1) Điều kiện:0 0, 3y + kx > (*) 3x + ky = x 3x + ky = x (1) ( x y )(3 k x y ) = 3y + kx = y 3x + ky = x 2 ( 2) 3x + ky = x x = y x = y 3x + ky = x y = k x (3) y = k x a) Với k = x = x x = (2) x = y y = x = x x = (3) x = (loại) y = y y =1 x b) Biện luận: x = (loại ) x( x k ) = x = + k (2) x = + k x = y x = y x = y nghiệm hệ thoả mãn (*), hay < 3+k < k x + (k 3) x + (k 3)k = ( 4) (3) y = k x (5) Xét phơng trình (4) f ( x) = x + (k 3) x + k (k 3) = có: = 3(k 3)(k + 1) + Nếu < k > hoăc k < 1: (4) vô nghiệm (3) vô nghiệm + Nếu = k = hoăc k = 1: + k = 3: (4) có nghiệm x = không thoả mãn (*) (3) vô nghiệm + k = 1: (4) có nghiệm x = 2, thay vào (5) có y = (2,2) nghiệm (3) www.mathvn.com www.MATHVN.com + Nếu H phng trỡnh m v logarit > < k < (**): (4) có 2: k + 3(k 3)(k + 1) x = x1 = k 3(k 3)(k + 1) x = x2 = Với x = x1, thay vào (5) ta có y1 = x2 Với x = x2, thay vào (5) ta có y1 = x1 Do đó, (3) có nghiệm thoả mãn < x, y khi: x1 x > k (k 3) > k < x + x > k > k f (1) + k + k (k 3) < k < Kết hợp (**) ta có k Kết luận: + Với k k = hệ vô nghiệm + Với k (3,1] {1 3} [0,+) \ {2} hệ có nghiệm x=y=3+k + Với k (1,0) \ {1 3} hệ có nghiệm: x = x2 x = + k x = x1 ; y = + k y = x2 y = x1 10 www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit 33.Bài 33 (ĐHQG TPHCM 97) log 1+ x ( y + y ) + log y ( + x + x ) = log 1+ x ( + y ) + log y ( + x ) = (1) (2) Điều kiện:x > 1/2, x 0, 1/2 < y < 1, y ( ) log 1+ x ( y ) + log y ( + x ) = log 1+ x ( y ) + =2 log 1+ x ( y ) log 1+ x ( y ) = + x = y x = y Thay vào (2) ta có: log 1+ x ( x ) = x = ( + x ) x = 2 y= 5 34.Bài 34 (ĐHTCKT 2000) x log y + y log x = (1) log x log y = 4 Điều kiện:x, y > log y log x x + y3 =4 (1) (2) log x log y = 2 u u = log x x = Đặt: , thay vào (2) ta có: v v = log y y = 1 v u u v ( ) + ( ) u v = x= u = uv uv = y = = = v = u = u v = u v = x = 2 v = y = 14 www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit 35.Bài 35 (Đề 56) Cho hệ phơng trình: log x ( ax + by ) + log y ( ay + bx ) = log x ( ax + by ).log y ( ay + bx ) = a) Giải hệ a = 3, b = b) Giải biện luận hệ a, b > (1) Điều kiện: < x, y 1, ax + by > 0, ay + bx > u = log x ( ax + by ) , thay vào (1) ta có: Đặt: v = log ( ay + bx ) y u + v = u = log x ( ax + by ) = (2) u v = v = log y ( ay + bx ) = a) Với a = 3, b = 5: Điều kiện: Điều kiện: < x, y Từ (2) ta có: x + y = x log x ( x + y ) = x + y = x y x log ( + ) = y y + x = y ( x y )( x + y + ) = x= y x =8 x x =0 y=x2 y =8 ( VN ) x + x + 10 = b) Với a, b > 0: Điều kiện: Điều kiện: < x, y (*) Từ (2) ta có: ax + by = x log x ( ax + by ) = ax + by = x log y ( ay + bx ) = ay + bx = y ( x y )( x + y a + b ) = ax + by = x 2 (3) ax + by = x x = y x= y ax + by = x x + y a + b = (4) x + y a + b = 15 www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit x= y x= y x=a+b (3) x=a+b x ( a + b ) x = x = ( loại ) y = a + b Nghiệm (3) nghiệm (1) thoả mãn (*), hay a + b y =a b x (4) 2 x + ( b a ) x ab + b = ( ) Do < x, y nên a b > x > Khi (5) có: 2 = ( b a ) + ( ab b ) = ( a + b )( a b ) > , ab + b < , nên (5) có hai nghiệm trái dấu: a b + ( a + b )( a b ) >0 x1 = y1 = x < a b ( a + b )( a b ) x2 = < ( lo i ) Vậy hệ (4) nghiệm thoả mãn (*) Kết luận: + Với a + b = hệ vô nghiệm + Với a + b 1, hệ có nghiệm x = y = a + b 36.Bài 36 Giải biện luận hệ phơng trình: x + m y = m (1) x y m + = m + u = x u + mv = m Đặt: , u , v > (*) Thay vào (1) ta có: ( 2) y mu + v = m + v = 2 D = m , D u = m + m , D v = m + m + + Nếu D m m 1: Hệ (2) có nghiệm nhất: 2m + 2m 2m u = = u m m +1 m + m +1 v = m +1 v = 1+ m m Vì điều kiện (*) nên để u, v nghiệm (2) ta phải có: 16 www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit m < 2m m>0 m + > m < Khi (1) có nghiệm: m + m > m < + m > m > 1/ 2m x = log m +1 y = log m + 1+ m m =1 + Nếu D = m = m = + Với m = 1: Dx nên hệ (2) vô nghiệm + Với m = 1: D = Du = Dv = 0: Mọi cặp (u, v) thoả mãn u + v = nghiệm (2), suy cặp (x, y) thoả mãn x + y = nghiệm (1) Kết luận: 2m x = log m < m +1 Với , hệ có nghiêm nhất: m>0 y = log m + 1+ m Với m = 1: cặp (x, y) thoả mãn x + y = nghiệm (1) Với < m < 0: hệ (1) vô nghiệm 37.Bài 37 Cho hệ phơng trình: m x +1 + y = m x +1 + m y = m + (1) a) Tìm m để hệ có nghiệm (2 m < 1) b) Tìm m nguyên để nghiệm hệ nghiệm nguyên (m = 2) 38.Bài 38 Giải biên luận hệ phơng trình: 2 x + y x +1 = m x + y 2 x + y x = m x + y x +1 x y + y y + y x = my + x = my + Đặt: t = x , t > (*) Thay vào (1) ta có: 17 www.mathvn.com (1) www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit t + yt = mt + y t + yt = mt + y y + yt = my + t ( t y )( t + y m + ) = t + yt = mt + y (2) t + yt = mt + y t = y t = y t + yt = mt + y (3) y = t + m y = t + m t = y t = ( loại ) t = y (2) t ( m + 1) t = t = m + m +1 m +1 Do t > nên: > m > , x = log 3 y = t + m (3) t ( m 1) t + m = ( ) Giải phơng trình (4): 2 = ( m ) ( m ) = m m + = ( m )( m ) m>5 + Nếu > ( m )( m ) > , phơng trình (4) có nghiêm m 0, t2 < Do hệ (3) có nghiệm nhất: m 1+ m m + m + m m + t = x = log 2 m m m + m m m + y= y= 2 Với m > 5, phơng trình (4) có hai nghiệm t1, t2 thoả mãn: 18 www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit t1 + t = m 1> t1 > , nên hệ (3) có cặp nghiệm: t1 t = m 1> t > t = t1 t = t y =t2 y = t1 m=5 + Nếu = ( m )( m ) = m =1 Với m = 5, phơng trình (4) có nghiệm t = y = hệ (3) có nghiêm x = log = , y = Với m = 1, phơng trình (4) có nghiệm t = (không thoả mãn (*)) hệ (3) vô nghiệm + Nếu < ( m )( m ) < < m < , phơng trình (4) vô nghiệm hệ (3) vô nghiệm Kết luận: m 1+ m m + x = log Nếu m 1, hệ có nghiệm nhất: m m m + y= Nếu < m < hệ có nghiệm: m +1 m + m m + x = log x = log 2 y = m +1 m m m + y = m +1 x = log Nếu < m < 5, hệ có nghiệm nhất: y = m +1 x =1 x=2 Nếu m = 5, hệ có hai nghiệm: y=2 y=4 19 www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit m +1 x = log Nếu m > 5, hệ phơng trình có nghiệm: y = m +1 m 1+ m m + m m m + x = log x = log 2 2 m m m + m 1+ m m + y = y = 2 39.Bài 39 Giải biên luận hệ phơng trình: x y x y m m = m m (1) x+ y x+ y n n =n n Xét với m, n > x y u = m (*) Thay vào (1) ta có: Đặt: x+ y v = n u u = m m (2) v v = n n Xét hàm số: f ( x ) = x x hàm đồng biến (0, +), nên với xy f ( x ) f ( y ) Do u = m Thay vào (*) ta có: (2) v = n x y =1 x y m =1 x y x y m = m x + y =1 =1 = n = x y m 1, n = m = 1, n x , y R n =n m 1, n 20 www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit x=5 m =1 x y = x y = y =1 n = m 1, n = m = 1, n m 1, n x , y r Kết luận: Xét với m, n > + Với m = n = 1: Mọi x, y R nghiệm hệ + Với m = 1, n 1: Mọi (x, y) thoả mãn x y = nghiệm hệ + Với m 1, n = 1: Mọi (x, y) thoả mãn x y = nghiệm hệ + Với < m, n 1: Hệ có nghiêm (5,1) 40.Bài 40 Cho hệ phơng trình: x +1 = y y = 2 y + m +1 x+2 x +1 +m (1) a) Giải hệ phơng trình với m = b) Tìm m để hệ có nghiêm c) Tìm m để hệ coa nghiêm Giải u = x +1 Đặt: , u , v (*), thay vào (1) ta có: v = y u = v v + m u = v v + m v = u u + m u v = ( u v )( u + v ) + ( u v ) u = v v + m ( 2) u = v v + m u = v ( u v )( u + v ) = u = v v + m ( nghiệm t/m (*)) u = v a) Với m = 0, (2) trở thành: u = v u = v u = v = ( loại ) u = v v u (u ) = u = v = Thay u = v = vào (*) ta có: 21 www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit x , y x , y x +1 = x =1 x =1 x =1 y = y =5 y =5 y = u = v u = v b) ( ) v v + m = v f ( v ) = v v + m = (3) Hệ có nghiệm (3) có nghiệm v f (2)0 ' m0 f ( ) > ( VN ) b =1 > a Vậy với m hệ có nghiệm u = v u = v c) ( ) 2 v v + m =v f (v) =v 2v + m = ( 4) Hệ có nghiệm (3) có nghiệm v f (2)=0 b =1 m 2a f ( ) < Vậy với m hệ có nghiệm 41.Bài 41 Cho hệ phơng trình: 2 x + y = m ( x + y ) 2.2 x y = m x + y + x + y = m x + y + x y = m a) Giải hệ với m = b) Tìm m để hệ có nghiệm Giải u = x + y Đặt: , u , u > (*).Thay vào (1) ta có: v = x y 22 www.mathvn.com (1) www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit ( u + v ) uv = m uv = m m v ( v + m ) = m m u + v = m u = v + m u = v + m f ( v ) = v mv + m m = ( ) u = v + m a) Với m = ta có: v = ( loại ) 2v 2v =0 v =1 v =1 ( loại ) u = u = v + u = v +1 Vậy với m = 1, hệ vô nghiệm b) Nhận xét: Với m 0, phơng trình thứ hai (1) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm Ta xét với m > Khi hệ (1) có nghiêm phơng trình (2) có nghiêm v thoả mãn < v < m f ( ) f ( m ) < (m m) u = lg x Đặt: , thay vào (1) ta có: v = lg y u = v (I) u + v = u + m u + v = u + m u u + m = ( ) u = v u = v u + v = v + m u v = ( II ) u = m ( ) ( i ) có nghiệm (2) có nghiệm Hệ (1) có nghiêm (Ii ) có nghiệm ( ) có nghiệm ' ( ) m m m m0 m0 m0 44.Bài 44.Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm: log ( x + y ) ( x + y ) = ( x + y ) = m < x + y 1/ Điều kiện: 2 x + y >0 (1) x + y = ( x + y ) ( x + y ) xy ( x + y ) = (1) ( x + y ) = m ( x + y ) = m + Với m 0, (2) vô nghiệm, suy (1) vô nghiệm + Với m > 0: 24 www.mathvn.com (2) www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit mm xy = (2) (3) x+ y= m (1) có nghiêm (3) có nghiệm ( x + y ) xy m m m m m 16 m> m>0 m >0 m >0 C Giải hệ phơng trình phơng pháp hàm số Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện cho biểu thức hệ có nghĩa Bớc 2: Rút từ hệ phơng trình dạng f(x) = f(y) Bớc 3: Sử dụng phơng pháp hàm số: Nếu f(x) hàm số đồng biến nghịch biến từ phơng trình f(x) = f(y) ta có x = y Bớc 4: Sử dụng kết để giải hệ Bài tập: Giải hệ phơng trình: 45.Bài 45 x + x = + y x + x = + y x + x = + y (I ) y x y x y + y = + x + x y = x + y + x = + y ( ) Xét hàm số: f ( x ) = x + x hàm số đồng biến R, nên từ phơng trình (2) ta có: f(x) = f(y) x = y Khi hệ (I) trở thành: x + x =3+ y x = y x= y x x ( II ) x= y + x = + x = x + 3(3) Giải phơng trình (3): Nhận xét: + x = nghiêm (3) + Với x > 1: VT(3) > 2, TP(3) < nên phơng trình (3) nghiệm x > + Với x < 1: VT(3) < 2, TP(3) > nên phơng trình (3) nghiệm x < Vậy phơng trình (3) có nghiệm x = 1, từ hệ phơng trình (II) ta có (1, 1) nghiêm hệ (1) 25 www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit 46.Bài 46 x y = y x x + x = y + y (1) x + xy + y = 12 x + xy + y = 12 ( ) x Xét hàm số: f ( x ) = + x hàm số đồng biến R, nên từ phơng trình (1) ta có: f(x) = f(y) x = y Khi hệ (1) (2) trở thành: x= y x= y x= y 2 = x + xy + y = 12 x 12 x = Vậy nghiêm hệ phơng trình (2, 2) 2, 2) 47.Bài 47 x = y x = y (1) y = x x + x = y + y ( ) x Xét hàm số f ( x ) = + x hàm số đồng biến R, nên từ (2) ta có: f ( x ) = f ( y ) x = y Kết hợp với (1) ta có hệ: x= y x= y x= y x x =1 ( hàm số x = y x =0 x = x f ( x ) = x hàm lồi, nên phơng trình: x x = có hai nghiệm D Giải hệ phơng trình phơng pháp điều kiện cần đủ Phơng pháp: áp dụng co toán: Tìm điều kiện để hệ phơng trình có nghiệm Tìm điều kiện để hệ phơng trình có nghiệm với giá trị tham số Các bớc: Bớc Đặt điều kiện cho biểu thức hệ có nghĩa Bớc Tìm điều kiện cần cho hệ dừa vào tính đối xứng đánh giá 26 www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit Bớc Kiểm tra điều kiên đủ Bài tập 48.Bài 48 Tìm m để hệ sau có nghiệm x y = y x ( m + ) (1) 2 x + y = m Nhận xét: Nếu x0 nghiệm hệ x0 nghiệm hệ Do để hệ có nghiệm x0 = x0 x0 = Với x = 0, thay vào hệ ta có: y = y ( ) y = ( VP(2) dông biến, VT(2) nghịch biến ) y = m m =0 Với m = thay vào (1) ta có: x y = y x x + x = y + y ( ) y = x x + y = (4) Xét hàm số: f ( t ) = t + t hàm số đồng biến R Nên từ (3) ta có: f ( x ) = f ( y ) x = y , kết hợp (4) ta có: x = y x = y =0 x + y = Vậy với m = hệ có nghiệm 49.Bài 49 Tìm m để hệ sau có nghiệm nhất: x + x = y + x + m (1) 2 x + y = Nhận xét: Nếu x0 nghiệm hệ x0 nghiệm hệ Do để hệ có nghiệm x0 = x0 x0 = Với x = 0, thay vào hệ ta có: m=0 = y + m y = m=2 y =1 y = Với m = thay vào (1) ta có: 27 www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit x + x = y + x x + y = (2) (3) x x x Từ (3) ta có: x y y x + x y + x Do đó: x = x x=0 (2) , thoả mãn (3), suy m = thoả mãn x = y = y = Với m = thay vào (1) ta có: x + x = y + x + x + y = 28 www.mathvn.com [...]... v > 0 (*) Thay vào (1) ta có: ( 2) y mu + v = 2 m + 1 v = 3 2 2 2 D = 1 m , D u = 2 m + 2 m , D v = 3 m + 2 m + 1 + Nếu D 0 m 1 và m 1: Hệ (2) có nghiệm duy nhất: 2 2m + 2m 2m u = = u 2 1 m m +1 2 3 m + 2 m +1 v = 3 m +1 v = 1+ m 2 1 m Vì điều kiện (*) nên để u, v là nghiệm của (2) ta phải có: 16 www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit m < 1 2m m>0 m + 1 > 0 m... y + 4 y = 1 4 2 ( x 2 1 ) 4.4 x 2 1 2 y + 2 2 y = 1 (1) 2 2 2 y + 2 2 x + y 2 y x 1 y 2 2 3.4 3.2 = 16 2 = 4 11 www.mathvn.com www.MATHVN.com x 2 1 u = 4 Đặt: , v = 2 y H phng trỡnh m v logarit u , v > 0 (*) , thay vào (1) ta có: 2 2 2 4 2 2 u 2 4 uv + v 2 = 1 ( v 4 ) 12 v ( v 4 ) + 9 v 9 v = 0 2 2 v 4 v 3 uv = 4 u = 3v 4 2 2 v 31 v 16 = 0 v 2 = 16 v = 4 2 2 v ... + y ) 2 xy 12 = 0 ( x + y ) 3 ( x + y ) 18 = 0 x+ y =6 (4) x + y = 3 Từ (3) và (4) ta có các cặp nghiệm ( 3 + 6 , 3 6 ) , ( 3 6 , 3 + 6 ) 2 2 12 www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit 29.Bài 29 3 x 2 y 2 = 7 2 x y 2 2 =7 3 2 30.Bài 30 9 2 cot gx + sin y = 3 9 2 cot gx 9 sin y = 3 sin y cot gx sin y 2 cot gx 9 81 = 2 9 9 =2 (1) u = 9 2 cot gx Đặt: , u , v > 0 ,... v = lg y u lg 3 v lg 4 = 0 2 2 u lg 4 v lg 3 = lg 3 lg 4 Giải ra bằng phơng pháp định thức ta đợc: u = lg 4 x = 1/ 4 v = lg 3 y = 1/ 3 13 www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit 33.Bài 33 (ĐHQG TPHCM 97) log 1+ x ( 1 2 y + y 2 ) + log 1 y ( 1 + 2 x + x 2 ) = 4 log 1+ x ( 1 + 2 y ) + log 1 y ( 1 + 2 x ) = 2 (1) (2) Điều kiện:x > 1/2, x 0, 1/2 < y < 1, y 0 ( 1 ) log... 2 1 x= 3 8 u = uv 2 1 uv = 3 y = 3 = 4 2 = 2 2 v = 2 1 1 u = 2 u v = 1 u v = 2 x = 2 2 3 v = 2 y = 1 8 14 www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit 35.Bài 35 (Đề 56) Cho hệ phơng trình: log x ( ax + by ) + log y ( ay + bx ) = 4 log x ( ax + by ).log y ( ay + bx ) = 4 a) Giải hệ khi a = 3, b = 5 b) Giải và biện luận hệ khi a, b > 0 (1) Điều... ay + bx = y ( x y )( x + y a + b ) = 0 ax + by = x 2 2 (3) ax + by = x x = y x= y ax + by = x 2 x + y a + b = 0 (4) x + y a + b = 0 15 www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit x= y x= y x=a+b (3) 2 x=a+b x ( a + b ) x = 0 x = 0 ( loại ) y = a + b Nghiệm của (3) là nghiệm của (1) khi và chỉ khi thoả mãn (*), hay a + b 1 y =a b x (4) 2 2 x + ( b a ) x...www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit B Phơng pháp đặt ẩn phụ I Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điệu kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa Bớc 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về hệ đại số đã biết (hệ đối xứng, hệ đẳng cấp, ) Bớc... x +1 = m 2 x + y 2 2 x + 2 y 2 x = m 2 x + y 2 x +1 x y + y 2 y 2 + 2 y 2 x = my + 2 x = my + 2 Đặt: t = 2 x , t > 0 (*) Thay vào (1) ta có: 17 www.mathvn.com (1) www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit t 2 + 2 yt = mt + y t 2 + 2 yt = mt + y 2 y + 2 yt = my + t ( t y )( t + y m + 1 ) = 0 t 2 + 2 yt = mt + y 2 (2) t + 2 yt = mt + y t = y t = y t 2 + 2 yt = mt + y (3) y =... 5 m 1 + m 6 m + 5 t = x = log 2 2 2 m 1 m 2 6 m + 5 m 1 m 2 6 m + 5 y= y= 2 2 Với m > 5, phơng trình (4) có hai nghiệm t1, t2 thoả mãn: 18 www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit t1 + t 2 = m 1> 0 t1 > 0 , nên hệ (3) có các cặp nghiệm: t1 t 2 = m 1> 0 t 2 > 0 t = t1 t = t 2 và y =t2 y = t1 m=5 + Nếu = 0 ( m 1 )( m 5 ) = 0 m =1 Với m = 5, phơng trình (4)... 1 m 2 6 m + 5 y = 3 2 m +1 x = log 2 3 Nếu 1 < m < 5, hệ có nghiệm duy nhất: y = m +1 3 x =1 x=2 Nếu m = 5, hệ có hai nghiệm: và y=2 y=4 19 www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit m +1 x = log 2 3 Nếu m > 5, hệ phơng trình có 3 nghiệm: y = m +1 3 m 1+ m 2 6 m + 5 m 1 m 2 6 m + 5 x = log 2 x = log 2 2 2 và 2 2 m 1 m 6 m + 5 m 1+ m 6 m + 5 y = y = ...www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit x = x = x y =1 = x = y = x y = Bài 2(4 x + y ) = x + y = Bài x x + y =... = 2 = 2 y = + x = log (1 + ) y = log (1 + ) www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit Bài (ĐHSP II 98) x +1 + y = 3.2 y +3 x x + + xy = x + (1) ( 2) x = x + x x (... thoả mãn phơng trình Nếu x > y có: x + x > y + y 3 www.mathvn.com www.MATHVN.com H phng trỡnh m v logarit Nếu x < y có: x + x < y + y Nh vậy, từ phơng trình ta có x = y x = y = Thay vào (2) ta có