HỆPHƯƠNGTRÌNHMŨ – LOGARIT Bài tập 1: Giải hệphươngtrình sau: 1 2 3 5 2 3 2 x y y x y y + + − + = = Hướng dẫn Đặt 2 3 x y y u v + = = (điều kiện u, v>0), ta có hệphương trình: 5 6 u v uv + = = Theo định lí viete đão thì hai số u và v là nghiệm của phươngtrình bậc hai: 2 5 6 0 2 2 3 3 2 3 2 3 3 2 x y y x y y X X X X + + − + = = = = ⇔ ⇔ = = = (Đến đây các bạn tự giải quết nhe !) Bài tập 2: Giải hệphương trình: ( ) 2 1 2 2 2 2 log log 4 1 4 x y x y x y − + + = − = Hướng dẫn. Nhân hai vế phươngtrình 2 1 2 2 2 x y x y− + + = cho 2 y − , ta được phương trình: ( ) 2 2 2 2 x y x y − − + = Đặt 2 , 0 x y t t − = > Khi đó ta có phương trình: 2 2 0t t+ − = Giải phươngtrình ta được hai nghiệm t=1 và t=-2. Vì t>0 nên nhận nghiệm t=1 Với t=1 thì 2 1 0 x y x y x y − = ⇔ − = ⇔ = Vậy hệ đã cho tương đương với: ( ) 2 log log4 1 4 x y x y = − = ( ) 2 2 2 2 2 1 log 1 log 4 log 2log 8 0 2 x y x y x x x x = = ⇔ ⇔ − = − − = ÷ 1 2 2 2 4 4 2 1 2 4 log 2 2 1 4 2 16 log 4 2 16 x x x y x y y x y x x x y y − − = = = =− = = ⇔ ⇔ ⇔ = = = = = = Kết luận: Tập nghiệm của hệphươngtrình là ( ) 1 1 ; , 16;16 4 4 S = ÷ Bài tập 3: Giải hệphương trình: 2 2 1 log log 2 xy x y = + = Hướng dẫn. Điều kiện xác định của hệphươngtrình là x, y > 0. Với điều kiện đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 log log1 1 log log 0 log log 2 log log 2 log log 2 log log 0 log log 0 log log 1 log log 2 log log 2 xy xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y = = + = ⇔ ⇔ + = + = + = + = + = ⇔ ⇔ = − + − = (Các bạn tự giải quết tiếp nhe !) Đáp số: Hệphươngtrình đã cho có nghiệm ( ) 1 1 , 10; ( , ) ;10 10 10 x y x y = = ÷ ÷ Bài tập 4: Giải hệphương trình: 4 4 4 20 log log 1 log 9 x y x y + = + = + Hướng dẫn. Điều kiện xác định của hệphươngtrình là x, y > 0. Với điều kiện đó ta có: ( ) 4 4 4 4 4 20 20 20 log log 1 log 9 log log 36 36 x y x y x y x y xy xy + = + = + = ⇔ ⇔ + = + = = Theo định lí viete đão ta có hai số x, y là nghiệm của phương trình: 2 20 36 0X X− + = (các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Đáp số: Hệ pt có nghiệm: ( ) ( ) , 2,7x y = − Bài tập 5: Giải hệphương trình: ( ) ( ) 2 2 2 3 2 log log 1 x y x y x y − = + − − = Hướng dẫn. 2 Điều kiện xác định của hệphươngtrình là 0x y± > . Với điều kiện đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 2 log log 1 2 log log 1 log log 1 log 3 x y x y x y x y x y x y x y + + − = − = ⇔ − + − = + − − = Tiếp theo ta đặt ( ) ( ) 2 2 log log u x y v x y = + = − Khi đó ta có hệphương trình: 2 1 1 log 3 u v v u + = − = (Các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Đáp số: Hệphươngtrình đã cho có nghiệm ( ) 3 1 , ; 2 2 x y = ÷ Bài tập 6: Giải hệphương trình: ( ) ( ) ( ) 5 5 7 5 2 2 5 log log 7 log 1 log 2 3 log log 5 1 3log x y y x + = + + = + Hướng dẫn. Điều kiện xác định của hệphươngtrình là x, y >0. Với điều kiện đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 55 5 7 5 2 2 2 5 2 2 5 5 5 5 3 3 2 2 log log log 10log log 7 log 1 log 2 3 log log 5 3 log 5 log 3 log log 5 1 3log log log log 10 10 2 5 log 8 log 5 8 5 x yx y y x y x x y xy x y y x y x + =+ = + ⇔ + = + + = + + = = = ⇔ ⇔ ⇔ = = = Kết luận: Hệphươngtrình đã cho có nghiệm ( ) ( ) ; 2;5x y = Bài tập 7: Giải hệphương trình: ( ) ( ) 2 2 log 5 log log log4 1 log log3 x y x y x y − = − + − = − − Hướng dẫn. Điều kiện xác định của hệphươngtrình là x>y>0. Với điều kiện đó ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 log 5 log log 5 32 log log4 1 12 log log log log3 4 3 x y x y x y x y x x y xy y − = − + − = − = ⇔ ⇔ − = − = = − − (Các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Đáp số: Hệphươngtrình đã cho có nghiệm ( ) ( ) ; 6;2x y = 3 Bài tập 8: Giải hệphương trình: ( ) 9 3 2 8 2 2 1 1 1 log log 9 2 2 x y y x − = + = Hướng dẫn. Điều kiện xác định của hệphươngtrình là x, y >0. Với điều kiện đó ta có: ( ) ( ) 3 3 2 9 3 3 3 3 2 8 2 2 2 2 2 1 1 1 1 log log 9 log 1 2 2 3 x y x y x y y xy xy x − − − = = = ⇔ ⇔ + = = − = (Các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Đáp số: Hệphươngtrình đã cho có nghiệm ( ) 1 ; 2; 6 x y = ÷ Bài tập 9: Giải hệphương trình: 3 2 1 2 5 4 4 2 2 2 x x x x y y y + = − + = + (Trích đề thi ĐH khối D – 2002) Hướng dẫn. Ta có: ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 2 1 2 5 4 2 5 4 2 5 4 2 2 2 4 2 2 2.2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y + = − = − = − ⇔ ⇔ + + + = = = + + + 3 2 3 2 1 2 0 2 5 4 5 4 1 4 2 2 4 2 x x x x y y x y y y y y y y y y y x = = = = − = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = = = = = = ( Chú ý 0y ≠ ). Kết luận: Tập nghiệm của hệphương trình: ( ) ( ) { } 0;1 ; 2;4S = Bài tập 10: Giải hệphương trình: ( ) 1 4 4 2 2 1 log log 1 25 y x y x y − − = + = (Trích đề thi ĐH khối A năm 2004) 4 Bài tập 11: Giải hệphương trình: ( ) 2 3 9 3 1 2 1 3log 9 log 3 x y x y − + − = − = (Trích đề thi ĐH khối B năm 2005) Bài tập 12: Giải hệphương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 log 1 log8 log log log3 x y x y x y + = + + − − = Hướng dẫn. Điều kiện xác định của hệphươngtrình là 0x y± > . Với điều kiện đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 log log80 80 log 1 log8 3 log log3 log log log3 x y x y x y x y x y x y x y x y x y + = + = + = + ⇔ ⇔ + + = = + − − = − − (Các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Đáp số: Hệphươngtrình có nghiệm ( ) ( ) ; 8;4x y = Bài tập 13: Giải hệphương trình: ( ) 3 3 .2 972 log 2 x y x y = − = Hướng dẫn. Hệphương trình: ( ) 3 3 3 3 .2 972 3 .2 972 log 2 3 3 .2 972 x y x y y y x y x y x y + = + = = ⇔ ⇔ − = − = = 3 5 2 6 36 y x y x y = + = ⇔ ⇔ = = Kết luận: Hệ pt có nghiệm ( ) ( ) ; 5;2x y = Bài tập 14: Giải hệphương trình: 2 2 25 log log 2 x y x y + = − = Hướng dẫn. Điều kiện xác định của hệphươngtrình là x, y >0. Với điều kiện đó ta có: 2 2 2 25 25 25 20 log 2 4 log log 2 5 x y x y x y x x x x y y y y + = + = + = = ⇔ ⇔ ⇔ = = − = = Kết luận: Hệphươngtrình có nghiệm ( ) ( ) ; 20;5x y = 5 Bài tập 15: Giải hệphương trình: 3 3 4 1 x y x y + = + = Hướng dẫn. Cách 1: Hệphương trình: 1 3 3 4 3 3 4 3 3 4 1 1 1 x y x y x x x y y x y x − + = + = + = ⇔ ⇔ + = = − = − Đặt 3 , 0 x t t= > khi đó ta có phương trình: 3 4t t + = (Các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Cách 2: Hệphương trình: 3 3 4 3 3 4 3 3 4 3 3 3 1 3 3 3 1 x y x y x y x y x y x y x y x y + + = + = + = ⇔ = ⇔ + = = + = Áp dụng định lí viète ta có: 3 x và 3 y là hai nghiệm của phươngtrình bậc hai 2 4 3 0X X− + = (các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Đáp số: Hệphươngtrình có nghiệm ( ) ( ) ; 1;0x y = hoặc ( ) ( ) ; 0;1x y = Bài tập 16: Giải hệphương trình: 4 3 3 9 3 x y x y − − + = + = Hướng dẫn. Cách 1: Hệphương trình: 3 4 4 4 3 3 3 3 3 3 9 9 9 3 3 3 x y x y x x x y y x y x − − − − − − + = + = + = ⇔ ⇔ + = = − = − Đặt 3 , 0 x t t= > khi đó ta có phương trình: 1 4 27 9 t t + = (Các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Cách 2: Hệphương trình: ( ) 4 3 3 4 4 3 3 9 3 3 9 3 9 1 3 3 3 3 3 3 27 x y x y x y x y x y x y x y x y − − − − − − − − − + − − + = + = + = ⇔ + = ⇔ + = = = Áp dụng định lí viète ta có: 3 x− và 3 y− là hai nghiệm của phươngtrình bậc hai 6 2 4 1 0 9 27 X X− + = (các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Đáp số: Hệphươngtrình có nghiệm ( ; )x y là ( ) 1;2 và ( ) 2;1 Bài tập 17: Giải hệphương trình: ( ) ( ) 2 2 3 5 3 log log 1 x y x y x y − = + − − = Hướng dẫn. Điều kiện xác định của hệphươngtrình là 0x y± > . Với điều kiện đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 3 5 3 log log 1 3 log log 1 log log 1 log 5 x y x y x y x y x y x y x y + + − = − = ⇔ − + − = + − − = Đặt ( ) ( ) 3 3 log log u x y v x y = + = − Khi đó ta có hệphươngtrình 3 1 1 log 5 u v v u + = − = (các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Đáp số: Hệphươngtrình có nghiệm ( ) ( ) , 2;1x y = Bài tập 18: Giải hệphương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 log log log log log log 0 x y xy x y x y = + − + = Hướng dẫn. Điều kiện xác định của hệphươngtrình là x>y>0. Với điều kiện đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 log log log log log log log log log log 0 log log log 0 x y xy x y x y x y x y x y x y = + = + + ⇔ − + = − + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 log 0 log log log 0 2log 2 log log 0 log log 0 log log log 0 log log log 0 y x y x y y x y x y x y x y x y x y = − + = + = ⇔ + = − + = − + = Xét hệphương trình: ( ) ( ) ( ) 2 log 0 log log log 0 y x y x y = − + = Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 log 0 1 log log log 0 log 1 log log1 0 y y x y x y x x = = ⇔ − + = − + = 7 1 1 1 1 2 y y x x = = ⇔ ⇔ − = = Xét hệphươngtrình ( ) ( ) ( ) 2 log log 0 log log log 0 x y x y x y + = − + = Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 log log 0 log log log 0 log log log 0 x y y x x y x y x y x y + = = ⇔ − + = − + = ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 log log log 0 log log 0 y y x x x x x x x x x = = ⇔ − − + = − = ÷ ÷ 2 2 2 2 2 1 1 1 log log 2 1 1 2 2 1 log log y x x x x y x x y x y x x x x = − = = = ⇔ ⇔ = = = − = − Kết luận: Hệphươngtrình có nghiệm ( ) ;x y là ( ) 2;1 và 1 2; 2 ÷ Bài tập 19: Giải hệphương trình: ( ) ( ) log log log 4 log 3 3 4 4 3 x y x y = = Hướng dẫn. Điều kiện xác định của hệphươngtrình là x, y >0. Với điều kiện đó ta có: Lấy logarit cơ số 10 hai vế của hai phươngtrình trong hệ ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) log log log 4 log3 3 4 log log3 log log4 log4 log4 log log3 log3 log 4 3 x y x y x y x y = = ⇔ + = + = Tiếp theo ta đặt log , logu x v y= = (Các bạn tự giải tiếp nhe !) Đáp số: Hệphươngtrình có nghiệm ( ) 1 1 ; ; 4 3 x y = ÷ Bài tập 20: Giải hệphương trình: 8 1. ( ) ( ) 3 3 log 2 log 2 2 4 2 3 3 12 xy xy x y x y = + + − − = 2. 2 4 4 3 9 9 4 16 16 log log log 2 log log log 2 log log log 2 x y z y z x z x y + + = + + = + + = 3. 4 2 3 0 log log 0 x y x y − + = − = 4. 2 2 2 2 1 x x y x x y + = + + = Bài tập 21: Giải hệphương trình: 1. 2 1 log 64 y y x x = + = 2. ( ) ( ) 3 2 3 2 log 2 3 5 3 log 2 3 5 3 x y x x x y y y y x + − − = + − − = 3. 3 1 2 3 2 2 3.2 3 2 1 1 x y y x x xy x + − + + = + + = + 4. 1 2 2 2 3 .2 2 2 .2 3 .8 1 x y x y x y x y x y x y − + + + + + = + = Bài tập 22: Giải hệphương trình: 1. ( ) ( ) 2 2 5 3 9 4 5 log 3 2 log 3 2 1 x y x y x y − = + − − = 2. log log 2 2 3 y x x y xy y = + = 3. 2 3 3 3 2 1 log log 0 2 2 0 x y x y y − = + − = 4. ( ) 3 3 2 972 log 2 x y x y = − = 5. ( ) 8 8 8 8 8 8 log 3log .log log 4log log xy x y xx y y = = Bài tập 23: Giải hệphương trình: 1. ( ) ( ) ln ln ln 6 ln5 5 6 6 5 x x x y = = 2. 1 2 1 4 4 3.4 2 3 2 log 3 x y y x y + − − + = + = − 3. ( ) 2 2 2 4 2 log 5 2log log 4 x y x y + = + = 4. 3 3 log log 3 3 2 27 log log 1 y x x y y x + = − = 5. 2 7 12 1 6 x x y x y − + = + = 9 . + = ⇔ ⇔ + = + = = Theo định lí viete đão ta có hai số x, y là nghiệm của phương trình: 2 20 36 0X X− + = (các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Đáp số: Hệ pt có nghiệm: ( ) (. = Tiếp theo ta đặt ( ) ( ) 2 2 log log u x y v x y = + = − Khi đó ta có hệ phương trình: 2 1 1 log 3 u v v u + = − = (Các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Đáp số: Hệ. log3 log 4 3 x y x y x y x y = = ⇔ + = + = Tiếp theo ta đặt log , logu x v y= = (Các bạn tự giải tiếp nhe !) Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm ( ) 1 1 ; ; 4 3 x y =