Lý thuyết luyện thi đại học môn toán

Lý thuyết luyện thi đại học môn toán

Trường……………………………… Khoa………………………… Lý thuyết luyện thi đại học môn toán LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 1 KHẢO SÁT HÀM SỐ Vấn đề 1: ÔN TẬP – CÔNG THỨC I. Tam thức bậc hai:   x   , 2 ax bx c 0    a b 0 c0 a0 0                     x   , 2 ax bx c 0    a b 0 c0 a0 0                     2 + bx + c = 0 Gi s g trình có 2 nghim 12 x ;x thì: 12 b S x x ; a     12 c P x .x a   Pt có 2 nghim phân bit a0 0        Pt có nghim kép a0 0        Pt vô nghim a0 a0 b0 0 c0                Pt có 2 nghim trái du P0  Pt có 2 nghim cùng du 0 P0        Pt có 2 nghim phân bi 0 P0 S0          Pt có 2 nghim phân bit cùng âm 0 P0 S0         II. Đa thức bậc ba:   3 + bx 2 + cx + d = 0 Gi s m 1 2 3 x ;x ;x thì: 1 2 3 b S x x x ; a      1 2 2 3 3 1 c x .x x .x x .x ; a     1 2 3 d P x .x .x a  III. Đạo hàm: BẢNG ĐẠO HÀM (kx)' k (ku)' k.u' 1 (x )' .x    1 (u )' .u'.u .    1 ( x)' 2x  u' ( u)' 2u  ' 2 11 xx     ' 2 1 u' uu     (sinx)' cosx (sinu)' u'.cosu (cosx)' sin x (cosu)' u'.sinu 2 1 (tan x)' cos x  2 u' (tanu)' cos u  2 1 (cot x)' sin x   2 u' (cotu)' sin u   xx (e )' e uu (e )' u'.e 1 (ln x)' x  u' (lnu)' u    a 1 log x ' xlna    a u' log u ' ulna  xx (a )' a .lna uu (a )' u'.a .lna Quy tắc tính đạo hàm (u  v) = u  v (uv) = uv + vu 2 u u v v u vv         (v  0) x u x y y .u    Đạo hàm của một số hàm thông dụng 1.   2 ax b ad bc y y' cx d cx d       2.   22 2 ax bx c adx 2aex be cd y y' dx e dx e           LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 2 Vấn đề 2: CÁC BƢỚC KHẢO SÁT HÀM SỐ. 1. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  Tìm tnh ca hàm s.  Xét s bin thiên ca hàm s: o Tính y. o m to hàm y bng 0 hoc không xnh. o Tìm các gii hn ti vô cc, gii hn vô cc và tìm tim cn (nu có). o Lp bng bin thiên ghi rõ du co hàm, chiu bin thiên, cc tr ca hàm s.  V  th ca hàm s: o m un c th i vi hàm s bc ba và hàm s ).  Tính y.  m t = 0 và xét du y. o V ng tim cn (nu có) c th. o nh mt s c bit c th m c th vi các trc to  ng h th không ct các trc to  hoc vic tìm to  m phc tp thì có th b qua). Có th tìm thêm mt s m thu th  có th v  o Nhn xét v  th: Ch ra tr i xi xng (nu có) c th. 2. Hàm số bậc ba 32 y ax bx cx d (a 0)     :  Tnh D = R.   th luôn có mm un và nhm un i xng.  Các d th: m phân bit   2  3ac > 0 a > 0 a < 0 m kép   2  3ac = 0 a > 0 a < 0 m   2  3ac < 0 a > 0 a < 0 3. Hàm số trùng phƣơng 42 y ax bx c (a 0)    :  Tnh D = R.   th luôn nhn trc tung làm tri xng.  Các d th: m phân bit  ab < 0 a > 0 a < 0 1 nghim phân bit  ab > 0 a > 0 a < 0 4. Hàm số nhất biến ax b y (c 0,ad bc 0) cx d       :  Tnh D =   d R\ c  . y x 0 I y x 0 I y x 0 I y x 0 I LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 3   th có mt tim cng là d x c  và mt tim cn ngang là a y c  m ca hai tim ci xng c th hàm s.  Các d th: ad – bc > 0 ad – bc < 0 5. Hàm số hữu tỷ 2 ax bx c y a'x b'    ( a.a' 0, t không chia ht cho mu)  Tnh D =   b' R\ a'  .   th có mt tim cng là b' x a'  và mt tim cm ca hai tim cn là tâm i xng c th hàm s.  Các d th: y = 0 có 2 nghim phân bit a0 a0 y = 0 vô nghim a0 a0 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ Vấn đề 1. SỰ TIẾP XÚC GIỮA HAI ĐƢỜNG, TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG CONG Ý nghĩa hình học của đạo hàm o hàm ca hàm s y = f(x) tm x 0 là h s góc ca tip tuyn v  th (C) ca hàm s t m   0 0 0 M x ;f(x ) .     p tuyn ca (C) tm   0 0 0 M x ;f(x ) là: y  y 0 = f (x 0 ).(x  x 0 ) (y 0 = f(x 0 )) Dạng 1: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng cong (C): y = f(x) Bài toán 1: Vip tuyn  ca (C): y =f(x) tm   0 0 0 M x ;y  Nu cho x 0 thì tìm y 0 = f(x 0 ). Nu cho y 0 thì tìm x 0 là nghim c trình f(x) = y 0 .  Tính y = f (x). Suy ra y(x 0 ) = f (x 0 ).  p tuyn  là: y  y 0 = f (x 0 ).(x  x 0 ) Bài toán 2: Vip tuyn  ca (C): y =f(x), bit  có h s c. Cách 1: Tìm to  tim.  Gi M(x 0 ; y 0 ) là tim. Tính f (x 0 ).   có h s góc k  f (x 0 ) = k (1)  Gic x 0 và tính y 0 = f(x 0 ). T a . Cách 2: u kin tip xúc.  ng thng  có dng: y = kx + m.   tip xúc vi (C) khi và ch khi h  trình sau có nghim: f(x) kx m f '(x) k      (*)  Gii h c m. T  trình ca . 0 x y 0 x y Lí THUY Cao Hong Nam Trang 4 Chỳ ý: H s gúc k ca tip tuyn cú th c cho giỏn ti to vi chic honh gúc thỡ k = tan song song vng thng d: y = ax + b thỡ k = a vuụng gúc vng thng d: y = ax + b (a 0) thỡ k = 1 a to vng thng d: y = ax + b mt gúc thỡ ka tan 1 ka Bi toỏn 3: Vip tuyn ca (C): y = f(x), bit i qua m AA A(x ;y ) . Cỏch 1: Tỡm to tim. Gi M(x 0 ; y 0 ) l tiú: y 0 = f(x 0 ), y 0 = f (x 0 ). p tuyn ti M: y y 0 = f (x 0 ).(x x 0 ) AA A(x ;y ) nờn: y A y 0 = f (x 0 ).(x A x 0 ) (1) Gi1c x 0 . T via . Cỏch 2: Dựng u kin tip xỳc. ng thng AA A(x ;y ) v cú h s gúc k: y y A = k(x x A ) tip xỳc vi (C) khi v ch khi h trỡnh sau cú nghim: AA f(x) k(x x ) y f '(x) k (*) Gii h c x (suy ra k). T t p tuyn . Dng 2: Tỡm iu kin hai ng tip xỳc u kin c ng (C 1 ): y = f(x) v (C 2 ): y = g(x) tip xỳc nhau l h trỡnh sau cú nghim: f(x) g(x) f '(x) g'(x) (*) Nghim ca h (*) l ca ti m c Dng 3: Tỡm nhng im trờn ng thng d m t ú cú th v c 1, 2, 3, tip tuyn vi th (C): y = f(x) Gi s d: ax + by +c = 0. M(x M ; y M ) d. ng thng qua M cú h s gúc k: y = k(x x M ) + y M tip xỳc vi (C) khi h sau cú nghim: MM f(x) k(x x ) y (1) f '(x) k (2) Th k t c: f(x) = (x x M ).f (x) + y M (3) S tip tuyn ca (C) v t M = S nghim x ca (3) Dng 4: Tỡm nhng im m t ú cú th v c 2 tip tuyn vi th (C): y = f(x) v 2 tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau Gi M(x M ; y M ). ng thng qua M cú h s gúc k: y = k(x x M ) + y M tip xỳc vi (C) khi h sau cú nghim: MM f(x) k(x x ) y (1) f '(x) k (2) Th k t (2) vc: f(x) = (x x M ).f (x) + y M (3) Qua M v c 2 tip tuyn vi (C) (3) cú 2 nghim phõn bit x 1 , x 2 . Hai tip tuyi nhau f (x 1 ).f (x 2 ) = 1 T c M. Chỳ ý: Qua M v c 2 tip tuyn vi (C) sao cho 2 tim nm v hai phớa vi trc honh thỡ 12 (3)coự2 nghieọm phaõn bieọt f(x ).f(x ) < 0 Vn 2. S TNG GIAO CA CC TH 1. th (C 1 ): y = f(x) v (C 2 ): y = g(x). m ca (C 1 ) v (C 2 ) ta gii l m). S nghim cng s giao Lí THUY Cao Hong Nam Trang 5 m c th. 2. th hm s bc ba 32 y ax bx cx d (a 0) ct trc honh ti 3 m phõn bit 32 ax bx cx d 0 cú 3 nghim phõn bit. Hm s 32 y ax bx cx d cú ci, cc tiu v Cẹ CT y .y 0 . Vn 3. BIN LUN S NGHIM CA PHNG TRèNH BNG TH c f(x) = g(x) (1) S nghim c giao m ca (C 1 ): y = f(x) v (C 2 ): y = g(x) Nghim c m ca (C 1 ): y = f(x) v (C 2 ): y = g(x) bin lun s nghim c F(x, m) = 0 (*) b th ta bii (*) v mt trong cỏc dng sau: Dng 1: F(x, m) = 0 f(x) = m (1) m cng: (C): y = f(x) v d: y = m ng thi Ox D th (C) ta bin lun s m ca (C) v d. T nghim ca (1) Dng 2: F(x, m) = 0 f(x) = g(m) (2) Thc hi, cú th t g(m) = k. Bin lun lun theo m. c bit: Bin lun s nghim ca phng trỡnh bc ba bng th c c ba: 32 ax bx cx d 0 (a 0) (1) th (C) S nghim ca (1) = S m ca (C) vi trc honh Bi toỏn 1: Bin lun s nghim ca phng trỡnh bc 3 Trng hp 1: (1) ch cú 1 nghim (C) v m chung Cẹ CT f khoõng coự cửùc trũ (h.1a) f coự 2 cửùc trũ (h.1b) y .y >0 Trng hp 2m (C) tip xỳc vi Ox Cẹ CT f coự 2 cửùc trũ (h.2) y .y =0 Trng hp 3: (1) cú 3 nghim phõn bit (C) ct Ox tm phõn bit Cẹ CT f coự 2 cửùc trũ (h.3) y .y <0 Bi toỏn 2: Phng trỡnh bc ba cú 3 nghim cựng du Trng hp 1: (1) cú 3 nghi bit (C) ct Ox tm phõn bit cú honh Cẹ CT Cẹ CT f coự 2 cửùc trũ y .y < 0 x > 0, x > 0 a.f(0) < 0 (hay ad < 0) Trng hp 2: (1) cú 3 nghim cú õm phõn y c. x m c. A c. (C) c. (d) : y = m c. y C y CT x A c. LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 6 bit  (C) ct Ox tm phân bit có hoành  âm         CÑ CT CÑ CT f coù 2 cöïc trò y .y < 0 x < 0, x < 0 a.f(0) > 0 (hay ad > 0) Vấn đề 4. HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1. Đồ thị hàm số   y = f x (hàm số chẵn) Gi (C): y f(x) và   1 (C ): y f x ta thc hin c sau: Bƣớc 1. V  th (C) và ch gi li ph th nm phía bên phi trc tung. Bƣớc 2. Li xng ph th  c 1 qua tr th (C 1 ). 2. Đồ thị hàm số y = f(x) Gi (C): y f(x) và 2 (C ): y f(x) ta thc hin c sau: Bƣớc 1. V  th (C). Bƣớc 2. Gi li ph th ca (C) nm phía trên trc hoành. Li xng ph th nm i trc hoành ca (C) qua trc hoành ta  th (C 2 ). 3. Đồ thị hàm số   y = f x Gi   1 (C ): y f x , 2 (C ): y f(x) và   3 (C ): y f x . D th v (C 3 ) ta thc hin c v (C 1 ) ri (C 2 ) (hoc (C 2 ) ri (C 1 )). Vấn đề 5. ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng d: y = ax + b Cơ sở của phƣơng phápi xng nhau qua d  d là trung trc cn AB    ng thng  vuông góc vi d: y = ax + b có dng: : 1 y x m a      m ca  và (C): f(x) = 1 xm a  (1)   u kin c    ct (C) ti 2 m phân bi      A , x B là các nghim ca (1).  Tìm to  m I ca AB.  T u kii xng qua d  I  c m  x A , x B  y A , y B  A, B. Chú ý:  i xng nhau qua trc hoành  AB AB xx yy       i xng nhau qua trc tung  AB AB xx yy       i xng thng y = b  AB AB xx y y 2b       i xng thng x = a  AB AB x x 2a yy      LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 7 Dạng 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) Cơ sở của phƣơng pháp: i xng nhau qua I  m ca AB.  ng thng d qua I(a; b), có h s góc k có dng: y k(x a) b   .   m ca (C) và d: f(x) = k(x a) b (1)  u ki d ct (C) tm phân bit  A , x B là 2 nghim ca (1).  T u kii xng qua I  I là m cc k  x A , x B . Chú ý: i xng qua gc to  O  AB AB xx yy      Dạng 3: Khoảng cách Kiến thức cơ bản: 1. Khong cách gim A, B: AB = 22 B A B A (x x ) (y y )   2. Khong cách t m M(x 0 ; y 0 ng thng : ax + by + c = 0: d(M, ) = 00 22 ax by c ab   3. Din tích tam giác ABC: S =   2 22 11 AB.AC.sinA AB .AC AB.AC 22    Nhận xét: Ngoài nh tp phng kt hp vi phn hình hc gii tíchnh lý Vi-et nên cn chú ý xem li các tính cht hình hc, các công c gii toán trong hình hc gii tích, áp dng thành thnh lý Vi-et trong tam thc bc hai. LƢỢNG GIÁC Vấn đề 1: ÔN TẬP I. Góc và cung lƣợng giác: 1. Giá trị lượng giác của một số góc: Α 0 6  4  3  2  Sinα 0 1 2 2 2 3 2 1 Cosα 1 3 2 2 2 1 2 0 Tanα 0 3 3 1 3  Cotα  3 1 3 3 0 2. Cung liên kết: (cos đối, sin bù, phụ chéo) x   x 2   x  + x 2  + x Sin sinx sinx cosx sinx cosx Cos cosx cosx sinx  cosx sinx Tan tanx tanx cotx tanx cotx Cot cotx cotx tanx cotx tanx II. Công thức lƣợng giác: 1. Công thức cơ bản: 22 sin a cos a 1 tana.cota 1 2 2 1 1 tan a cos a  2 2 1 1 cot a sin a  2. Công thức cộng: cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sins .cos cos .sin sin( ) sins .cos cos .sin tan tan tan( ) 1 tan .tan tan tan tan( ) 1 tan .tan                                                 LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 8 3. Công thức nhân đôi, nhân ba: 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin (cos sin )(cos sin )                   sin2 2sin .cos    3 cos3 4cos 3cos    3 sin3 3sin 4sin    4. Công thức hạ bậc: 22 1 cos2x cos x 1 sin x 2 (1 cosx)(1 cosx)        22 1 cos2x sin x 1 cos x 2 (1 cosx)(1 sin x)        5. Công thức biến đổi tổng thành tích: x y x y cosx cos y 2cos cos 22 x y x y cosx cosy 2sin sin 22 x y x y sin x sin y 2sin cos 22 x y x y sin x sin y 2cos sin 22             6. Công thức biến đổi tích thành tổng:       1 cos cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 1 sin cos sin( ) sin( ) 2                            Một số chú ý cần thiết: 4 4 2 2 sin x cos x 1 2.sin x.cos x   6 6 2 2 sin x cos x 1 3.sin x.cos x   8 8 4 4 2 4 4 2 2 2 4 4 42 sin x cos x (sin x cos x) 2sin x.cos x (1 2sin x.cos x) 2sin x.cosx 1 sin 2x sin 2x 1 8           Trong một số phương trình lượng giác, đôi khi ta phải sử dụng cách đặt như sau: Đặt t tanx : 2 22 2t 1 t sin2x ; cos2x 1 t 1 t    Vấn đề 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC I. Phƣơng trình cơ bản:  x k2 sin x sin k x k2                   x k2 cosx cos k x k2                  tanx tan x k k        cot x cot x k k        Trường hợp đặc biệt:  sinx 0 x k ,k       sinx 1 x k2 k 2          sinx 1 x k2 k 2            cosx 0 x k k 2          cosx 1 x k2 k     II. Phƣơng trình bậc hai hay bậc n của một hàm lƣợng giác:  2 asin x bsinx c 0   (1)  2 acos x bcosx c 0   (2)  2 a tan x btanx c 0   (3)  2 acot x acot x c 0   (4) Cách giải: -    III. Phƣơng trình a.sinx b.cosx c Cách giải: -  2 2 2 a b c :  -  2 2 2 a b c :   22 ab  2 2 2 2 2 2 a b c sinx cosx a b a b a b      22 c cos .sin x sin .cosx ab       22 c sin(x ) ab     Lƣu ý: 2 2 2 2 ba sin ;cos a b a b         LÝ THUY Cao Hoàng Nam Trang 9 Biến thể: a.sinx b.cosx csin y dcosy    2 2 2 2 a b c d   a.sinx b.cosx csin y  c.cosy )  2 2 2 a b c IV. Phƣơng trình 22 a.sin x b.sinx.cosx c.cos x d   Cách giải: Cách 1: - Xét cosx 0 x k2 ,k 2           cosx 0 hay không?) - Xét cosx 0 x k2 ,k 2          2 cos x . P trình  22 a.tan x b.tanx c d(1 tan x)     t tan x p. Cách 2:   Chú ý: phƣơng trình thuần nhất bậc 3 hay bậc 4 đối với sin và cos   V. Phƣơng trình a(sinx cosx) b.sinx.cosx c 0    Cách giải:  t sinx cosx  t 2 Do t 2sin x 4            Ta có: 2 2 2 t sin x cos x 2sinx.cosx   2 t1 sin x.cosx 2    2 t1 a.t b c 0 2      Chú ý:  a(sinx cosx) b.sinx.cosx c 0     t sin x cosx 2 sin x 4          . VI. Phƣơng trình A.B 0 Cách giải: -   A.B 0 A0 A.B 0 B0       Vấn đề 3: KĨ THUẬT NHẬN BIẾT  Xut hin 3   Xut hin 3 và góc ng giác ln dng bin th c  Xut hin góc ln thì dùng công thc tng   các góc nh.  Xut hin các góc có cng thêm k ,k ,k 42   thì có th dùng công thc tng thành tích, tích thành tng hoc cung liên kt, hoc công thc c làm mt các k ,k ,k 42    Xut hin 2  ho  còn li nhóm c (sinx cosx)  trit 2 vì t sin x cos x 2 sin x 4           c n kh  kh c hai theo sin (hoc cos) v tích c nht. Chú ý: Góc ln là góc có s  Ta ch s dng công th  bài toán v sinx, 2 sin x hoc cosx, 2 cos x . Vấn đề 4: GIẢI TAM GIÁC I. Công thức sin, cos trong tam giác: Do A B C    nên: a. sin(A B) sinC b. cos(A B) cosC   Do A B C 2 2 2 2     nên: a. A B C sin( ) cos 2 2 2 