Vi phân trong tích phân hàm ẩn lớp 12 | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Đây là một phẩn chuyên đề, thầy cô có thể truy cập tải bản đầy đủ tại địa chỉ - http://bit.ly/2HJSPsf. DẠNG 1: Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thức    .[r]

CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨN CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN HÀM ẨN (CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG TÍCH PHÂN HÀM ẨN) Đây phẩn chun đề, thầy truy cập tải đầy đủ địa http://bit.ly/2HJSPsf DẠNG 1: Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức u  x  f  x   u x  f  x  h  x  Biết trước u  x  , h  x  Tìm f  x  ? I LÝ THUYẾT = = = I Từ đẳng thức u  x  f  x   u x  f  x  h  x    f  x  u  x    h  x  Suy f  x  u  x  h  x  dx  f  x  Đây phẩn chun đề, thầy truy cập tải đầy đủ địa http://bit.ly/2HJSPsf II = = = I HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu [Mức độ ] Cho hàm số xác định liên tục thỏa mãn Tính Lời giải x f  x   x f  x  3x    x f  x    3x  Ta có Lấy nguyên hàm hai vế ta có   x f  x   dx=  3x 2  1 dx  x f  x  x  x  C x  x 1 11 f  1 3  2  C  C 1  f  x    f  2  x Mà Câu [Mức độ ] Cho hàm số xác định liên tục thỏa mãn Tính Lời giải f  x  2 x  3x  x f  x   f  x   x f  x  2 x  3x   x f  x    2 x  3x Ta có Lấy nguyên hàm hai vế ta có  dx = x  x dx  xf x  x  x  C  xf x          Mà f   4  2.4  24 x  x3  16  13  23  C  C   f  x    f  1  2x Câu [Mức độ ] Cho hàm số liên tục thoả mãn Biết Tính giải [Mức độ ] Cho hàm số xác định liên tụcLời thỏa mãn Tính Ta có: 2sin x f  x     cos x  f  x  sin x  3sin x       cos x  f  x    sin x  3sin x   Lấy nguyên hàm hai vế ta có     cos x  f  x   dx sin x  3sin x  dx    cos x  f  x   6sin x cos x  8sin x cos x dx   2sin x f  x  2sin x  4sin x  C             f   3  2sin   f   2sin  4sin  C 2  2  2  C 0 Mà     4 f ( x) sin x   f     3 Vậy Đây phẩn chuyên đề, thầy cô truy cập tải đầy đủ địa http://bit.ly/2HJSPsf Câu [Mức độ ] Cho hàm số liên tục thoả mãn Biết Tính Lời giải x 1 1 x  f  x   6   f  x   xf  x   f  x  6 x     xf  x    6 x   x x x Ta có: Lấy nguyên hàm hai vế ta   xf  x  dx  x  x  dx  xf  x  3 x  ln x  x  C Mà Vậy f  1 5  3.12  ln1  2.1  C  C 0 f  x  3x  ln x   f  e  3e   x e Câu [Mức độ ] Cho hàm số có đạo hàm thỏa mãn , , Tính giá trị biểu thức Xét phương trình khoảng xf  x   f  x  2 x Chia hai vế cho x , ta , Lời giải y  f  x x f  x    có đạo hàm  0;    nên liên tục f  x   x   x f  x     x x    x f  x  dx  x dx  Lấy tích phân từ tới hai vế ta 4 14  14  17 2 3  x f  x   x   f    f  1   f      1  2 3 1  (vì f  1 1 ) 17 f  4  Vậy Đây phẩn chuyên đề, thầy truy cập tải đầy đủ địa http://bit.ly/2HJSPsf   Câu [Mức độ ] Cho hai hàm số có đạo hàm đoạn thỏa mãn hệ thức Tính Lời giải f  x   g  x   x  f  x   g  x     f  x   g  x   dx  x  f  x   g  x   dx Ta có   f  x   g  x   dx  x  f  x   g  x     f  x   g  x   dx C   x  f  x   g  x   C  f  x   g  x   x Vì f  1  g  1  C  C  4 I  f  x   g  x   dx 8ln f  x  g  x  x Vậy Do Câu [Mức độ 3] Cho hàm số liên tục thỏa mãn với Tính Lời giải f  x   f  x  sin x e x f  x   e x f  x  e x sin x Ta có , với x  R nên suy , với x  R   e x f  x    e x sin x hay π π 0  x x  e f  x   dx e sin xdx π eπ  x π π π   e f  x     e  sin x  cos x    e f  π   f     e  1  e f  π   0 2 x π Câu [Mức độ 4] Cho hàm số liên tục thỏa mãn điều kiện Giá trị , với Tính Lời giải x x  x   f f x    x 1 x  x  1 f  x   f  x   x  x  x   x 1 Từ giả thiết, ta có x  x   f  x   x  , với x   0;     x 1  x x x dx f  x   f  x   x  ln x   C x 1 Suy x  hay x  x f  x   x  ln x   C  x  Mặt khác, ta có nên Do 3 3 f   1  ln f     ln a b   2 Với x 2 Suy a  b2  Vậy f  1  ln Câu [Mức độ ] Cho hàm số có đạo hàm thỏa mãn , Tính Lời giải Ta có:  f  x    f  x  f  x  15 x  12 x x   ,   f  x  f  x    15 x  12 x x    f  x  f  x  3 x  x  C1 , Do f    f   1 nên ta có C1 1 Do đó: f  x  f  x  3x  x  1    f  x   3x  x   f  x   x  x  x  C2 2  f 1 C 1 Do f  x   x  x3  x  Mà   nên ta có f  1 8 Vậy Câu 10 [Mức độ 4] Cho hàm số có đạo hàm liên tục khoảng , Biết , , Tính tích phân theo Lời giải x   0;1 ta có: x  xf  x  2 f  x    x  2 f  x   xf  x   x  x 2 xf  x   x f  x    x2  4x  x2  x  x xf  x   x f  x       f  x   f  x   f  x f  x  Tính  sin x.cos x  2sin x sin x.cos x  4sin x.cos x I  d x  dx  f  sin x  f  sin x    6   x  t x  t 2, Đặt t sin x  dt cos xdx , đổi cận Ta có t t  4t I  dt  f  t f t 2  3        3 f    1    2 1 3a  b f    2   4b 4a 4ab Câu 11 [Mức độ 4] Cho hàm số liên tục thỏa mãn Biết Tính Lời giải e x  f  x   f '  x   dx ae  b  x  e f  x   ' dx ae  b  e x f  x  ef  1  f   e  Vậy a 1; b  Q a 2018  b 2018 2 Câu 12 [Mức độ ] Cho hàm số liên tục có đạo hàm Biết đẳng thức thỏa mãn Tính giá trị Lời giải , ta nhân hai vế đẳng thức cho ( x  1) ta được: x x x ( x  1)2  f  x  f ( x )  2 f  x   ( x  1) f  x   x 1 x2   x  1 x2  x    1;     x  x   x  x  x    f  x   dx  dx   f  x    f ( x)   2 x 1   x 1 0 x 3  x 1  x 3 0  f   2   x 3  DẠNG 2: Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức u  x  f  x   u x  f  x  h  x  I ===I LÝ THUYẾT u  x  f  x   u x  f  x  h  x  Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức u  x , h  x f  x Biết trước Tìm ? Phương pháp chung:  u  u .v  uv    v2 Cơ sở phương pháp  v   Bước Chia hai vế (2) cho u ( x) 0 ta  2  f  x   h  x   u  x  f  x   u  x  f  x  h  x      u  x  u  x    f  x h  x  dx u  x u ( x) Bước Lấy nguyên hàm hai vế ta h  x u ( x) dx f  x Bước Tính , từ suy II ===I HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 1 xf   x  dx Lời giải Với x 0 , ta có  f  x   f  x   x  C   1  x x  x   f  x  x  Cx f  1 1 f  x  x Vì nên C 0 Do xf  x   f  x  xf  x   f  x  x  Vậy x4 xf x d x  x d x     0 0 4 1 Câu f 2  Lời giải Do  x   1; 2 f  x  xf  x   x  3x  nên xf  x   f  x  x2  f  x   2 x     2 x   x  f  x x  3x  C x f x x  3x nên C 0    f 20 Vậy   Do f  1 4 Câu f  1 Lời giải  f  x   f  x  f  x    f  x   f  x  1  x  C    f x f x     f x      Ta có:  x2  ln f  x   x  C  dx   Cx  D 2 x  Cx  D  D 0 f  x  e ; f   1; f   e     C  D   Vì Suy f  x  e x2 x C 1   D 0  f  1 e Câu f  x  dx Lời giải Xét x 0 : Từ giả thiết f  x   xf  x  x 2018 , nhân hai vế cho x ta 3x f  x   x f  x   x 2020 3x f  x   x3 f  x   f  x  2014  x   x 2014   x  x  Chia hai vế cho x ta được:  f  x   f  x 2014 x 2015  C    x   x  x 2015 Suy  Thay x 1 vào hai vế ta Vậy C 0  f  x    x 2018 2015 1 1 1 f  x  dx   x 2018dx  x 2019   2015 2015 2019 2015  2019 0 Câu f 4  e  f  0 Lời giải x Chia hai vế cho e ta có f ( x ) - f ¢( x ) = e éf ( x ) ù¢ Û ê x ú =êe ú ë û e x f ( x ) - e x f ¢( x ) x +1 Û = x +1 e2 x x x +1 Û f ( x) =- ( x +1) x +1 + C x e f  4   C Cho x 4 , ta có e f    Cho x 0 , ta có f  4 26  f    Vậy e C Câu f  1 Lời giải Chia hai vế cho e 2 x2 e x f ¢( x ) - xe x f ( x) e2 x Û f ( x) ex 2 = x2 +C để thu đạo hàm đúng, ta éf ( x ) ù¢ ú = 2x Û ê ê e x2 ú = x ë û C  f    f ( x ) = ( x - 2) e x Cho x 0 , ta có Suy f  1  e Cho x 1 , ta có Câu f  1 Lời giải 2018x Chia hai vế cho e f  x   2018 f  x  e 2018 x để thu đạo hàm đúng, ta e 2018 x f  x   2018.e 2018 x f  x  2017 2018 x  2018 x 2017 2018 x e   f  x   f  x   2018 x  2018 x 2017  2018 x  x 2018  C e e  C 2018  f  x   x 2018  2018 e 2018 x Thay x 0 vào hai vế ta f  1 2019e2018 Vậy Câu f   1 Lời giải f  x   f  x  0  Ta có f  x  2   ln f  x    2  ln f  x  2 x  C f  x C =- Þ f ( x ) = e x- Thay x = vào hai vế ta f   1 e  Vậy Câu P a  b Lời giải Ta có f  x   cot x f  x  x.sin x  sin x f  x   cos x f  x  x sin x f  x  f  x     x C  x  sin x  sin x      f  f  2     C      C   18 36 x sin ta có Cho   f  2     C  f       C     72   144 x sin ta có Cho   f     f     2     48 Vậy a 1, b 48  P a  b 49 Khi Câu 10 f (2) Lời giải  x f ( x)  xf ( x)  f ( x)  ln x     x f ( x)  xf ( x)  ln x x  xf ( x ) x4 x3   Vì x  (1; ) nên ta có :  f ( x) f ( x)   f ( x )   f ( x)      ln x 1     ln xdx   dx x x   x   x   f ( x ) ln x f ( x) f ( x) f ( x) ln x    dx  x   dx  C  x  C x x x x2 x2  x  C  f ( x ) ln x   x  C  f ( x)  x2 ln x Theo f   e 3e  C 0  f ( x ) = x3 f (2) = ln x Do ln DẠNG 3: Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức g  x f  x Biết trước Tìm f  x   f  x   g  x  I LÝ THUYẾT = = = f  x   f  x  g  x  Từ đẳng thức I  e x f  x   e x f  x  e x g  x  Suy ra: Các dạng mở rộng   e x f  x    e x g  x  e x f  x  e x g  x  dx  f  x   f  x  ekx   e kx f  x   kekx f  x  1)  f  x  e kx   e kx f  x   ke kx f  x  e kx  f ( x )  kf ( x )  2)  f  x  e kx   e kx  f ( x )  2kf ( x)  k f ( x)  3)   f  x  e kx   ekx  f ( x )  2kf ( x)  k f ( x)  4)  II = = = I HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu [Mức độ ] Cho hàm số liên tục, có đạo hàm đoạn với Biết Tính Lời giải Ta có f  x  f  x   f  x  0 với x thuộc  nên  f  x   f  x   ln  f ( x)      ln  f  x    x  C  f  x  e  x C Từ f  1 1  e Suy  2.1C f   1 e 1    C 0  C 2  f  x  e  x   2.  1  e Câu [Mức độ 3] Cho hàm số có đạo hàm liên tục , thỏa mãn Biết , Tính giá trị Lời giải f ¢( x) f ¢( x) - 2f ( x) = Û f ¢( x) = 2f ( x) Û =2 f ( x) Ta có ( ln( f (x)) ) ¢= Û Mà ln f ( x) = 2x + C (do f ( x) > (do f ( x) > ) ) f ( 1) = Þ C = - Þ ln f ( x) = 2x - Þ f ( x) = e2x- Þ f ( - 1) = e- = Câu [Mức độ ] Cho hàm số liên tục; có đạo hàm đoạn thỏa mãn, Tính Lời giải f ( x) + f ¢( x) = - 2, " x Ỵ é 0;2ù ê ë ú û Ta có: x x x Û e f ( x) + e f ¢( x) = - 2e   e x f  x     2e x ( ) Û ex f ( x) = ò - 2ex dx = - 2ex + C Do f   2 Khi đó: nên C 4 e x f  x   2e x   f  x    1 4  f  x  dx    x  dx 2 x  x  e  e 0 Vậy ex 2  e Câu [Mức độ ] Cho hàm số liên tục, có đạo hàm đoạn , Tính Lời giải ù f ( x) + f ¢( x) = x, " x Ỵ é ê- 1;1ú ë û Ta có: Û ex f ( x) + ex f ¢( x) = xex e4 ¢ x Û é ex f ( x) ù ê ú = xe ë û Û ex f ( x) = ò xexdx = xex - ex + C f ( 0) = - nên C = e f ( x) = xex - ex Þ f ( x) = x - Khi đó: Do x ... > ) ) f ( 1) = Þ C = - Þ ln f ( x) = 2x - Þ f ( x) = e2x- Þ f ( - 1) = e- = Câu [Mức độ ] Cho hàm số liên tục; có đạo hàm đoạn thỏa mãn, Tính Lời giải f ( x) + f ¢( x) = - 2, " x Î é 0;2ù ê ë... x  x3  x  Mà   nên ta có f  1 8 Vậy Câu 10 [Mức độ 4] Cho hàm số có đạo hàm liên tục khoảng , Biết , , Tính tích phân theo Lời giải x   0;1 ta có: x  xf  x  2 f  x   ... 3  DẠNG 2: Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thức u  x  f  x   u x  f  x  h  x  I ===I LÝ THUYẾT u  x  f  x   u x  f  x  h  x  Bài tốn tích phân liên quan đến