Chương 3 BIẾN ĐỔI Z

Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z Trang 32 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Chương 3 BIẾN ĐỔI Z 1. Biến đổi z 1.1. Biến đổi z trực tiếp Định nghĩa: Biến đổi z của tín hiệu rời rạc x(n) định nghĩa như sau: X(z) = ∑ ∞ −∞= − n n z)n(x (3.1) Trong đó z là biến phức và được biểu diễn như sau: X(z) = Z[x(n)] (3.2) Hay: )z(X)n(x z ⎯→← (3.3) Do chuỗi biến đổi là vô hạn nên chỉ tồn tại một số giá trị của z để X(z) hội tụ. Tập hợp tất cả các giá trị của z để X(z) hội tụ gọi là miền hội tụ của X(z) ROC (Region Of Convergence). VD : Xác định biến đổi z của các tín hiệu rời rạc hữu hạn sau: c x(n) = {1,2,5,7,0,1} ↑ X(z) = 1 + 2z -1 + 5z -2 + 7z -3 + z -5 hữu hạn khi z ≠ 0 Æ ROC = C \{0} d x(n) = {1,2,5,7,0,1} ↑ X(z) = z 2 + 2z + 5z + 7z -1 + z -3 hữu hạn khi z ≠ 0 và z ≠ ∞Æ ROC = C \{0, ∞ } e x(n) = δ (n) X(z) = 1 Æ ROC = C f x(n) = δ (n - k), k > 0 X(z) = z -k , k > 0 Æ ROC = C \{0} g x(n) = δ (n + k), k > 0 X(z) = z k , k > 0 Æ ROC = C \{ ∞ } Như vậy, đối với tín hiệu hữu hạn thì ROC là toàn bộ mặt phẳng z và có thể trừ các giá trị z = 0 và z = ∞ . VD : Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = )n(u 2 1 n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x(n) = {1, 2 1 , 2 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ , …} Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z Trang 33 GV: Phạm Hùng Kim Khánh X(z) = ∑ ∞ −∞= − n n z)n(x = ∑ ∞ −∞= − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n n n z)n(u 2 1 = ∑ ∞ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0n n 1 z 2 1 X(z) = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + − ∞→ 1 1N 1 N z 2 1 1 z 2 1 1 lim hội tụ về ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −1 z 2 1 1 1 khi 1z 2 1 1 < ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Æ ROC: |z| > ½ Do z là biến phức nên ta biểu diễn như sau: z = re jθ (3.4) X(z) = ∑ ∞ −∞= θ−− n njn er)n(x |X(z)| = ∑ ∞ −∞= θ−− n njn er)n(x ≤ ∑ ∞ −∞= θ−− n njn er)n(x = ∑ ∞ −∞= − n n r)n(x (3.5) |X(z)| ≤ ∑∑ ∞ = − − −∞= − + 0n n 1 n n r)n(xr)n(x = ∑∑ ∞ = ∞ = +− 0n n 1n n r )n(x r)n(x (3.6) ROC của X(z) là các giá trị của r để 2 chuỗi ở vế phải của (3.6) hội tụ. Số hạng đầu tiên hội tụ khi r đủ nhỏ (r < r 1 ) và số hạng thứ hai hội tụ khi r đủ lớn (r > r 1 ). Hình 3.1 – ROC của X(z) ROC của ∑ ∞ = − 1n n r)n(x r 1 r 2 ROC của ∑ ∞ =0n n r )n(x Re(z) Re(z) Im(z) Im(z) ROC với r 1 > r 2 r 1 Không tồn tại ROC với r 1 < r 2 r 2 r 2 r 1 Re(z) Im(z) Re(z) Im(z) Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z Trang 34 GV: Phạm Hùng Kim Khánh VD : Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = a n u(n) X(z) = ∑ ∞ −∞= − n n z)n(x = ∑ ∞ = − 0n n1 )az( Æ 1 az1 1 − − nếu |az -1 | < 1 hay |z| > |a| Hình 3.2 – ROC của Z{a n u(n)} x(n) = a n u(n) ⎯→← z X(z) = 1 az1 1 − − , ROC: |z| > |a| (3.7) Nếu a = 1, ta được biến đổi z của hàm bước đơn vị: x(n) = u(n) ⎯→← z X(z) = 1 z1 1 − − , ROC: |z| > 1 (3.8) VD : Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = -a n u(-n-1) X(z) = ∑ ∞ −∞= − n n z)n(x = ∑ − −∞= −− − 1 n n1 )za( = ∑ ∞ = − − 1n n1 )za( X(z) = ( ) N12111 N )za( .)za()za(1)za(lim −−−− ∞→ ++++− X(z) = )za(1 )za(1 )za(lim 1 1N1 1 N − +− − ∞→ − − − Æ )za(1 za 1 1 − − − − = 1 az1 1 − − khi |a -1 z| < 1 hay |z| < |a| x(n) = -a n u(-n-1) ⎯→← z X(z) = 1 az1 1 − − , ROC: |z| < |a| (3.9) Hình 3.3 – ROC của Z{-a n u(-n-1)} |a| Re(z) Im(z) ROC |a| Re(z) Im(z) ROC Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z Trang 35 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Từ (3.7) và (3.9): hai tín hiệu khác nhau có cùng biến đổi X(z) nhưng ROC khác nhau. Do đó, tín hiệu rời rạc x(n) xác định duy nhất bằng biến đổi X(z) và ROC của X(z) . VD : Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = a n u(n) + b n u(-n-1) X(z) = ∑ ∞ = − 0n n1 )az( + ∑ ∞ = − 1n n1 )zb( Chuỗi thứ nhất hội tụ khi |z| > |a|, chuỗi thứ hai hội tụ khi |z| < |b| Æ nếu |b| ≤ |a| thì X(z) không tồn tại. Ngược lại: X(z) = 1 az1 1 − − - 1 bz1 1 − − = 1 abzzba ab − −−+ − Như vậy: x(n) = a n u(n) + b n u(-n-1) ⎯→← z X(z) = 1 abzzba ab − −−+ − ROC: |a| < |z| < |b| (3.10) 1.2. Biến đổi z ngược Từ (3.1): X(z) = ∑ ∞ −∞= − k k z)k(x (3.11) Hay: X(z)z n-1 = ∑ ∞ −∞= −− k k1n z)k(x ∫ ∑ ∫ ∞ −∞= −−− = ROC k k1n ROC 1n dzz)k(xdzz)z(X = ∑ ∫ ∞ −∞= −− k ROC k1n dzz)k(x (3.12) Theo định lý tích phân Cauchy: ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = π ∫ −− nk0 nk1 dzz j2 1 C k1n (3.13) với C là đường cong đóng bất kỳ. Từ đó: x(n) = ∫ − π ROC 1n dzz)z(X j2 1 (3.14) Ký hiệu: x(n) = Z -1 {X(z)} 2. Tính chất của biến đổi z  Tuyến tính Nếu: x 1 (n) ⎯→← z X 1 (z) và: x 2 (n) ⎯→← z X 2 (z) thì: a 1 x 1 (n) + a 2 x 2 (n) ⎯→← z X(z) = a 1 X 1 (z) + a 2 X 2 (z) (3.15) Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z Trang 36 GV: Phạm Hùng Kim Khánh với a 1 , a 2 là các hằng số tuỳ ý VD : Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = [3(2 n ) – 4(3 n )]u(n) Đặt x 1 (n) = 2 n u(n) và x 2 (n) = 3 n u(n). Theo (3.7): x 1 (n) ⎯→← z X 1 (z) = 1 z21 1 − − , ROC: |z| > 2 x 2 (n) ⎯→← z X 2 (z) = 1 z31 1 − − , ROC: |z| > 3 Theo (3.15): x(n) = 3x 1 (n) – 4x 2 (n) ⎯→← z X(z) = 3X 1 (z) – 4X 2 (z) = 1 z21 3 − − - 1 z31 4 − − ROC: |z| > 3 VD : Xác định biến đổi z của tín hiệu: x(n) = (cosω 0 n)u(n) Ta có: x(n) = )n(ue 2 1 )n(ue 2 1 njnj 00 ω−ω + = () () )n(ue 2 1 )n(ue 2 1 n j n j 00 ω−ω + Theo (3.7) và (3.15): X(z) = 1 j 1 j ze1 1 2 1 ze1 1 2 1 00 − ω− − ω − + − , ROC: |z| > 0 j e ω = 1 (cosω 0 n)u(n) ⎯→← z 2 0 1 0 1 zcosz21 cosz1 −− − +ω− ω− , ROC: |z| > 1 (3.16) Tương tự: (sinω 0 n)u(n) ⎯→← z 2 0 1 0 1 zcosz21 sinz −− − +ω− ω , ROC: |z| > 1 (3.17)  Dịch thời gian Nếu: x(n) ⎯→← z X(z) thì: x(n - k) ⎯→← z z -k X(z) (3.18) VD : Xác định biến đổi z của tín hiệu: x(n) = ⎩ ⎨ ⎧ −≤≤ khác0 1Nn01 Ta có: x(n) = u(n) – u(n – N) Theo (3.8): Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z Trang 37 GV: Phạm Hùng Kim Khánh u(n) ⎯→← z X(z) = 1 z1 1 − − , ROC: |z| > 1 Theo (3.18): u(n – N) ⎯→← z X(z) = z -N 1 z1 1 − − , ROC: |z| > 1 Æ X(z) = 1 z1 1 − − - z -N 1 z1 1 − − = z1 z1 N − − − , ROC: |z| > 1 (3.19)  Co trên miền z Nếu: x(n) ⎯→← z X(z), ROC: r 1 < |z| < r 2 thì: a n x(n) ⎯→← z X(a -1 z), ROC: |a|r 1 < |z| < |a|r 2 (3.20) VD : Xác định biến đổi z của tín hiệu: x(n) = a n (cosω 0 n)u(n) Theo (3.16) và (3.20): a n (cosω 0 n)u(n) ⎯→← z 22 0 1 0 1 zacosaz21 cosaz1 −− − +ω− ω− , ROC: |z| > |a| (3.21) VD : Xác định biến đổi z của tín hiệu: x(n) = a n (sinω 0 n)u(n) Theo (3.17) và (3.20): a n (sinω 0 n)u(n) ⎯→← z 22 0 1 0 1 zacosaz21 cosaz −− − +ω− ω , ROC: |z| > |a| (3.22)  Đảo thời gian Nếu: x(n) ⎯→← z X(z), ROC: r 1 < |z| < r 2 thì: x(-n) ⎯→← z X(z -1 ), ROC: 1 r 1 < |z| < 2 r 1 (3.23) VD : Xác định biến đổi z của tín hiệu: x(n) = u(-n) Theo (3.8): u(n) ⎯→← z 1 z1 1 − − , ROC: |z| > 1 Theo (3.23): x(n) ⎯→← z X(z) = z1 1 − , ROC: |z| < 1 (3.24) Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z Trang 38 GV: Phạm Hùng Kim Khánh  Vi phân trên miền z Nếu: x(n) ⎯→← z X(z) thì: nx(n) ⎯→← z dz )z(dX z − (3.25) VD : Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = na n u(n) Theo (3.7): a n u(n) ⎯→← z 1 az1 1 − − , ROC: |z| > |a| Theo (3.25): X(z) = -z dz az1 1 d 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = () 2 1 1 az1 az − − − na n u(n) ⎯→← z () 2 1 1 az1 az − − − , ROC: |z| > |a| (3.26) Cho a = 1: nu(n) ⎯→← z () 2 1 1 z1 z − − − , ROC: |z| > 1 (3.27)  Tích chập Nếu: x 1 (n) ⎯→← z X 1 (z) và: x 2 (n) ⎯→← z X 2 (z) thì: x 1 (n) * x 2 (n) ⎯→← z X 1 (z)X 2 (z) (3.28) VD : Tính tích chập của 2 tín hiệu sau: x 1 (n) = {1,-2,1} ↑ x 2 (n) = ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ khác0 5n01 Ta có: X 1 (z) = 1 -2z -1 + z -2 = (1 – z -1 ) 2 Theo (3.19): X 2 (z) = 1 6 z1 z1 − − − − Æ X(z) = X 1 (z)X 2 (z) = (1 – z -6 )(1 – z -1 ) X(z) = 1 – z -1 – z -6 + z -7 Æ x(n) = {1,-1,0,0,0,0,-1,1} ↑ Mà X(z) = X 1 (z)X 2 (z) nên x(n) = x 1 (n) * x 2 (n) Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z Trang 39 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Từ ví dụ này, ta có thế thực hiện tích chập của hai tín hiệu x 1 (n) và x 2 (n) như sau: c Tính biến đổi z của x 1 (n) và x 2 (n) (tương ứng là X 1 (z) và X 2 (z)) d Tính X(z) = X 1 (z)X 2 (z) e Thực hiện biến đổi z ngược x(n) = Z -1 {X(z)}, x(n) là tích chập của x 1 (n) và x 2 (n).  Tương quan Nếu: x 1 (n) ⎯→← z X 1 (z) và: x 2 (n) ⎯→← z X 2 (z) thì: ∑ ∞ −∞= −= l 21xx )ln(x)n(x)l(r 21 ⎯→← z )z(X)z(X)z(R 1 21xx 21 − = (3.29) VD : Tính chuỗi tự tương quan của x(n) = a n u(n), -1 < a < 1 Theo (3.7): X(z) = 1 az1 1 − − , ROC: |z| > |a| X(z) = az1 1 − , ROC: |z| < 1/|a| R xx (z) = X(z)X(z -1 ) = az1 1 az1 1 1 −− − = 21 a)zz(a1 1 ++− − , ROC: 1/|a| >|z| > |a| Theo (3.10): a n u(n) + b n u(-n-1) ⎯→← z 1 abzzba ab − −−+ − , ROC: |a| < |z| < |b| Thay thế b = 1/a: a n u(n) + n a 1 u(-n-1) ⎯→← z 1 z a 1 az a 1 a a a 1 − −−+ − a n u(n) + n a 1 u(-n-1) ⎯→← z )zz(a1a a1 12 2 − −−+ − = (1-a 2 )R xx (z) ROC: |a| < |z| < 1/|a| Hay: 2 a1 1 − a n u(n) + 2 a1 1 − n a 1 u(-n-1) ⎯→← z R xx (z) Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z Trang 40 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Æ r xx (l) = 2 a1 1 − a l u(l) + 2 a1 1 − l a 1 u(-l-1) = l 2 a a1 1 −  Nhân Nếu: x 1 (n) ⎯→← z X 1 (z) và: x 2 (n) ⎯→← z X 2 (z) thì: x 1 (n)x 2 (n) ⎯→← z ∫ νννν π −− C 11 21 d)z(X)(X j2 1 (3.30)  Định lý giá trị đầu Nếu x(n) là nhân quả (x(n) = 0 khi n < 0) thì x(0) = )z(Xlim z ∞→ (3.31) 3. Biến đổi z hữu tỉ 3.1. Các điểm cực và điểm không Điểm cực của X(z) là các giá trị z tại đó X(z) = ∞ , điểm không của X(z) là các giá trị z tại đó X(z) = 0. Giả sử X(z) là hàm hữu tỉ: X(z) = ∑ ∑ = − = − = N 0k k k M 0k k k za zb )z(D )z(N (3.32) Giả sử a 0 ≠ 0 và b 0 ≠ 0: X(z) = 0 N 1N 0 1 N 0 M 1M 0 1 M N 0 M 0 a a .z a a z b b .z b b z za zb )z(D )z(N +++ +++ = − − − − (3.32) Do N(z) và D(z) là các đa thức theo z nên có thể biểu diễn như sau: X(z) = ∏ ∏ = = − − − N 1k k M 1k k MN )pz( )zz( Gz (3.33) Với G = b 0 /a 0 . X(z) có M điểm không tại z = z 1 , z 2 , …, z M và N điểm cực tại z = p 1 , p 2 , …, p N . Để biểu diễn trên đồ thị, điểm cực được đánh dấu bằng x và điểm không được đánh dấu bằng o. Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z Trang 41 GV: Phạm Hùng Kim Khánh VD: Xác định điểm cực và điểm không của tín hiệu x(n) = a n u(n), a > 0 X(z) = 1 az1 1 − − = az z − , ROC: |z| > a Æ X(z) có một điểm cực p 1 = a và một điểm không z 1 = 0 Hình 3.4 – Biểu đồ cực – không của x(n) = a n u(n) VD: Xác định điểm cực và điểm không của tín hiệu x(n) = ⎩ ⎨ ⎧ −≤≤ khác0 1Mn0a n , a > 0 x(n) = a n u(n) – a n u(n – M) ⎯→← z X(z) = 1 az1 1 − − + z -M 1 M az1 a − − X(z) = 1 MM az1 az1 − − − − = az az z MM 1M − − +− = )az(z az 1M MM − − − Điểm cực: p 1 = 0 (M – 1 điểm), p M = a Điểm không: z k = M/k2j ae π , (k = 0, …, M – 1). Tại k = 0: z 0 = a Æ có tất cả M – 1 điểm cực và M – 1 điểm không. X(z) = 1M 1M 1k k z )zz( − − = ∏ − VD: Xác định tín hiệu x(n) biết rằng biểu đồ cực – không như hình vẽ Hình 3.5 – Biểu đồ cực – không a Re(z) Im(z) ROC r Re(z) Im(z) ROC ω 0 [...]... A2 X (z) = + + + z z − pN z − p1 z − p 2 (3. 42) Trong đó các hệ số Ak tính như sau: Ak = (z − p k )X (z) (3. 43) z z=pk VD: Xác định biến đổi z ngược của X (z) = 1 , ROC: |z| > 1 1 − 1 5 z + 0 5 z − 2 −1 A A2 X (z) z z = 2 = = 1 + z z − 1. 5z + 0.5 (z − 1) (z − 0.5) z − 1 z − 0.5 A1 = A2 = X (z) = (z − 1)X (z) z z =2 z − 0.5 z =1 = z =1 (z − 0.5)X (z) z = z = 0.5 z = -1 z − 1 z =0.5 2z z 2 1 ← z x(n) = 2u(n)... = (z + 1)X (z) z z = −1 z2 = (z − 1) 2 =¼ z = −1 d ⎛ z2 ⎞ 2z( z + 1) − z 2 1 d 2−1 ⎛ (z − 1) X( z) ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = A2 = ⎜ ⎟ ⎟ (z + 1) 2 (2 − 1)! dz ⎜ z ⎝ ⎠ z =1 dz ⎝ z + 1 ⎠ z =1 2 =¾ z =1 2 (z − 1)2 X (z) = ½ 1 d 2−2 ⎛ (z − 1) X (z) ⎞ ⎜ ⎟ = A3 = ⎟ z (2 − 2)! dz ⎜ z ⎝ ⎠ z =1 z =1 1/ 4 3/ 4 1 / 2z −1 X (z) = ← z x(n) = ¼(-1)nu(n) + ¾u(n) + ½nu(n) ⎯→ + + −1 −1 −1 2 1+ z 1− z (1 − z ) Như vậy, để tính biến đổi. .. x(n) = 2u(n) – (0.5)nu(n) ⎯→ − = − −1 −1 z − 1 z − 0.5 1 − z 1 − 0. 5z VD: Xác định biến đổi z ngược của X (z) = 1 + z −1 , ROC: |z| > 1 − z −1 − 0. 5z −2 5/ 2 A1 A2 X (z) z +1 z +1 = = 2 = + z z − z − 0.5 (z − p1 ) (z − p 2 ) z − p1 z − p 2 với p1 = 0.5 + j0.5, p2 = 0.5 - j0.5 A1 = A2 = (z − p1 )X (z) z = z = p1 (z − p 2 )X (z) X (z) = z = z =p 2 z +1 z − p2 z +1 z − p1 = 0.5 + j0.5 + 1 = 0.5 – j1.5 0.5 +... số (z – pk)l thì các hệ số liên quan đến pk biểu diễn như sau: A 1k A 2k A lk + + + 2 z − p k (z − p k ) (z − p k )l Trong đó các hệ số Alk tính như sau: 1 d l −i Aik = (l − i)! dz ⎛ (z − p k )l X (z) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ z ⎝ ⎠ z= p (3. 44) k VD: Xác định biến đổi z ngược của X (z) = 1 , ROC: |z| > 1 (1 + z )(1 − z −1 ) 2 −1 A3 A1 A z2 X (z) 1 = = = + 2 + −1 −1 2 2 (z + 1) (z − 1) z z(1 + z )(1 − z ) z + 1 z − 1 (z. .. số Chương 3: Biến đổi z Từ biểu đồ, ta xác định được 2 điểm cực: p1 = rcosω0 + jrsinω0 = re jω , p2 = rcosω0 - jrsinω0 = re − jω và 2 điểm không: z1 = 0, z2 = rcosω0 Do đó: 0 0 X (z) = G z( z − r cos ω0 ) (z − z1 ) (z − z 2 ) =G , ROC: |z| > r (z − p1 ) (z − p 2 ) (z − re jω ) (z − re − jω ) X (z) = G 1 − rz −1 cos ω0 , ROC: |z| > r 1 − 2rz −1 cos ω0 + z − 2 0 0 Theo (3. 21): an(cosω0n)u(n) ← z ⎯→ 1 − az −1... 2x(n) Ta có: Y (z) = z- 1Y (z) + 2X (z) H (z) = 2 Y (z) = 1 −1 X (z) 1 − z 2 Theo (3. 7): anu(n) ← z ⎯→ 1 , ROC: |z| > |a| 1 − az −1 h(n) = 2(½)nu(n), ROC: |z| > ½ 4 Biến đổi z ngược Giả sử X (z) là hàm hữu tỉ với a0 = 1: M ∑ b k z −k N (z) = k =0 X (z) = D( z ) 1 + N a z − k ∑ k (3. 38) k =1 Biểu thức (3. 38) gọi là thích hợp nếu M < N và aN ≠ 0 Trong trường hợp M ≥ N, ta có thể biểu diễn như sau: X (z) = Đa thức... Chương 3: Biến đổi z b ROC: |z| < 0.5 X (z) = 2 1 − ← z x(n) = -2u(-n-1) + (0.5)nu(-n-1) ⎯→ −1 −1 1− z 1 − 0 5 z c ROC: 0.5 < |z| < 1 2 , ROC: |z| < 1 ← z -2u(-n-1) ⎯→ −1 1− z − 1 , ROC: |z| > 0.5 ← z – (0.5)nu(n) ⎯→ −1 1 − 0. 5z X (z) = 2 1 − ← z x(n) = -2u(-n-1) - (0.5)nu(n) ⎯→ −1 −1 1− z 1 − 0 5 z 5 Biến đổi z đơn hướng 5.1 Định nghĩa và tính chất Biến đổi z đơn hướng định nghĩa như sau: X+ (z) = ∞... y(n) = yzs(n) b y(-1) = y(-2) = 1 Yzi (z) = N 0 (z) 0.09 − 0.8 1z −1 = 1 − 0. 9z −1 + 0.8 1z −2 A (z) Yzi (z) = 0.026 + j0.4 936 0.026 − j0.4 936 + 1 − 0.9e jπ / 3 z −1 1 − 0.9e − jπ / 3 z −1 ⎛π ⎞ ← z yzi(n) = 0.988(0.9) n cos⎜ n − 1.52 ⎟u (n ) ⎯→ 3 ⎠ Trang 49 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Xử lý tín hiệu số Chương 3: Biến đổi z ⎡ ⎛π ⎞⎤ y(n) = yzs(n) + yzi(n) = ⎢1.099 + 1.088(0.9) n cos⎜ n − 0.09 ⎟⎥ u (n ) + 3 ⎠⎦... 0.9ejπ /3 và p2 = 0.9e-jπ /3 ⎯→ x(n) = u(n) ← z X (z) = Yzs (z) = H (z) X (z) = Yzs (z) = 1 1 − z −1 (1 − 0.9e jπ / 3 1 z )(1 − 0.9e − jπ / 3 z −1 )(1 − z −1 ) −1 0.542 − j0.049 0.542 + j0.049 1.099 + + 1 − 0.9e jπ / 3 z −1 1 − 0.9e − jπ / 3 z −1 1 − z −1 ← z yzs(n) = (0.542 – j0.049)(0.9ejπ /3) nu(n) +(0.542 + j0.049)(0.9e-jπ /3) nu(n) + ⎯→ ⎡ ⎛π ⎞⎤ 1.099u(n) = ⎢1.099 + 1.088(0.9) n cos⎜ n − 0.09 ⎟⎥ u (n ) 3 ⎠⎦... LTI trên miền Z 6.1 Đáp ứng với hàm hữu tỉ Xét hệ thống biểu diễn bằng phương trình sai phân (3. 36) có hàm hệ thống (3. 37) Ta biểu diễn H (z) dưới dạng tỉ số của hai đa thức B (z) /A (z) Giả sử ngõ vào của hệ thống x(n) có biến đổi z là hữu tỉ: X (z) = N (z) Q( z ) (3. 51) Nếu hệ thống lỏng: y(-1) = y(-2) = … = y(-N) = 0 thì biến đổi z của ngõ ra: Y (z) = H (z) X (z) = B (z) N (z) A ( z )Q ( z ) (3. 52) Giả sử hệ . z )z( X = 5. 0z5 . 1z z 2 +− = )5. 0z) ( 1z( z −− = 5. 0z A 1z A 21 − + − A 1 = () 1z z )z( X 1z = − = 1z 5. 0z z = − = 2 A 2 = () 5. 0z z )z( X5. 0z = − = 5. 0z 1z z. hiệu số Chương 3: Biến đổi z Trang 32 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Chương 3 BIẾN ĐỔI Z 1. Biến đổi z 1.1. Biến đổi z trực tiếp Định nghĩa: Biến đổi z của tín